Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, derecesi bir olan tek bir bilinmeyenden oluşan denklemlerdir.
\( a, b \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( ax + b = 0 \)
Bu denklemde \( x \) denklemin bilinmeyeni, \( a \) ve \( b \) denklemin katsayılarıdır. \( b \) katsayısı aynı zamanda denklemin sabit terimidir.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler farklı formlarda olabilir. Aşağıdaki denklemlerin tümünde terimler düzenlendiğinde ilk satırdaki \( ax + b = 0 \) formundaki \( 2x - 4 = 0 \) denklemi elde edilebilir.
\( 2x - 4 = 0 \)
\( 2x = 4 \)
\( 4(x - 1) = 2x \)
\( \dfrac{4x + 2}{2} = x + 3 \)
\( ax + b = 0 \) Denkleminin Çözüm Kümesi
\( ax + b = 0 \) formundaki denklemlerin çözüm kümesi üç farklı şekilde olabilir.
Tek Çözüm
\( a \) katsayısının sıfırdan farklı olduğu durumda denklemin tek çözümü olur.
\( a \ne 0 \) ise,
\( ax + b = 0 \)
\( x = -\dfrac{b}{a} \)
Çözüm kümesi: \( x = -\dfrac{b}{a} \)
\( 3x - 15 = 0 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
Çözüm kümesi: \( x = 5 \)
Tüm Reel Sayılar
\( a \) ve \( b \) katsayılarının ikisinin de sıfır olduğu durumda denklemin tüm reel sayılar olmak üzere sonsuz çözümü olur. \( a = 0 \) olduğu durumda bu denklemin bir lineer denklem olmayacağını vurgulayalım.
\( a = b = 0 \) ise,
\( ax + b = 0 \)
\( 0x + 0 = 0 \)
\( 0 = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
\( (m - 3n)x + 2m - 5n - 2 = 0 \)
Yukarıdaki denklemin sonsuz çözümünün olması için \( m \) ve \( n \) değerleri ne olmalıdır?
Denklemin sonsuz çözümünün olması için \( x \) katsayısı ve sabit terim sıfır olmalıdır.
\( m - 3n = 0 \)
\( \Longrightarrow m = 3n \)
\( 2m - 5n - 2 = 0 \)
\( \Longrightarrow 6n - 5n - 2 = 0 \)
\( \Longrightarrow n = 2 \)
\( m = 3n = 6 \)
\( (m, n) = (6, 2) \) bulunur.
Bu değerleri denklemde yerine koyalım.
\( (6 - 3 \cdot 2)x + 2 \cdot 6 - 5 \cdot 2 - 2 = 0 \)
\( 0x + 0 = 0 \)
\( a \) ve \( b \) katsayılarının ikisi de sıfır olduğunda oluşan \( 0 = 0 \) eşitliği, \( x \) bilinmeyeninin alabileceği tüm değerler için, yani \( x \)'in değerinden bağımsız olarak eşitliğin sağlanacağını gösterir, dolayısıyla çözüm kümesi tüm reel sayılar olur.
Boş Küme
\( a \) katsayısı sıfır, \( b \) katsayısı sıfırdan farklı olduğu durumda denklemin çözüm kümesi boş küme olur. Yukarıdaki duruma benzer şekilde, \( a = 0 \) olduğu durumda bu denklemin bir lineer denklem olmayacağını vurgulayalım.
\( a = 0, \quad b \ne 0 \) ise,
\( ax + b = 0 \)
\( 0x + b = 0 \)
\( b = 0 \)
\( b \ne 0 \) varsaydığımız için eşitlik hiçbir \( x \) değeri için sağlanmaz.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\} \)
\( (3m + 9)x - m - 2n - 7 = 0 \)
Yukarıdaki denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için \( n \) hangi değeri alamaz?
Denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için \( x \) katsayısı sıfır olmalı ve sabit terim sıfırdan farklı olmalıdır.
\( 3m + 9 = 0 \)
\( \Longrightarrow m = -3 \)
\( -m - 2n - 7 \ne 0 \)
\( \Longrightarrow 3 - 2n - 7 \ne 0 \)
\( \Longrightarrow n \ne -2 \)
Buna göre denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için \( n = -2 \) değerini alamaz.
\( b \)'nin değerini sıfırdan farklı aldığımız için, yukarıda oluşan \( b = 0 \) eşitliği \( x \)'in hiçbir değeri için eşitliğin sağlanmayacağını gösterir, dolayısıyla çözüm kümesi boş küme olur.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümünde bilinmeyen eşitliğin bir tarafında yalnız ve katsayısız bir şekilde bırakılır ve eşitliği sağlayan bilinmeyen değeri bulunur. Bunu sağlarken önceki bölümde gördüğümüz denklem özellikleri kullanılır.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm adımlarını bir örnek üzerinden gösterelim.
Aşağıdaki denklemi sağlayan \( x \) değerini bulalım.
\( 3(x + 4) - 2x + 6 = \dfrac{-2(x + 8)}{3} \)
Adım 1: Taraflardan biri kesirli ifade şeklindeyse her iki tarafa aynı çarpma işlemi uygulanarak paydadan kurtulunur. Her iki taraf da kesirli ifade şeklindeyse içler - dışlar çarpımı yapılır.
Denklemin sağ tarafındaki paydadan kurtulmak için her iki tarafı 3 ile çarpalım.
\( (3(x + 4) - 2x + 6) \cdot 3 = \dfrac{-2(x + 8)}{3} \cdot 3 \)
\( 3(3(x + 4) - 2x + 6) = -2(x + 8) \)
Adım 2: Eşitliğin her iki tarafındaki parantezli terimler dağıtılır.
Denklemin iki tarafındaki parantezleri dağıtalım.
\( 9(x + 4) - 6x + 18 = -2x - 16 \)
\( 9x + 36 - 6x + 18 = -2x - 16 \)
Adım 3: Her iki taraftaki benzer terimler kendi aralarında toplanır.
Denklemin sol tarafındaki benzer terimleri toplayalım.
\( 3x + 54 = -2x - 16 \)
Adım 4: Her iki tarafa aynı toplama ve çıkarma işlemleri uygulanarak bilinmeyenli terimler eşitliğin bir tarafında, sabit terimler eşitliğin diğer tarafında toplanır. İşlem kolaylığı açısından bilinmeyenlerin bilinmeyen katsayısının daha büyük olduğu tarafta toplanması tercih edilebilir.
Eşitliğin sağ tarafındaki \( x \)'li terimi eşitliğin sol tarafına almak için her iki tarafa \( 2x \) ekleyelim.
\( 3x + 54 + 2x = -2x - 16 + 2x \)
\( 5x + 54 = -16 \)
Eşitliğin sol tarafındaki sabit terimi eşitliğin sağ tarafına almak için her iki taraftan \( 54 \) çıkaralım.
\( 5x + 54 - 54 = -16 - 54 \)
\( 5x = -70 \)
Adım 5: Her iki tarafa aynı çarpma ve bölme işlemleri uygulanarak bilinmeyenin katsayısı 1'e getirilir. Bu adım sonucunda bulunan değer denklemin olası bir çözümüdür.
\( x \)'in katsayısını 1'e getirmek için her iki tarafı 5'e bölelim.
\( \dfrac{5x}{5} = \dfrac{-70}{5} \)
\( x = -14 \)
Adım 6: Bulunan değer orijinal denklemde yerine konarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilir.
\( x = -14 \) değerini orijinal denklemde yerine koyalım.
\( 3(x + 4) - 2x + 6 = \dfrac{-2(x + 8)}{3} \)
\( 3(-14 + 4) - 2(-14) + 6 \stackrel{?}{=} \dfrac{-2(-14 + 8)}{3} \)
\( -30 + 28 + 6 \stackrel{?}{=} \dfrac{12}{3} \)
\( 4 = 4 \)
Eşitlik sağlandığı için \( x = -14 \) değeri denklemin çözümüdür.
Çözüm kümesi: \( x = -14 \)
Bir miktar paranın 30 TL eksiğinin üçte ikisi, paranın üç katının 20 TL fazlasının beşte birine eşitse bu para kaç TL'dir?
Sorudaki bilinmeyeni tanımlayalım ve verilen bilgileri cebirsel ifadelere dönüştürerek denklemi kuralım.
\( x \): Para miktarı
\( (x - 30) \cdot \dfrac{2}{3} = (3x + 20) \cdot \dfrac{1}{5} \)
Denklemi düzenleyelim.
\( \dfrac{2(x - 30)}{3} = \dfrac{3x + 20}{5} \)
Denklemin iki tarafındaki paydalardan kurtulmak için içler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 2(x - 30) \cdot 5 = (3x + 20) \cdot 3 \)
\( 10(x - 30) = 3(3x + 20) \)
Denklemin iki tarafındaki parantezleri dağıtalım.
\( 10x - 300 = 9x + 60 \)
\( x \)'li terimleri eşitliğin sol tarafına almak için her iki taraftan \( 9x \) çıkaralım.
\( 10x - 300 - 9x = 9x + 60 - 9x \)
\( x - 300 = 60 \)
Sabit terimleri eşitliğin sağ tarafına almak için her iki tarafa \( 300 \) ekleyelim.
\( x - 300 + 300 = 60 + 300 \)
\( x = 360 \)
Bulduğumuz değeri orijinal denklemde yerine koyarak eşitliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
\( (x - 30) \cdot \dfrac{2}{3} = (3x + 20) \cdot \dfrac{1}{5} \)
\( (360 - 30) \cdot \dfrac{2}{3} = (3(360) + 20) \cdot \dfrac{1}{5} \)
\( 330 \cdot \dfrac{2}{3} = 1100 \cdot \dfrac{1}{5} \)
\( 220 = 220 \)
Eşitlik sağlandığı için verilen koşulları sağlayan para miktarı 220 TL'dir.
Çözüm kümesi: \( x = 220 \)
Aşağıdaki denklemleri sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
(a) \( 25 - (6 - 2x) = 35 - 3(2x + 8) \)
(b) \( 6x - 1 - 3(x + 12) - 8x = 4(5 - 2x) \)
(c) \( 45x - 9(3x - 7) - 80 = 30(x - 2) - 6x - 17 \)
Çözümü GösterAşağıdaki denklemleri sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
(a) \( \dfrac{2}{2 - x} = \dfrac{4}{3 - x} \)
(b) \( \dfrac{2x - 3}{4x + 1} = \dfrac{-x - 1}{5 - 2x} \)
(c) \( \dfrac{x}{3} - \dfrac{2x}{9} - 13 = \dfrac{1}{3} + x \)
Çözümü GösterAşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
(a) \( 3(2x - 1) + 6(-x - 1) = 5(4x + 5) - 2(10x - 4) \)
(b) \( \dfrac{x - 2}{2} - 3x = -\dfrac{5x}{2} - 1 \)
(c) \( \dfrac{\frac{15x}{2} - 4}{5} - \dfrac{1 + 3x}{2} = 0 \)
Çözümü GösterAşağıdaki denklemleri sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
(a) \( \dfrac{x}{3} + 8x - 5 = \dfrac{5(x - 7)}{6} \)
(b) \( \dfrac{3x - 8}{2} - \dfrac{12 - 2x}{3} = \dfrac{11x}{6} \)
(c) \( \dfrac{1}{3}(2x + 14) - \dfrac{1}{5}(-2x - 3) =\dfrac{1}{6}(x + 10) \)
Çözümü Göster\( \dfrac{k(3k - 2x)}{2x - 3k} + 4 = 0 \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( (k - 7)x^4 + 5x^{n - 1} - 3kn = 8 \) ifadesi \( x \) değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir.
Buna göre \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 18x - 2(3x - 1) = 86 \)
olarak veriliyor. Buna göre \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{t - 4}{5} - \dfrac{2t - 6}{3} = 4 \)
olduğuna göre, \( t \) kaçtır?
Çözümü Göster\( k \) sıfırdan farklı bir reel sayıdır.
\( (k - 5)x + 2k - 12 = 10 \)
denkleminin kökü 2 olduğuna göre, \( 2kx + 3k + 12 = 5x - k \) denkleminin kökü kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{36}{2 + \dfrac{4}{\dfrac{x - 2}{x + 7}}} + 3 = 15 \)
denklemini sağlayan \( x \) değeri nedir?
Çözümü Göster\( (2a - b)x - 3ab = (x - 4b)a + ab \)
denklemi her \( x \) reel sayısı için sağlandığına göre, \( a \) ve \( b \) arasındaki bağıntı nedir?
Çözümü Göster\( *(x)* = 7 - 4x \) işlemi veriliyor.
\( *(12 + *(2 - k)*)* = 59 \)
olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{8a^3 + 1}{4a^2 - 1} = 7 + 2a \)
eşitliğini sağlayan \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{4}{x + 3} - \dfrac{3}{x - 3} = \dfrac{-18}{x^2 - 9} \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster