Bir \( A \) kümesinin kendisi ve boş küme dahil tüm alt kümelerini içeren kümeye kuvvet kümesi denir ve \( P(A) \) şeklinde gösterilir.
Dikkat edilirse; \( P(A) \) kümesinin elemanları \( A \) kümesinin elemanlarından değil, \( A \) kümesinin alt kümelerinden oluşur.
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
İki kümenin kesişiminin kuvvet kümesi, kümelerin kuvvet kümelerinin kesişimine eşittir.
İki kümenin kuvvet kümelerinin birleşimi, kümelerin birleşiminin kuvvet kümesinin alt kümesidir. Bu ilişki ters yönlü olarak her zaman doğru olmadığı için iki küme birbirine eşit değildir.
SORU 1:
Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( P(\{2, 3\}) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\} \)
II. \( P(\emptyset) = \emptyset \)
III. \( P(2) = \{ \emptyset, \{2\} \} \)
IV. \( P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \)
Çözümü Göster
I. öncülü inceleyelim.
\( P(\{2, 3\}) \), iki elemanlı \( \{2, 3\} \) kümesinin tüm alt kümelerinin kümesidir.
Verilen küme bu kümenin tüm alt kümelerini listelediği için I. öncül doğrudur.
II. öncülü inceleyelim.
\( P(\emptyset) \) kümesi boş kümenin alt kümelerinin kümesidir. Boş küme tüm kümelerin bir alt kümesi olduğu için boş kümenin de alt kümesidir.
Buna göre \( P(\emptyset) = \{\emptyset\} \) olur, II. öncül yanlıştır.
III. öncülü inceleyelim.
\( P(2) \) ifadesinde parantez içindeki 2 bir küme değil bir sayıdır ve bir sayının alt kümelerinden bahsedilemez. III. öncül yanlıştır.
IV. öncülü inceleyelim.
\( P(\{\emptyset\}) \) ifadesi bir elemanlı \( \{\emptyset\} \) kümesinin tüm alt kümelerinin kümesidir.
\( P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \) olduğu için IV. öncül doğrudur.
Buna göre I. ve IV. öncüller doğrudur.
SORU 2:
\( A = \{\{1\}, 2, \{3, 4\}\} \)
\( B = \{3, 4\} \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(A) \) ve \( P(B) \) olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \{1\} \in P(A) \)
II. \( \{\{3, 4\}\} \in P(B) \)
III. \( \{2, \{3, 4\}\} \in P(A) \)
IV. \( (\{\{1\}\}, \{\emptyset\}) \in P(A) \times P(B) \)
Çözümü Göster
Öncelikle \( P(A) \) ve \( P(B) \) kümelerini yazalım.
\( P(A) = \{\emptyset, \{\{1\}\}, \{2\}, \{\{3, 4\}\}, \{\{1\}, 2\}, \{\{1\}, \{3, 4\}\}, \{2, \{3, 4\}\}, \{\{1\}, 2, \{3, 4\}\}\} \)
\( P(B) = \{\emptyset, \{3\}, \{4\}, \{3, 4\}\} \)
Yukarıda yazdığımız kümelere göre öncüllerin doğruluğunu kontrol edelim.
\( \{1\} \in A \) ve \( \{\{1\}\} \in P(A) \) olduğundan I. öncül yanlıştır.
\( 3, 4 \in B \) ve \( \{3, 4\} \in P(B) \) olduğundan II. öncül yanlıştır.
\( 2, \{3, 4\} \in A \) olduğundan III. öncül doğrudur.
\( (a, b) \in P(A) \times P(B) \) olabilmesi için \( a \in P(A) \) ve \( b \in P(B) \) olmalıdır.
\( \{\{1\}\} \in P(A) \), ancak \( \{\emptyset\} \not\in P(B) \) olduğu için IV. öncül yanlıştır. Sıralı ikilinin ikinci bileşeni \( \emptyset \in P(B) \) olsaydı bu öncül doğru olurdu.
Buna göre sadece III. öncül doğrudur.
SORU 3:
\( A = \{a\} \) olmak üzere,
\( P(A) \) ve \( P(P(A)) \) kümelerini bulunuz.
Çözümü Göster
Soruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesi ve kuvvet kümesinin kuvvet kümesi istenmektedir.
\( A \) kümesinin \( 1 \) elemanı vardır.
Önce \( A \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(A) \) kümesini bulalım.
\( P(A) \) kümesinin \( 2^1 = 2 \) elemanı vardır.
\( P(A) = \{\emptyset, \{a\}\} \)
Şimdi \( P(A) \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(P(A)) \) kümesini bulalım.
\( P(P(A)) \) kümesinin \( 2^2 = 4 \) elemanı vardır.
\( P(P(A)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( P(P(A)) \) kümesinin elemanlarını okuma kolaylığı açısından satır satır listeleyelim.
Boş küme:
(1) \( \emptyset \)
1 elemanlı alt kümeler:
(2) \( \{\emptyset\} \)
(3) \( \{\{a\}\} \)
2 elemanlı alt küme:
(4) \( \{\emptyset, \{a\}\} \)
SORU 4:
\( A = \{a\} \) olmak üzere,
\( P(P(P(A))) \) kümesini bulunuz.
Çözümü Göster
Soruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesi istenmektedir.
Önceki soruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( P(P(A)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( P(P(A)) \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(P(P(A))) \) kümesini bulalım.
\( P(P(P(A))) \) kümesinin \( 2^4 = 16 \) elemanı vardır.
\( P(P(P(A))) \) kümesinin elemanlarını okuma kolaylığı açısından satır satır listeleyelim.
Boş küme:
(1) \( \emptyset \)
1 elemanlı alt kümeler:
(2) \( \{\emptyset\} \)
(3) \( \{\{\emptyset\}\} \)
(4) \( \{\{\{a\}\}\} \)
(5) \( \{\{\emptyset, \{a\}\}\} \)
2 elemanlı alt kümeler:
(6) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \)
(7) \( \{\emptyset, \{\{a\}\}\} \)
(8) \( \{\emptyset, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(9) \( \{\{\emptyset\}, \{\{a\}\}\} \)
(10) \( \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(11) \( \{\{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
3 elemanlı alt kümeler:
(12) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}\} \)
(13) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(14) \( \{\emptyset, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(15) \( \{\{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
4 elemanlı alt küme:
(16) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
SORU 5:
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2\} \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(A) \) ve \( P(B) \) olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( s(P(A)) = 8 \)
II. \( s(P(B)) = 4 \)
III. \( s(P(A) \times P(B)) = 6 \)
Çözümü Göster
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( s(P(A)) = 2^3 = 8 \)
\( s(P(B)) = 2^2 = 4 \)
İki kümenin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s(P(A) \times P(B)) = s(P(A)) \cdot s(P(B)) = 8 \cdot 4 = 32 \)
Buna göre I. ve II. öncüller doğru, III. öncül yanlıştır.
SORU 6:
\( A = \{\text{21560'ın asal çarpanları}\} \)
\( B = \{\text{30 sayısının pozitif bölenleri}\} \)
\( C = \{\text{"DERSPRESSO" kelimesindeki harfler}\} \)
Yukarıdaki kümelerin kuvvet kümelerinin eleman sayılarını bulunuz.
Çözümü Göster
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( A = \{2, 5, 7, 11\} \)
\( s(A) = 4, \quad s(P(A)) = 2^4 \)
\( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \)
\( s(B) = 8, \quad s(P(B)) = 2^8 \)
\( C = \{D, E, R, S, P, O\} \)
\( s(C) = 6, \quad s(P(C)) = 2^6 \)
SORU 7:
Kuvvet kümesinin alt küme sayısı \( 4^8 \) olan kümenin öz alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır. \( 2^n \) elemanlı böyle bir kuvvet kümesinin alt küme sayısı \( 2^{(2^n)} \) olur.
\( 2^{(2^n)} = 4^8 = 2^{16} \)
\( 2^n = 16 \)
\( n = 4 \)
Eleman sayısı 4 olan bu kümenin öz alt küme sayısı \( 2^4 - 1 = 15 \) olur.
SORU 8:
\( X = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( Y = \{5, 6, 7\} \)
\( X \) ve \( Y \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(X) \) ve \( P(Y) \) olmak üzere,
(a) \( P(X) \)'ten \( P(Y) \)'ye kaç farklı bağıntı tanımlanabilir?
(b) \( P(X) \)'ten \( P(Y) \)'ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
Çözümü Göster
\( s(X) = 4, \quad s(P(X)) = 2^4 = 16 \)
\( s(Y) = 3, \quad s(P(Y)) = 2^3 = 8 \)
(a) seçeneği:
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek bağıntı sayısı, \( A \times B \) kartezyen çarpım kümesinin alt küme sayısına eşittir.
\( A \)'dan \( B \)'ye bağıntı sayısı \( = 2^{s(A \times B)} = 2^{s(A) \cdot s(B)} \)
\( s(P(X) \times P(Y)) = 16 \cdot 8 = 128 \)
128 elemanlı \( P(X) \times P(Y) \) kartezyen çarpım kümesinin her bir alt kümesi bir bağıntıdır.
\( P(X) \to P(Y) \) bağıntı sayısı \( = 2^{128} \)
(b) seçeneği:
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( s(A) = n, \quad s(B) = k \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye fonksiyon sayısı \( = k^n \)
\( P(X) \to P(Y) \) fonksiyon sayısı \( = 8^{16} \)
SORU 9:
\( s(A) = m \) ve \( s(B) = n \) olduğuna göre, aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz.
I. \( P(P(P(\emptyset))) \)
II. \( P(P(A)) \)
III. \( P(A \times B) \)
IV. \( P(P(A) \times P(B)) \)
V. \( P(A \times P(B)) \)
VI. \( P(P(A) \times \emptyset) \)
Çözümü Göster
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
İki kümenin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
I. \( P(P(P(\emptyset))) \)
\( s(\emptyset) = 0 \)
\( s(P(\emptyset)) = 2^0 = 1 \)
\( s(P(P(\emptyset))) = 2^1 = 2 \)
\( s(P(P(P(\emptyset)))) = 2^2 = 4 \)
II. \( P(P(A)) \)
\( s(A) = m \)
\( s(P(A)) = 2^{s(A)} = 2^m \)
\( s(P(P(A))) = 2^{(2^m)} \)
III. \( P(A \times B) \)
\( s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = m \cdot n \)
\( s(P(A \times B)) = 2^{m \cdot n} \)
\( s(P(P(A \times B))) = 2^{(2^{m \cdot n})} \)
IV. \( P(P(A) \times P(B)) \)
\( s(P(A)) = 2^{s(A)} = 2^m \)
\( s(P(B)) = 2^{s(B)} = 2^n \)
\( s(P(A) \times P(B)) = s(P(A)) \cdot s(P(B)) \)
\( = 2^m \cdot 2^n = 2^{m+n} \)
\( s(P(P(A) \times P(B))) = 2^{(2^{m+n})} \)
V. \( P(A \times P(B)) \)
\( s(A \times P(B)) = s(A) \cdot s(P(B)) \)
\( = m \cdot 2^{s(P(B))} = m \cdot 2^n \)
\( s(P(A \times P(B))) = 2^{m \cdot 2^n} \)
VI. \( P(P(A) \times \emptyset) \)
\( s(P(A) \times \emptyset) = s(P(A)) \cdot s(\emptyset) \)
\( = 2^{s(P(A))} \cdot 0 = 2^m \cdot 0 = 0 \)
\( s(P(P(A) \times \emptyset)) = 2^0 = 1 \)