Küme Problemleri
Küme problemlerinde, küme işlem kuralları kullanılarak farklı sayıda kümenin eleman sayıları bulunmaya çalışılır. Bu tip problemlerde Venn şeması sıklıkla kullanılır.
Aşağıda küme problemlerinin çözümüne temel teşkil etmesi açısından örnek bir küme seti ve farklı alt küme durumları verilmiştir. Bu örnekte bir sınıftaki öğrencilerin Almanca (\( A \)), İngilizce (\( I \)) ve Fransızca (\( F \)) konuşma dağılımları Venn şeması şeklinde verilmiştir. Şekildeki harfler ilgili bölgelerdeki kişi sayılarını göstermektedir.
| Sözel Anlatım | Sayısal Gösterim | Küme Gösterimi |
|---|---|---|
| Tüm kişiler | \( a + b + \ldots + h \) | \( E \) |
| Sadece bir dil bilenler | \( a + c + g \) | \( [A - (I \cup F)] \cup [I - (A \cup F)] \cup [F - (A \cup I)] \) |
| Sadece iki dil bilenler | \( b + d + f \) | \( [(A \cap I) \cup (A \cap F) \cup (I \cap F)] - (A \cap I \cap F) \) |
| En az bir dil bilenler | \( a + b + \ldots + g \) | \( A \cup I \cup F \) |
| En az iki dil bilenler | \( b + d + e + f \) | \( (A \cap I) \cup (A \cap F) \cup (I \cap F) \) |
| En çok bir dil bilenler | \( a + c + g + h \) | \( E - [(A \cap I) \cup (A \cap F) \cup (I \cap F)] \) |
| En çok iki dil bilenler | \( a + b + c + d + f + g + h \) | \( E - (A \cap I \cap F) \) |
| Hiçbir dil bilmeyenler | \( h \) | \( E - (A \cup I \cup F) \) |
| Almanca bilen, ama Fransızca bilmeyenler | \( a + b \) | \( A - F \) |
| İngilizce veya Fransızca bilen, ama Almanca bilmeyenler | \( c + f + g \) | \( (I \cup F) - A \) |
| İngilizce ve Fransızca bilen, ama Almanca bilmeyenler | \( f \) | \( (I \cap F) - A \) |
35 kişilik bir sınıfta kalemi veya silgisi olan 16 kişi, silgisi olmayan 22 kişi, kalemi olmayan 24 kişi vardır?
Buna göre, hem kalemi hem de silgisi olan kaç kişi vardır?
Kalemi olanların kümesine \( K \), silgisi olanların kümesine \( S \), evrensel kümeye \( E \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda hem kalemi hem de silgisi olanların sayısı, yani \( b \) değeri isteniyor.
Sınıf mevcudu:
\( a + b + c + d = 35 \)
Kalemi veya silgisi olanların sayısı:
\( a + b + c = 16 \)
Silgisi olmayanların sayısı:
\( a + d = 22 \)
Kalemi olmayanların sayısı:
\( c + d = 24 \)
Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 3, \quad b = 8, \quad c = 5, \quad d = 19 \)
Buna göre, hem kalemi hem de silgisi olan \( b = 8 \) kişi vardır.
Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 48 kişilik toplulukta, Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katı, Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır.
Buna göre bu toplulukta Almanca bilen kaç kişi vardır?
Almanca bilenlerin kümesine \( A \), Fransızca bilenlerin kümesine \( F \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda Almanca bilenlerin sayısı, yani \( a + c \) toplamı isteniyor.
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
İki dilden en az birini bilenlerin sayısı:
\( a + b + c = 48 \)
Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katıdır.
\( b = 2c \)
Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır.
\( b + c = \frac{3}{2}(a + c) \)
\( 2b + 2c = 3a + 3c \)
\( 2b = 3a + c \)
Birinci denklemde \( b = 2c \) koyalım.
\( a + 2c + c = 48 \)
\( a + 3c = 48 \)
Üçüncü denklemde \( b = 2c \) koyalım.
\( 2(2c) = 3a + c \)
\( a = c \)
Bu iki denklemi ortak çözelim.
\( a + 3a = 48 \)
\( a = c = 12 \)
\( a + c = 24 \)
Buna göre, toplulukta Almanca bilen 24 kişi vardır.
Bir sınıfta İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilen 32, en çok birini bilen 28 öğrenci vardır.
Bu sınıfta Almanca bilmeyen 15 öğrenci bulunduğuna göre, İngilizce bilen kaç öğrenci vardır?
İngilizce bilen öğrenciler kümesine \( I \), Almanca bilen öğrenciler kümesine \( A \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda İngilizce bilen öğrenci sayısı, yani \( a + b \) toplamı isteniyor.
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
En az bir dil bilenlerin sayısı:
\( a + b + c = 32 \)
En çok bir dil bilenlerin sayısı:
\( a + c + d = 28 \)
Almanca bilmeyenlerin sayısı:
\( a + d = 15 \)
Yukarıdaki ikinci eşitlikten üçüncü eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
\( a + c + d - (a + d)= 28 - 15 \)
\( c = 13 \)
Bu değeri birinci eşitlikte yerine koyalım.
\( a + b + 13 = 32 \)
\( a + b = 19 \)
Buna göre, sınıfta İngilizce bilen 13 öğrenci vardır.
40 kişilik bir sınıfta matematik dersinde 21 öğrenci, kimya dersinde 24 öğrenci başarılı olmuştur.
Her iki derste başarısız olan 6 öğrenci olduğuna göre, sadece kimya dersinde başarılı olan kaç öğrenci vardır?
Matematik dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( M \), kimya dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( K \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda sadece kimya dersinde başarılı olan öğrenci sayısı, yani \( c \) değeri isteniyor.
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Matematik dersinde başarılı olanlar:
\( a + b = 21 \)
Kimya dersinde başarılı olanlar:
\( b + c = 24 \)
Her iki derste de başarısız olanlar:
\( d = 6 \)
Sınıf mevcudu:
\( a + b + c + d = 40 \)
Yukarıdaki ilk 3 eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( (a + b) + (b + c) + d = 21 + 24 + 6 \)
\( a + 2b + c + d = 51 \)
Bu eşitlikten sınıf mevcudu eşitliğini taraf tarafa çıkaralım.
\( b = 51 - 40 = 11 \)
\( b \) değerini kimya dersi eşitliğinde yerine koyalım.
\( b + c = 11 + c = 24 \)
\( c = 13 \)
Buna göre, sınıfta sadece kimya dersinde başarılı olan 13 öğrenci vardır.
Bir turist kafilesi İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerden oluşmaktadır. İngilizce bilenler, diğer iki dili de bilmemektedir.
Grupta İngilizce bilen 5 kişi, sadece Fransızca bilen 2 kişi, Fransızca bilen 6 kişi olduğuna ve Almanca bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?
İngilizce bilenlerin kümesine \( I \), Almanca bilenlerin kümesine \( A \), Fransızca bilenlerin kümesine \( F \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
İngilizce bilenler diğer iki dili bilmediği için, \( I \) kümesi diğer iki kümeden ayrıktır.
Soruda sadece Almanca bilen kişi sayısı, yani \( y \) değeri isteniyor.
İngilizce bilen kişi sayısı:
\( x = 5 \)
Sadece Fransızca bilen kişi sayısı:
\( m = 2 \)
Fransızca bilen kişi sayısı:
\( z + m = 6 \)
\( z = 4 \)
Almanca bilenler Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır.
\( y + z = 2(z + m) \)
\( y + 4 = 2(6) \)
\( y = 8 \)
Buna göre, grupta sadece Almanca bilen 8 kişi vardır.
36 kişinin futbol oynadığı bir grupta 10 kişi basketbol ve voleybol da oynamaktadır.
Sadece futbol oynayanların sayısı 12 kişi olduğuna göre, bu sporlardan yalnız ikisini yapanların sayısı kaçtır?
Futbol oynayanların kümesine \( F \), basketbol oynayanların kümesine \( B \), voleybol oynayanların kümesine \( V \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Futbol oynayanların tümü basketbol ve voleybol da oynadığı için, \( F \) kümesi diğer iki kümeyi kapsar.
Soruda sporlardan yalnız ikisini yapanların sayısı, yani \( a + c \) toplamı isteniyor.
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Gruptaki kişi sayısı:
\( a + b + c + d = 36 \)
Her üç sporu da yapanların sayısı:
\( b = 10 \)
Sadece futbol oynayanların sayısı:
\( d = 12 \)
\( b \) ve \( d \) değerlerini grup mevcudu eşitliğinde yerine koyalım.
\( a + b + c + d = 36 \)
\( a + 10 + c + 12 = 36 \)
\( a + c = 14 \)
Buna göre, grupta yalnız iki sporu yapan 14 kişi vardır.
Bir grup öğrencinin \( \frac{4}{7} \)'si biyoloji dersi, \( \frac{3}{5} \)'i kimya dersi alıyor. Bu grupta her iki dersi de alan öğrenci sayısı en az kaç olabilir?
Biyoloji alan öğrencilerin kümesine \( B \), kimya alan öğrencilerin kümesine \( K \) diyelim.
Biyoloji, kimya ve her iki dersi alan öğrenci sayıları tam sayı olmalıdır. Bunun sağlanması için gruptaki toplam öğrenci sayısı verilen kesirlerdeki paydaların, yani 7'nin ve 5'in bir ortak katı olmalıdır.
7'nin ve 5'in en küçük ortak katı 35'tir.
\( EKOK(7, 5) = 35 \)
Her iki dersi de alan öğrenci sayısının en küçük değeri istendiği için gruptaki öğrenci sayısını 35 olarak almalıyız.
Bu durumda biyoloji alan öğrenci sayısı \( 35 \cdot \frac{4}{7} = 20 \), kimya alan öğrenci sayısı \( 35 \cdot \frac{3}{5} = 21 \) olur.
İki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazalım.
Tüm öğrencilerin kümesi \( B \cup K \), iki dersi de alan öğrencilerin kümesi \( B \cap K \) olur.
\( s(B \cup K) = s(B) + s(K) - s(B \cap K) \)
\( 35 = 20 + 21 - s(B \cap K) \)
\( s(B \cap K) = 20 + 21 - 35 = 6 \)
Buna göre, her iki dersi de alan öğrenci sayısı en az 6 olabilir.
Herkesin Türkçe bildiği 32 kişilik bir kafilede, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu kafilede bu üç dilden yanlız birini bilen 10 kişi vardır.
Türkçe ve Almanca bilen 8 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilen kaç kişi vardır?
Türkçe bilenlerin kümesine \( T \), İngilizce bilenlerin kümesine \( I \), Almanca bilenlerin kümesine \( A \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Herkes Türkçe bildiği için \( T \) kümesi evrensel kümeyi temsil eder ve diğer iki kümeyi kapsar.
İngilizce bilenler Almanca bilmedikleri için bu iki küme ayrık kümelerdir.
Soruda Türkçe ve İngilizce bilen kişi sayısı, yani \( a \) değeri isteniyor.
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Kafiledeki kişi sayısı:
\( a + b + c = 32 \)
Yalnız bir dil bilen kişi sayısı:
\( c = 10 \)
Türkçe ve Almanca bilen kişi sayısı:
\( b = 8 \)
Bu değerleri toplam kişi sayısı formülünde yerine koyalım.
\( a + 8 + 10 = 32 \)
\( a = 14 \)
Buna göre, kafilede Türkçe ve İngilizce bilen 14 kişi vardır.
\( A \) kümesinin elemanlarının %60'ı \( B \) kümesinin elemanı değildir, \( B \) kümesinin elemanlarının ise %50'si \( A \) kümesinin elemanı değildir.
\( s(A \cup B) = 56 \) olduğuna göre, \( s(B \cap A') \) kaçtır?
\( A \) kümesinin eleman sayısına \( 10a \) diyelim.
\( A \) kümesinin elemanlarının %60'ı \( B \) kümesinin elemanı değilse \( s(A - B) = 6a \) ve \( s(A \cap B) = 4a \) olur.
\( B \) kümesinin elemanlarının ise %50'si \( A \) kümesinin elemanı değilse \( s(B - A) = s(A \cap B) = 4a \) olur.
Verileri Venn şeması ile gösterelim.
\( s(A \cup B) = 14a = 56 \)
\( a = 4 \)
Aşağıdaki küme özdeşliğini kullanalım.
\( B \cap A' = B - A \)
\( s(B \cap A') = s(B - A) \)
\( = 4a = 16 \) bulunur.
\( A = \{ x \mid x \lt 80, x = 4k, k \in \mathbb{N} \} \)
\( B = \{ x \mid x \le 60, x = 3k, k \in \mathbb{N} \} \)
olduğuna göre, \( A \cap B \) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
\( A \) kümesi 80'den küçük olan ve 4'e tam bölünen doğal sayılardan oluşur.
\( B \) kümesi 60'tan küçük ya da eşit olan ve 3'e tam bölünen doğal sayılardan oluşur.
İki kümenin kesişimi ise 60'tan küçük ya da eşit olan ve hem 3'e hem de 4'e, yani 12'ye tam bölünen doğal sayılardan oluşur.
\( A \cap B = \{ x \mid x = 12k, x \le 60, k \in \mathbb{N} \} \)
\( = \{0, 12, 24, 36, 48, 60\} \)
\( s(A \cap B) = 6 \) bulunur.
\( A = \{ x \mid x \lt 100, x = 2n, n \in \mathbb{Z^+} \} \)
\( B = \{ x \mid x \le 150, x = 3n, n \in \mathbb{Z^+} \} \)
olduğuna göre, \( s(A \cup B) \) kaçtır?
\( A \) kümesi 100'den küçük olan ve 2'ye tam bölünen pozitif tam sayılardan oluşur.
\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 49'u 2'ye tam bölünür.
\( A = \{ 2, 4, 6, 8, \ldots 98 \} \)
\( s(A) = 49 \)
\( B \) kümesi 150'den küçük ya da eşit olan ve 3'e tam bölünen pozitif tam sayılardan oluşur.
\( [1, 150] \) aralığındaki 150 tam sayının 50'si 3'e tam bölünür.
\( B = \{ 3, 6, 9, 12, \ldots 150 \} \)
\( s(B) = 50 \)
Bu iki kümenin kesişimi \( [1, 100) \) aralığındaki hem 2'ye hem de 3'e, yani 6'ya tam bölünen sayılardan oluşur.
\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 16'sı 6'ya tam bölünür.
\( A \cap B = \{ 6, 12, 18, 24, \ldots, 96 \} \)
\( s(A \cap B) = 16 \)
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü kullanalım.
\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
\( = 49 + 50 - 16 = 83 \) bulunur.
Bir sınıfta tarih ve coğrafya derslerinin en az birinden geçen 36, en çok birinden geçen 21, yalnız birinden geçen 13 kişi vardır.
Buna göre bu sınıfta kaç kişi vardır?
Tarih dersinden geçenlerin kümesine \( T \), coğrafya dersinden geçenlerin kümesine \( C \), evrensel kümeye \( E \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Soruda sınıftaki toplam kişi sayısı, yani \( a + b + c + d \) toplamı isteniyor.
En az bir dersten geçenlerin sayısı:
\( b + c + d = 36 \)
En çok bir dersten geçenlerin sayısı:
\( a + b + d = 21 \)
Yalnız bir dersten geçenlerin sayısı:
\( b + d = 13 \)
Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 8, \quad c = 23 \)
Bu değerleri kullanarak sınıf mevcudunu bulalım.
\( a + c + \underbrace{b + d}_\text{13} = 8 + 23 + 13 \)
\( = 44 \) bulunur.
A ve B şubelerinde okuyan öğrencilerin bulunduğu bir grupta, kız öğrencilerin toplam sayısı A sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına, B sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı A sınıfındaki toplam öğrenci sayısına eşittir.
B sınıfında okuyan 30 öğrenci olduğuna göre, A sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı kaçtır?
A sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına \( a \), B sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına \( b \) diyelim.
Verilen bilgileri bir tabloya yerleştirelim.
Soruda A sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı, yani \( a \) değeri isteniyor.
Sütun ve satırdaki toplamlar birbirlerine eşit olmalıdır.
\( b + 30 = a + (a + b) \)
\( a = 15 \)
Buna göre, A sınıfında okuyan 15 erkek öğrenci vardır.
62 kişilik bir sınıfta öğrencilerin 40'ı erkek, 24'ü gözlüklüdür.
Gözlüksüz kızların sayısı gözlüklü erkeklerin sayısının yarısı ise sınıfta kaç gözlüklü kız vardır?
Gözlüksüz kızların sayısına \( x \) diyelim.
Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Erkek öğrenciler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.
\( 2x + (38 - x) = 40 \)
\( x + 38 = 40 \)
\( x = 2 \)
Buna göre gözlüklü kız öğrencilerin sayısı \( 24 - 2x = 24 - 2(2) = 20 \) bulunur.
58 kişilik bir turist grubunda,
- Alman kadınlar ingiliz erkeklerin iki katıdır.
- İngiliz kadınlar ingiliz erkeklerden 5 fazladır.
- Alman erkekler alman kadınlardan 1 eksiktir.
Buna göre bu grupta kaç kadın vardır?
İngiliz erkeklerin sayısına \( x \) diyelim.
Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Satır ve sütun toplamlarının toplamı birbirine eşit ve 58 olmalıdır.
Sütun toplamlarının toplamını alalım.
\( (3x + 5) + (3x - 1) = 58 \)
\( 6x + 4 = 58 \)
\( x = 9 \)
Buna göre turist grubundaki kadınların sayısı \( 3x + 5 = 3(9) + 5 = 32 \) olarak bulunur.
Bir spor kulübünde oyuncular futbol ve basketboldan sadece birini oynamaktadır. Bu kulüpte 16 erkek 20 kadın oyuncu vardır, 19 oyuncu basketbol oynamaktadır ve futbol oynayan erkeklerle basketbol oynayan kadınların toplamı 13'tür.
Buna göre bu kulüpte futbol oynayan kaç kadın vardır?
Futbol oynayan erkeklerin sayısına \( x \) diyelim.
Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.
Erkekler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.
\( (6 + x) + x = 16 \)
\( x = 5 \)
Futbol oynayan kadın sayısını bulalım.
\( 17 - x = 17 - 5 = 12 \) bulunur.
Bir kasabada kadınların sayısının erkeklerin sayısına oranı \( \frac{7}{6} \)'dır. Ehliyeti olan kadınların sayısının ehliyeti olan erkeklerin sayısına oranı \( \frac{5}{4} \)'tür. Ehliyeti olmayan kadınların sayısının ehliyeti olmayan erkeklerin sayısına oranı ise \( \frac{2}{3} \)'tür.
Bu kasabada ehliyeti olan 12960 erkek olduğuna göre, ehliyeti olmayan kadınların sayısı kaçtır?
Kasabadaki toplam kadın sayısına \( 7k \), toplam erkek sayısına \( 6k \) diyelim.
Ehliyeti olan erkeklerin sayısını kullanarak ehliyeti olan kadınların sayısını bulalım.
Ehliyeti olan kadınların sayısına \( x \) diyelim.
\( \dfrac{x}{12960} = \dfrac{5}{4} \)
\( x = \dfrac{12960 \cdot 5}{4} = 16200 \)
Toplam kadın ve erkek sayılarından ehliyeti olan kadın ve erkek sayılarını çıkarırsak ehliyeti olmayan kadın ve erkek sayılarını buluruz.
Tüm bilgileri kullanarak bir tablo oluşturalım.
Ehliyeti olmayan kadınların sayısının ehliyeti olmayan erkeklerin sayısına oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.
\( \dfrac{7k - 16200}{6k - 12960} = \dfrac{2}{3} \)
\( 21k - 48600 = 12k - 25920 \)
\( 9k = 22680 \)
\( k = 2520 \)
Ehliyeti olmayan kadınların sayısını bulalım.
\( 7k - 16200 = 17640 - 16200 \)
\( = 1440 \) bulunur.
Ayşe Hanım evine misafirliğe gelecek 30 kişi için 30'ar kişilik kola, portakal suyu ve elma suyu hazırlamıştır. Gelen misafirlerin tümü bir ya da üç çeşit içecekten birer bardak içmiştir.
Misafirler gittiğinde 8 kişilik kola, 10 kişilik portakal suyu ve 14 kişilik elma suyu arttığına göre, üç çeşit içecek içen kaç misafir vardır?
Kola içenlerin kümesine \( K \), portakal suyu içenlerin kümesine \( P \), elma suyu içenlerin kümesine \( E \) diyelim.
Misafirler \( 30 - 8 = 22 \) bardak kola, \( 30 - 10 = 20 \) bardak portakal suyu, \( 30 - 14 = 16 \) bardak elma suyu içmiştir.
\( K \), \( P \) ve \( E \) kümelerini Venn şeması ile gösterelim ve her üç içecekten de içenlerin sayısına \( x \) diyelim.
Buna göre sadece kola içenlerin sayısı \( 22 - x \), sadece portakal suyu içenlerin sayısı \( 20 - x \), sadece elma suyu içenlerin sayısı ise \( 16 - x \) olur.
Misafirlerin tamamı bir ya da üç içecek içtiğine göre, kümelerin ikili kesişimleri boş küme olur.
Venn şemasındaki sayıların toplamı toplamı misafir sayısını verir.
\( (22 - x) + (20 - x) + (16 - x) + x = 30 \)
\( 58 - 2x = 30 \)
\( x = 14 \) bulunur.
Masa tenisi, basketbol ve yüzme kurslarından en az birine katılanlardan oluşan 50 kişilik bir toplulukta yüzme kursuna katılanların başka kurslara katılmadığı biliniyor.
Bu toplulukta masa tenisi kursuna katılmayan 21 kişi, basketbol kursuna katılmayan 23 kişi ve yalnız bir kursa katılan 30 kişi olduğuna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından kaç fazladır?
Masa tenisi kursuna katılanların kümesine \( M \), basketbol kursuna katılanların kümesine \( B \), yüzme kursuna katılanların kümesine \( Y \) diyelim.
Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.
Yüzme kursuna katılanlar başka kursa katılmadıkları için \( Y \) kümesi diğer iki kümeden ayrık bir kümedir.
Soruda basketbol kursuna katılanların sayısının yüzme kursuna katılanların sayısından kaç fazla olduğu, yani \( (c + d) - a \) farkı isteniyor.
Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.
Topluluk mevcudu:
\( a + b + c + d = 50 \)
Masa tenisi kursuna katılmayan kişi sayısı:
\( a + d = 21 \)
Basketbol kursuna katılmayan kişi sayısı:
\( a + b = 23 \)
Yalnız bir kursa katılan kişi sayısı:
\( a + b + d = 30 \)
Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( a = 14, \quad b = 9, \quad c = 20, \quad d = 7 \)
Buna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından \( (c + d) - a = (20 + 7) - 14 = 13 \) fazladır.
Üç basamaklı sayılardan kaç tanesi 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmez?
\( 999 - 99 = 900 \) tane üç basamaklı sayı vardır.
Üç basamaklı 900 sayının dörtte biri 4'e tam bölünür.
\( \dfrac{900}{4} = 225 \)
Üç basamaklı 900 sayının beşte biri 5'e tam bölünür.
\( \dfrac{900}{5} = 180 \)
Bu iki kümenin kesişimi, hem 4'e hem 5'e, yani 20'ye tam bölünen 3 basamaklı sayılardır.
Üç basamaklı 900 sayının yirmide biri 20'ye tam bölünür.
\( \dfrac{900}{20} = 45 \)
5 ile bölünen sayılardan 20 ile bölünen sayıları çıkarırsak 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmeyen sayıları buluruz.
\( 180 - 45 = 135 \) bulunur.
Bir müzik topluluğunda üyelerin yüzde 55'i klasik müzik çalmakta, diğerleri çalmamaktadır. Klasik müzik çalanların yüzde 20'si, çalmayanların yüzde 60'ı klasik müzik sevmediğini söylemektedir.
Klasik müzik sevenler içinde klasik müzik çalmayanların oranı kaçtır?
Müzik topluluğundaki toplam üye sayısına 100 kişi diyelim.
Bu durumda klasik müzik çalan 55, çalmayan 45 üye bulunur.
Klasik müzik çalan 55 üye içinde \( 55 \cdot \frac{20}{100} = 11 \) üye klasik müzik sevmemekte, kalan 44 üye sevmektedir.
Klasik müzik çalmayan 45 üye içinde \( 45 \cdot \frac{60}{100} = 27 \) üye klasik müzik sevmemekte, kalan 18 üye sevmektedir.
Buna göre klasik müzik seven toplam \( 44 + 18 = 62 \) üye vardır.
Klasik müzik sevenler içinde klasik müzik çalmayanların oranı:
\( \dfrac{\text{Sevip çalmayanlar}}{\text{Toplam sevenler}} = \dfrac{18}{62} = \dfrac{9}{31} \) bulunur.
Bir okuldaki 160 öğrenciden 152'si futbol, 98'i basketbol oynuyor.
Buna göre, sadece futbol oynayan öğrencilerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
(a) \( 52 \quad \) (b) \( 55 \quad \) (c) \( 63 \quad \) (d) \( 68 \)
Sadece futbol oynayan öğrenci sayısına \( a \), sadece basketbol oynayan öğrenci sayısına \( c \), ikisini de oynayan öğrenci sayısına \( b \), ikisini de oynamayan öğrenci sayısına \( d \) diyelim.
Soruda verilen bilgileri birer eşitlik olarak yazalım.
\( a + b + c + d = 160 \)
\( a + b = 152 \)
\( b + c = 98 \)
İkinci ve üçüncü eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( a + 2b + c = 250 \)
Sadece futbolu seven öğrenci sayısının aralığını bulmak için alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmamız gerekir.
Yukarıdaki birinci eşitliği dördüncüden taraf tarafa çıkaralım.
\( (a + 2b + c) - (a + b + c + d) = 250 - 160 \)
\( b - d = 90 \)
\( a \)'nın en büyük değerini bulmak için \( d \)'nin en küçük değerini kullanalım.
\( d = 0 \)
\( b - d = b - 0 = 90 \)
\( b = 90 \)
\( a + b = 152 \)
\( a = 62 \)
\( a \)'nın en küçük değerini bulmak için \( d \)'nin en büyük değerini kullanalım.
Yukarıdaki ikinci eşitliği birinciden taraf tarafa çıkaralım.
\( (a + b + c + d) - (a + b) = 160 - 152 \)
\( c + d = 8 \)
\( c = 0 \) olursa \( d \) en büyük değerini alır.
\( d = 8 \)
\( b - d = b - 8 = 90 \)
\( b = 98 \)
\( a + b = 152 \)
\( a = 54 \)
\( a \)'nın değer aralığı aşağıdaki gibi bulunur.
\( a \in [54, 62] \)
Buna göre cevap (b) seçeneğidir.