İki ya da daha fazla cebirsel ifadenin değerlerinin birbirinden küçük ya da büyük olduğunu bu ifadeler arasına konan eşitsizlik sembolleri ile gösteren matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.
İki değişkenin değerleri arasında aşağıdaki üç durumdan sadece biri doğru olabilir.
İki değişkenin değerleri arasındaki bu eşitlik ya da eşitsizlik, bir terazinin kefeleri ve aralarındaki denge/dengesizlik durumuna benzetilebilir.
Eşitsizlikler iki ya da daha fazla taraftan oluşabilirler.
Eşitsizliklerde ifadenin tarafları arasında aşağıdaki sembollerden biri kullanılır.
Aynı bilinmeyenleri içeren, iki ya da daha fazla eşitsizlikten oluşan ve tüm eşitsizlikleri birlikte sağlayan bir çözümü bulunmaya çalışılan eşitsizlik grubuna eşitsizlik sistemi denir.
Aşağıda iki eşitsizlikten oluşan bir eşitsizlik sistemi örnek olarak verilmiştir.
Eşitsizlikler içerdikleri bilinmeyen sayısına göre bir, iki, üç ya da \( n \) bilinmeyenli eşitsizlik şeklinde isimlendirilirler.
Eşitsizlikler içerdikleri üslü/köklü/mutlak değerli ifadeler ya da fonksiyonlara göre de birbirlerinden ayrılırlar. Denklemler bölümünde listelediğimiz denklem tiplerinin tümü için birer eşitsizlik yazılabilir.
SORU 1:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 5 \lt x \lt 9 \) ve \( 7 \lt y \lt 17 \) veriliyor.
\( A = x - y \) olduğuna göre, \( A \) sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözümü Göster
Soruda \( x \) ve \( y \)'nin tam sayı değil reel sayı olarak verildiğine ve eşitsizliklerde küçük eşittir değil küçüktür sembollerinin kullanıldığına dikkat edilmelidir.
Buna göre \( x - y \) ifadesinin alt sınır değeri \( x = 5 \) ve \( y = 17 \) değerlerinde oluşur.
\( x - y \gt 5 - 17 \)
\( x - y \gt -12 \)
\( x - y \) ifadesinin üst sınır değeri \( x = 9 \) ve \( y = 7 \) değerlerinde oluşur.
\( x - y \lt 9 - 7 \)
\( x - y \lt 2 \)
Buna göre \( x - y \) ifadesinin değer aralığı aşağıdaki gibi olur.
\( -12 \lt x - y \lt 2 \)
Bu aralıktaki tam sayı değerlerin sayısını bulmak için ardışık sayılarda terim sayısı formülünü kullanalım.
\( \dfrac{1 - (-11)}{1} + 1 = 13 \) farklı tam sayı değeri vardır.
SORU 2:
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( -2 \lt a \lt 3 \)
\( 4 \lt b \lt 11 \) eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre \( 6a - 4b \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \) birer tam sayı oldukları için \( a \)'ya en büyük tam sayı değerini, \( b \)'ye en küçük tam sayı değerini vererek \( 6a - 4b \) ifadesinin en büyük değerini bulabiliriz.
\( a \)'nın en büyük değeri 2'dir.
\( b \)'nin en küçük değeri 5'tir.
Bu değerleri yerlerine koyalım.
\( 6a - 4b = 6 \cdot 2 - 4 \cdot 5 \)
\( = 12 - 20 = -8 \) bulunur.
SORU 3:
\( 3332 \cdot 3334 \lt x \lt 3333 \cdot 3333 \)
eşitsizliğini sağlayan kaç \( x \) tam sayısı vardır?
Çözümü Göster
Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi kare farkı şeklinde yazalım.
\( 3332 \cdot 3334 = (3333 - 1)(3333 + 1) \)
\( = 3333^2 - 1^2 \)
Eşitsizliği bu doğrultuda düzenleyelim.
\( 3333^2 - 1 \lt x \lt 3333^2 \)
Buna göre verilen eşitsizliği sağlayan bir \( x \) tam sayı değeri yoktur.
SORU 4:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( -4 \lt x \lt -3 \) ve \( 8 \lt y \lt 9 \)
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisinin alabileceği en büyük değer diğerlerinden büyüktür?
(a) \( \dfrac{-xy}{2} \)
(b) \( (x + y)^2 \)
(c) \( \dfrac{x^4}{y} \)
(d) \( x^3y \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
İfadenin başında negatif işareti olduğu için \( xy \) çarpımını en küçük negatif sayı yapmaya çalışmalıyız. Bunun için \( x = -4 \) ve \( y = 9 \) seçilir.
\( \dfrac{-xy}{2} = \dfrac{-(-4) \cdot 9}{2} = 18 \)
\( \dfrac{-xy}{2} \lt 18 \)
(b) seçeneği:
İfade parantez karesi olduğu için \( x + y \) toplamını mutlak değerce en büyük yapmaya çalışmalıyız. Bunun için \( x = -3 \) ve \( y = 9 \) seçilir.
\( (x + y)^2 = (-3 + 9)^2 = 36 \)
\( (x + y)^2 \lt 36 \)
(c) seçeneği:
Sonuç pozitif olacağı için payı en büyük, paydayı en küçük yapmaya çalışmalıyız. Bunun için \( x = -4 \) ve \( y = 8 \) seçilir.
\( \dfrac{x^4}{y} = \dfrac{(-4)^4}{8} = 32 \)
\( \dfrac{x^4}{y} \lt 32 \)
(d) seçeneği:
\( x \) sadece negatif, \( y \) sadece pozitif değer alabildiğinden \( x^3y \lt 0 \) olur.
Buna göre \( b \) seçeneğindeki ifadenin alabileceği en büyük değer diğerlerinden büyüktür.
SORU 5:
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3 \le a \le 4 \), \( -3 \le b \le -1 \), \( 9 \le c \le 12 \) olduğuna göre,
\( d = \dfrac{b^a}{c} \) için en geniş değer aralığı nedir?
Çözümü Göster
\( d \)'nin en büyük değerini alması için \( b^a \) en büyük, \( c \) en küçük değerini almalıdır.
\( b = -3, \quad a = 4, \quad c = 9 \)
\( d = \dfrac{(-3)^4}{9} = \dfrac{81}{9} = 9 \)
\( d \)'nin en küçük değerini alması için \( b^a \) en küçük, \( b^a \) negatif olacağı için \( c \) yine en küçük değerini almalıdır.
\( d = \dfrac{(-3)^3}{9} = \dfrac{-27}{9} = -3 \)
\( d \)'nin en geniş değer aralığı aşağıdaki gibi bulunur.
\( -3 \le d \le 9 \)
SORU 6:
\( x, y, z \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( -\pi \lt x \lt \pi \)
\( -8 \le y \lt \sqrt{19} \)
\( -\sqrt{7} \lt z \lt 7 \)
olduğuna göre, \( 3x + 4y - 2z \) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
\( 3x + 4y - 2z \) ifadesi en büyük değerini; işareti pozitif olan \( x \) ve \( y \) değişkenleri en büyük, işareti negatif olan \( z \) değişkeni ise en küçük tam sayı değerini aldığında alır.
\( \pi = 3,14... \)
Buna göre \( x \)'in en büyük tam sayı değeri 3'tür.
\( 4 \lt \sqrt{19} \lt 5 \)
Buna göre \( y \)'nin en büyük tam sayı değeri 4'tür.
\( -3 \lt -\sqrt{7} \lt -2 \)
Buna göre \( z \)'nin en küçük tam sayı değeri -2'dir.
Bu değerleri verilen ifadede yerine yazalım.
\( 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 2(-2) = 29 \) bulunur.
SORU 7:
\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
I. \( 4x^2 + 4x \ge -1 \)
II. \( x^2 + y^2 \ge 2xy \)
III. \( 4x^2 + 4y^2 \ge 4x + 4y - 1 \)
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Çözümü Göster
I. öncül:
\( 4x^2 + 4x + 1 \ge 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (2x + 1)^2 \ge 0 \)
Tam kare ifade her zaman sıfır ya da pozitif olacağı için eşitsizlik her \( x \) değeri için sağlanır.
I. öncül her zaman doğrudur.
II. öncül:
\( x^2 - 2xy + y^2 \ge 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (x - y)^2 \ge 0 \)
Tam kare ifade her zaman sıfır ya da pozitif olacağı için eşitsizlik her \( x \) ve \( y \) değeri için sağlanır.
II. öncül her zaman doğrudur.
III. öncül:
\( 4x^2 - 4x + 1 + 4y^2 - 4y \ge 0 \)
\( 4x^2 - 4x + 1 + 4y^2 - 4y + 1 - 1 \ge 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (2x - 1)^2 + (2y - 1)^2 \ge 1 \)
İki tam kare ifadenin toplamı her zaman sıfır ya da pozitif olur, ancak toplam her \( x \) ve \( y \) değeri için 1 ya da 1'den büyük olmayabilir.
III. öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre I. ve II. öncüller her zaman doğrudur.
SORU 8:
\( x \lt \abs{x} \) eşitsizliği aşağıdaki aralıkların hangilerinin tümünde sağlanır?
I. \( x \lt -2 \)
II. \( -5 \le x \lt 0 \)
III. \( x \gt 3 \)
IV. \( -3 \le x \lt 2 \)
Çözümü Göster
Bir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse bu sayı negatiftir.
Çözüm kümesi: \( x \lt 0 \)
I. ve II. aralıkların tümü çözüm kümesinin içindedir.
III. aralığın tümü çözüm kümesinin dışındadır.
IV. aralık kısmen çözüm kümesinin içinde kısmen dışındadır.
Buna göre verilen eşitsizlik I. ve II. aralıkların tümünde sağlanır.
SORU 9:
\( x, y, z \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x \lt y \lt z \lt 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi hiçbir zaman doğru olamaz?
(a) \( yz \gt x \)
(b) \( x - z \gt y \)
(c) \( \dfrac{x}{y} \gt z \)
(d) \( y + z \gt x \)
(e) \( x + z \gt y \)
Çözümü Göster
Öncülleri teker teker inceleyelim.
(a) seçeneği:
\( y \) ve \( z \) negatif olduğu için çarpımları pozitif olur. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan büyük olduğu için bu öncül her zaman doğru olur.
(b) seçeneği:
\( x \) sayısından kendisinden daha büyük olan \( z \) sayısı çıkarıldığında sonuç negatif olur. Elde edilen sonuç negatif \( y \) sayısından büyük de küçük de olabilir, dolayısıyla bu eşitsizlik doğru ya da yanlış olabilir.
(c) seçeneği:
\( x \) ve \( y \) negatif olduğu için bölümleri pozitif olur. Pozitif bir sayı negatif bir sayıdan büyük olduğu için bu öncül her zaman doğru olur.
(d) seçeneği:
Negatif \( y \) sayısı ile negatif \( z \) sayısı toplandığında sonuç \( y \) sayısından daha küçük bir negatif sayı olur. Elde edilen sonuç negatif \( x \) sayısından büyük de küçük de olabilir, dolayısıyla bu eşitsizlik doğru ya da yanlış olabilir.
(e) seçeneği:
Negatif \( x \) sayısı ile negatif \( z \) sayısı toplandığında sonuç \( x \) sayısından daha küçük bir negatif sayı olur, dolayısıyla bu eşitsizlik hiçbir zaman doğru olamaz.
Hiçbir zaman doğru olamayacak eşitsizlik (e) seçeneğidir.
SORU 10:
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 3e \lt \abs{x} \lt 8\pi \) eşitsizliğini sağlayan kaç \( x \) değeri vardır?
Çözümü Göster
Euler (\( e \)) ve \( \pi \) sayılarını ondalıklı şekilde yazalım.
\( e = 2,71\ldots \)
\( \pi = 3,14\ldots \)
Euler sayısını ve \( \pi \) sayısını sorulan eşitsizlikte, yukarıda yazılan eşitlikleri kullanarak tekrar yazalım.
\( 3e \lt \abs{x} \lt 8\pi \)
\( 3 \cdot 2,71\ldots \lt \abs{x} \lt 8 \cdot 3,14\ldots \)
\( 8,13\ldots \lt \abs{x} \lt 25,12\ldots \)
\( x \ge 0 \) ise,
\( 8,13\ldots \lt x \lt 25,12\ldots \)
\( x \in [9, 25] \)
\( x \lt 0 \) ise,
\( 8,13\ldots \lt -x \lt 25,12\ldots \)
\( -8,13\ldots \gt x \gt -25,12\ldots \)
\( x \in [-25, -9] \)
2 aralığın birleşim kümesi \( x \) çözüm kümesini verir.
\( x \in [-25, -9] \cup [9, 25] \)
Bu aralıklardaki tam sayı adedini terim sayısı formülü ile bulalım.
\( 2(25 - 9 + 1) = 17 \cdot 2 \)
\( = 34 \) tam sayı bulunur.
