Küme Problemleri

İngilizce bilen öğrenciler kümesine \( I \), Almanca bilen öğrenciler kümesine \( A \) diyelim.

En az bir dil bilenlerin sayısı:

\( a + b + c = 32 \)

En çok bir dil bilenlerin sayısı:

\( a + c + d = 28 \)

Almanca bilmeyenlerin sayısı:

\( a + d = 15 \)

Yukarıdaki 3. eşitliği 2. eşitlikten taraf tarafa çıkaralım.

\( a + c + d - (a + d)= 28 - 15 \)

\( c = 13 \)

Bu değeri 1. eşitlikte yerine koyalım.

\( a + b = 19 \)

O halde, İngilizce bilen öğrenci sayısı \( a + b = 19 \) olarak bulunur.

Matematik dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( M \), kimya dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( K \) diyelim.

\( M \) ve \( K \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Matematik dersinde başarılı olanlar:

\( a + b = 21 \)

Kimya dersinde başarılı olanlar:

\( b + c = 24 \)

Her iki derste de başarısız olanlar:

\( d = 6 \)

Sınıf mevcudu:

\( a + b + c + d = 40 \)

Yukarıdaki ilk 3 eşitliği taraf tarafa toplayalım.

\( (a + b) + (b + c) + d = 21 + 24 + 6 \)

\( a + 2b + c + d = 51 \)

Bu eşitlikten sınıf mevcudu eşitliğini taraf tarafa çıkaralım.

\( b = 51 - 40 = 11 \)

\( b \) değerini kimya dersi eşitliğinde yerine koyalım.

\( b + c = 11 + c = 24 \)

\( c = 13 \)

Buna göre, sadece kimya dersinde başarılı olan 13 öğrenci vardır.

Kafilede İngilizce bilenlerin kümesine \( I \), Almanca bilenlerin kümesine \( A \), Fransızca bilenlerin kümesine \( F \) diyelim.

\( I \), \( A \) ve \( F \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

İngilizce bilenler:

\( x = 5 \)

Sadece Fransızca bilenler:

\( m = 2 \)

Fransızca bilenler:

\( z + m = 6 \)

\( z = 4 \)

Almanca bilenler Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı olduğuna göre,

\( y + z = 2 \cdot 6 = 12 \)

\( y = 8 \)

O halde, sadece Almanca bilenler 8 kişidir.

Futbol oynayanların kümesine \( F \), basketbol oynayanların kümesine \( B \), voleybol oynayanların kümesine \( V \) diyelim.

\( F \), \( B \) ve \( V \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her farklı bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Gruptaki kişi sayısı:

\( a + b + c + d = 36 \)

Her üç sporu da yapanların sayısı:

\( b = 10 \)

Sadece futbol oynayanların sayısı:

\( d = 12 \)

Yukarıdaki eşitliklere göre,

\( a + b + c + d = 36 \)

\( a + 10 + c + 12 = 36 \)

\( a + c = 14 \) bulunur.

O halde, grupta yalnız iki sporu yapanların sayısı \( a + c = 14 \) bulunur.

\( 999 - 99 = 900 \) tane üç basamaklı sayı vardır.

Üç basamaklı 900 sayının dörtte biri 4'e tam bölünür.

\( \dfrac{900}{4} = 225 \)

Üç basamaklı 900 sayının beşte biri 5'e tam bölünür.

\( \dfrac{900}{5} = 180 \)

Bu iki kümenin kesişimi, hem 4'e hem 5'e, yani 20'ye tam bölünen 3 basamaklı sayılardır.

Üç basamaklı 900 sayının yirmide biri 20'ye tam bölünür.

\( \dfrac{900}{20} = 45 \)

5 ile bölünen sayılardan 20 ile bölünen sayıları çıkarırsak 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmeyen sayıları buluruz.

\( 180 - 45 = 135 \)

\( A \): Almanca bilen kişilerin kümesi

\( F \): Fransızca bilen kişilerin kümesi

Sadece Almanca bilenlerin sayısına \( a \), sadece Fransızca bilenlerin sayısına \( b \), her iki dili de bilenlerin sayısına \( c \) diyelim.

Bu iki dilden en az birinin bilenlerin sayısı 48'dir.

\( a + b + c = 48 \)

Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katıdır.

\( b = 2c \)

Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır.

\( b + c = \frac{3}{2}(a + c) \)

\( 2b + 2c = 3a + 3c \)

\( 2b = 3a + c \)

Deklemlerde \( b = 2c \) koyalım.

\( a + 2c + c = a + 3c = 48 \)

\( 4c = 3a + c \Longrightarrow a = c \)

Bu iki denklemi ortak çözelim.

\( a = c = 12 \)

\( b = 24 \)

Buna göre, Almanca konuşanların sayısı \( a + c = 24 \) olarak bulunur.

\( T \): Türkçe bilen kişilerin kümesi

\( I \): İngilizce bilen kişilerin kümesi

\( A \): Almanca bilen kişilerin kümesi

Herkes Türkçe bildiği için \( T \) kümesi evrensel kümeyi temsil eder ve diğer iki kümeyi kapsar.

İngilizce bilenler Almanca bilmedikleri için bu iki küme ayrık kümelerdir.

İngilizce bilenlerin sayısına \( a \), Almanca bilenlerin sayısına \( b \), sadece Türkçe bilenlerin sayısına da \( c \) diyelim.

Toplulukta toplam 32 kişi vardır.

\( a + b + c = 32 \)

Yalnız bir dil bilen 10 kişi vardır.

\( c = 10 \)

Türkçe ve Almanca bilen 8 kişi vardır.

\( b = 8 \)

Buna göre Türkçe ve İngilizce bilen kişilerin sayısını aşağıdaki gibi bulabiliriz.

\( a = 32 - b - c \)

\( = 32 - 8 - 10 = 14 \)

\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 49'u 2'ye tam bölünür.

\( s(A) = 49 \)

\( [1, 151) \) aralığındaki 150 tam sayının 50'si 3'e tam bölünür.

\( s(B) = 50 \)

Bu iki kümenin kesişimi \( [1, 100) \) aralığındaki hem 2'ye hem de 3'e, yani 6'ya tam bölünen sayılardan oluşur.

\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 16'sı 6'ya tam bölünür.

\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)

\( = 49 + 50 - 16 = 83 \)

Verilere göre Venn şeması şekildeki gibi olur.

\( s(A \cup B) = 14a = 56 \)

\( a = 4 \)

\( B \cap A' \) kümesi \( B - A \) kümesi ile aynıdır.

\( s(B \cap A') = s(B - A) = 4a = 16 \)

İki kümenin kesişim kümesi 60'tan küçük ya da 60'a eşit olan, hem 3'e hem de 4'e, yani 12'ye tam bölünen doğal sayılar kümesidir.

\( A \cap B = \{ x: x = 12k, x \le 60, k \in \mathbb{N} \} \)

\( [0, 60] \) aralığında 12'ye tam bölünen 6 tam sayı vardır.

\( A \cap B = \{0, 12, 24, 36, 48, 60\} \)

\( s(A \cap B) = 6 \)

Verileri şekildeki gibi tabloya yerleştirelim.

Sütun ve satırdaki toplamlar birbirlerine eşit olmalıdır.

\( (b + 30) = a + (a + b) \)

\( a = 15 \)

Buna göre, A sınıfındaki erkek öğrenci sayısı \( a = 15 \) olarak bulunur.

Misafirler \( 30 - 8 = 22 \) bardak kola, \( 30 - 10 = 20 \) bardak portakal suyu, \( 30 - 14 = 16 \) bardak elma suyu içmiştir.

Kola içenlerin kümesine \( K \), portakal suyu içenlerin kümesine \( P \), elma suyu içenlerin kümesine \( E \) diyelim.

\( K \), \( P \) ve \( E \) kümelerini Venn şeması olarak gösterelim ve her üç içecekten de içenlerin sayısına \( x \) diyelim.

Buna göre sadece kola içenlerin sayısı \( 22 - x \), sadece portakal suyu içenlerin sayısı \( 20 - x \), sadece elma suyu içenlerin sayısı ise \( 16 - x \) olur.

Misafirlerin tamamı en az bir içecek içtiğine göre, üç kümedeki bölgelerin toplamı misafir sayısını verir.

\( (22 - x) + (20 - x) + (16 - x) + x = 30 \)

\( 58 - 2x = 30 \)

\( x = 14 \) bulunur.

\( M \): Masa tenisi kursuna katılanların kümesi

\( B \): Basketbol kursuna katılanların kümesi

\( Y \): Yüzme kursuna katılanların kümesi

Aşağıdaki Venn şemasında \( a, b, c, d \) ilgili bölgelerdeki kişi sayılarını göstermektedir.

Yüzme kursuna katılanlar başka kurslara katılmadıkları için \( Y \) kümesi ayrık bir kümedir.

Topluluk mevcudu:

\( a + b + c + d = 50 \)

Masa tenisi kursuna katılmayan:

\( a + d = 21 \)

Basketbol kursuna katılmayan:

\( a + b = 23 \)

Yalnız bir kursa katılan:

\( a + b + d = 30 \)

Bu eşitlikleri çözdüğümüzde değişkenleri aşağıdaki gibi buluruz.

\( d = 7 \)

\( a = 14 \)

\( b = 9 \)

\( c = 20 \)

Buna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından \( (c + d) - a = (20 + 7) - 14 = 13 \) fazladır.

\( E \): Evrensel küme

\( K \): Kalemi olanların kümesi

\( S \): Silgisi olanların kümesi

Aşağıdaki Venn şemasında \( a, b, c, d \) ilgili bölgelerdeki kişi sayılarını göstermektedir.

Sınıf mevcudu:

\( a + b + c + d = 35 \)

Kalemi veya silgisi olanlar:

\( a + b + c = 16 \)

Silgisi olmayanlar:

\( a + d = 22 \)

Kalemi olmayanlar:

\( c + d = 24 \)

Bu eşitlikleri çözdüğümüzde değişkenleri aşağıdaki gibi buluruz.

\( d = 19 \)

\( a = 3 \)

\( c = 5 \)

\( b = 8 \)

Buna göre, hem silgisi hem de kalemi olan \( b = 8 \) kişi vardır.

\( E \): Evrensel küme

\( T \): Tarih dersinden geçenlerin kümesi

\( C \): Coğrafya dersinden geçenlerin kümesi

Aşağıdaki Venn şemasında \( a, b, c, d \) ilgili bölgelerdeki kişi sayılarını göstermektedir.

En az bir dersten geçenler:

\( b + c + d = 36 \)

En çok bir dersten geçenler:

\( a + b + d = 21 \)

Yalnız bir dersten geçen:

\( b + d = 13 \)

Bu eşitlikleri çözdüğümüzde değişkenleri aşağıdaki gibi buluruz.

\( a = 8 \)

\( c = 23 \)

Buna göre sınıf mevcudu \( a + c + \underbrace{b + d}_\text{13} = 8 + 23 + 13 = 44 \) bulunur.

Verileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.

Satır ve sütun toplamlarının toplamı birbirine eşit ve 58 olmalıdır.

Sütun toplamlarının toplamını alalım.

\( (3x + 5) + (3x - 1) = 58 \)

\( 6x + 4 = 58 \)

\( x = 9 \)

Buna göre turist grubundaki kızların sayısı \( 3x + 5 = 3(9) + 5 = 32 \) olarak bulunur.

Verileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.

Erkek öğrenciler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.

\( 2x + (38 - x) = 40 \)

\( x + 38 = 40 \)

\( x = 2 \)

Buna göre gözlüklü kız öğrencilerin sayısı \( 24 - 2x = 24 - 2(2) = 20 \) bulunur.

Soruda verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri sütun ve satır toplamlarını kullanarak kırmızı renk ile dolduralım.

Futbol oynayan erkeklerin sayısına \( x \) diyelim. Bu durumda basketbol oynayan kadınların toplamı \( 13 - x \) olur.

Erkekler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.

\( (6 + x) + x = 16 \)

\( x = 5 \)

Futbol oynayan kadın sayısını bulalım.

\( 17 - x = 17 - 5 = 12 \) bulunur.

Müzik topluluğundaki toplam üye sayısına 100 diyelim.

Bu durumda klasik müzik çalan 55, çalmayan 45 üye bulunur.

Klasik müzik çalan 55 üye içinde \( 55 \cdot \frac{20}{100} = 11 \) üye klasik müzik sevmemekte, kalan 44 üye sevmektedir.

Klasik müzik çalmayan 45 üye içinde \( 45 \cdot \frac{60}{100} = 27 \) üye klasik müzik sevmemekte, kalan 18 üye sevmektedir.

Buna göre klasik müzik seven toplam \( 44 + 18 = 62 \) üye vardır.

Klasik müzik sevenler içinde klasik müzik çalmayanların oranı:

\( \dfrac{\text{Sevip çalmayanlar}}{\text{Toplam sevenler}} = \dfrac{18}{62} = \dfrac{9}{31} \) bulunur.

Toplam kadın sayısına \( 7k \), toplam erkek sayısına \( 6k \) diyelim.

Ehliyeti olan erkeklerin sayısını kullanarak ehliyeti olan kadınların sayısını bulalım.

Ehliyeti olan kadınların sayısına \( x \) diyelim.

\( \dfrac{x}{12960} = \dfrac{5}{4} \)

\( x = \dfrac{12960 \cdot 5}{4} = 16200 \)

Toplam kadın ve erkek sayılarından ehliyeti olan kadın ve erkek sayılarını çıkarırsak ehliyeti olmayan kadın ve erkek sayılarını buluruz.

Tüm bilgileri kullanarak bir tablo oluşturalım.

Ehliyeti olmayan kadınların sayısının ehliyeti olmayan erkeklerin sayısına oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

\( \dfrac{7k - 16200}{6k - 12960} = \dfrac{2}{3} \)

\( 21k - 48600 = 12k - 25920 \)

\( 9k = 22680 \)

\( k = 2520 \)

Ehliyeti olmayan kadınların sayısını bulalım.

\( 7k - 16200 = 17640 - 16200 \)

\( = 1440 \) bulunur.

Sadece futbol oynayan öğrenci sayısına \( a \), sadece basketbol oynayan öğrenci sayısına \( c \), ikisini de oynayan öğrenci sayısına \( b \), ikisini de oynamayan öğrenci sayısına \( d \) diyelim.

Soruda verilen bilgileri birer eşitlik olarak yazalım.

\( a + b + c + d = 160 \)

\( a + b = 152 \)

\( b + c = 98 \)

İkinci ve üçüncü eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( a + 2b + c = 250 \)

Sadece futbolu seven öğrenci sayısının aralığını bulmak için alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmamız gerekir.

Yukarıdaki birinci eşitliği dördüncüden taraf tarafa çıkaralım.

\( b - d = 90 \)

\( a \)'nın en büyük değerini bulmak için \( d \)'nin en küçük değerini kullanalım.

\( d = 0 \)

\( b - d = b - 0 = 90 \Longrightarrow b = 90 \)

\( a + b = 152 \Longrightarrow a = 62 \)

\( a \)'nın en küçük değerini bulmak için \( d \)'nin en büyük değerini kullanalım.

Yukarıdaki ikinci eşitliği birinciden taraf tarafa çıkaralım.

\( c + d = 8 \)

\( c = 0 \) olursa \( d \) en büyük değerini alır.

\( d = 8 \)

\( b - d = b - 8 = 90 \Longrightarrow b = 98 \)

\( a + b = 152 \Longrightarrow a = 54 \)

\( a \)'nın değer aralığı aşağıdaki gibi bulunur.

\( a \in [54, 62] \)

Buna göre cevap (b) seçeneğidir.