Ortalama

Pek çok sayıda ortalama tipi olsa da, en sık kullanılan üç ortalama tipi aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamadır.

Aritmetik Ortalama

\( n \) tane reel sayıdan oluşan bir sayı kümesindeki sayıların toplamının sayı adedine bölümüne bu sayıların aritmetik ortalaması denir. Bir grup sayının sadece ortalaması ya da averajı dendiğinde de aritmetik ortalama anlaşılabilir.

Bir sayı kümesindeki elemanların aritmetik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( n \) tane sayının aritmetik ortalaması (\( AO \)) ise bu sayıların toplamını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

Bir grup sayının aritmetik ortalaması \( x \) ise bu sayıların her biri \( a \) ile çarpılıp \( b \) kadar artırılırsa, yeni sayıların ortalaması \( ax + b \) olur.

Aritmetik ortalama, aynı birimdeki sayıların ortalamasını almakta kullanılır (sınıf not ortalaması, aile başına ortalama çocuk sayısı, maç başına ortalama gol vb.).

Geometrik Ortalama

\( n \) tane pozitif reel sayıdan oluşan bir sayı kümesindeki sayıların çarpımının \( n \). derece köküne bu sayıların geometrik ortalaması denir.

İki sayının geometrik ortalamasına bu iki sayının orta orantısı da denir.

Bir sayı kümesindeki elemanların geometrik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.

İçinde sıfır ya da negatif sayı bulunduran sayı kümeleri için geometrik ortalama hesaplanamaz.

\( n \) tane sayının geometrik ortalaması (\( GO \)) ise bu sayıların çarpımını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

Aritmetik ortalamadan farklı olarak, geometrik ortalama farklı birimlerdeki sayıların ortalamasını almakta kullanılabilir.

SORU:

\( a \) ve \( b \) sayılarının geometrik ortalaması 6'dır. Sayılar 3'er arttırılırsa geometrik ortalamaları 9 olmaktadır. Buna göre, \( a + b \) ifadesinin değerini bulalım.

Çözümü Göster

Harmonik (Ahenkli) Ortalama

Bir pozitif reel sayı kümesindeki elemanların harmonik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.

İki sayının harmonik ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.

İçinde sıfır ya da negatif sayı bulunduran sayı kümeleri için harmonik ortalama hesaplanamaz.

Harmonik ortalama genellikle oranlardan oluşan sayı kümelerinin ortalamasını almakta kullanılabilir.

Karesel Ortalama

\( n \) tane sayıdan oluşan bir sayı kümesindeki sayıların karelerinin toplamının sayı adedine bölümüne bu sayıların karesel ortalaması denir.

Bir sayı kümesindeki elemanların karesel ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır.

Ortalama Tipleri Arasındaki İlişki

Pozitif reel sayılardan oluşan bir sayı kümesinin elemanlarının aritmetik (AO), geometrik (GO), harmonik (HO) ve karesel (KO) ortalamaları arasında aşağıdaki ilişki vardır.

İki sayının aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamasından herhangi ikisi birbirine eşitse, bu sayılar birbirine eşittir.

Sadece iki sayı için bu ortalamaları aldığımızda, ortalama değerleri arasında aşağıdaki ilişki oluşmaktadır.

SORU:

İki sayıdan küçük olanı sayıların aritmetik ortalamasından 3 eksik, büyük olanı ise geometrik ortalamalarından 4 fazladır. Buna göre bu iki sayıyı bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( a \) ve \( b \) reel sayılar olmak üzere,

\( 3a - 2 \) ve \( 2a + 5 \) sayılarının aritmetik ve geometrik ortalamaları eşit ise, bu sayıları bulalım.

Çözümü Göster


« Önceki
Bileşik Orantı
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır