Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler, derecesi (kuvveti) bir olan iki bilinmeyenden oluşan denklemlerdir.
\( a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0, \quad b \ne 0 \) olmak üzere,
\( ax + by + c = 0 \)
Yukarıdaki denklemde \( x \) ve \( y \) denklemin bilinmeyenleri, \( a \), \( b \) ve \( c \) denklemin katsayılarıdır. \( b \) katsayısı aynı zamanda denklemin sabit terimidir.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler karşımıza farklı biçimlerde çıkabilir. Aşağıdaki denklemlerin tümünde terimleri düzenlediğimizde ilk satırda verilen \( ax + by + c = 0 \) biçimindeki \( 2x - y + 4 = 0 \) denklemini elde edebiliriz.
\( 2x - y + 4 = 0 \)
\( 2x - y = -4 \)
\( y = 2x + 4 \)
\( \dfrac{y}{4} - \dfrac{x}{2} = 1 \)
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemlerin Çözüm Kümesi
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler analitik düzlemde bir doğru belirtir. Bu doğru üzerindeki tüm noktalar ve bu noktaların karşılık geldiği \( (x, y) \) sıralı ikilileri denklemin birer çözümüdür ve doğrunun kendisi denklemin çözüm kümesidir.
Örnek olarak aşağıdaki gibi bir denklemin çözüm kümesini bulalım.
\( 3x + 2y - 24 = 0 \)
İki bilinmeyeni olan tek bir denklemde \( x \) ya da \( y \)'yi yalnız bırakarak tek bir çözüm bulmamız mümkün gözükmemektedir, çünkü bu denklem bize \( x \) ve \( y \) arasındaki bir ilişkiyi vermektedir ve bu ilişkiyi kullanarak denklemi sağlayan pek çok \( (x, y) \) ikilisi bulmamız mümkündür.
Verilen denklemin analitik düzlemde grafiğini çizersek aşağıdaki grafiği elde ederiz. (Doğrunun grafiğini çizmek için denklemi sağlayan iki noktayı işaretlememiz ve bu noktaları birleştiren bir doğru çizmemiz yeterlidir.)
Bu grafik bize denklemin çözümü olan tüm \( (x, y) \) sıralı ikililerini vermektedir. Buna göre, doğru üzerindeki noktaların her biri denklemin bir çözümü olmaktadır. Doğrunun üzerindeki noktaları denklemde yerine koyduğumuzda denklemin sağlandığını, doğrunun üzerinde olmayan noktaları denklemde yerine koyduğumuzda denklemin sağlanmadığını aşağıdaki tabloda görebiliriz.
| Nokta | \( 3x + 2y - 24 = 0 \) |
|---|---|
| \( (-3, 3) \) | \( 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 3 - 24 = -27 \ne 0 \) |
| \( (8, 9) \) | \( 3 \cdot 8 + 2 \cdot 9 - 24 = 18 \ne 0 \) |
| \( (0, 12) \) | \( 3 \cdot 0 + 2 \cdot 12 - 24 = 0 = 0 \) |
| \( (2, 9) \) | \( 3 \cdot 2 + 2 \cdot 9 - 24 = 0 = 0 \) |
| \( (4, 6) \) | \( 3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 - 24 = 0 = 0 \) |
| \( (6, 3) \) | \( 3 \cdot 6 + 2 \cdot 3 - 24 = 0 = 0 \) |
| \( (8, 0) \) | \( 3 \cdot 8 + 2 \cdot 0 - 24 = 0 = 0 \) |
Doğrunun üzerindeki her nokta denklemin bir çözümü olduğu için, bu örnek bize birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olduğunu göstermektedir.