Aralık Gösterimi

İki reel sayı arasındaki tüm reel sayılardan oluşan kümeye aralık ya da reel sayı aralığı denir. Bir sayı aralığının alt ve üst sınır değerlerine aralığın uç noktaları denir. Bu sınır değerleri birer reel sayı olabildiği gibi negatif sonsuz (\( -\infty \)) ya da pozitif sonsuz (\( +\infty \)) da olabilir.

Aralık Gösterimi

Aralıkların gösterimi dört farklı şekilde yapılabilir.

Sayı Doğrusu

Sayı doğrusu üzerinde belirli değerler gösterilebildiği gibi değer aralıkları da gösterilebilir. Bir değer aralığı sayı doğrusu üzerinde aralığın uç noktalarını birleştiren kalın bir çizgi ile gösterilir. Aralığa dahil olan uç noktaları içi dolu, aralığa dahil olmayan uç noktaları içi boş birer nokta ile gösterilir.

Ortak Özellik Yöntemi

Değer aralıkları aynı zamanda birer sayı kümesi oldukları için küme gösterim yöntemlerinden biri olan ortak özellik yöntemi ile de gösterilebilirler.

Ortak özellik yönteminde önce değer aralığı tanımlanan değişken belirtilir. ":" ya da "|" işaretini takiben değer aralığı eşitsizlik sembolleri (\( \lt, \le, \gt, \ge \)) ile tanımlanır. Aralıktaki değerlerin hangi sayı kümesine ait olduğu ek bir koşul olarak belirtilir.

Eşitsizlik Gösterimi

Bu gösterimde ortak özellik gösteriminin sadece eşitsizlik kısmı gösterilir. Kullanılan değişkenin hangi sayı kümesine ait olduğu ayrıca belirtilmelidir, belirtilmediği durumda aralığın bir reel sayı aralığı olduğu varsayılabilir.

Aralık Gösterimi

Diğer yöntemlerden daha pratik bir gösterim olan aralık gösteriminde, aralığın uç noktaları virgülle ayrılarak ve "[ ]" ve "( )" parantezleri kullanılarak gösterilir. Aralığa dahil olan uç noktaları için "[ ]" parantezleri, aralığa dahil olmayan uç noktaları için "( )" parantezleri kullanılır.

Aralık gösteriminde daha küçük olan uç nokta ilk önce yazılır.

Bir aralığın alt veya üst uç noktası sınırsız (sonsuz) ise bu sınır için kapalı değil açık aralık kullanılır, bunun sebebi sonsuzun bir değer değil hiçbir zaman ulaşılamayacak bir "kavram" olmasıdır.

Aralık Tipleri

Sayı aralıkları uç noktaların sınırlı ya da sınırsız (sonsuz) olması ya da aralığa dahil olup olmamasına göre farklı şekillerde olabilir.

Kapalı Aralık

Uç noktaların ikisinin de aralığa dahil olduğu aralıklara kapalı aralık denir.

Açık Aralık

Uç noktaların ikisinin de aralığa dahil olmadığı aralıklara açık aralık denir.

Yarı Açık Aralık

Uç noktaların birinin aralığa dahil olduğu, diğerinin olmadığı aralıklara yarı açık aralık denir. Yarı açık aralıkların birincisinde alt uç nokta aralığa dahilken üst uç nokta değildir.

İkinci tip yarı açık aralıkta alt uç nokta aralığa dahil değilken üst uç nokta dahildir.

Alttan Sınırsız Aralık

Alttan sınırsız aralık tipinde alt uç nokta belirli bir değer ile sınırlı değildir ve negatif sonsuza kadar değer alabilir. Alttan sınırsız aralıkların birincisinde üst uç nokta aralığa dahildir.

İkinci tip alttan sınırsız aralıkta üst uç nokta aralığa dahil değildir.

Üstten Sınırsız Aralık

Üstten sınırsız aralık tipinde üst uç nokta belirli bir değer ile sınırlı değildir ve pozitif sonsuza kadar değer alabilir. Üstten sınırsız aralıkların birincisinde alt uç nokta aralığa dahildir.

İkinci tip üstten sınırsız aralıkta alt uç nokta aralığa dahil değildir.

Aşağıdaki üç aralık üç özel durumu ifade etmektedir.

Alt uç noktanın negatif sonsuz, üst uç noktanın pozitif sonsuz olduğu durumda aralık tüm reel sayılara karşılık gelir.

Alt ve üst uç noktaların aynı olduğu kapalı bir aralıkta aralık tek bir noktaya karşılık gelir.

Alt ve üst uç noktaların aynı olduğu açık bir aralıkta aralık boş kümeye karşılık gelir.

Aralıklarla İşlemler

Sayı aralıkları birer küme oldukları için aralarında kesişim, birleşim ve fark gibi küme işlemleri yapılabilir.

Aralıkların Birleşimi

İki ya da daha fazla aralığın birleşim kümesi en az bir aralıkta bulunan noktalardan oluşur.

Aralıkların Kesişimi

İki ya da daha fazla aralığın kesişim kümesi tüm aralıklarda da bulunan noktalardan oluşur.

Aralıkların Farkı

Bir aralığın diğer bir aralıktan farkı birinci aralıkta bulunup ikinci aralıkta bulunmayan noktalardan oluşur.