Kümelerle problemler küme işlem kurallarını kullanarak belirli sayıda kümenin eleman sayılarını bulmaya çalıştığımız problemlerdir. Bu tip problemlerde Venn şemasını sıklıkla kullanırız.
SORU:
\( A = \{ x: x = 3k, k \lt 70, k \in \mathbb{Z^+} \} \)
\( B = \{ x: x = 5k, k \lt 48, k \in \mathbb{Z^+} \} \)
kümeleri için \( s(A \cup B) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( A = \{ 3, 6, 9, \ldots, 207 \} \)
\( B = \{ 5, 10, 15, \ldots, 235 \} \)
Elemanları 3'ün katları olan bir küme ile 5'in katları olan bir kümenin kesişim kümesinin elemanları 15'in katlarından oluşur.
\( A \cap B = \{ 15, 30, 45, \ldots, 195 \} \)
Her bir kümenin elemanını ardışık sayılar terim sayısı formülü ile bulabiliriz.
Terim sayısı = [(Son terim - İlk terim) / Ortak fark] + 1
\( s(A) = \dfrac{207 - 3}{3} + 1 = 69 \)
\( s(B) = \dfrac{235 - 5}{5} + 1 = 47 \)
\( s(A \cap B) = \dfrac{195 - 15}{15} + 1 = 13 \)
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
\( = 69 + 47 - 13 = 103 \) bulunur.
SORU:
Bir sınıfta İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilen 32, en çok birini bilen 28 öğrenci vardır. Bu sınıfta Almanca bilmeyen 15 öğrenci bulunduğuna göre, İngilizce bilen kaç öğrenci vardır?
Çözümü Göster
İngilizce bilen öğrenciler kümesine \( I \), Almanca bilen öğrenciler kümesine \( A \) diyelim.
En az bir dil bilenlerin sayısı:
\( a + b + c = 32 \)
En çok bir dil bilenlerin sayısı:
\( a + c + d = 28 \)
Almanca bilmeyenlerin sayısı:
\( a + d = 15 \)
Yukarıdaki eşitliklere göre:
\( c = 13 \)
\( a + b = 19 \)
O halde, İngilizce bilen öğrenci sayısı \( a + b = 19 \) olarak bulunur.
SORU:
40 kişilik bir sınıfta matematik dersinde 21 öğrenci, kimya dersinde 24 öğrenci başarılı olmuştur. Her iki dersten başarısız olan 6 öğrenci olduğuna göre, her iki dersten başarılı olan kaç öğrenci vardır?
Çözümü Göster
Matematik dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( M \), kimya dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( K \) diyelim.
\( M \) ve \( K \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Matematik dersinden başarılı olanlar:
\( a + b = 21 \)
Kimya dersinden başarılı olanlar:
\( b + c = 24 \)
Her iki dersten de başarısız olanlar:
\( d = 6 \)
Sınıf mevcudu:
\( a + b + c + d = 40 \)
Yukarıdaki eşitliklere göre:
\( c = 13 \)
\( b = 11 \)
O halde, her iki dersten başarılı olan \( b = 11 \) kişi vardır.
SORU:
Bir turist kafilesi İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerden oluşmaktadır. İngilizce bilenler, Almanca veya Fransızcadan hiç birini bilmemektedir.
Grupta İngilizce bilen 5 kişi, sadece Fransızca bilen 2 kişi, Fransızca bilen 6 kişi olduğuna ve Almanca bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
Kafilede İngilizce bilenlerin kümesine \( I \), Almanca bilenlerin kümesine \( A \), Fransızca bilenlerin kümesine \( F \) diyelim.
\( I \), \( A \) ve \( F \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
İngilizce bilenler:
\( x = 5 \)
Sadece Fransızca bilenler:
\( m = 2 \)
Fransızca bilenler:
\( z + m = 6 \)
\( z = 4 \)
Almanca bilenler Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı olduğuna göre,
\( y + z = 2 \cdot 6 = 12 \)
\( y = 8 \)
O halde, sadece Almanca bilenler 8 kişidir.
SORU:
36 kişinin futbol oynadığı bir grupta 10 kişi basketbol ve voleybol da oynamaktadır.
Sadece futbol oynayanların sayısı 12 kişi olduğuna göre, bu oyunlardan yalnız ikisini oynayanların sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Futbol oynayanların kümesine \( F \), basketbol oynayanların kümesine \( B \), voleybol oynayanların kümesine \( V \) diyelim.
\( F \), \( B \) ve \( V \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Gruptaki kişi sayısı:
\( a + b + c + d = 36 \)
Her üç sporu da yapanların sayısı:
\( b = 10 \)
Sadece futbol oynayanların sayısı:
\( d = 12 \)
Yukarıdaki eşitliklere göre,
\( a + b + c + d = 36 \)
\( a + 10 + c + 12 = 36 \)
\( a + c = 14 \) bulunur.
O halde, grupta yalnız iki sporu yapanların sayısı \( a + c = 14 \) bulunur.
SORU:
Üç basamaklı sayılardan kaç tanesi 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmez?
Çözümü Göster
\( 999 - 99 = 900 \) tane üç basamaklı sayı vardır.
Üç basamaklı 900 sayının dörtte biri 4'e tam bölünür.
\( \dfrac{900}{4} = 225 \)
Üç basamaklı 900 sayının beşte biri 5'e tam bölünür.
\( \dfrac{900}{5} = 180 \)
Bu iki kümenin kesişimi, hem 4'e hem 5'e, yani 20'ye tam bölünen 3 basamaklı sayılardır.
Üç basamaklı 900 sayının yirmide biri 20'ye tam bölünür.
\( \dfrac{900}{20} = 45 \)
5 ile bölünen sayılardan 20 ile bölünen sayıları çıkarırsak 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmeyen sayıları buluruz.
\( 180 - 45 = 135 \)
SORU:
Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 48 kişilik toplulukta, Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katı, Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır. Buna göre bu toplulukta Almanca bilen kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
\( A \): Almanca bilen kişilerin kümesi
\( F \): Fransızca bilen kişilerin kümesi
Sadece Almanca bilenlerin sayısına \( a \), sadece Fransızca bilenlerin sayısına \( b \), her iki dili de bilenlerin sayısına \( c \) diyelim.
Bu iki dilden en az birinin bilenlerin sayısı 48'dir.
\( a + b + c = 48 \)
Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katıdır.
\( b = 2c \)
Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır.
\( b + c = \frac{3}{2}(a + c) \)
\( 2b + 2c = 3a + 3c \)
\( 2b = 3a + c \)
Deklemlerde \( b = 2c \) koyalım.
\( a + 2c + c = a + 3c = 48 \)
\( 4c = 3a + c \Longrightarrow a = c \)
Bu iki denklemi ortak çözelim.
\( a = c = 12 \)
\( b = 24 \)
Buna göre, Almanca konuşanların sayısı \( a + c = 24 \) olarak bulunur.
SORU:
Herkesin Türkçe bildiği 32 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu toplulukta bu üç dilden yanlız birini bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve Almanca bilen 8 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilen kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
\( T \): Türkçe bilen kişilerin kümesi
\( I \): İngilizce bilen kişilerin kümesi
\( A \): Almanca bilen kişilerin kümesi
Herkes Türkçe bildiği için \( T \) kümesi evrensel kümeyi temsil eder ve diğer iki kümeyi kapsar.
İngilizce bilenler Almanca bilmedikleri için bu iki küme ayrık kümelerdir.
İngilizce bilenlerin sayısına \( a \), Almanca bilenlerin sayısına \( b \), sadece Türkçe bilenlerin sayısına da \( c \) diyelim.
Toplulukta toplam 32 kişi vardır.
\( a + b + c = 32 \)
Yalnız bir dil bilen 10 kişi vardır.
\( c = 10 \)
Türkçe ve Almanca bilen 8 kişi vardır.
\( b = 8 \)
Buna göre Türkçe ve İngilizce bilen kişilerin sayısını aşağıdaki gibi bulabiliriz.
\( a = 32 - b - c \)
\( = 32 - 8 - 10 = 14 \)
SORU:
\( A = \{ x: x \lt 100, x = 2n, n \in \mathbb{Z^+} \} \)
\( B = \{ x: x \lt 151, x = 3n, n \in \mathbb{Z^+} \} \) olduğuna göre,
\( s(A \cup B) \) kaçtır?
Çözümü Göster
\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 49'u 2'ye tam bölünür.
\( s(A) = 49 \)
\( [1, 151) \) aralığındaki 150 tam sayının 50'si 3'e tam bölünür.
\( s(B) = 50 \)
Bu iki kümenin kesişimi \( [1, 100) \) aralığındaki hem 2'ye hem de 3'e, yani 6'ya tam bölünen sayılardan oluşur.
\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 16'sı 6'ya tam bölünür.
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
\( = 49 + 50 - 16 = 83 \)
SORU:
\( A \) kümesinin elemanlarının %60'ı \( B \) kümesinin elemanı değildir, \( B \)'nin elemanlarının ise %50'si \( A \)'nın elemanı değildir.
\( s(A \cup B) = 56 \) olduğuna göre, \( s(B \cap A') \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilere göre Venn şeması şekildeki gibi olur.
\( s(A \cup B) = 14a = 56 \)
\( a = 4 \)
\( s(B \cap A') \) ifadesi \( B - A \) kümesine karşılık gelir.
\( s(B \cap A') = 4a = 16 \)
SORU:
\( A = \{ x: x = 4k, x \lt 80, k \in \mathbb{N} \} \)
\( B = \{ x: x = 3k, x \le 60, k \in \mathbb{N} \} \) olduğuna göre,
\( A \cap B \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
İki kümenin kesişim kümesi 60'tan küçük ya da 60'a eşit olan, hem 3'e hem de 4'e, yani 12'ye tam bölünen doğal sayılar kümesidir.
\( A \cap B = \{ x: x = 12k, x \le 60, k \in \mathbb{N} \} \)
\( [0, 60] \) aralığında 12'ye tam bölünen 5 tam sayı vardır.
\( \dfrac{60}{12} = 5 \)
SORU:
A ve B şubelerinde okuyan öğrencilerin bulunduğu bir grupta, kız öğrencilerin toplam sayısı A sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına, B sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı da A sınıfındaki toplam öğrenci sayısına eşittir.
B sınıfında okuyan 30 öğrenci olduğuna göre, A sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verileri şekildeki gibi tabloya yerleştirelim.
Sütun ve satırdaki toplamlar birbirlerine eşit olmalıdır.
\( (b + 30) = a + (a + b) \)
\( a = 15 \)
Buna göre, A sınıfındaki erkek öğrenci sayısı \( a = 15 \) olarak bulunur.
