Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

\( mx + 2y + 8 = 0 \)

\( 6x - 4y + n = 0 \)

Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ise bu denklemlerin temsil ettiği doğrular çakışıktır, dolayısıyla katsayılarının oranları birbirine eşittir.

\( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)

\( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)

\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \) şeklinde olur.

Verilen denklemlerin katsayılarına bu eşitliği uygulayalım.

\( \dfrac{m}{6} = \dfrac{2}{-4} = \dfrac{8}{n} \)

\( m = -3, \quad n = -16 \)

\( m + n = -3 + (-16) = -19 \) bulunur.

\( 3x + ay + 1 = 0 \)

\( ax + 12y + 2 = 0 \)

Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme ise bu denklemlerin temsil ettiği doğrular paraleldir, dolayısıyla \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranları birbirine eşitken sabit termlerinin oranları farklıdır.

\( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)

\( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)

\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2} \)

Verilen denklemlerin katsayılarına bu eşitliği/eşitsizliği uygulayalım.

\( \dfrac{3}{a} = \dfrac{a}{12} \ne \dfrac{1}{2} \)

\( a^2 = 36 \Longrightarrow a = \pm 6 \)

\( \dfrac{a}{12} \ne \dfrac{1}{2} \Longrightarrow a \ne 6 \)

\( a = -6 \) olarak bulunur.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan denklem sisteminin çözüm kümesi tek elemanlı ise bu denklemlerin temsil ettiği doğrular çakışık ya da paralel değildir, dolayısıyla \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranları birbirinden farklıdır.

\( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)

\( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)

Verilen denklemlerin katsayılarına bu eşitsizliği uygulayalım.

\( \dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2} \)

\( \dfrac{k - 2}{4k - 10} \ne \dfrac{4}{8} \)

\( 2k - 4 \ne 4k - 10 \)

\( 2k \ne 6 \)

\( k \ne 3 \)

Birinci dereceden denklemlerin grafikleri birer doğrudur.

İki doğrunun çözüm kümelerinin aynı olması için bu doğrular çakışık olmalıdır.

İki doğrunun çakışık olması için katsayılarının ve sabit terimlerinin oranları birbirine eşit olmalıdır.

\( kx - y + 6 = 0 \)

\( 8x - 4y + t = 0 \)

\( \dfrac{k}{8} = \dfrac{-1}{-4} = \dfrac{6}{t} \)

Birinci ve ikinci eşitlikler arası içler - dışlar çarpımı yaparak \( k \) değeri bulalım.

\( -4k = -8 \Longrightarrow k = 2 \)

İkinci ve üçüncü eşitlikler arası içler - dışlar çarpımı yaparak \( t \) değeri bulalım.

\( -1 \cdot t = -4 \cdot 6 \)

\( t = 24 \)

Buna göre \( \frac{t}{k} = \frac{24}{2} = 12 \) bulunur.