Bu bölümde bileşik önermelerle ilgili iki kural setinden bahsedeceğiz.
De Morgan kurallarının birincisine göre; bir "ve" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "veya" bileşik önermesine denktir.
\( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)
\( (p \land q \land r)' \equiv p' \lor q' \lor r' \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \land q \) | \( (p \land q)' \) | \( p' \) | \( q' \) | \( p' \lor q' \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
De Morgan kurallarının ikincisine göre; bir "veya" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "ve" bileşik önermesine denktir.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
\( (p \lor q \lor r)' \equiv p' \land q' \land r' \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( (p \lor q)' \) | \( p' \) | \( q' \) | \( p' \land q' \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Birinci absorbe kuralı aşağıdaki gibidir.
\( p \land (p \lor q) \equiv p \)
İspat 1:
\( p \lor 0 \equiv p \) özdeşliğini kullanalım.
\( p \land (p \lor q) \equiv (p \lor 0) \land (p \lor q) \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv p \lor (0 \land q) \)
\( \equiv p \lor 0 \)
\( \equiv p \)
İspat 2:
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( p \land (p \lor q) \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
Birinci absorbe kuralını sözel olarak ifade etmek gerekirse, \( p \) doğru ise parantez içindeki "veya" önermesi, dolayısıyla tüm önerme doğru olur. \( p \) yanlış ise parantez içindeki önermenin doğruluk değerinden bağımsız olarak tüm önerme yanlış olur. Her iki durumda da sonuç \( p \)'ye eşit olur.
İkinci absorbe kuralı aşağıdaki gibidir.
\( p \lor (p \land q) \equiv p \)
İspat 1:
\( p \land 1 \equiv p \) özdeşliğini kullanalım.
\( p \lor (p \land q) \equiv (p \land 1) \lor (p \land q) \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv p \land (1 \lor q) \)
\( \equiv p \land 1 \)
\( \equiv p \)
İspat 2:
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \land q \) | \( p \lor (p \land q) \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
İkinci absorbe kuralını sözel olarak ifade etmek gerekirse, \( p \) doğru ise parantez içindeki önermenin doğruluk değerinden bağımsız olarak tüm önerme doğru olur. \( p \) yanlış ise parantez içindeki "ve" önermesi, dolayısıyla tüm önerme yanlış olur. Her iki durumda da sonuç \( p \)'ye eşit olur.
Aritmetikteki işlem önceliklerine benzer şekilde mantıkta da bağlaçların hangi sırada uygulanacağını gösteren bir öncelik sırası vardır. Bununla birlikte karışıklığa yol açmamak için birden fazla bağlaç içeren her ifade ve denklikte parantez kullanılması önerilir.
| Öncelik | Bağlaç | Sembol |
|---|---|---|
| 1 (en yüksek) | Parantez | \( (\ldots) \) |
| 2 | Değil | \( p', \sim p, \lnot p \) |
| 3 | Ve | \( \land \) |
| 4 | Veya | \( \lor \) |
| 5 | İse | \( \Rightarrow \) |
| 6 (en düşük) | Ancak ve Ancak | \( \Leftrightarrow \) |
Aşağıda bu işlem önceliklerine birkaç örnek verilmiştir.
| İfade | Doğru İşlem Sırası |
|---|---|
| \( \lnot p \land q \) | \( (\lnot p) \land q \) |
| \( p \land q \lor r \) | \( (p \land q) \lor r \) |
| \( p \lor q \land r \) | \( p \lor (q \land r) \) |
| \( p \land q \Rightarrow r \) | \( (p \land q) \Rightarrow r \) |
| \( p \Rightarrow q \lor r \) | \( p \Rightarrow (q \lor r) \) |