Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının bir lineer birleşiminden oluşan \( a\sin{x} + b\cos{x} \) formunda bir ifade verilmiş olsun. Bazı problemlerde bu formdaki bir ifadeyi tek bir sinüs ya da tek bir kosinüs ifadesine dönüştürmek işlemleri büyük ölçüde kolaylaştırır.
Öncelikle böyle bir dönüşümün nasıl yapılabileceğini (her bir adımın mantığına girmeden) bir örnek üzerinde gösterelim, sonrasında bu dönüşümün bu formdaki her ifadeye nasıl uygulanabileceğini göstereceğiz.
\( \sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} \) ifadesini tek bir sinüs ifadesi şeklinde yazalım.
İfadeyi \( 2 \) parantezine alalım.
\( = 2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} + \dfrac{1}{2}\cos{x} \right) \)
Dikkat edilirse parantez içindeki iki terimin katsayılarının kareleri toplamı bu işlem sonrasında 1 olur.
\( \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 = 1 \)
Pisagor özdeşliğine göre, bu iki katsayı aynı açının sinüs ve kosinüs değerlerine eşit olmalıdır.
Bu örnek için \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) açısı bu koşulu sağlar.
\( \sin{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{1}{2} \)
\( \cos{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Bu iki değeri yukarıdaki ifadeye yerine koyalım.
\( = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{6}}\sin{x} + \sin{\dfrac{\pi}{6}}\cos{x} \right) \)
Parantez içindeki ifade aşağıdaki fonksiyonun sinüs toplam formülü açılımıdır.
\( = 2\sin\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \)
Görülebileceği üzere, verilen iki terimli ifadeyi tek bir sinüs ifadesine dönüştürmüş olduk.
Yardımcı açı yöntemi (diğer bir adıyla trigonometrik R-yöntemi), \( a\sin{x} + b\cos{x} \) formundaki bir ifadeyi tek bir sinüs (\( R\sin(x + \alpha) \)) ya da tek bir kosinüs (\( R\cos(x - \alpha) \)) ifadesi şeklinde yazabilmemizi sağlar.
Bu yöntemi uygulamadan önce bilinmesi gereken iki önemli nokta aşağıdaki gibidir.
Yardımcı açı yönteminin birinci formunda \( a\sin{x} + b\cos{x} \) ifadesi tek bir sinüs ifadesine dönüştürülür. Bu dönüşümde \( R \) ve \( \alpha \) değerleri \( a \) ve \( b \) katsayılarına göre aşağıda belirtilen şekilde hesaplanır.
\( a\sin{x} + b\cos{x} = R\sin(x + \alpha) \)
\( R = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{b}{a} \)
\( \alpha \) açısı \( (a, b) \) noktası ile aynı bölgede bulunan ve tanjant değeri \( \frac{b}{a} \) olan açıdır.
Yardımcı açı yönteminin sinüs formunu bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \cos{x} - \sin{x} \) ifadesini tek bir sinüs ifadesi şeklinde yazalım.
İfadeyi ilk terim sinüs olacak şekilde düzenleyelim.
\( \cos{x} - \sin{x} = -\sin{x} + \cos{x} \)
\( a = -1, \quad b = 1 \)
\( R = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( (a, b) = (-1, 1) \) noktası II. bölgededir.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{-1} = -1 \)
II. bölgede tanjant değeri \( -1 \) olan açı \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \) açısıdır.
Buna göre verilen ifadenin tek bir sinüs ifadesi şeklinde yazılışı aşağıdaki gibidir.
\( -\sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin\left( x + \dfrac{3\pi}{4} \right) \)
Bulduğumuz ifadenin sinüs toplam formülünü kullanarak açılımını yazarak sonucun sağlamasını yapalım.
\( \sqrt{2}\sin\left( x + \dfrac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\left( \sin{x}\cos{\dfrac{3\pi}{4}} + \cos{x}\sin{\dfrac{3\pi}{4}} \right) \)
\( = \sqrt{2}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin{x} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{x} \right) \)
\( = -\sin{x} + \cos{x} \)
Yardımcı açı yönteminin ikinci formunda \( a\sin{x} + b\cos{x} \) ifadesi tek bir kosinüs ifadesine dönüştürülür. Bu dönüşümde \( R \) ve \( \alpha \) değerleri \( a \) ve \( b \) katsayılarına göre aşağıda belirtilen şekilde hesaplanır.
\( a\sin{x} + b\cos{x} = R\cos(x - \alpha) \)
\( R = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{a}{b} \)
\( \alpha \) açısı \( (b, a) \) noktası ile aynı bölgede bulunan ve tanjant değeri \( \frac{a}{b} \) olan açıdır.
Yardımcı açı yönteminin kosinüs formunu bir örnek üzerinde gösterelim.
\( -3\sin{x} - 3\sqrt{3}\cos{x} \) ifadesini tek bir kosinüs ifadesi şeklinde yazalım.
\( a = -3, \quad b = -3\sqrt{3} \)
\( R = \sqrt{(-3)^2 + (-3\sqrt{3})^2} = 6 \)
\( (b, a) = (-3\sqrt{3}, -3) \) noktası III. bölgededir.
\( \tan{\alpha} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{-3}{-3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
III. bölgede tanjant değeri \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) olan açı \( \alpha = \frac{7\pi}{6} \) açısıdır.
Buna göre verilen ifadenin tek bir kosinüs ifadesi şeklinde yazılışı aşağıdaki gibidir.
\( -3\sin{x} - 3\sqrt{3}\cos{x} = 6\cos\left( x - \dfrac{7\pi}{6} \right) \)
Bulduğumuz ifadenin kosinüs fark formülünü kullanarak açılımını yazarak sonucun sağlamasını yapalım.
\( 6\cos\left( x - \dfrac{7\pi}{6} \right) = 6\left( \cos{x}\cos{\dfrac{7\pi}{6}} + \sin{x}\sin{\dfrac{7\pi}{6}} \right) \)
\( = 6\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x} - \dfrac{1}{2}\sin{x} \right) \)
\( = -3\sin{x} - 3\sqrt{3}\cos{x} \)
Yukarıda paylaştığımız iki form ve formülleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| Form | İfade | Denk İfade | Genlik (\( R \)) | Yardımcı Açı Bölgesi | Tanjant Değeri |
|---|---|---|---|---|---|
| Sinüs | \( {a\sin{x} + b\cos{x}} \) | \( {R\sin(x + \alpha)} \) | \( {R = \sqrt{a^2 + b^2}} \) | \( (a, b) \) | \( \tan{\alpha} = \frac{b}{a} \) |
| Kosinüs | \( {a\sin{x} + b\cos{x}} \) | \( {R\cos(x - \alpha)} \) | \( {R = \sqrt{a^2 + b^2}} \) | \( (b, a) \) | \( \tan{\alpha} = \frac{a}{b} \) |
Bu tabloda vurgulanması gereken birkaç nokta aşağıdaki gibidir.
Her ne kadar yardımcı açının bölgesi bilinse de aynı açıya \( 2\pi \) eklenerek ve çıkarılarak esas ölçüsü \( \alpha \) olan sonsuz sayıda açı elde edilebilir. Bu seçimde kullanılan (matematiksel olarak aynı sonucu veren) iki farklı standart vardır.
Biz bu sitedeki örneklerde birinci standardı tercih edeceğiz.
Yardımcı açı yönteminin çok sayıda uygulaması vardır. Buna göre \( a\sin{x} + b\cos{x} \) formundaki bir ifade \( R\sin(x + \alpha) \) ya da \( R\cos(x - \alpha) \) formuna dönüştürülerek;