Cramer Kuralı

\( AX = B \) şeklindeki bir matris denkleminde,

\( X \): \( n \times 1 \) boyutlarında bilinmeyenler matrisi

\( A \): \( m \times n \) boyutlarında katsayılar matrisi

\( B \): \( m \times 1 \) boyutlarında sabit terimler matrisi

\( A_i \): Katsayı matrisinde \( i \). sütununun \( B \) matrisi ile yer değiştirdiği matris olmak üzere,

\( x_i \) bilinmeyeninin çözümü aşağıdaki formülle bulunur.

\( x_i = \dfrac{det(A_i)}{det(A)} \)

---

Aşağıdaki denklem sistemini Cramer kuralını kullanarak çözelim.

\( 4x - y = 5 \)

\( x + 2y = 8 \)

---

Katsayı matrisi:

\( A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)

Sabit terim matrisi:

\( B = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{red}{8} \end{bmatrix} \)

1. bilinmeyen olan \( x \) için \( A_x \) matrisinde 1. sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.

\( A_x = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{5} & -1 \\ \textcolor{red}{8} & 2 \end{bmatrix} \)

\( x \) bilinmeyeni için çözüm:

\( x = \dfrac{det(A_x)}{det(A)} \)

\( = \dfrac{\left|\begin{matrix} 5 & -1 \\ 8 & 2 \end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right|} \)

\( = \dfrac{5 \cdot 2 - 8 \cdot (-1)}{4 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)} \)

\( = \dfrac{18}{9} = 2 \) olarak bulunur.

2. bilinmeyen olan \( y \) için \( A_y \) matrisinde 2. sütun \( B \) matrisi ile yer değiştirir.

\( A_y = \begin{bmatrix} 4 & \textcolor{red}{5} \\ 1 & \textcolor{red}{8} \end{bmatrix} \)

\( y \) bilinmeyeni için çözüm:

\( y = \dfrac{det(A_y)}{det(A)} \)

\( = \dfrac{\left|\begin{matrix} 4 & 5 \\ 1 & 8 \end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right|} \)

\( = \dfrac{4 \cdot 8 - 1 \cdot 5}{4 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)} \)

\( = \dfrac{27}{9} = 3 \) olarak bulunur.

Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi \( (x, y) = (2, 3) \) olarak bulunur.