Mutlak Değer Fonksiyonunun Parçalı Yazılışı

Mutlak değer fonksiyonları mutlak değer içindeki ifadelerin pozitif ya da negatif olma durumuna göre farklı davranış gösterdikleri için birer parçalı fonksiyon şeklinde yazılabilirler.

Örneğin mutlak değer tanımında gördüğümüz gibi, \( f(x) = \abs{x} \) fonksiyonunun parçalı fonksiyon yazılışı aşağıdaki gibidir. Bu tanımda \( x \lt 0 \) durumunda \( x \)'in önündeki negatif işareti, mutlak değer içindeki ifadenin negatif değerini pozitife çevirmektedir.

Mutlak değer içinin \( ax + b \) şeklinde doğrusal bir ifade olduğu durumlarda, mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon şeklinde aşağıdaki adımları takip ederek yazabiliriz.

  • Önce mutlak değer içini sıfır yapan \( x \) değeri bulunur. Bu değere mutlak değerli ifadenin kritik noktası denir. Bu kritik nokta fonksiyonu her birinin tanımı farklı olan iki parçaya ayırır.
  • \( x \) bu kritik değere eşit olduğunda mutlak değer içindeki ifade sıfır olur, dolayısıyla ifade mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
  • \( x \)'in katsayısı pozitif ise \( x \) bu kritik değerden büyük olduğunda, \( x \)'in katsayısı negatif ise de küçük olduğunda mutlak değer içindeki ifade pozitif olur, dolayısıyla ifade mutlak değer dışına olduğu gibi çıkar.
  • \( x \)'in katsayısı pozitif ise \( x \) bu kritik değerden küçük olduğunda, \( x \)'in katsayısı negatif ise de büyük olduğunda mutlak değer içindeki ifade negatif olur, dolayısıyla ifade mutlak değer dışına negatif işaretli çıkar. Bu negatif işareti mutlak değer içindeki ifadenin negatif değerini pozitife çevirmektedir.

Birden Fazla Mutlak Değerli İfadeler

Birden fazla mutlak değerli ifade içeren fonksiyonlarda her mutlak değerli ifadenin farklı kritik noktaları olabilir ve her kritik nokta parçalı fonksiyonda tanımları farklı yeni aralıkların oluşmasına sebep olur.

İkinci Dereceden İfadelerin Mutlak Değeri

İkinci dereceden ifadeler \( x \) eksenini iki kez kesebildikleri ve sıfır değerini iki kez alabildikleri için mutlak değer içinde yer aldıklarında iki kritik noktaya sahip olabilirler. Bu tip ifadelerin kritik noktalarını ve bu noktalar arasındaki işaretlerini bulabilmek için parabollerde kök ve grafik bilgisine ihtiyaç duyarız.

Bir parabolün deltası sıfırdan büyükse parabol \( x \) eksenini iki noktada keser ve mutlak değerli ifadenin iki kritik noktası olur. Başkatsayı pozitif ise parabolün kolları yukarı yönlü olduğu için parabol bu iki nokta arasında negatif değer alır (ifade mutlak değerden ters işaretli çıkar), dışında da pozitif değer alır (ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar). Başkatsayı negatif ise parabolün kolları aşağı yönlü olduğu için parabol bu iki nokta arasında pozitif değer alır (ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar), dışında da negatif değer alır (ifade mutlak değerden ters işaretli çıkar).

Parabolün değerinin işareti (Delta > 0)
Parabolün değerinin işareti (Delta > 0)

Parabolün deltası sıfır ise parabol \( x \) eksenini teğet keser. Başkatsayı pozitif ise parabol \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için hiçbir noktada negatif değer almaz (ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar). Başkatsayı negatif ise parabol \( x \) ekseninin altında kaldığı için hiçbir noktada pozitif değer almaz (ifade mutlak değerden ters işaretli çıkar).

Parabolün değerinin işareti (Delta = 0)
Parabolün değerinin işareti (Delta = 0)

Parabolün deltası sıfırdan küçükse parabol \( x \) eksenini kesmez. Başkatsayı pozitif ise parabol \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için tüm noktalarda pozitif değer alır (ifade mutlak değerden olduğu gibi çıkar). Başkatsayı negatif ise parabol \( x \) ekseninin altında kaldığı için tüm noktalarda negatif değer alır (ifade mutlak değerden ters işaretli çıkar).

Parabolün değerinin işareti (Delta < 0)
Parabolün değerinin işareti (Delta < 0)
SORU 1:

\( f(x) = \abs{x} + \abs{x + 2} \) mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.

Çözümü Göster

« Önceki
Mutlak Değer Fonksiyonları
Sonraki »
Mutlak Değer Fonksiyonu Grafikleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır