Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler aşağıdaki formda olurlar ve farklı eşitsizlik sembolleri (\( \lt, \le, \gt, \ge \)) içerebilir.

\( a, b, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\( ax + by + c \lt 0 \)

Analitik düzlemde belirli bir denklemin çözüm kümesi o denklemin grafiği üzerindeki noktalar kümesidir. Bir eşitsizlik ya da eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi ise genellikle analitik düzlemde bir bölgeye karşılık gelir.

Eşitsizliklerin Analitik Gösterimi

Bir noktanın bir doğruya (ya da herhangi bir fonksiyona) göre konumunu üç farklı şekilde düşünebiliriz. Buna göre nokta doğrunun üzerinde olabilir (\( A \) noktası), üstündeki bölgede olabilir (\( B \) noktası) ya da altındaki bölgede olabilir (\( C \) noktası).

Belirli bir noktanın bir doğruya göre konumunu bulmak için noktanın koordinatları doğrunun \( y = ax + b \) şeklindeki açık denkleminde yerine konur ve oluşan ifadenin tarafları arasındaki eşitlik ya da eşitsizlik durumu incelenir.

\( y_1 = ax_1 + b \Longrightarrow \) Nokta doğrunun üzerindedir (\( A \) noktası)

\( y_2 \gt ax_1 + b \Longrightarrow \) Nokta doğrunun üstündeki bölgededir (\( B \) noktası)

\( y_3 \lt ax_1 + b \Longrightarrow \) Nokta doğrunun altındaki bölgededir (\( C \) noktası)

ÖRNEK:

\( A(12, 60) \) noktasının \( y = 8x - 15 \) doğrusuna göre konumunu bulalım.

\( A \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım ve taraflar arasında oluşan eşitlik ya da eşitsizlik durumunu inceleyelim.

\( 60 \stackrel{?}{\lesseqgtr} 8 \cdot 12 - 15 \)

\( 60 \lt 81 \)

Buna göre \( A \) noktası verilen doğrunun altındaki bölgededir.

Bunun bir sonucu olarak, bir doğrunun (ya da herhangi bir fonksiyonun) analitik düzlemde oluşturduğu bölgeler ve bu bölgelerin karşılık geldiği eşitlik ya da eşitsizlikler aşağıdaki gibi olur.

Grafik	Eşitlik/Eşitsizlik
	\( y = ax + b \) Doğrunun üzerindeki noktalar
	\( y \gt ax + b \) Doğrunun üstündeki bölgedeki noktalar \( \gt \) eşitsizliğinde doğrunun üzerindeki noktaların çözüm kümesine dahil olmadığını vurgulamak için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
	\( y \lt ax + b \) Doğrunun altındaki bölgedeki noktalar \( \lt \) eşitsizliğinde doğrunun üzerindeki noktaların çözüm kümesine dahil olmadığını vurgulamak için doğru kesikli çizgi ile gösterilir.
	\( y \ge ax + b \) Doğrunun üzerindeki ve üstündeki bölgedeki noktalar \( \ge \) eşitsizliğinde doğrunun üzerindeki noktaların çözüm kümesine dahil olduğunu vurgulamak için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.
	\( y \le ax + b \) Doğrunun üzerindeki ve altındaki bölgedeki noktalar \( \le \) eşitsizliğinde doğrunun üzerindeki noktaların çözüm kümesine dahil olduğunu vurgulamak için doğru sürekli çizgi ile gösterilir.

Aşağıda örnek bazı doğrusal eşitsizlikler ve analitik düzlemde karşılık geldikleri bölgeler gösterilmiştir.

Grafik	Eşitsizlik
	\( x \gt 0 \) Bu eşitsizlik apsis değeri sıfırdan büyük olan noktaları içerir. Kesikli çizgi ile gösterilen \( y \) ekseni, üzerindeki apsis değeri sıfır olan noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir. \( (3, -5) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-6, 2) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.
	\( y \le 1 \) Bu eşitsizlik ordinat değeri 1'e eşit ya da 1'den küçük olan noktaları içerir. Sürekli çizgi ile gösterilen \( y = 1 \) doğrusu, üzerindeki ordinat değeri 1'e eşit olan noktaların eşitsizliğe dahil olduğunu gösterir. \( (-6, -5) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (3, 4) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.
	\( y \gt x \) Bu eşitsizlik ordinat değeri apsis değerinden büyük olan noktaları içerir. Kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x \) doğrusu, üzerindeki apsis ve ordinat değerleri birbirine eşit olan noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir. \( (-6, -1) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (3, -5) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.
	\( y \le -3x - 3 \) Bu eşitsizlik \( y = -3x - 3 \) doğrusunun üzerindeki ve altındaki noktaları içerir. Sürekli çizgi ile gösterilen \( y = -3x - 3 \) doğrusu, üzerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olduğunu gösterir. \( (-4, -2) \) noktası eşitsizliği sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (2, -2) \) noktası eşitsizliği sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.

Eşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

\( y \lesseqgtr ax + b \) şeklindeki bir eşitsizliğin analitik düzlemde temsil ettiği bölgeyi aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.

\( y = ax + b \) doğrusu çizilir. Eşitsizlik sembolü \( \ge \) ya da \( \le \) ise doğru sürekli bir çizgi ile, \( \gt \) ya da \( \lt \) ise kesikli bir çizgi ile çizilir.
Eşitsizlik sembolü \( \ge \) ya da \( \gt \) ise doğrunun üstünde kalan, \( \le \) ya da \( \lt \) ise altında kalan bölge taranır.
Özel bir durum olarak, eğer denklem \( x = b \) şeklinde dikey bir doğru ise \( x \gt b \) için doğrunun sağındaki, \( x \lt b \) için solundaki bölge taranır.

SORU 1:

\( 3y - x \ldots 6 \)

ifadesinde verilen boşluğa hangi eşitlik ya da eşitsizlik sembolü gelirse oluşan ifadenin grafiği \( (1, 2) \) noktasını içerir?

Çözümü Göster

SORU 2:

\( (2x - 6)(y - 1) \le 2xy \) eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.

Çözümü Göster

Eşitsizlik Sistemlerinin Gösterimi

Eşitsizlik sistemleri birden fazla eşitsizlikten oluşur ve çözüm kümeleri tüm eşitsizlikleri birlikte sağlayan noktaları içerir. Bir diğer ifadeyle, bir eşitsizlik sisteminin karşılık geldiği taralı bölge, sistemi oluşturan eşitsizliklerin ayrı ayrı taradıkları alanların kesişim kümesidir.

Aşağıda örnek bazı eşitsizlik sistemleri ve analitik düzlemde karşılık geldikleri bölgeler gösterilmiştir.

Grafik	Eşitsizlik Sistemi
	\( \begin{cases} x \lt 0 \\ y \gt 0 \end{cases} \) Bu eşitsizlik sistemi apsis değeri negatif ve ordinat değeri pozitif olan noktaları içerir. Kesikli çizgi ile gösterilen \( x \) ve \( y \) eksenleri, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir. \( (-6, -2) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (1, -5) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.
	\( \begin{cases} y \ge 0 \\ y \le -x + 8 \\ y \lt x + 8 \end{cases} \) Sürekli çizgi ile gösterilen \( x \) ekseni ve \( y = -x + 8 \) doğrusu, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olduğunu gösterir. Kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x + 8 \) doğrusu, üzerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir. \( (5, 0) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-8, -2) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.
	\( \begin{cases} y \ge 3x - 9 \\ y \ge -4x - 16 \\ y \lt -\frac{1}{2}x + 1 \\ y \gt -x - 6 \end{cases} \) Sürekli çizgi ile gösterilen \( y = 3x - 9 \) ve \( y = -4x - 16 \) doğruları, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olduğunu gösterir. Kesikli çizgi ile gösterilen \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \) ve \( y = -x - 6 \) doğruları, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir. \( (0, -3) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-6, -5) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.

Grafik

Eşitsizlik Sistemi

\( \begin{cases} x \lt 0 \\ y \gt 0 \end{cases} \)

Bu eşitsizlik sistemi apsis değeri negatif ve ordinat değeri pozitif olan noktaları içerir.

Kesikli çizgi ile gösterilen \( x \) ve \( y \) eksenleri, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir.

\( (-6, -2) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (1, -5) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.

\( \begin{cases} y \ge 0 \\ y \le -x + 8 \\ y \lt x + 8 \end{cases} \)

Sürekli çizgi ile gösterilen \( x \) ekseni ve \( y = -x + 8 \) doğrusu, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olduğunu gösterir. Kesikli çizgi ile gösterilen \( y = x + 8 \) doğrusu, üzerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir.

\( (5, 0) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-8, -2) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.

\( \begin{cases} y \ge 3x - 9 \\ y \ge -4x - 16 \\ y \lt -\frac{1}{2}x + 1 \\ y \gt -x - 6 \end{cases} \)

Sürekli çizgi ile gösterilen \( y = 3x - 9 \) ve \( y = -4x - 16 \) doğruları, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olduğunu gösterir. Kesikli çizgi ile gösterilen \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \) ve \( y = -x - 6 \) doğruları, üzerlerindeki noktaların eşitsizliğe dahil olmadığını gösterir.

\( (0, -3) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağladığı için taralı bölgeye dahildir. \( (-6, -5) \) noktası eşitsizliklerin tümünü sağlamadığı için taralı bölgeye dahil değildir.

SORU 3: