Küme Problemleri

Kalemi olanların kümesine \( K \), silgisi olanların kümesine \( S \), evrensel kümeye \( E \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Soruda hem kalemi hem de silgisi olanların sayısı, yani \( b \) değeri isteniyor.

Sınıf mevcudu:

\( a + b + c + d = 35 \)

Kalemi veya silgisi olanların sayısı:

\( a + b + c = 16 \)

Silgisi olmayanların sayısı:

\( a + d = 22 \)

Kalemi olmayanların sayısı:

\( c + d = 24 \)

Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 3, \quad b = 8, \quad c = 5, \quad d = 19 \)

Buna göre, hem kalemi hem de silgisi olan \( b = 8 \) kişi vardır.

Almanca bilenlerin kümesine \( A \), Fransızca bilenlerin kümesine \( F \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Soruda Almanca bilenlerin sayısı, yani \( a + c \) toplamı isteniyor.

Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.

İki dilden en az birini bilenlerin sayısı:

\( a + b + c = 48 \)

Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının iki katıdır.

\( b = 2c \)

Fransızca bilenlerin sayısı Almanca bilenlerin \( \frac{3}{2} \) katıdır.

\( b + c = \frac{3}{2}(a + c) \)

\( 2b + 2c = 3a + 3c \)

\( 2b = 3a + c \)

Birinci denklemde \( b = 2c \) koyalım.

\( a + 2c + c = 48 \)

\( a + 3c = 48 \)

Üçüncü denklemde \( b = 2c \) koyalım.

\( 2(2c) = 3a + c \)

\( a = c \)

Bu iki denklemi ortak çözelim.

\( a + 3a = 48 \)

\( a = c = 12 \)

\( a + c = 24 \)

Buna göre, toplulukta Almanca bilen 24 kişi vardır.

İngilizce bilen öğrenciler kümesine \( I \), Almanca bilen öğrenciler kümesine \( A \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Soruda İngilizce bilen öğrenci sayısı, yani \( a + b \) toplamı isteniyor.

Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.

En az bir dil bilenlerin sayısı:

\( a + b + c = 32 \)

En çok bir dil bilenlerin sayısı:

\( a + c + d = 28 \)

Almanca bilmeyenlerin sayısı:

\( a + d = 15 \)

Yukarıdaki ikinci eşitlikten üçüncü eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

\( a + c + d - (a + d)= 28 - 15 \)

\( c = 13 \)

Bu değeri birinci eşitlikte yerine koyalım.

\( a + b + 13 = 32 \)

\( a + b = 19 \)

Buna göre, sınıfta İngilizce bilen 19 öğrenci vardır.

Matematik dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( M \), kimya dersinde başarılı olan öğrencilerin kümesine \( K \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Soruda sadece kimya dersinde başarılı olan öğrenci sayısı, yani \( c \) değeri isteniyor.

Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.

Matematik dersinde başarılı olanlar:

\( a + b = 21 \)

Kimya dersinde başarılı olanlar:

\( b + c = 24 \)

Her iki derste de başarısız olanlar:

\( d = 6 \)

Sınıf mevcudu:

\( a + b + c + d = 40 \)

Yukarıdaki ilk 3 eşitliği taraf tarafa toplayalım.

\( (a + b) + (b + c) + d = 21 + 24 + 6 \)

\( a + 2b + c + d = 51 \)

Bu eşitlikten sınıf mevcudu eşitliğini taraf tarafa çıkaralım.

\( b = 51 - 40 = 11 \)

\( b \) değerini kimya dersi eşitliğinde yerine koyalım.

\( b + c = 11 + c = 24 \)

\( c = 13 \)

Buna göre, sınıfta sadece kimya dersinde başarılı olan 13 öğrenci vardır.

İngilizce bilenlerin kümesine \( I \), Almanca bilenlerin kümesine \( A \), Fransızca bilenlerin kümesine \( F \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

İngilizce bilenler diğer iki dili bilmediği için, \( I \) kümesi diğer iki kümeden ayrıktır.

Soruda sadece Almanca bilen kişi sayısı, yani \( y \) değeri isteniyor.

İngilizce bilen kişi sayısı:

\( x = 5 \)

Sadece Fransızca bilen kişi sayısı:

\( m = 2 \)

Fransızca bilen kişi sayısı:

\( z + m = 6 \)

\( z = 4 \)

Almanca bilenler Fransızca bilenlerin sayısının 2 katıdır.

\( y + z = 2(z + m) \)

\( y + 4 = 2(6) \)

\( y = 8 \)

Buna göre, grupta sadece Almanca bilen 8 kişi vardır.

Futbol oynayanların kümesine \( F \), basketbol oynayanların kümesine \( B \), voleybol oynayanların kümesine \( V \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Tüm oyuncular futbol oynadığı için \( F \) kümesi diğer iki kümeyi kapsar.

Soruda sporlardan yalnız ikisini yapanların sayısı, yani \( a + c \) toplamı isteniyor.

Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.

Kulüpteki toplam kişi sayısı 36'dır.

\( a + b + c + d = 36 \)

Üç sporu da yapanların sayısı 10'dur.

\( b = 10 \)

Sadece futbol oynayanların sayısı 12'dir.

\( d = 12 \)

\( b \) ve \( d \) değerlerini toplam kişi sayısı eşitliğinde yerine koyalım.

\( a + b + c + d = 36 \)

\( a + 10 + c + 12 = 36 \)

\( a + c = 14 \)

Buna göre, kulüpte yalnız iki sporu yapan 14 kişi vardır.

Biyoloji alan öğrencilerin kümesine \( B \), kimya alan öğrencilerin kümesine \( K \) diyelim.

Biyoloji, kimya ve her iki dersi alan öğrenci sayıları tam sayı olmalıdır. Bunun sağlanması için gruptaki toplam öğrenci sayısı verilen kesirlerdeki paydaların, yani 7'nin ve 5'in bir ortak katı olmalıdır.

7'nin ve 5'in en küçük ortak katı 35'tir.

\( EKOK(7, 5) = 35 \)

Her iki dersi de alan öğrenci sayısının en küçük değeri istendiği için gruptaki öğrenci sayısını 35 olarak almalıyız.

Bu durumda biyoloji alan öğrenci sayısı \( 35 \cdot \frac{4}{7} = 20 \), kimya alan öğrenci sayısı \( 35 \cdot \frac{3}{5} = 21 \) olur.

İki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü yazalım.

Tüm öğrencilerin kümesi \( B \cup K \), iki dersi de alan öğrencilerin kümesi \( B \cap K \) olur.

\( s(B \cup K) = s(B) + s(K) - s(B \cap K) \)

\( 35 = 20 + 21 - s(B \cap K) \)

\( s(B \cap K) = 20 + 21 - 35 = 6 \)

Buna göre, her iki dersi de alan öğrenci sayısı en az 6 olabilir.

Türkçe bilenlerin kümesine \( T \), İngilizce bilenlerin kümesine \( I \), Almanca bilenlerin kümesine \( A \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Herkes Türkçe bildiği için \( T \) kümesi evrensel kümeyi temsil eder ve diğer iki kümeyi kapsar.

İngilizce bilenler Almanca bilmedikleri için bu iki küme ayrık kümelerdir.

Soruda Türkçe ve İngilizce bilen kişi sayısı, yani \( a \) değeri isteniyor.

Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.

Kafiledeki kişi sayısı:

\( a + b + c = 32 \)

Yalnız bir dil bilen kişi sayısı:

\( c = 10 \)

Türkçe ve Almanca bilen kişi sayısı:

\( b = 8 \)

Bu değerleri toplam kişi sayısı formülünde yerine koyalım.

\( a + 8 + 10 = 32 \)

\( a = 14 \)

Buna göre, kafilede Türkçe ve İngilizce bilen 14 kişi vardır.

\( A \) kümesinin eleman sayısına \( 10a \) diyelim.

\( A \) kümesinin elemanlarının %60'ı \( B \) kümesinin elemanı değilse \( s(A - B) = 6a \) ve \( s(A \cap B) = 4a \) olur.

\( B \) kümesinin elemanlarının ise %50'si \( A \) kümesinin elemanı değilse \( s(B - A) = s(A \cap B) = 4a \) olur.

Verileri Venn şeması ile gösterelim.

\( s(A \cup B) = 14a = 56 \)

\( a = 4 \)

Aşağıdaki küme özdeşliğini kullanalım.

\( B \cap A' = B - A \)

\( s(B \cap A') = s(B - A) \)

\( = 4a = 16 \) bulunur.

\( A \) kümesi 80'den küçük olan ve 4'e tam bölünen doğal sayılardan oluşur.

\( B \) kümesi 60'tan küçük ya da eşit olan ve 3'e tam bölünen doğal sayılardan oluşur.

İki kümenin kesişimi ise 60'tan küçük ya da eşit olan ve hem 3'e hem de 4'e, yani 12'ye tam bölünen doğal sayılardan oluşur.

\( A \cap B = \{ x \mid x = 12k, x \le 60, k \in \mathbb{N} \} \)

\( = \{0, 12, 24, 36, 48, 60\} \)

\( s(A \cap B) = 6 \) bulunur.

\( A \) kümesi 100'den küçük olan ve 2'ye tam bölünen pozitif tam sayılardan oluşur.

\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 49'u 2'ye tam bölünür.

\( A = \{ 2, 4, 6, 8, \ldots 98 \} \)

\( s(A) = 49 \)

\( B \) kümesi 150'den küçük ya da eşit olan ve 3'e tam bölünen pozitif tam sayılardan oluşur.

\( [1, 150] \) aralığındaki 150 tam sayının 50'si 3'e tam bölünür.

\( B = \{ 3, 6, 9, 12, \ldots 150 \} \)

\( s(B) = 50 \)

Bu iki kümenin kesişimi \( [1, 100) \) aralığındaki hem 2'ye hem de 3'e, yani 6'ya tam bölünen sayılardan oluşur.

\( [1, 100) \) aralığındaki 99 tam sayının 16'sı 6'ya tam bölünür.

\( A \cap B = \{ 6, 12, 18, 24, \ldots, 96 \} \)

\( s(A \cap B) = 16 \)

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü kullanalım.

\( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)

\( = 49 + 50 - 16 = 83 \) bulunur.

Tarih dersinden geçenlerin kümesine \( T \), coğrafya dersinden geçenlerin kümesine \( C \), evrensel kümeye \( E \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Soruda sınıftaki toplam kişi sayısı, yani \( a + b + c + d \) toplamı isteniyor.

En az bir dersten geçenlerin sayısı:

\( b + c + d = 36 \)

En çok bir dersten geçenlerin sayısı:

\( a + b + d = 21 \)

Yalnız bir dersten geçenlerin sayısı:

\( b + d = 13 \)

Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 8, \quad c = 23 \)

Bu değerleri kullanarak sınıf mevcudunu bulalım.

\( a + c + \underbrace{b + d}_\text{13} = 8 + 23 + 13 \)

\( = 44 \) bulunur.

Kola içenlerin kümesine \( K \), portakal suyu içenlerin kümesine \( P \), elma suyu içenlerin kümesine \( E \) diyelim.

Misafirler \( 30 - 8 = 22 \) bardak kola, \( 30 - 10 = 20 \) bardak portakal suyu, \( 30 - 14 = 16 \) bardak elma suyu içmiştir.

\( K \), \( P \) ve \( E \) kümelerini Venn şeması ile gösterelim ve her üç içecekten de içenlerin sayısına \( x \) diyelim.

Buna göre sadece kola içenlerin sayısı \( 22 - x \), sadece portakal suyu içenlerin sayısı \( 20 - x \), sadece elma suyu içenlerin sayısı ise \( 16 - x \) olur.

Misafirlerin tamamı bir ya da üç içecek içtiğine göre, kümelerin ikili kesişimleri boş küme olur.

Venn şemasındaki sayıların toplamı toplamı misafir sayısını verir.

\( (22 - x) + (20 - x) + (16 - x) + x = 30 \)

\( 58 - 2x = 30 \)

\( x = 14 \) bulunur.

Masa tenisi kursuna katılanların kümesine \( M \), basketbol kursuna katılanların kümesine \( B \), yüzme kursuna katılanların kümesine \( Y \) diyelim.

Bu kümeleri Venn şeması ile gösterelim ve her bölgenin eleman sayısını bir değişken olarak işaretleyelim.

Yüzme kursuna katılanlar başka kursa katılmadıkları için \( Y \) kümesi diğer iki kümeden ayrık bir kümedir.

Soruda basketbol kursuna katılanların sayısının yüzme kursuna katılanların sayısından kaç fazla olduğu, yani \( (c + d) - a \) farkı isteniyor.

Soruda verilen bilgileri değişkenler cinsinden ifade edelim.

Topluluk mevcudu:

\( a + b + c + d = 50 \)

Masa tenisi kursuna katılmayan kişi sayısı:

\( a + d = 21 \)

Basketbol kursuna katılmayan kişi sayısı:

\( a + b = 23 \)

Yalnız bir kursa katılan kişi sayısı:

\( a + b + d = 30 \)

Bu denklemlerden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 14, \quad b = 9, \quad c = 20, \quad d = 7 \)

Buna göre, basketbol kursuna katılanların sayısı yüzme kursuna katılanların sayısından \( (c + d) - a = (20 + 7) - 14 = 13 \) fazladır.

Müzik topluluğundaki toplam üye sayısına 100 kişi diyelim.

Bu durumda klasik müzik çalan 55, çalmayan 45 üye bulunur.

Klasik müzik çalan 55 üye içinde \( 55 \cdot \frac{20}{100} = 11 \) üye klasik müzik sevmemekte, kalan 44 üye sevmektedir.

Klasik müzik çalmayan 45 üye içinde \( 45 \cdot \frac{60}{100} = 27 \) üye klasik müzik sevmemekte, kalan 18 üye sevmektedir.

Buna göre klasik müzik seven toplam \( 44 + 18 = 62 \) üye vardır.

Klasik müzik sevenler içinde klasik müzik çalmayanların oranı:

\( \dfrac{\text{Sevip çalmayanlar}}{\text{Toplam sevenler}} = \dfrac{18}{62} = \dfrac{9}{31} \) bulunur.

Atkı takan çocukların kümesine \( A \), bere takan çocukların kümesine \( B \) diyelim.

Çocukların yarısı atkı takıyor.

\( a + b = \dfrac{a + b + c + d}{2} \)

\( a + b = c + d \)

Atkı takmayanların sayısı bere takmayanların sayısının iki katıdır.

\( c + d = 2(a + d) \)

\( 2a - c + d = 0 \)

Çocukların taktığı atkı ve berelerin toplamı 45 adettir.

\( a + b \) çocuk atkı, \( b + c \) çocuk bere takıyor.

\( a + b + b + c = 45 \)

\( a + 2b + c = 45 \)

Üçüncü denklemin taraflarını iki ile çarpalım.

\( 2a + 4b + 2c = 90 \)

Bu denklemi ikinci denklem ile taraf tarafa toplayalım.

\( (2a - c + d) + (2a + 4b + 2c) = 0 + 90 \)

\( 4a + 4b + c + d = 90 \)

\( a + b = c + d \) eşitliğini kullanalım.

\( 4a + 4b + a + b = 90 \)

\( 5a + 5b = 90 \)

\( a + b = 18 \)

\( a + b = c + d \) eşitliğini kullanalım.

\( a + b = c + d = 18 \)

Tüm çocukların sayısı \( a + b + c + d \) olur.

\( a + b + c + d = 18 + 18 = 36 \) bulunur.

Fotoğrafçılık kulübüne üye olan kişilerin kümesine \( A \), dağcılık kulübüne üye olan kişilerin kümesine \( B \) diyelim.

Fotoğrafçılık kulübüne üye olmayan kişiler, dağcılık kulübüne üye olmayan kişilerin bir alt kümesidir.

\( A' \subseteq B' \)

\( B \) kümesinin tümleyeni \( A \) kümesinin tümleyenini kapsıyorsa \( A \) kümesi \( B \) kümesini kapsar.

\( B \subseteq A \)

Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.

Fotoğrafçılık kulübüne üye olmayan kişi sayısı 28'dir.

\( s(A') = z = 28 \)

Dağcılık kulübüne üye olmayan kişi sayısı 42'dir.

\( s(B') = y + z = 42 \)

\( y = 14 \)

\( s[(A' \cap B')'] = 23 \)

De Morgan kuralını uygulayalım.

\( s(A \cup B) = x + y = 23 \)

\( x = 9 \)

Her iki kulübün üye sayılarının toplamını bulalım.

\( s(A) + s(B) = (9 + 14) + 9 = 32 \) bulunur.

\( A \) ve \( T \) kümelerinin bilinen elemanlarını yazalım.

\( A = \{ 0, 1, 2, 3, 9, \ldots \} \)

\( T = \{ 1, 2, 5, 6, 7, \ldots \} \)

\( A \cap T = \{ 1, 2, 5, 8 \} \) olarak veriliyor. Buna göre \( A \) kümesi \( \{ 5, 8 \} \), \( T \) kümesi \( \{ 8 \} \) elemanını da içerir.

\( A = \{ 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9, \ldots \} \)

\( T = \{ 1, 2, 5, 6, 7, 8, \ldots \} \)

\( s(T) = 6 \) olduğu için \( T \) kümesinin tüm elemanları biliniyor.

\( T = \{ 1, 2, 5, 6, 7, 8 \} \)

\( s(A) = 8 \) olduğu için \( A \) kümesinin bilinmeyen bir elemanı daha vardır.

Öğrenci numaraları rakamlardan oluştuğu için \( A \) kümesinde eksik olan üç rakam 4, 6 ve 7'dir.

6 ve 7 elemanları \( B \) kümesinde bulunduğu için \( A \) kümesinde bulunamaz, aksi takdirde bu elemanlar \( A \cap T \) kümesinin de elemanı olurdu.

Buna göre \( A \) kümesinin eksik olan elemanı 4'tür.

\( A = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 \} \)

Aslı'nın öğrenci numarasında bulunmayan rakamların toplamı \( 6 + 7 = 13 \) olarak bulunur.

Kamera önünde çalışanların kümesine \( A \), kamera arkasında çalışanların kümesine \( B \) diyelim.

Her iki grupta da görev alanların yüzdesine \( x \) diyelim.

Ekipteki toplam kişi sayısı evrensel kümeyi temsil ettiği için %100 değerine karşılık gelir.

Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim ve \( x \) değerini kullanarak her bölgenin en küçük ve en büyük değerlerini ayrı ayrı gösterelim.

\( x \) değer aralığını, her bir bölge için verilen aralığın en küçük ve en büyük değerini ayrı ayrı kullanarak bulmalıyız.

Önce her grup için alt sınır değerlerini (%48, %65, %1) dikkate alalım.

\( (48 - x) + x + (65 - x) + 1 = 100 \)

\( x = 14 \)

Şimdi her grup için üst sınır değerlerini (%53, %68, %3) dikkate alalım.

\( (53 - x) + x + (68 - x) + 3 = 100 \)

\( x = 24 \)

Buna göre her iki grupta da görev alanların yüzdesi için aralık aşağıdaki gibi olur.

\( \%14 \le x \le \%24 \)

Değişiklik öncesinde her iki gruptaki kız ve erkek öğrenci sayılarını gösteren bir tablo oluşturalım.

Birinci gruptaki erkek öğrencilerin sayısına \( x \) diyelim. Bu durumda birinci gruptaki kız öğrencilerin sayısı \( 25 - x \) olur.

İkinci gruptaki erkek öğrencilerin sayısına \( 2y \) diyelim. Bu durumda ikinci gruptaki kız öğrencilerin sayısı \( 23 - 2y \) olur.

Değişiklik sonrasında her iki gruptaki kız ve erkek öğrenci sayılarını gösteren bir tablo oluşturalım.

Birinci grupta kız öğrenci kalmamıştır.

İkinci gruptaki erkek öğrencilerin yarısı (\( y \)) birinci gruba geçmiştür.

Bu değişiklik sonucunda toplam 23 öğrenci grup değiştirmiştir.

\( 25 - x + y = 23 \)

Bu değişiklik sonucunda ikinci gruptaki öğrenci sayısı birinci gruptaki öğrenci sayısının 2 katı oluyor.

\( 48 - x - 2y + y = 2(x + y) \)

\( 48 - x - y = 2x + 2y \)

\( x + y = 16 \)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( 25 + 2y = 23 + 16 \)

\( y = 7 \)

\( x = 9 \)

Buna göre değişiklikten önce birinci gruptaki kız öğrenci sayısı \( 25 - x = 16 \) olarak bulunur.

5A şubesinde 15 kız öğrenci olduğuna göre 30 erkek öğrenci vardır.

5B şubesinde 20 erkek öğrenci olduğuna göre 25 kız öğrenci vardır.

Buna göre şubelerdeki kız/erkek öğrenci sayıları aşağıdaki gibi olur.

5A şubesindeki kızların not ortalaması 40 ise toplam notu \( 40 \times 15 = 600 \) olur.

Tüm kızların not ortalaması 45 ise tüm kızların toplam notu \( 45(15 + 25) = 1800 \) olur.

5B şubesindeki kızların toplam notu \( 1800 - 600 = 1200 \) olur.

5B şubesindeki kızların not ortalamasını hesaplayalım.

\( \dfrac{1200}{25} = 48 \)

5A şubesindeki erkeklerin not ortalaması, 5B şubesindeki kızların not ortalamasının \( \frac{2}{3} \) katıdır.

\( 48 \times \dfrac{2}{3} = 32 \)

5A şubesindeki erkeklerin toplam notunu hesaplayalım.

\( 32 \times 30 = 960 \)

Tüm okulun toplam notunu hesaplayalım.

\( 48 \times 90 = 4320 \)

5B şubesindeki erkeklerin toplam notunu hesaplayalım.

\( 4320 - 1800 - 960 = 1560 \)

5B şubesindeki erkeklerin not ortalamasını hesaplayalım.

\( \dfrac{1560}{20} = 78 \) bulunur.

Özet olarak şubelerdeki kız/erkek öğrencilerinin toplam notları aşağıdaki gibi olur.

A sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına \( a \), B sınıfında okuyan erkek öğrencilerin sayısına \( b \) diyelim.

Verilen bilgileri bir tabloya yerleştirelim.

Soruda A sınıfında okuyan erkek öğrenci sayısı, yani \( a \) değeri isteniyor.

Sütun ve satırdaki toplamlar birbirlerine eşit olmalıdır.

\( b + 30 = a + (a + b) \)

\( a = 15 \)

Buna göre, A sınıfında okuyan 15 erkek öğrenci vardır.

Gözlüksüz kızların sayısına \( x \) diyelim.

Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.

Erkek öğrenciler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.

\( 2x + (38 - x) = 40 \)

\( x + 38 = 40 \)

\( x = 2 \)

Buna göre gözlüklü kız öğrencilerin sayısı \( 24 - 2x = 24 - 2(2) = 20 \) bulunur.

İngiliz erkeklerin sayısına \( x \) diyelim.

Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.

Satır ve sütun toplamlarının toplamı birbirine eşit ve 58 olmalıdır.

Sütun toplamlarının toplamını alalım.

\( (3x + 5) + (3x - 1) = 58 \)

\( 6x + 4 = 58 \)

\( x = 9 \)

Buna göre turist grubundaki kadınların sayısı \( 3x + 5 = 3(9) + 5 = 32 \) olarak bulunur.

Futbol oynayan erkeklerin sayısına \( x \) diyelim.

Verilen bilgileri aşağıdaki tabloya siyah renk ile yerleştirelim ve boş hücreleri kırmızı renk ile dolduralım.

Erkekler sütununu kullanarak \( x \)'i bulalım.

\( (6 + x) + x = 16 \)

\( x = 5 \)

Futbol oynayan kadın sayısını bulalım.

\( 17 - x = 17 - 5 = 12 \) bulunur.

Kasabadaki toplam kadın sayısına \( 7k \), toplam erkek sayısına \( 6k \) diyelim.

Ehliyeti olan erkeklerin sayısını kullanarak ehliyeti olan kadınların sayısını bulalım.

Ehliyeti olan kadınların sayısına \( x \) diyelim.

\( \dfrac{x}{12960} = \dfrac{5}{4} \)

\( x = \dfrac{12960 \cdot 5}{4} = 16200 \)

Toplam kadın ve erkek sayılarından ehliyeti olan kadın ve erkek sayılarını çıkarırsak ehliyeti olmayan kadın ve erkek sayılarını buluruz.

Tüm bilgileri kullanarak bir tablo oluşturalım.

Ehliyeti olmayan kadınların sayısının ehliyeti olmayan erkeklerin sayısına oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

\( \dfrac{7k - 16200}{6k - 12960} = \dfrac{2}{3} \)

\( 21k - 48600 = 12k - 25920 \)

\( 9k = 22680 \)

\( k = 2520 \)

Ehliyeti olmayan kadınların sayısını bulalım.

\( 7k - 16200 = 17640 - 16200 \)

\( = 1440 \) bulunur.

Tercüme bürosunda 9 kişi İngilizce, 7 kişi Almanca, 5 kişi İspanyolca, 4 kişi Fransızca konuşmamaktadır.

Bu kişilerin farklı kişiler olduklarını varsayarsak en az bir dil konuşmayan tercüman sayısı en fazla \( 9 + 7 + 5 + 4 = 25 \) olabilir.

Buna göre dört dili de konuşan tercüman sayısı en az \( 30 - 25 = 5 \) olabilir.

\( 999 - 99 = 900 \) tane üç basamaklı sayı vardır.

Üç basamaklı 900 sayının dörtte biri 4'e tam bölünür.

\( \dfrac{900}{4} = 225 \)

Üç basamaklı 900 sayının beşte biri 5'e tam bölünür.

\( \dfrac{900}{5} = 180 \)

Bu iki kümenin kesişimi, hem 4'e hem 5'e, yani 20'ye tam bölünen 3 basamaklı sayılardır.

Üç basamaklı 900 sayının yirmide biri 20'ye tam bölünür.

\( \dfrac{900}{20} = 45 \)

5 ile bölünen sayılardan 20 ile bölünen sayıları çıkarırsak 5 ile bölündüğü halde 4 ile bölünmeyen sayıları buluruz.

\( 180 - 45 = 135 \) bulunur.

Sadece futbol oynayan öğrenci sayısına \( a \), sadece basketbol oynayan öğrenci sayısına \( c \), ikisini de oynayan öğrenci sayısına \( b \), ikisini de oynamayan öğrenci sayısına \( d \) diyelim.

Soruda verilen bilgileri birer eşitlik olarak yazalım.

\( a + b + c + d = 160 \)

\( a + b = 152 \)

\( b + c = 98 \)

İkinci ve üçüncü eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( a + 2b + c = 250 \)

Sadece futbolu seven öğrenci sayısının aralığını bulmak için alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmamız gerekir.

Yukarıdaki birinci eşitliği dördüncüden taraf tarafa çıkaralım.

\( (a + 2b + c) - (a + b + c + d) = 250 - 160 \)

\( b - d = 90 \)

\( a \)'nın en büyük değerini bulmak için \( d \)'nin en küçük değerini kullanalım.

\( d = 0 \)

\( b - d = b - 0 = 90 \)

\( b = 90 \)

\( a + b = 152 \)

\( a = 62 \)

\( a \)'nın en küçük değerini bulmak için \( d \)'nin en büyük değerini kullanalım.

Yukarıdaki ikinci eşitliği birinciden taraf tarafa çıkaralım.

\( (a + b + c + d) - (a + b) = 160 - 152 \)

\( c + d = 8 \)

\( c = 0 \) olursa \( d \) en büyük değerini alır.

\( d = 8 \)

\( b - d = b - 8 = 90 \)

\( b = 98 \)

\( a + b = 152 \)

\( a = 54 \)

\( a \)'nın değer aralığı aşağıdaki gibi bulunur.

\( a \in [54, 62] \)

Buna göre cevap (b) seçeneğidir.

Siyah, mavi ve kırmızı renkte kaleme sahip öğrencilerin kümesine sırasıyla \( A, B, C \) diyelim.

Bir Venn şeması çizelim ve kesişim kümelerinin eleman sayılarına \( x, y, z, t \) diyelim.

Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A \cap B) - s(B \cap C) - s(A \cap C) + s(A \cap B \cap C) \)

Grupta toplam 25 öğrenci vardır.

\( s(A \cup B \cup C) = 25 \)

Siyah kaleme sahip öğrenci sayısı, mavi kaleme sahip öğrenci sayısı ve kırmızı kaleme sahip öğrenci sayısının toplamı 34'tür.

\( s(A) + s(B) + s(C) = 34 \)

Bu değerleri birleşim kümesi formülünde yerine koyalım.

\( 25 = 34 - (x + t) - (y + t) - (z + t) + t \)

\( x + y + z + 2t = 9 \)

7 öğrencide kalemlerin en az iki farklı rengi vardır.

\( x + y + z + t = 7 \)

İki denklemi taraf tarafa çıkaralım.

\( t = 9 - 7 = 2 \)

Sadece iki farklı renkte kaleme sahip öğrenci sayısı \( x + y + z \) olur.

\( x + y + z + 2 = 7 \)

\( x + y + z = 5 \) bulunur.

Birinci ürünü beğenen katılımcıların kümesine \( A \), ikinci ürünü beğenen katılımcıların kümesine \( B \) diyelim.

Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.

Katılımcıların toplam sayısı 250'dir.

\( a + b + c + d = 250 \)

Birinci ürünü beğenen \( a + b \) kişi, ikinci ürünün beğenen \( b + c \) kişi olduğuna göre, anket sonuçlarındaki "Evet" cevaplarının sayısı \( a + 2b + c \) olur.

Birinci ürünü beğenmeyen \( c + d \) kişi, ikinci ürünü beğenmeyen \( a + d \) kişi olduğuna göre, anket sonuçlarındaki "Hayır" cevaplarının sayısı \( a + c + 2d \) olur.

"Evet" cevaplarının sayısı "Hayır" cevaplarının sayısından 240 fazladır.

\( a + 2b + c = a + c + 2d + 240 \)

\( b = d + 120 \)

En az bir ürünü beğendiğini söyleyen katılımcıların sayısı, en fazla bir ürünü beğendiğini söyleyen katılımcıların sayısının iki katıdır.

\( a + b + c = 2(a + c + d) \)

\( a + b + c = 2a + 2c + 2d \)

\( b = a + c + 2d \)

Eşitliğin taraflarına \( b \) ekleyelim.

\( 2b = a + b + c + 2d \)

\( 2b = (a + b + c + d) + d \)

Katılımcıların toplam sayısı 250'dir.

\( 2b = 250 + d \)

Yukarıda bulduğumuz \( b = d + 120 \) değerini yerine koyalım.

\( 2(d + 120) = 250 + d \)

\( d = 10 \)

\( b = 10 + 120 = 130 \)

Sadece bir ürünü beğenen katılımcıların sayısı \( a + c \) olur.

\( a + b + c + d = 250 \)

\( a + c = 250 - b - d \)

\( = 250 - 130 - 10 = 110 \) bulunur.

\( X \) ve \( Y \) kümelerinin bilinen elemanlarını yazalım.

\( X = \{ k, i, t, a, p, e, r, ç, \ldots \} \)

\( Y = \{ ö, ğ, r, e, n, c, i, t, l, m, \ldots \} \)

\( X \) kümesi 9, \( Y \) kümesi 11 elemanlı olduğuna göre, her iki kümede bilinmeyen birer eleman vardır.

\( X \cap Y \) kümesinin bilinen elemanlarını bulalım.

\( X \cap Y = \{ e, i, r, t, \ldots \} \)

Verilen seçenekleri sırayla inceleyelim.

"Terlik" kelimesinden \( X \cap Y \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "l" ve "k" harfleri kalır.

\( X \) kümesindeki eksik elemanı "l" harfi, \( Y \) kümesindeki eksik elemanı "k" harfi olarak seçtiğimiz durumda bu kelime yazılabilir.

"Kiremit" kelimesinden \( X \cap Y \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "k" ve "m" harfleri kalır.

\( X \) kümesindeki eksik elemanı "m" harfi, \( Y \) kümesindeki eksik elemanı "k" harfi olarak seçtiğimiz durumda bu kelime yazılabilir.

"Retina" kelimesinden \( X \cap Y \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "n" ve "a" harfleri kalır.

\( X \) kümesindeki eksik elemanı "n" harfi, \( Y \) kümesindeki eksik elemanı "a" harfi olarak seçtiğimiz durumda bu kelime yazılabilir.

"Tekerlek" kelimesinden \( X \cap Y \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "k" ve "l" harfleri kalır.

(a) seçeneği için yazdıklarımız bu seçenek için de geçerlidir. Bu kelime de yazılabilir.

"Terazi" kelimesinden \( X \cap Y \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "a" ve "z" harfleri kalır.

\( X \) kümesindeki eksik elemanı "z" harfi olarak seçebiliriz, ancak \( Y \) kümesinde "a" ve "z" harflerinin ikisi de bulunmadığından tek bir elemanı eksik olan \( Y \) kümesine bu iki elemanı birden ekleyemeyiz.

Kesinlikle yazılamayacak seçenek (e) seçeneğidir.

"merak" kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazalım.

\( \{ m, e, r, a, k \} \)

"kameraman" kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazalım.

\( \{ m, e, r, a, k, n \} \)

"ekspresyon" kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazalım.

\( \{ e, r, k, n, s, p, y, o \} \)

"ekspresyon" kelimesinin harflerinden oluşan küme sekiz elemanlıdır, dolayısıyla bu kelime \( A \cup B \) kümesinin elemanlarıyla oluşturulmuş olmalıdır. Aksi takdirde \( A \cap B \) kümesinin sekiz elemanlı olması ve \( A \) ve \( B \) kümelerinin eşit kümeler olması gerekir, bu durumda da "a" ve "m" harflerini içeren "merak" ve "kameraman" kelimeleri yazılamaz.

\( A \cap B = \{ m, e, r, a, k, n \} \)

Kümeler sekiz elemanlı olduğuna göre, \( A \) kümesinde \( A \cap B \) kümesi dışında farklı iki harf daha olmalıdır.

\( A = \{ m, e, r, a, k, n, ?, ? \} \)

Soruda verilen kelimeleri inceleyelim.

"karmaşık" kelimesinden \( A \cap B \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "ş" ve "ı" olmak üzere iki harf kalır, dolayısıyla \( A \) kümesi ile bu kelime yazılabilir.

"karnaval" kelimesinden \( A \cap B \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "v" ve "l" olmak üzere iki harf kalır, dolayısıyla \( A \) kümesi ile bu kelime yazılabilir.

"kışkırtma" kelimesinden \( A \cap B \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "ı", "ş" ve "t" olmak üzere üç harf kalır, dolayısıyla \( A \) kümesi ile bu kelime yazılamaz.

"karnıyarık" kelimesinden \( A \cap B \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "y" ve "ı" olmak üzere iki harf kalır, dolayısıyla \( A \) kümesi ile bu kelime yazılabilir.

"karanlık" kelimesinden \( A \cap B \) kümesinin elemanlarını elediğimizde geriye "l" ve "ı" olmak üzere iki harf kalır, dolayısıyla \( A \) kümesi ile bu kelime yazılabilir.

Doğru cevap (c) seçeneğidir.

Wordle oynayanların kümesine \( W \), Sudoku oynayanların kümesine \( S \) diyelim.

Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.

Gruptaki toplam kişi sayısına \( x \) diyelim.

Verilen bilgileri denklem haline getirelim.

\( a + b + c + d = x \)

\( a + b = \dfrac{70x}{100} = \dfrac{7x}{10} \)

\( b + c = \dfrac{50x}{100} = \dfrac{x}{2} \)

\( b = 14 \) olarak veriliyor.

\( a + 14 = \dfrac{7x}{10} \)

\( a = \dfrac{7x}{10} - 14 \)

\( 14 + c = \dfrac{x}{2} \)

\( c = \dfrac{x}{2} - 14 \)

\( a, b, c \) değerlerini ilk denklemde yerine koyalım.

\( a + b + c + d = x \)

\( \dfrac{7x}{10} - 14 + 14 + \dfrac{x}{2} - 14 + d = x \)

\( d = 14 - \dfrac{x}{5} \)

Soruda \( d \)'nin en büyük değeri istenmektedir.

\( d \) değerinin en büyük çıkması için \( x \) değeri en küçük olmalıdır. Ayrıca \( x \)'e bağlı \( a, b, c \) değerleri tam sayı olmalı ve negatif olmamalıdır.

\( x \)'e bağlı \( \frac{7x}{10} \), \( \frac{x}{2} \) ve \( \frac{x}{5} \) ifadelerinin tümünü tam sayı yapacak şekilde \( x = 10k \) diyelim.

\( a = \dfrac{7x}{10} - 14 = 7k - 14 \)

\( c = \dfrac{x}{2} - 14 = 5k - 14 \)

\( d = 14 - \dfrac{x}{5} = 14 - 2k \)

\( a \) ve \( c \)'yi negatif yapmayan değerler içinde \( k \)'nın en küçük değeri \( k = 3 \) olur.

\( d = 14 - 2k \)

\( = 14 - 2(3) = 8 \) bulunur.

Glütensiz yemek sipariş eden müşterilerin kümesine \( G \), vegan yemek sipariş eden müşterilerin kümesine \( V \) diyelim.

Eve servis isteyen müşterilerin kümesine \( E \), restoranda yiyen müşterilerin kümesine \( R \) diyelim.

Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.

Sadece vegan yemek sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayısına \( x \), sadece glütensiz yemek sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayısına \( y \), sadece vegan yemek sipariş edip restoranda yiyen müşteri sayısına \( a \) diyelim.

Vegan yemek sipariş edip restoranda yiyen ve sadece vegan yemek sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayıları birbirine eşittir.

Buna göre iki yemekten de sipariş edip restoranda yiyen müşteri sayısı \( x - a \) olur.

Glütensiz yemek sipariş edip eve servis isteyen ve sadece vegan yemek sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayıları birbirine eşittir.

Buna göre iki yemekten de sipariş edip eve servis isteyen müşteri sayısı \( x - y \) olur.

Sadece glütensiz yemek sipariş edip restoranda yiyen müşteri sayısına \( b \) diyelim.

Restoranda yiyen müşteri sayısı, eve servis isteyen müşteri sayısının iki katıdır.

\( b + x - a + a = 2(y + x - y + x) \)

\( b + x = 4x \)

\( b = 3x \)

Soruda verilen diğer bilgileri sırasıyla denklem halinde yazalım.

Glütensiz yemek sipariş eden müşteri sayısının üç katı, vegan yemek sipariş eden müşteri sayısının beş katından 18 fazladır.

\( 3(5x - a) = 5(3x - y) + 18 \)

\( 15x - 3a = 15x - 5y + 18 \)

\( 5y = 3a + 18 \)

İki yemekten de sipariş eden müşteri sayısı 10'dur.

\( (x - a) + (x - y) = 10 \)

\( 2x - a - y = 10 \)

Glütensiz yemek sipariş edip restoranda yiyen müşteri sayısı 36'dır.

\( 4x - a = 36 \)

\( a = 4x - 36 \)

Son denklemde bulduğumuz \( a \) değerini birinci denklemde yerine yazalım.

\( 5y = 3a + 18 \)

\( 5y = 3(4x - 36) + 18 \)

\( 5y = 12x - 108 + 18 \)

\( 12x - 5y = 90 \)

Aynı \( a \) değerini ikinci denklemde yerine yazalım.

\( 2x - a - y = 10 \)

\( 2x - (4x - 36) - y = 10 \)

\( 2x + y = 26 \)

İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( x = 10, \quad y = 6 \)

Bulduğumuz \( x \) değerini kullanarak \( a \) değerini bulalım.

\( a = 4x - 36 \)

\( = 4(10) - 36 = 4 \)

Bulduğumuz değerleri Venn şemasında yerlerine yerleştirelim.

Sipariş edilen glutensiz yemeklerin sayısını bulalım.

\( 30 + 6 + 6 + 4 = 46 \)

Sipariş edilen vegan yemeklerin sayısını bulalım.

\( 4 + 10 + 6 + 4 = 24 \)

Sipariş edilen toplam yemek sayısını bulalım.

\( 46 + 24 = 70 \) bulunur.

1. Yöntem:

Tüm yemekleri yapmayı başaran yarışmacı sayısının en az olduğu durum, her bir yemeği yapamayan yarışmacıların tümünün farklı kişiler olduğu durumdur.

İlk yemeği yapamayan 8, ikinci yemeği yapamayan 12, üçüncü yemeği yapamayan 17 yarışmacı vardır.

Bu durumda en az bir yemeği yapamayan yarışmacı sayısı en fazla \( 8 + 12 + 17 = 37 \) olabilir.

Buna göre tüm yemekleri yapmayı başaran yarışmacı sayısı en az \( 50 - 37 = 13 \) olabilir.

2. Yöntem:

Yukarıdaki çözümü cebirsel olarak gösterelim.

Her bir yemeği yapabilen yarışmacıların kümesine sırasıyla \( A, B, C \) diyelim.

Bu kümeleri bir Venn şemasında gösterelim.

Buna göre mavi renkteki bölgeler sadece bir yemeği yapabilen yarışmacılara, turuncu renkteki bölgeler sadece iki yemeği yapabilen yarışmacılara, yeşil renkteki bölge ise üç yemeği de yapabilen yarışmacılara karşılık gelir.

Toplam 50 yarışmacı vardır.

\( a + b + c + d + e + f + g + h = 50 \)

İlk yemeği yapabilen 42 yarışmacı vardır.

\( a + d + e + g = 42 \)

İkinci yemeği yapabilen 38 yarışmacı vardır.

\( b + d + f + g = 38 \)

Üçüncü yemeği yapabilen 33 yarışmacı vardır.

\( c + e + f + g = 33 \)

Üç denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( a + b + c + 2d + 2e + 2f + 3g = 113 \)

Toplam yarışmacı sayısı eşitliğini 2 ile çarpıp bu denklemden çıkaralım.

\( 2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 2f + 2g + 2h = 100 \)

\( -a - b - c + g - 2h = 113 - 100 \)

\( g = 13 + (a + b + c + 2h) \)

Tüm yemekleri yapmayı başaran yarışmacı sayısı (\( g \)), en küçük değerini \( a, b, c, h \) değerleri sıfır olduğunda alır.

\( g = 13 \) bulunur.