Bir değişkenin bir reel sayı kuvveti şeklindeki fonksiyonlara kuvvet fonksiyonu denir.
Kuvvet fonksiyonunda \( x \) fonksiyonun değişkeni, \( n \) fonksiyonun derecesi, \( k \) fonksiyonun katsayısıdır.
\( k, n \in \mathbb{R}, \quad k \ne 0 \) olmak üzere,
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = k \cdot x^n \)
Kuvvet fonksiyonları derecelerine göre farklı şekillerde ve isimlerle karşımıza çıkabilir. Aşağıdaki fonksiyonların tümü birer kuvvet fonksiyonudur.
Derece | Fonksiyon | Fonksiyon Adı |
---|---|---|
\( 0 \) | \( f(x) = x^0 = 1 \) | Sabit fonksiyon |
\( 1 \) | \( f(x) = x^1 = x \) | Birim fonksiyon |
\( 2 \) | \( f(x) = x^2 \) | İkinci dereceden fonksiyon |
\( -1 \) | \( f(x) = x^{-1} = \dfrac{1}{x} \) | Ters fonksiyon |
\( \dfrac{1}{2} \) | \( f(x) = x^\frac{1}{2} = \sqrt{x} \) | Karekök fonksiyonu |
\( \dfrac{1}{3} \) | \( f(x) = x^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{x} \) | Küp kök fonksiyonu |
Her ne kadar kuvvet fonksiyonlarının üssü herhangi bir reel sayı olabilse de, bu konu anlatımında üs değerlerini pozitif tam sayı değerleri ile sınırlı tutacağız.
\( f(x) = x^2 \) ve \( g(x) = x^3 \) fonksiyonlarının bazı değerleri için değer tablosu aşağıdaki gibidir:
\( x \) | \( f(x) = x^2 \) | \( g(x) = x^3 \) |
---|---|---|
\( -3 \) | \( f(-3) = (-3)^2 = 9 \) | \( g(-3) = (-3)^3 = -27 \) |
\( -2 \) | \( f(-2) = (-2)^2 = 4 \) | \( g(-2) = (-2)^3 = -8 \) |
\( -1 \) | \( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) | \( g(-1) = (-1)^3 = -1 \) |
\( 0 \) | \( f(0) = 0^2 = 0 \) | \( g(0) = 0^3 = 0 \) |
\( 1 \) | \( f(1) = 1^2 = 1 \) | \( g(1) = 1^3 = 1 \) |
\( 2 \) | \( f(2) = 2^2 = 4 \) | \( g(2) = 2^3 = 8 \) |
\( 3 \) | \( f(3) = 3^2 = 9 \) | \( g(3) = 3^3 = 27 \) |
\( 4 \) | \( f(4) = 4^2 = 16 \) | \( g(4) = 4^3 = 64 \) |
Her iki fonksiyon için elde ettiğimiz bu noktaları analitik düzlemde işaretlediğimizde aşağıdaki grafikleri elde ederiz:
Bu grafiklerde gördüğümüz gibi, çift dereceli bir fonksiyon olan \( f(x) \) ve tek dereceli bir fonksiyon olan \( g(x) \)'in grafikleri arasındaki en önemli fark, \( f(x) \)'in sadece pozitif değer alması, \( g(x) \)'in ise pozitif ve negatif değer alabilmesidir. Bunun sebebi çift dereceli üslü ifadelerin sonucunun her zaman pozitif olmasıdır.
Hiçbir dönüşüme uğramamış haliyle çift dereceli kuvvet fonksiyonları (\( x^2, x^4, \ldots \)) birer çift fonksiyondur ve \( y \) eksenine göre simetriktir. Benzer şekilde, hiçbir dönüşüme uğramamış haliyle tek dereceli kuvvet fonksiyonları (\( x, x^3, \ldots \)) birer tek fonksiyondur ve orijine göre simetriktir.
Fonksiyonların Dönüşümü konusunda gördüğümüz tüm dönüşümleri kuvvet fonksiyonlarına uygulayarak fonksiyonun denkleminde, grafiğinin konumunda ve şeklinde değişiklikler meydana getirebiliriz.
Bu dönüşümlere aşağıdaki gibi birkaç örnek verebiliriz.
\( f(x) = 2x^3 + 3 \)
\( g(x) = -(x - 2)^2 - 1 \)
\( h(x) = 3(-2x + 1)^4 + 2 \)