Birinci Dereceden Denklem Sistemleri

Birinci denklemde \( k \)'nın \( m \) cinsinden değerini ikinci denklemde \( k \) yerine koyalım.

\( 6m + 3(m - 5) = 39 \)

\( 6m + 3m - 15 = 39 \)

\( 9m - 15 = 39 \)

Sabit terimi eşitliğin sağ tarafına atarak \( m \)'li terimi yalnız bırakalım.

\( 9m - 15 + 15 = 39 + 15 \)

\( 9m = 54 \)

Eşitliğin iki tarafını 9'a bölelim.

\( m = 6 \)

Bu değeri kullanarak \( k \)'yı bulalım.

\( k = m - 5 \Longrightarrow k = 1 \)

Buna göre \( m^k = 6^1 = 6 \) olarak bulunur.

Birinci eşitlikte içler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 8x = 7y \)

\( 8x - 7y = 0 \)

İki denklemden oluşan denklem sistemini çözmek için birinci denklemi 4, ikinci denklemi 7 ile çarpalım.

\( 32x - 28y = 0 \)

\( 21x - 28y = 385 \)

Eşitlikleri taraf tarafa çıkaralım.

\( 32x - 21x - 28y - (-28y) = 0 - 385 \)

\( 11x = -385 \)

\( x = -35 \)

\( y \) değerini bulmak için bu değeri denklemlerden birinde yerine koyalım.

\( 8x = 7y \)

\( 8 \cdot (-35) = 7y \)

\( y = -40 \)

Buna göre \( y - x = -40 - (-35) = -5 \) olarak bulunur.

Bir denklem sisteminin çözüm kümesi sistemdeki tüm denklemleri sağlamalıdır.

Buna göre \( (x, y) = (1, 6) \) sıralı ikilisini önce birinci denklemde yerine koyalım.

\( 4m \cdot 1 - 10 = 6 \)

\( 4m = 16 \)

Eşitliğin taraflarını 4 ile sadeleştirelim.

\( m = 4 \)

\( (x, y) = (1, 6) \) sıralı ikilisini ikinci denklemde yerine koyalım.

\( (n - m) \cdot 1 + 2m = 2 \cdot 6 \)

\( n - 4 + 2 \cdot 4 = 12 \)

\( n + 4 = 12 \)

\( n = 8 \) bulunur.

Kitaplıktaki şiir türündeki kitap sayısına \( s \), deneme türündeki kitap sayısına \( d \), roman türündeki kitap sayısına \( r \) diyelim.

Verilen bilgilere göre denklemler kuralım.

Şiir türünde olmayan kitap sayısı 22'dir.

\( d + r = 22 \)

Deneme türünde olmayan kitap sayısı 19'dur.

\( s + r = 19 \)

Roman türünde olmayan kitap sayısı 5'tir.

\( s + d = 5 \)

Üç denklemi alt alta toplayalım.

\( 2s + 2d + 2r = 22 + 19 + 5 \)

Eşitliğin sol tarafını 2 parantezine alalım.

\( 2(s + d + r) = 46 \)

Eşitliğin taraflarını 2 ile sadeleştirelim.

\( s + d + r = 23 \)

Roman sayısını bulmak için toplam kitap sayısından roman olmayan kitapların sayısını, yani \( s + d \) toplamını çıkaralım.

\( r = s + d + r - (s + d) \)

\( = 23 - 5 = 18 \) bulunur.

Bilinmeyenleri eşitliğin solunda toplayalım.

\( 9x^2 - y^2 = 53 \)

Kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (3x)^2 - y^2 = 53 \)

\( (3x - y)(3x + y) = 53 \)

53 asal sayı olduğuna göre çarpanları sırasıyla \( \pm 1 \) ve \( \pm 53 \) olabilir.

\( x \) ve \( y \) negatif sayılar oldukları için çarpanlar \( -1 \) ve \( -53 \) olmalıdır.

\( 3x - y = -1 \)

\( 3x + y = -53 \)

Bu denklemleri taraf tarafa toplayarak \( y \)'yi yok edelim.

\( 3x + 3x = -1 - 53 \)

\( 6x = -54 \)

Eşitliği 6 ile sadeleştirelim.

\( x = -9 \)

\( x \) değerini iki denklemden birinde yerine koyarak \( y \)'yi bulalım.

\( 3 \cdot (-9) - y = -1 \)

\( -27 - y = -1 \)

\( y = -26 \) bulunur.

1. yöntem:

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanalım.

İlk denklemde \( y \)'yi yalnız bırakalım.

\( y = 4x - 9 \)

Bulduğumuz \( y \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.

\( 12x - 18 = 3(4x - 9) \)

Parantezi dağıtalım.

\( 12x - 18 = 12x - 27 \)

\( -18 = -27 \)

Bu eşitlik hiçbir \( x \) değeri için sağlanmayacağı için çözüm kümesi boş kümedir.

Çözüm kümesi: \( x = \emptyset \)

2. yöntem:

İki denklem de birinci dereceden olduğu için birer doğru ifade ederler.

İki denklemde de \( y \)'yi yalnız bırakalım.

\( y = 4x - 9 \)

\( y = 4x - 6 \)

İki denklemde de \( x \) katsayıları (eğimler) birbirine eşit, sabit terimler farklı olduğu için denklemlerin karşılık geldiği doğrular birbirine paraleldir.

Paralel doğrular hiçbir noktada kesişmedikleri için denklemlerin çözüm kümeleri boş küme olur.

İki denklem de birinci dereceden olduğu için birer doğru ifade etmektedir.

İki denklemin çözüm kümesi sonsuz sayıda eleman içeriyorsa bu doğrular çakışık olmalıdır.

İki doğrunun çakışık olması için denklemlerinin katsayılarının ve sabit terimlerinin oranları birbirine eşit olmalıdır.

Doğruların kapalı denklemlerini yazalım.

\( (m - 2)x + 3y - 5 = 0 \)

\( 6x + (n + 4)y + 10 = 0 \)

\( \dfrac{m - 2}{6} = \dfrac{3}{n + 4} = \dfrac{-5}{10} \)

\( \dfrac{m - 2}{6} = \dfrac{3}{n + 4} = \dfrac{-1}{2} \)

Sabit terimlerin oranı \( \frac{-1}{2} \) olduğu için diğer terimler arasında da aynı oran bulunmalıdır.

\( \dfrac{m - 2}{6} = \dfrac{-1}{2} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2(m - 2) = -1 \cdot 6 \)

\( 2m - 4 = -6 \)

\( 2m = -2 \)

\( m = -1 \)

\( y \)'nin katayıları arasındaki oranı inceleyelim.

\( \dfrac{3}{n + 4} = \dfrac{-1}{2} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2 \cdot 3 = -1 \cdot (n + 4) \)

\( 6 = -n - 4 \)

\( n = -10 \)

\( m + n = (-1) + (-10) = -11 \) olarak bulunur.

Denklemleri \( x \) ve \( y \) için çözmek daha uzun zaman alacağı için \( x + y \) ve \( x - y \) için çözelim. Bunun için aşağıdaki gibi değişken değiştirme yapalım.

\( x + y = a \)

\( x - y = b \)

Buna göre denklemler aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{a}{8} - \dfrac{b}{5} = -1 \)

\( \dfrac{a}{4} - \dfrac{b}{9} = 24 \)

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan sistemi çözmek için yok etme yöntemini kullanalım.

İkinci denklemi \( -\frac{1}{2} \) ile çarpalım.

\( -\dfrac{a}{8} + \dfrac{b}{18} = -12 \)

Denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( -\dfrac{b}{5} + \dfrac{b}{18} = -1 + (-12) \)

\( -\dfrac{18b}{90} + \dfrac{5b}{90} = -13 \)

\( -\dfrac{13b}{90} = -13 \)

\( 13b = 13 \cdot 90 \)

\( b = 90 \)

Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( \dfrac{a}{4} - \dfrac{90}{9} = 24 \)

\( \dfrac{a}{4} - 10 = 24 \)

\( \dfrac{a}{4} = 34 \)

\( a = 136 \)

Bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerlerini değişken değiştirmek için kullandığımız denklemlerde yerine koyalım.

\( x + y = a = 136 \)

\( x - y = b = 90 \)

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bu sistemi çözmek için yok etme yöntemini kullanalım.

Denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( x + x + y + (-y) = 136 + 90 \)

\( 2x = 226 \)

\( x = 113 \)

Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım.

\( x + y = 136 \)

\( 113 + y = 136 \)

\( y = 136 - 113 = 23 \) bulunur.

Bu iki doğru \( A \) noktasında kesişiyorlarsa bu noktanın koordinatları iki doğrunun denklemini de sağlamalıdır.

A noktasının koordinatlarını iki denklemde de yerine koyalım.

Denklem 1: \( (a + b)x + 3y - 6 = 0 \)

\( (a + b)\dfrac{9}{2} + 3(-1) - 6 = 0 \)

\( \dfrac{9(a + b)}{2} - 9 = 0 \)

\( a + b \) ifadesini eşitlikte yalnız bırakalım.

\( \dfrac{9(a + b)}{2} = 9 \)

\( 9(a + b) = 2 \cdot 9 \)

\( a + b = 2 \)

Denklem 2: \( 2x + (4a - 3b)y - 12 = 0 \)

\( 2 \cdot \dfrac{9}{2} + (4a - 3b)(-1) - 12 = 0 \)

\( 9 + 3b - 4a - 12 = 0 \)

\( 3b - 4a \) ifadesini eşitlikte yalnız bırakalım.

\( 3b - 4a = 12 - 9 = 3 \)

Elde ettiğimiz iki bilinmeyenli iki denklemi eşitleme yöntemi ile çözelim.

İki denklemde de \( a \)'yı yalnız bırakalım.

\( a = 2 - b \)

\( 4a = 3b - 3 \Longrightarrow a = \dfrac{3b - 3}{4} \)

Bulduğumuz ifadeleri birbirine eşitleyelim.

\( a = 2 - b = \dfrac{3b - 3}{4} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 4(2 - b) = 3b - 3 \)

\( 8 - 4b = 3b - 3 \)

Sabit terimleri eşitliğin sol tarafında, bilinmeyenleri sağ tarafında toplayalım.

\( 11 = 7b \)

Eşitliğin taraflarını 7'ye bölelim.

\( b = \dfrac{11}{7} \)

\( b \) değerini eşitliklerden birinde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( a = 2 - \dfrac{11}{7} = \dfrac{3}{7} \)

\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{\frac{3}{7}}{\frac{11}{7}} = \dfrac{3}{11} \) olarak bulunur.

Denklemleri incelediğimizde \( x \) ve \( z \) değişkenlerinin katsayılarının oranının sabit olduğunu görüyoruz, bu da iki değişkeni tek seferde yok edebileceğimizi göstermektedir.

Birinci denklemin taraflarını -3 ile çarpalım ve denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( -9x + 12y - 33z = -84 \)

\( 9x + 7y + 33z = 198 \)

\( 19y = 114 \)

\( y = 6 \) bulunur.

Birinci denklemde eşitliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini alalım.

\( \dfrac{x + y}{x \cdot y} = \dfrac{7}{2} \)

\( \dfrac{x}{x \cdot y} + \dfrac{y}{x \cdot y} = \dfrac{7}{2} \)

\( \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{7}{2} \)

Aynı işlemleri ikinci denkleme uygulayalım.

\( \dfrac{y + z}{y \cdot z} = \dfrac{5}{2} \)

\( \dfrac{y}{y \cdot z} + \dfrac{z}{y \cdot z} = \dfrac{5}{2} \)

\( \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{2} \)

Aynı işlemleri üçüncü denkleme uygulayalım.

\( \dfrac{x + z}{x \cdot z} = \dfrac{3}{2} \)

\( \dfrac{x}{x \cdot z} + \dfrac{z}{x \cdot z} = \dfrac{3}{2} \)

\( \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2} \)

İkinci denklemi \( -1 \) ile çarpalım ve bulduğumuz üç denklemi yazalım.

\( \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{7}{2} \)

\( -\dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{y} = -\dfrac{5}{2} \)

\( \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2} \)

Denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( \dfrac{2}{x} = \dfrac{5}{2} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 5x = 4 \)

\( x = \dfrac{4}{5} \) bulunur.

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanalım.

İkinci denklemde \( x \)'i yalnız bırakalım.

\( x = 6 - 2y \)

Bulduğumuz \( x \) değerini birinci denklemde yerine koyalım.

\( 2(6 - 2y) = -5y + 9 \)

Parantezi genişletelim.

\( 12 - 4y = -5y + 9 \)

\( y = -3 \)

Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım.

\( x + 2(-3) = 6 \)

\( x - 6 = 6 \)

\( x = 12 \)

\( x + y = 12 + (-3) = 9 \) bulunur.

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanalım.

İkinci denklemde \( x \)'i yalnız bırakalım.

\( x = -2y - 2 \)

Bulduğumuz \( x \) değerini birinci denklemde yerine koyalım.

\( (-2y - 2)^2 - 2(-2y - 2) + 3y^2 = 12 \)

Parantezleri genişletelim.

\( 4y^2 + 8y + 4 + 4y + 4 + 3y^2 = 12 \)

Benzer terimleri kendi aralarında toplayalım.

\( 7y^2 + 12y + 8 = 12 \)

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.

\( 7y^2 + 12y - 4 = 0 \)

İfadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( (7y - 2)(y + 2) = 0 \)

\( y = \frac{2}{7} \) ya da \( y = -2 \)

Bu değerleri denklemlerden birinde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım.

\( y = \frac{2}{7} \) için:

\( 2(\dfrac{2}{7}) + x + 2 = 0 \)

\( x = -\dfrac{18}{7} \)

Buna göre \( (x, y) = (-\frac{18}{7}, \frac{2}{7}) \) denklemin bir çözümüdür.

\( y = -2 \) için:

\( 2(-2) + x + 2 = 0 \)

\( x = 2 \)

Buna göre \( (x, y) = (2, -2) \) denklemin bir çözümüdür.

Çözüm kümesi: \( (x, y) \in \{(-\frac{18}{7}, \frac{2}{7}), (2, -2)\} \)