Ters Matris ile Lineer Denklem Sistemi Çözümü
Lineer denklem sistemleri konusunda bir denklem sistemini matris denklemi olarak aşağıdaki şekilde ifade edebileceğimizi görmüştük.
\( AX = B \)
\( A \): \( m \times n \) boyutlarında katsayılar matrisi
\( X \): \( n \times 1 \) boyutlarında değişkenler matrisi
\( B \): \( m \times 1 \) boyutlarında sabit terimler matrisi
\( 5x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 23 \)
\( 2x_1 + 4x_2 - x_3 = -3 \)
\( x_1 - 11x_2 - 6x_3 = 19 \)
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & -11 & -6 \end{bmatrix} \), \( \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \), \( \quad B = \begin{bmatrix} 23 \\ -3 \\ 19 \end{bmatrix} \)
Bu denklemin her iki tarafı \( A \) matrisinin tersi ile çarpıldığında denklem aşağıdaki forma gelir.
\( A^{-1}AX = A^{-1}B \)
Bir matrisin tersi ile çarpımı birim matrise eşittir.
\( IX = A^{-1}B \)
Bir matrisin birim matris ile çarpımı kendisine eşittir.
\( X = A^{-1}B \)
Buna göre bir denklem sisteminin çözüm kümesini veren \( X \) matrisi, \( A \) katsayı matrisinin tersi ile \( B \) sabit terim matrisinin çarpımına eşittir.
Aşağıdaki lineer denklem sisteminin çözümünü ters matris yöntemi ile bulalım.
\( 4x - y = 5 \)
\( x + 2y = 8 \)
Verilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \)
\( 2 \times 2 \) matrisler için ters matris formülü ile katsayı matrisinin tersini bulalım.
\( A^{-1} = \dfrac{1}{4 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ -\frac{1}{9} & \frac{4}{9} \end{bmatrix} \)
Denklem sistemini yukarıdaki formülle çözelim.
\( X = A^{-1}B \)
\( = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ -\frac{1}{9} & \frac{4}{9} \end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} \frac{2}{9} \cdot 5 + \frac{1}{9} \cdot 8 \\ -\frac{1}{9} \cdot 5 + \frac{4}{9} \cdot 8 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x, y) = (2, 3) \)
\( 3x - 2y = 7 \)
\( -x + y = -1 \)
lineer denklem sisteminin çözümünü ters matris yöntemi ile bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix} \)
\( 2 \times 2 \) matrisler için ters matris formülü ile katsayı matrisinin tersini bulalım.
\( A^{-1} = \dfrac{1}{3 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \)
Denklem sistemini ters matris formülü ile çözelim.
\( X = A^{-1}B \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x, y) = (5, 4) \)
\( x_1 - 4x_2 = -3 \)
\( 2x_1 - 5x_2 = 9 \)
lineer denklem sisteminin çözümünü ters matris yöntemi ile bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 2 & -5 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} -3 \\ 9 \end{bmatrix} \)
\( 2 \times 2 \) matrisler için ters matris formülü ile katsayı matrisinin tersini bulalım.
\( A^{-1} = \dfrac{1}{1 \cdot (-5) - 2 \cdot (-4)}\begin{bmatrix} -5 & 4 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -\frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \)
Denklem sistemini ters matris formülü ile çözelim.
\( X = A^{-1}B \)
\( = \begin{bmatrix} -\frac{5}{3} & \frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix} -3 \\ 9 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -\frac{5}{3} \cdot (-3) + \frac{4}{3} \cdot 9 \\ -\frac{2}{3} \cdot (-3) + \frac{1}{3} \cdot 9 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 17 \\ 5 \end{bmatrix} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x_1, x_2) = (17, 5) \)
\( x - 3y + 2z = 1 \)
\( -2x + 7y - 4z = -2 \)
\( -x + 4y - z = -3 \)
lineer denklem sisteminin çözümünü ters matris yöntemi ile bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & 7 & -4 \\ -1 & 4 & -1 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{bmatrix} \)
\( A \) matrisinin ters matrisini önceki bölümde aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} 9 & 5 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \)
Denklem sistemini ters matris formülü ile çözelim.
\( X = A^{-1}B \)
\( = \begin{bmatrix} 9 & 5 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 9 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-3) \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-3) \\ (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot (-3) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = (5, 0, -2) \)
\( -3x_1 - 2x_2 + x_3 - 2x_4 = -2 \)
\( 2x_1 + x_2 - x_4 = 1 \)
\( -5x_1 - x_2 + 5x_3 - 3x_4 = -1 \)
\( -x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 3 \)
lineer denklem sisteminin çözümünü ters matris yöntemi ile bulunuz.
Çözümü GösterVerilen denklem sistemi için katsayı (\( A \)) ve sabit terim (\( B \)) matrislerini yazalım.
\( A = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ -5 & -1 & 5 & -3 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \)
\( A \) matrisinin ters matrisini önceki bölümde aşağıdaki şekilde bulmuştuk.
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{5}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \)
Denklem sistemini ters matris formülü ile çözelim.
\( X = A^{-1}B \)
\( = \begin{bmatrix} -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} & -\frac{1}{8} & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{5}{8} & -\frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \) \( \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -\frac{3}{8} \cdot (-2) + \frac{1}{8} \cdot 1 + (-\frac{1}{8}) \cdot (-1) + 1 \cdot 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (-2) + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot(-1) + (-\frac{3}{2}) \cdot 3 \\ -\frac{5}{8} \cdot (-2) + (-\frac{1}{8}) \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot (-1) + 1 \cdot 3 \\ -\frac{1}{2} \cdot (-2) + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 3 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 4 \\ -5 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} \)
Buna göre denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Çözüm kümesi: \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (4, -5, 4, 2) \)