Birinci Dereceden Denklem Sistemleri

Aynı değişkenleri içeren, iki ya da daha fazla denklemden oluşan ve tüm denklemleri sağlayan ortak bir çözümü bulunmaya çalışılan denklem grubuna denklem sistemi denir.

İki bilinmeyen ve iki denklemden oluşan birinci dereceden denklem sistemlerine aşağıdaki gibi bir örnek verebiliriz:

\( (x, y) = (4, 6) \) sıralı ikilisinin bu denklem sisteminin bir çözümü olabilmesi için, sistemdeki tüm denklemleri sağlaması gerekmektedir.

\( (4, 6) \) değerleri birinci denklemi sağlasa da, ikinci denklemi sağlamadığı için bu sıralı ikilinin bu denklem sisteminin bir çözümü değildir.

Şimdi de \( (x, y) = (2, 9) \) sıralı ikilisinin bu denklem sisteminin bir çözümü olup olmadığına bakalım.

Bu değerler her iki denklemi de sağladığı için \( (x, y) = (2, 9) \) sıralı ikilisi bu denklem sisteminin bir çözümüdür.

Bir denklem sisteminin çözüm kümesinin verilen her bir denklemin çözüm kümelerinin kesişimi olduğunu aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.

Birinci dereceden \( n \) bilinmeyenli bir denklemin çözüm kümesinin tek bir elemanlı olması için birbirinden bağımsız \( n \) tane denkleme ihtiyacımız vardır. Bir denklem sistemindeki denklemlerin birbirinden bağımsız olması, herhangi bir denklemin diğer denklemlerden türetilememesi anlamına gelir. Örnek vermek gerekirse, aşağıdaki iki denklemden ikincisinin her iki tarafı birinci denklemin iki katı olduğu için bu iki denklem bağımsız değildir ve denklem sistemi çözümü açısından tek bir denkleme karşılık gelir.

Yukarıda bir denklem sistemi ile bir çözümü arasındaki ilişkiyi, çözümünü önceden bildiğimiz bir örnek üzerinden göstermeye çalıştık. Bir denklem sisteminin çözüm kümesini bulma yöntemlerine aşağıda değineceğiz.

Birinci Dereceden Denklem Sistemlerinin Çözümü

Birinci dereceden denklem sistemlerinin çözümünde kullanabileceğimiz yöntemler şunlardır:

Yerine Koyma Yöntemi

Yerine koyma yöntemini şu adımları takip ederek uygulayabiliriz:

  1. Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden birini yalnız bırakarak diğer bilinmeyen cinsinden yazarız.
  2. Daha sonra bu denklemi ikinci denklemde yalnız bıraktığımız bilinmeyenin yerine koyarak ikinci denklemi bir bilinmeyenli bir denklem olarak çözeriz.
  3. Bulduğumuz değeri orijinal denklemlerden herhangi birinde yerine koyar ve diğer bilinmeyeni buluruz.

Bu yöntemde ilk önce hangi denklemi seçtiğimiz ve seçtiğimiz denklemde hangi bilinmeyeni yalnız bıraktığımızın bir önemi ve sonuca bir etkisi yoktur.

Yukarıda çözümünü verdiğimiz denklem sistemini şimdi bu yöntemle çözmeye çalışalım.

Yok Etme (Eliminasyon) Yöntemi

Yok etme yöntemini şu adımları takip ederek uygulayabiliriz:

  1. Önce yok etmek istediğimiz bilinmeyeni seçeriz.
  2. Her iki denklemi topladığımızda seçtiğimiz bilinmeyenin katsayıları toplamı sıfır olacak şekilde denklemlerin birinin ya da ikisinin iki tarafını da sabit sayılarla çarparız.
  3. Denklemler eşitliğin sol ve sağ tarafları kendi aralarında olacak şekilde taraf tarafa toplanır ve seçilen bilinmeyenin toplam satırında yok olması sağlanır.
  4. Elde edilen tek bilinmeyenli denklem çözülür.
  5. Bulduğumuz değeri orijinal denklemlerden herhangi birinde yerine koyar ve diğer bilinmeyeni buluruz.

Yukarıda kullandığımız örneği şimdi de bu yöntemle çözmeye çalışalım.

Eşitleme Yöntemi

Bu yöntemde her iki denklemde aynı bilinmeyen yalnız bırakılır ve yalnız bırakılan bu değişkenin eşit olduğu ifadeler birbirine eşitlenir.

Yukarıda kullandığımız örneği şimdi de bu yöntemle çözmeye çalışalım.

Grafik Yöntemi

Önceki bölümde bu denklem sisteminin birinci denkleminin grafiğini çizmiş ve grafik üzerindeki tüm noktaların iki bilinmeyenli bir denklemin birer çözümü olduğunu belirtmiştik. Bir denklem sisteminde ise sistemdeki tüm denklemlerin grafiklerinin kesişimi bize denklem sisteminin çözümünü verecektir. Buna göre yukarıdaki denklem sistemindeki iki denklemin grafiklerini çizelim.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin grafiği
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin grafiği

Denklem grafiklerinin verildiği yukarıdaki şekilde işaretlediğimiz bazı noktaların iki denklemi sağlama durumları aşağıda verilmiştir.

Nokta \( 3x + 2y - 24 = 0 \) \( x - y + 7 = 0 \)
\( (-2, 0) \) \( 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 - 24 = -30 \ne 0 \) \( -2 - 0 + 7 = 5 \ne 0 \)
\( (8, 6) \) \( 3 \cdot 8 + 2 \cdot 6 - 24 = 12 \ne 0 \) \( 8 - 6 + 7 = 9 \ne 0 \)
\( (0, 12) \) \( 3 \cdot 0 + 2 \cdot 12 - 24 = 0 = 0 \) \( 0 - 12 + 7 = -5 \ne 0 \)
\( (2, 9) \) \( 3 \cdot 2 + 2 \cdot 9 - 24 = 0 = 0 \) \( 2 - 9 + 7 = 0 = 0 \)
\( (4, 6) \) \( 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 - 24 = 0 = 0 \) \( 4 - 6 + 7 = 5 \ne 0 \)
\( (6, 3) \) \( 3 \cdot 6 + 2 \cdot 3 - 24 = 0 = 0 \) \( 6 - 3 + 7 = 10 \ne 0 \)
\( (8, 0) \) \( 3 \cdot 8 + 2 \cdot 0 - 24 = 0 = 0 \) \( 8 - 0 + 7 = 15 \ne 0 \)
\( (0, 7) \) \( 3 \cdot 0 + 2 \cdot 7 - 24 = -10 \ne 0 \) \( 0 - 7 + 7 = 0 = 0 \)
\( (4, 11) \) \( 3 \cdot 4 + 2 \cdot 11 - 24 = 10 \ne 0 \) \( 4 - 11 + 7 = 0 = 0 \)
\( (6, 13) \) \( 3 \cdot 6 + 2 \cdot 13 - 24 = 20 \ne 0 \) \( 6 - 13 + 7 = 0 = 0 \)

Yukarıdaki grafiği ve tabloyu aşağıdaki gibi yorumlayabiliriz:

  • Her bir noktanın ilgili denklemi sağladığı durumlar yeşil, sağlamadığı durumlar pembe ile tabloda işaretlenmiştir.
  • Seçilen nokta bir denklemin grafiği üzerindeyse o denklemi sağlamakta, değilse sağlamamaktadır.
  • Her iki doğrunun da üzerinde olmayan iki nokta (\( (-2, 0) \) ve \( (8, 6) \)) her iki denklemi de sağlamamaktadır.
  • Her iki doğrunun kesişimi olan nokta (\( (2, 9) \)) her iki denklemi de sağlamaktadır.

Bu grafik ve tabloda görüyoruz ki, bir denklemin çözüm kümesi o denklemin grafiği üzerindeki tüm noktalardır ve bir denklem sisteminin çözüm kümesi denklem sistemindeki denklemlerin grafiklerinin kesişim noktası ya da noktalarıdır.

Matris Yöntemi

Denklem sistemlerini çözüm yöntemlerinden biri olan matris yöntemi şu noktada kapsamımız dışında olup, matrisler konusunda incelenecektir.

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sisteminin grafikleri yukarıdaki örnekte olduğu gibi her zaman tek bir noktada kesişmek, dolayısıyla çözüm kümesi tek elemanlı olmak zorunda değildir. Aşağıdaki gibi verilmiş iki denklemden oluşan bir denklem sisteminin koordinat düzleminde birbirlerine göre durumları üç farklı şekilde olabilir.

Kesişen Doğrular

Bilinmeyenlerinin katsayılarının oranı birbirinden farklı olan iki doğru mutlaka ve sadece bir noktada kesişirler. Bir noktada kesişen iki denklem yukarıda bahsettiğimiz yöntemlerle çözüldüğünde, sadece tek bir değer için sağlanan bir eşitlik (örneğin \( x = 2 \)) ve \( \{ (x_1, y_1) \} \) şeklinde bir çözüm kümesi elde edilir.

Bir noktada kesişen iki doğru
Bir noktada kesişen iki doğru

Çakışık Doğrular

Bilinmeyenlerinin katsayıları ve sabit terimleri oranları birbirine eşit olan iki doğru çakışıktır. Çakışık iki doğrunun denklemleri yukarıda bahsettiğimiz yöntemlerle çözüldüğünde, \( x \) değişkeni içermeyen ve sağlanan bir eşitlik (örneğin \( 3 = 3 \)) ve sonsuz elemanlı bir çözüm kümesi elde edilir.

Çakışık iki doğru
Çakışık iki doğru

Paralel Doğrular

Bilinmeyenlerinin katsayıları birbirine eşit, sabit terimlerinin oranı farklı olan iki doğru paraleldir. Paralel iki doğrunun denklemleri yukarıda bahsettiğimiz yöntemlerle çözüldüğünde, \( x \) değişkeni içermeyen ve sağlanmayan bir eşitlik (örneğin \( 3 = 5 \)) ve boş küme olan bir çözüm kümesi elde edilir .

Paralel iki doğru
Paralel iki doğru

« Önceki
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
Sonraki »
Birinci Dereceden Eşitsizlikler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır