Eşitsizliklerin Özellikleri

Eşitsizliklerin özellikleri, eşitsizliğin bir tarafında yapacağımız bir değişikliğin aynısını eşitsizliği bozmadan (ya da eşitsizliğin yönünü değiştirerek) eşitsizliğin diğer tarafında da yapabileceğimizi söyler. Denklemlerde yapabildiğimiz çoğu işlemi eşitsizliklerde de yapabiliriz, sadece eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıya bölmek/çarpmak gibi birkaç durumda eşitsizlikler denklemlerden farklı davranmaktadır.

Eşitsizlikler üzerinde yaptığımız bazı işlemlerde eşitsizlik sembolünün yönünü değiştirmemiz gerekmektedir. Aşağıda her eşitsizlik sembolünün ters yönlü sembolü verilmiştir. Eşitsizliklerde kullanacağımız bir sembolün ters sembolü ile, mantık konusunda göreceğimiz bir sembolün olumsuzu (değili) arasındaki ayrımı göstermek adına üçüncü sütunda bu sembol de belirtilmiştir.

Sembol Ters Yönlü Sembol Olumsuz (Mantık)
\( \gt \) \( \lt \) \( \le \)
\( \lt \) \( \gt \) \( \ge \)
\( \le \) \( \ge \) \( \gt \)
\( \ge \) \( \le \) \( \lt \)

Aşağıda listelediğimiz özelliklerde örnek olarak \( \lt \) sembolü kullanılmıştır. Tüm özelliklerde \( \gt \), \( \le \) ya da \( \ge \) sembolleri de kullanılabilir.

Eşitsizlik çözümlerinde sıklıkla kullanacağımız özellikler aşağıdaki gibidir.

İki cebirsel ifade arasındaki aşağıdaki eşitlik ya da eşitsizliklerden sadece bir tanesi doğru olabilir.

Bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları aralarında yer değiştirirse eşitsizlik de yön değiştirir.

Geçişlilik özelliğine göre, bir ifade ikinci bir ifadeden küçükse, ikinci ifade de üçüncü bir ifadeden küçükse, birinci ifade üçüncü ifadeden küçüktür.

Yukarıdaki örnekte birinci satırdaki eşitsizliklerden biri küçük eşit, diğeri küçüktür ise ikinci satırda sonuç küçüktür olacaktır.

Toplama işlem özelliğine göre, bir eşitsizliğin her iki tarafını aynı reel sayı ile topladığımızda eşitsizlik bozulmaz.

Çıkarma işlem özelliğine göre, bir eşitsizliğin her iki tarafından aynı reel sayıyı çıkardığımızda eşitsizlik bozulmaz.

Çarpma işlem özelliğine göre, bir eşitsizliğin her iki tarafını aynı pozitif reel sayıyla çarptığımızda eşitsizlik bozulmaz.

Bir eşitsizliğin her iki tarafını aynı negatif reel sayıyla çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.

Yukarıdaki özelliğin bir uygulaması olarak, bir eşitsizliğin her iki tarafını \( -1 \) ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.

Bölme işlem özelliğine göre, bir eşitsizliğin her iki tarafını aynı pozitif reel sayıya böldüğümüzde eşitsizlik bozulmaz.

Bir eşitsizliğin her iki tarafını aynı negatif reel sayıya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir.

Eşitsizliğin tarafları aynı işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirir.

Eşitsizliğin tarafları ters işaretli ise eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini aldığımızda eşitsizlik bozulmaz.

İki sayının çarpımı pozitif ise sayılar aynı işaretlidir.

İki sayının çarpımı negatif ise sayılar ters işaretlidir.


« Önceki
Eşitsizlikler
Sonraki »
Eşitsizlikler Arası İşlemler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır