Polinom Fonksiyonu Grafikleri

Derece ve Başkatsayının Grafiğe Etkisi

Polinomlar farklı derecelerde ve katsayılarda olabilse de grafiklerinin davranışı bazı temel prensiplere dayanmaktadır. Polinom grafiklerini polinomun derecesinin tek ya da çift olmasına ve başkatsayının (\( a \)) sıfırdan büyük ya da küçük olmasına göre dört başlık altında inceleyebiliriz.

Çift Dereceli Polinomlar

Çift dereceli polinomların grafiklerinde \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken \( y \) aynı yöne gider. Bu yön \( a \gt 0 \) için pozitif sonsuz, \( a \lt 0 \) için negatif sonsuzdur.

Çift dereceli polinomların grafiklerinin bu iki durumdaki davranışı aşağıdaki gibidir. Paraboller ikinci dereceden polinom fonksiyonları oldukları için bu davranışın parabol grafikleri için de geçerli olduğunu görebiliriz.

Polinom Tipi Grafik

Çift dereceli polinom

\( a \gt 0 \)

Çift dereceli polinomları grafiği (a > 0)

Çift dereceli polinom

\( a \lt 0 \)

Çift dereceli polinomları grafiği (a < 0)

Tek Dereceli Polinomlar

Tek dereceli polinomların grafiklerinde \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken \( y \) farklı yönlere gider. Bu yön \( a \gt 0 \) için \( x \) negatif sonsuza giderken negatif sonsuz, \( x \) pozitif sonsuza giderken pozitif sonsuzdur. \( a \lt 0 \) için yönler bunun tersidir.

Tek dereceli polinomların grafiklerinin bu iki durumdaki davranışı aşağıdaki gibidir.

Polinom Tipi Grafik

Tek dereceli polinom

\( a \gt 0 \)

Tek dereceli polinomları grafiği (a > 0)

Tek dereceli polinom

\( a \lt 0 \)

Tek dereceli polinomları grafiği (a < 0)

2. Dereceden Polinomların (Parabol) Grafiği

Aşağıdaki 2. dereceden polinomların kökleri ile ilgili farklı durumlar verilmiştir. Verilen tüm grafikler \( a \gt 0 \) için olup, \( a \lt 0 \) olduğu durumlarda bu grafiklerin \( x \) eksenine göre yansımaları oluşacaktır.

Tüm Köklerin Reel Olduğu Durumlar

2. dereceden bir polinomun tüm kökleri reel ise polinomun kökleri, katları ve grafikleri aşağıdaki şekillerde olabilir.

Kökler ve Denklem Grafik

Tek katlı iki reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

Polinom grafiği (2. derece)

İki katlı bir reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)^2 \)

Polinom grafiği (2. derece)

Reel Olmayan Köklerin Olduğu Durumlar

2. dereceden bir polinomunun reel olmayan kökleri varsa, polinomun kökleri, katları ve grafikleri aşağıdaki şekilde olabilir. Bir denklemin reel olmayan kökleri varsa bu kökler hep ikişerli ve birbirinin eşleniği olur.

Kökler ve Denklem Grafik

İki reel olmayan kök

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Polinom grafiği (2. derece)

2. dereceden polinomların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.

  • \( a \gt 0 \) ise grafik artı sonsuzdan gelip artı sonsuza gider.
  • \( a \lt 0 \) ise grafik eksi sonsuzdan gelip eksi sonsuza gider.
  • \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser.
  • \( x \) eksenini en az sıfır, en fazla iki noktada keser.
  • Bir yerel ekstremum noktası vardır.
  • Tepe noktası etrafında simetriktir.
  • Yatay doğru testini geçemediği için birebir değildir.
  • \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) için içinedir.

3. Dereceden Polinomların Grafiği

Aşağıdaki 3. dereceden polinomların kökleri ile ilgili farklı durumlar verilmiştir. Verilen tüm grafikler \( a \gt 0 \) için olup, \( a \lt 0 \) olduğu durumlarda bu grafiklerin \( x \) eksenine göre yansımaları oluşacaktır.

Tüm Köklerin Reel Olduğu Durumlar

3. dereceden bir polinomun tüm kökleri reel ise polinomun kökleri, katları ve grafikleri aşağıdaki şekillerde olabilir.

Kökler ve Denklem Grafik

Tek katlı üç reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \)

Polinom grafiği (3. derece)

İki katlı bir reel kök + tek katlı bir reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2) \)

Polinom grafiği (3. derece)

Üç katlı bir reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)^3 \)

Polinom grafiği (3. derece)

Reel Olmayan Köklerin Olduğu Durumlar

3. dereceden bir polinomunun reel olmayan kökleri varsa, polinomun kökleri, katları ve grafikleri aşağıdaki şekilde olabilir. Tek dereceli polinomlar \( x \) eksenini kesmek zorunda olduğu için, bu polinomların en azından bir reel kökü vardır. Bir denklemin reel olmayan kökleri varsa, bu kökler hep ikişerli ve birbirinin eşleniği olur.

Kökler ve Denklem Grafik

Tek katlı bir reel kök + iki reel olmayan kök

\( f(x) = a(x - x_1)(x^2 + bx + c) \)

Polinom grafiği (3. derece)

3. dereceden polinomların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.

  • \( a \gt 0 \) ise grafik eksi sonsuzdan gelip artı sonsuza gider.
  • \( a \lt 0 \) ise grafik artı sonsuzdan gelip eksi sonsuza gider.
  • \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser.
  • \( x \) eksenini en az bir, en fazla üç noktada keser, dolayısıyla her zaman en az bir reel kökü vardır.
  • En az sıfır, en fazla iki yerel ekstremum noktası vardır.
  • Tek bir büküm noktası vardır ve o nokta etrafında simetriktir.
  • Birebir olabilir ya da olmayabilir.
  • \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) için örtendir.

4. Dereceden Polinomların Grafiği

Aşağıdaki 4. dereceden polinomların kökleri ile ilgili farklı durumlar verilmiştir. Verilen tüm grafikler \( a \gt 0 \) için olup, \( a \lt 0 \) olduğu durumlarda bu grafiklerin \( x \) eksenine göre yansımaları oluşacaktır.

Tüm Köklerin Reel Olduğu Durumlar

4. dereceden bir polinomun tüm kökleri reel ise polinomun kökleri, katları ve grafikleri aşağıdaki şekillerde olabilir.

Kökler ve Denklem Grafik

Tek katlı dört reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) \)

Polinom grafiği (4. derece)

İki katlı bir reel kök + tek katlı iki reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2)(x - x_3) \)

Polinom grafiği (4. derece)

İki katlı iki reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)^2(x - x_2)^2 \)

Polinom grafiği (4. derece)

Üç katlı bir reel kök + tek katlı bir kök

\( f(x) = a(x - x_1)^3(x - x_2) \)

Polinom grafiği (4. derece)

Dört katlı bir reel kök

\( f(x) = a(x - x_1)^4 \)

Polinom grafiği (4. derece)

Reel Olmayan Köklerin Olduğu Durumlar

4. dereceden bir polinomunun reel olmayan kökleri varsa, polinomun kökleri, katları ve grafikleri aşağıdaki şekilde olabilir. Çift dereceli polinomlar \( x \) eksenini kesmek zorunda olmadığı için, reel bir kökü olmak zorunda değildir (son satırdaki dört reel olmayan köklü durum). Bir denklemin reel olmayan kökleri varsa, bu kökler hep ikişerli ve birbirinin eşleniği olur.

Kökler ve Denklem Grafik

Tek katlı iki reel kök + iki reel olmayan kök

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x^2 + bx + c) \)

Polinom grafiği (4. derece)

İki katlı bir reel kök + iki reel olmayan kök

\( f(x) = a(x - x_1)^2(x^2 + bx + c) \)

Polinom grafiği (4. derece)

Dört reel olmayan kök

\( f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \)

Polinom grafiği (4. derece)

4. dereceden polinomların grafikleri ile ilgili bazı önemli noktalar aşağıdaki gibidir.

  • \( a \gt 0 \) ise polinom grafiği artı sonsuzdan gelip artı sonsuza gider.
  • \( a \lt 0 \) ise grafik eksi sonsuzdan gelip eksi sonsuza gider.
  • \( y \) eksenini her zaman ve sadece bir noktada keser.
  • \( x \) eksenini en az sıfır, en fazla dört noktada keser.
  • En az bir, en fazla üç yerel ekstremum noktası vardır.
  • Yatay doğru testini geçemediği için birebir değildir.
  • \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) için içinedir.

« Önceki
Polinomlarda Katlı Kökler
Sonraki »
Polinom Fonksiyonu Tanım ve Görüntü Kümesi


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır