Bu bölümde bileşik önermelerle ilgili iki kural setinden bahsedeceğiz.
De Morgan kurallarının birincisine göre; bir "ve" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "veya" bileşik önermesine denktir.
\( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)
\( (p \land q \land r)' \equiv p' \lor q' \lor r' \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \land q \) | \( (p \land q)' \) | \( p' \) | \( q' \) | \( p' \lor q' \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
De Morgan kurallarının ikincisine göre; bir "veya" bileşik önermesinin değili, bileşik önermeyi oluşturan önermelerin değillerinin "ve" bileşik önermesine denktir.
\( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
\( (p \lor q \lor r)' \equiv p' \land q' \land r' \)
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( (p \lor q)' \) | \( p' \) | \( q' \) | \( p' \land q' \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
Birinci absorbe kuralı aşağıdaki gibidir.
\( p \land (p \lor q) \equiv p \)
İspat 1:
\( p \lor 0 \equiv p \) özdeşliğini kullanalım.
\( p \land (p \lor q) \equiv (p \lor 0) \land (p \lor q) \)
"Veya" işleminin "ve" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv p \lor (0 \land q) \)
\( \equiv p \lor 0 \)
\( \equiv p \)
İspat 2:
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \lor q \) | \( p \land (p \lor q) \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
İkinci absorbe kuralı aşağıdaki gibidir.
\( p \lor (p \land q) \equiv p \)
İspat 1:
\( p \land 1 \equiv p \) özdeşliğini kullanalım.
\( p \lor (p \land q) \equiv (p \land 1) \lor (p \land q) \)
"Ve" işleminin "veya" işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( \equiv p \land (1 \lor q) \)
\( \equiv p \land 1 \)
\( \equiv p \)
İspat 2:
Aşağıdaki tabloda renkli işaretli iki sütun karşılaştırıldığında her satırda aynı doğruluk değerinin elde edildiği, dolayısıyla bu bileşik önermelerin denk olduğu görülebilir.
| \( p \) | \( q \) | \( p \land q \) | \( p \lor (p \land q) \) |
|---|---|---|---|
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |