Aralık Gösterimi

İki reel sayı arasındaki tüm reel sayılardan oluşan alt kümeye aralık ya da reel sayı aralığı denir. Bir sayı aralığının alt ve üst sınır noktalarına aralığın uç noktaları denir. Bu uç noktalar birer sayı olabildiği gibi, eksi sonsuz (\( -\infty \)) ya da artı sonsuz (\( +\infty \)) da olabilir.

Aralık Gösterimi

Aralıkların gösterimini dört farklı şekilde yapabiliriz:

Sayı Doğrusu

Sayı doğrusu üzerinde belirli değerleri gösterebildiğimiz gibi, değer aralıklarını da gösterebiliriz. Bir değer aralığı sayı doğrusu üzerinde aralığın uç noktalarını birleştiren kalın bir çizgi ile gösterilir. Aralığa dahil olan uç noktaları içi dolu bir nokta ile, aralığa dahil olmayan uç noktaları içi boş bir nokta ile gösterilir.

Ortak Özellik Yöntemi

Aynı zamanda birer sayı kümesi olan değer aralıklarını, küme gösterim yöntemlerinden biri olan ortak özellik yöntemi ile de gösterebiliriz.

Ortak özellik yönteminde, önce değer aralığı verilen değişken belirtilir. ":" ya da "|" işaretini takiben değer aralığı eşitsizlik işaretleri (\( \lt, \le, \gt, \ge \)) ile tanımlanır. Aralıktaki değerlerin hangi sayı kümesine ait olduğu ek bir koşul olarak belirtilir.

Eşitsizlik Gösterimi

Bu gösterimde ortak özellik gösteriminin sadece eşitsizlik kısmı gösterilir. Kullanılan değişkenin hangi sayı kümesine ait olduğu problem tanımında belirtilmelidir.

Aralık Gösterimi

Diğer yöntemlerden daha pratik bir gösterim olan aralık gösteriminde, aralığın uç noktaları virgülle ayrılarak ve "[]" ve "()" parantezleri kullanılarak gösterilir. Aralığa dahil olan uç noktalar için "[]" parantezleri, aralığa dahil olmayan uç noktalar için "()" parantezleri kullanılır.

Bir aralığın alt veya üst uç noktası sınırsız (sonsuz) ise bu sınır için kapalı değil açık aralık kullanılır, bunun sebebi sonsuzun bir değer değil bir kavram olması ve sonsuza hiçbir zaman ulaşamayacak olmamızdır.

Aralık gösteriminde daha küçük olan uç nokta her zaman ilk önce yazılır.

Aralık Tipleri

Sayı aralıkları uç noktaların sınırlı ya da sınırsız (sonsuz) olması ya da aralığa dahil olup olmamasına göre farklı şekillerde olabilir. Aşağıda farklı aralık tipleri için sayı doğrusu, eşitsizlik ve aralık gösterimleri verilmiştir.

Kapalı Aralık

Uç noktaların ikisinin de aralığa dahil olduğu aralıklara kapalı aralık denir.

Açık Aralık

Uç noktaların ikisinin de aralığa dahil olmadığı aralıklara açık aralık denir.

Yarı Açık Aralık

Uç noktaların birinin aralığa dahil olduğu, diğerinin olmadığı aralıklara yarı açık aralık denir. Yarı açık aralıkların birincisinde alt uç nokta kapalı iken üst uç nokta açıktır.

İkinci tip yarı açık aralıkta alt uç nokta açık iken üst uç nokta kapalıdır.

Alttan Sınırsız Aralık

Bir diğer aralık tipinde alt uç nokta belirli bir değer ile sınırlı değildir ve negatif sonsuza kadar değer alabilir. Alttan sınırsız aralıkların birincisinde üst uç nokta kapalıdır.

İkinci tip alttan sınırsız aralıkta üst uç nokta açıktır.

Üstten Sınırsız Aralık

Bir diğer aralık tipinde üst uç nokta belirli bir değer ile sınırlı değildir ve pozitif sonsuza kadar değer alabilir. Üstten sınırsız aralıkların birincisinde alt uç nokta kapalıdır.

İkinci tip üstten sınırsız aralıkta alt uç nokta açıktır.

Son üç aralık tipi, üç özel durumu göstermektedir.

Tüm Reel Sayılar

Özel durumların birincisinde, alt uç nokta eksi sonsuza, üst uç nokta artı sonsuza kadar değer alabilir, dolayısıyla aralık tüm reel sayılara karşılık gelir (\( x \in \mathbb{R} \)).

Tek Nokta Kümesi

Özel durumların ikincisinde, alt ve üst uç noktalar aynı değerdir ve kapalıdır, dolayısıyla aralık tek bir noktaya karşılık gelir (\( x \in \{a\}, x = a \)).

Boş Küme

Özel durumların sonuncusunda, alt ve üst uç noktalar aynı değerdir ve açıktır, dolayısıyla aralık tanımına uyan hiçbir nokta yoktur ve aralık boş kümeye karşılık gelir (\( x \in \emptyset \)).

Çoklu Aralıklar

Yukarıda gördüğümüz aralıkların tümü tek bir gösterimle ifade edebildiğimiz aralıklardır, bazı aralıkları ise çoklu gösterim ile ifade etmemiz gerekebilir. Bu tip aralıklara aşağıdaki gibi üç örnek verebiliriz.

Birden Fazla Aralığın Birleşimi

Bazı durumlarda herhangi ortak noktası olmayan iki ya da daha fazla aralığın bütününü ifade etmek isteyebiliriz, bunu aralıkların birleşim kümesini alarak sağlayabiliriz. Bu gösterim ile farklı aralıklara dahil olan değerlerin birleşimini kapsayan yeni bir değer kümesi elde etmiş oluruz.

Yukarıdaki aralığı daha geniş bir aralığın daha küçük bir aralıktan farkı olarak da gösterebiliriz.

Sayı aralıkları birer küme oldukları için aralıklar arasındaki işlemlerde toplama ve çıkarma gibi aritmetik işlemleri değil, kesişim, birleşim ve fark gibi küme işlemleri kullanmamız gerekir. Buna göre yukarıdaki aralık için aşağıdaki toplama ve çıkarma sembollerinin kullanımı yanlıştır. Kümelerdeki fark işlemi sembolünün "\" sembolüne ek olarak çıkarma işlemi sembolü olan "-" olduğunu da burada hatırlatmakta fayda görüyoruz.

Bir Aralık ve Bir Nokta

Bazı durumlarda bir aralığa bu aralığın dışından bir değer de dahil etmek isteyebiliriz. Bunu yine aralıkların birleşim kümesini alarak sağlayabiliriz.

Bir Nokta Hariç Bir Aralık

Bazı durumlarda bir aralıktaki bir noktayı aralığın dışında tutmak isteyebiliriz. Bunu kümelerin fark işlemini kullanarak sağlayabiliriz.