Bir \( A \) kümesinin kendisi ve boş küme dahil tüm alt kümelerini içeren kümeye kuvvet kümesi denir ve \( P(A) \) ya da \( \mathcal{P}(A) \) şeklinde gösterilir.
\( P(A) = \{X \mid X \subseteq A\} \)
\( A = \{1\} \)
\( P(A) = \{\emptyset, \{1\}\} \)
\( B = \{x, y\} \)
\( P(B) = \{\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\} \)
\( C = \{a, b, c\} \)
\( P(C) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \) \( \{a, c\}, \{b, c\}, \) \( \{a, b, c\}\} \)
Dikkat edilirse; \( P(A) \) kümesinin elemanları \( A \) kümesinin elemanlarından değil, \( A \) kümesinin alt kümelerinden oluşur.
\( X \subseteq A \Leftrightarrow X \in P(A) \)
Yukarıdaki örnekteki \( C \) kümesi için:
\( \{a, b\} \subseteq C \)
\( \{a, b\} \in P(C) \)
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( s(A) = n \) ise,
\( s(P(A)) = 2^n \)
\( A = \{a, b, c\} \) ise,
\( s(A) = 3 \)
\( s(P(A)) = 2^3 = 8 \)
\( s(P(P(A))) = 2^8 = 256 \)
İki kümenin kesişiminin kuvvet kümesi, kümelerin kuvvet kümelerinin kesişimine eşittir.
\( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \)
\( A \) ve \( B \) olmak üzere iki küme tanımlayalım.
\( X \) iki kümenin kesişiminin kuvvet kümesinin bir elemanı olsun.
\( X \in P(A \cap B) \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, \( X \) kesişim kümesinin bir alt kümesi olur.
\( \Leftrightarrow X \subseteq A \cap B \)
Kesişim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin kesişiminin alt kümesi ise iki kümenin ayrı ayrı alt kümesidir.
\( \Leftrightarrow X \subseteq A \land X \subseteq B \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, bir küme bir diğer kümenin alt kümesi ise kuvvet kümesinin elemanı olur.
\( \Leftrightarrow X \in P(A) \land X \in P(B) \)
Kesişim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin ayrı ayrı alt kümesi ise kesişimlerinin de alt kümesidir.
\( \Leftrightarrow X \in P(A) \cap P(B) \)
Buna göre aşağıdaki iki küme eşittir.
\( P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) \)
İki kümenin kuvvet kümelerinin birleşimi, kümelerin birleşiminin kuvvet kümesinin alt kümesidir. Bu ilişki ters yönlü olarak her zaman doğru olmadığı için iki küme birbirine eşit değildir.
\( P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cup B) \)
\( A \) ve \( B \) olmak üzere iki küme tanımlayalım.
\( X \) iki kümenin kuvvet kümelerinin birleşiminin bir alt kümesi olsun.
\( X \in P(A) \cup P(B) \)
Birleşim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin birleşim kümesinin elemanı ise birinci kümenin veya ikinci kümenin elemanıdır.
\( X \in P(A) \lor X \in P(B) \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, bir küme bir kümenin kuvvet kümesinin elemanı ise o kümenin alt kümesi olur.
\( X \subseteq A \lor X \subseteq B \)
Birleşim kümesi tanımına göre, bir küme iki kümenin ayrı ayrı alt kümesi ise kümelerin birleşim kümesinin kuvvet kümesinin elemanıdır.
\( X \subseteq A \cup B \)
Kuvvet kümesi tanımına göre, bir küme bir kümenin alt kümesi ise o kümenin kuvvet kümesinin elemanı olur.
\( X \in P(A \cup B) \)
Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( P(\{2, 3\}) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\} \)
II. \( P(\emptyset) = \emptyset \)
III. \( P(2) = \{ \emptyset, \{2\} \} \)
IV. \( P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \)
I. öncülü inceleyelim.
\( P(\{2, 3\}) \), iki elemanlı \( \{2, 3\} \) kümesinin tüm alt kümelerinin kümesidir.
Verilen küme bu kümenin tüm alt kümelerini listelediği için I. öncül doğrudur.
II. öncülü inceleyelim.
\( P(\emptyset) \) kümesi boş kümenin alt kümelerinin kümesidir. Boş küme tüm kümelerin bir alt kümesi olduğu için boş kümenin de alt kümesidir.
Buna göre \( P(\emptyset) = \{\emptyset\} \) olur, II. öncül yanlıştır.
III. öncülü inceleyelim.
\( P(2) \) ifadesinde parantez içindeki 2 bir küme değil bir sayıdır ve bir sayının alt kümelerinden bahsedilemez. III. öncül yanlıştır.
IV. öncülü inceleyelim.
\( P(\{\emptyset\}) \) ifadesi bir elemanlı \( \{\emptyset\} \) kümesinin tüm alt kümelerinin kümesidir.
\( P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \) olduğu için IV. öncül doğrudur.
Buna göre I. ve IV. öncüller doğrudur.
\( A = \{\{1\}, 2, \{3, 4\}\} \)
\( B = \{3, 4\} \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(A) \) ve \( P(B) \) olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( \{1\} \in P(A) \)
II. \( \{\{3, 4\}\} \in P(B) \)
III. \( \{2, \{3, 4\}\} \in P(A) \)
IV. \( (\{\{1\}\}, \{\emptyset\}) \in P(A) \times P(B) \)
Öncelikle \( P(A) \) ve \( P(B) \) kümelerini yazalım.
\( P(A) = \{\emptyset, \{\{1\}\}, \{2\}, \{\{3, 4\}\}, \{\{1\}, 2\}, \{\{1\}, \{3, 4\}\}, \{2, \{3, 4\}\}, \{\{1\}, 2, \{3, 4\}\}\} \)
\( P(B) = \{\emptyset, \{3\}, \{4\}, \{3, 4\}\} \)
Yukarıda yazdığımız kümelere göre öncüllerin doğruluğunu kontrol edelim.
\( \{1\} \in A \) ve \( \{\{1\}\} \in P(A) \) olduğundan I. öncül yanlıştır.
\( 3, 4 \in B \) ve \( \{3, 4\} \in P(B) \) olduğundan II. öncül yanlıştır.
\( 2, \{3, 4\} \in A \) olduğundan III. öncül doğrudur.
\( (a, b) \in P(A) \times P(B) \) olabilmesi için \( a \in P(A) \) ve \( b \in P(B) \) olmalıdır.
\( \{\{1\}\} \in P(A) \), ancak \( \{\emptyset\} \not\in P(B) \) olduğu için IV. öncül yanlıştır. Sıralı ikilinin ikinci bileşeni \( \emptyset \in P(B) \) olsaydı bu öncül doğru olurdu.
Buna göre sadece III. öncül doğrudur.
\( A = \{a\} \) olmak üzere,
\( P(A) \) ve \( P(P(A)) \) kümelerini bulunuz.
Soruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesi ve kuvvet kümesinin kuvvet kümesi istenmektedir.
\( A \) kümesinin \( 1 \) elemanı vardır.
Önce \( A \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(A) \) kümesini bulalım.
\( P(A) \) kümesinin \( 2^1 = 2 \) elemanı vardır.
\( P(A) = \{\emptyset, \{a\}\} \)
Şimdi \( P(A) \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(P(A)) \) kümesini bulalım.
\( P(P(A)) \) kümesinin \( 2^2 = 4 \) elemanı vardır.
\( P(P(A)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( P(P(A)) \) kümesinin elemanlarını okuma kolaylığı açısından satır satır listeleyelim.
Boş küme:
(1) \( \emptyset \)
1 elemanlı alt kümeler:
(2) \( \{\emptyset\} \)
(3) \( \{\{a\}\} \)
2 elemanlı alt küme:
(4) \( \{\emptyset, \{a\}\} \)
\( A = \{a\} \) olmak üzere,
\( P(P(P(A))) \) kümesini bulunuz.
Soruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesi istenmektedir.
Önceki soruda \( A \) kümesinin kuvvet kümesinin kuvvet kümesini aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( P(P(A)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( P(P(A)) \) kümesinin kuvvet kümesi olan \( P(P(P(A))) \) kümesini bulalım.
\( P(P(P(A))) \) kümesinin \( 2^4 = 16 \) elemanı vardır.
\( P(P(P(A))) \) kümesinin elemanlarını okuma kolaylığı açısından satır satır listeleyelim.
Boş küme:
(1) \( \emptyset \)
1 elemanlı alt kümeler:
(2) \( \{\emptyset\} \)
(3) \( \{\{\emptyset\}\} \)
(4) \( \{\{\{a\}\}\} \)
(5) \( \{\{\emptyset, \{a\}\}\} \)
2 elemanlı alt kümeler:
(6) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \)
(7) \( \{\emptyset, \{\{a\}\}\} \)
(8) \( \{\emptyset, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(9) \( \{\{\emptyset\}, \{\{a\}\}\} \)
(10) \( \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(11) \( \{\{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
3 elemanlı alt kümeler:
(12) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}\} \)
(13) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(14) \( \{\emptyset, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
(15) \( \{\{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
4 elemanlı alt küme:
(16) \( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}\} \)
\( A = \{a, b, c\} \)
\( B = \{1, 2\} \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(A) \) ve \( P(B) \) olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( s(P(A)) = 8 \)
II. \( s(P(B)) = 4 \)
III. \( s(P(A) \times P(B)) = 6 \)
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( s(P(A)) = 2^3 = 8 \)
\( s(P(B)) = 2^2 = 4 \)
İki kümenin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
\( s(P(A) \times P(B)) = s(P(A)) \cdot s(P(B)) = 8 \cdot 4 = 32 \)
Buna göre I. ve II. öncüller doğru, III. öncül yanlıştır.
\( A = \{\text{21560'ın asal çarpanları}\} \)
\( B = \{\text{30 sayısının pozitif bölenleri}\} \)
\( C = \{\text{"DERSPRESSO" kelimesindeki harfler}\} \)
Yukarıdaki kümelerin kuvvet kümelerinin eleman sayılarını bulunuz.
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
\( A = \{2, 5, 7, 11\} \)
\( s(A) = 4, \quad s(P(A)) = 2^4 \)
\( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \)
\( B = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \)
\( s(B) = 8, \quad s(P(B)) = 2^8 \)
\( C = \{D, E, R, S, P, O\} \)
\( s(C) = 6, \quad s(P(C)) = 2^6 \)
Kuvvet kümesinin alt küme sayısı \( 4^8 \) olan kümenin öz alt küme sayısı kaçtır?
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır. \( 2^n \) elemanlı böyle bir kuvvet kümesinin alt küme sayısı \( 2^{(2^n)} \) olur.
\( 2^{(2^n)} = 4^8 = 2^{16} \)
\( 2^n = 16 \)
\( n = 4 \)
Eleman sayısı 4 olan bu kümenin öz alt küme sayısı \( 2^4 - 1 = 15 \) olur.
\( X = \{1, 2, 3, 4\} \)
\( Y = \{5, 6, 7\} \)
\( X \) ve \( Y \) kümelerinin kuvvet kümeleri sırasıyla \( P(X) \) ve \( P(Y) \) olmak üzere,
(a) \( P(X) \)'ten \( P(Y) \)'ye kaç farklı bağıntı tanımlanabilir?
(b) \( P(X) \)'ten \( P(Y) \)'ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabilir?
\( s(X) = 4, \quad s(P(X)) = 2^4 = 16 \)
\( s(Y) = 3, \quad s(P(Y)) = 2^3 = 8 \)
(a) seçeneği:
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek bağıntı sayısı, \( A \times B \) kartezyen çarpım kümesinin alt küme sayısına eşittir.
\( A \)'dan \( B \)'ye bağıntı sayısı \( = 2^{s(A \times B)} = 2^{s(A) \cdot s(B)} \)
\( s(P(X) \times P(Y)) = 16 \cdot 8 = 128 \)
128 elemanlı \( P(X) \times P(Y) \) kartezyen çarpım kümesinin her bir alt kümesi bir bağıntıdır.
\( P(X) \to P(Y) \) bağıntı sayısı \( = 2^{128} \)
(b) seçeneği:
\( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanabilecek fonksiyon sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( s(A) = n, \quad s(B) = k \) olmak üzere,
\( A \)'dan \( B \)'ye fonksiyon sayısı \( = k^n \)
\( P(X) \to P(Y) \) fonksiyon sayısı \( = 8^{16} \)
\( s(A) = m \) ve \( s(B) = n \) olduğuna göre, aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz.
(a) \( P(P(P(\emptyset))) \)
(b) \( P(P(A)) \)
(c) \( P(A \times B) \)
(d) \( P(P(A) \times P(B)) \)
(e) \( P(A \times P(B)) \)
(f) \( P(P(A) \times \emptyset) \)
\( n \) elemanlı bir kümenin alt küme sayısı \( 2^n \) olduğu için kuvvet kümesi de \( 2^n \) elemanlıdır.
İki kümenin kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
(a) seçeneği:
\( P(P(P(\emptyset))) \)
\( s(\emptyset) = 0 \)
\( s(P(\emptyset)) = 2^0 = 1 \)
\( s(P(P(\emptyset))) = 2^1 = 2 \)
\( s(P(P(P(\emptyset)))) = 2^2 = 4 \)
(b) seçeneği:
\( P(P(A)) \)
\( s(A) = m \)
\( s(P(A)) = 2^{s(A)} = 2^m \)
\( s(P(P(A))) = 2^{(2^m)} \)
(c) seçeneği:
\( P(A \times B) \)
\( s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = m \cdot n \)
\( s(P(A \times B)) = 2^{m \cdot n} \)
\( s(P(P(A \times B))) = 2^{(2^{m \cdot n})} \)
(d) seçeneği:
\( P(P(A) \times P(B)) \)
\( s(P(A)) = 2^{s(A)} = 2^m \)
\( s(P(B)) = 2^{s(B)} = 2^n \)
\( s(P(A) \times P(B)) = s(P(A)) \cdot s(P(B)) \)
\( = 2^m \cdot 2^n = 2^{m+n} \)
\( s(P(P(A) \times P(B))) = 2^{(2^{m+n})} \)
(e) seçeneği:
\( P(A \times P(B)) \)
\( s(A \times P(B)) = s(A) \cdot s(P(B)) \)
\( = m \cdot 2^{s(P(B))} = m \cdot 2^n \)
\( s(P(A \times P(B))) = 2^{m \cdot 2^n} \)
(f) seçeneği:
\( P(P(A) \times \emptyset) \)
\( s(P(A) \times \emptyset) = s(P(A)) \cdot s(\emptyset) \)
\( = 2^{s(P(A))} \cdot 0 = 2^m \cdot 0 = 0 \)
\( s(P(P(A) \times \emptyset)) = 2^0 = 1 \)