Denklemlerin özellikleri, bir denklemin eşitliğini bozmadan denklem üzerinde yapılabilecek değişiklikleri belirtir. Bu özellikler denklem çözümlerinde sıklıkla kullanılır.
Yansıma özelliğine göre, bir ifade kendisine eşittir.
\( x = x \)
Simetri özelliğine göre, bir denklemin tarafları aralarında yer değiştirirse eşitlik bozulmaz.
\( x = y \Longleftrightarrow y = x \)
\( 3(x + 2) = 8 \Longleftrightarrow 8 = 3(x + 2) \)
Geçişlilik özelliğine göre, bir ifade ikinci bir ifadeye, ikinci ifade de üçüncü bir ifadeye eşitse birinci ifade üçüncü ifadeye eşittir.
\( x = y, \quad y = z \) ise,
\( x = z \)
\( 3x = y, \quad y = 2\sqrt{2} \) ise,
\( 3x = 2\sqrt{2} \)
Yer değiştirme özelliğine göre, \( x \) ve \( y \) eşit ise \( x \)'in geçtiği her yerde \( x \) yerine \( y \) kullanılabilir.
\( x = 2t - 1 \) ise,
\( 3x^2 - 5 = 3(2t - 1)^2 - 5 \)
Bir denklemin her iki tarafına dört temel işlem uygulandığında eşitlik bozulmaz.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x = y \) ise,
\( x + c = y + c \)
\( x - c = y - c \)
\( c \cdot x = c \cdot y \)
\( c \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{c} \)
\( 3x = 8 \) ise,
\( 3x + 2 = 8 + 2 \)
\( 3x - 5 = 8 - 5 \)
\( 4 \cdot 3x = 4 \cdot 8 \)
\( \dfrac{3x}{3} = \dfrac{8}{3} \)
Bir denklemin her iki tarafının toplamaya ve çarpmaya göre tersi alındığında eşitlik bozulmaz.
\( -x = -y \)
\( x \ne 0, y \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} \)
\( 2x - 1 = 7 \) ise,
\( -(2x - 1) = -7 \)
\( \dfrac{1}{2x - 1} = \dfrac{1}{7} \)
Bir denklemin her iki tarafının aynı dereceden üssü alındığında eşitlik bozulmaz.
\( x^n = y^n \)
\( 4x - 5 = 3 \) ise,
\( (4x - 5)^4 = 3^4 \)
İki denklem arasında taraf tarafa dört temel işlem uygulandığında eşitlik bozulmaz.
\( x = y, \quad z = t \) ise,
\( x + z = y + t \)
\( x - z = y - t \)
\( x \cdot z = y \cdot t \)
\( z \ne 0, t \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{x}{z} = \dfrac{y}{t} \)
\( x = 3, \quad y = 5 \) ise,
\( x + y = 3 + 5 \)
\( x - y = 3 - 5 \)
\( x \cdot y = 3 \cdot 5 \)
\( \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{5} \)
Denklem özellikleri denklemdeki bir değişkeni yalnız bırakmak için kullanılabilir. Bunun için eşitliğin herhangi bir tarafında kurtulmak istediğimiz terim ya da çarpan hangi aritmetik işlemin terimi/çarpanı ise o işlemin ters işlemi eşitliğin iki tarafına uygulanır.
\( 3(\dfrac{x}{5} + 4) - 2 = 19 \) eşitliğinde \( x \) değişkenini yalnız bırakalım.
Eşitliğin sol tarafındaki -2 teriminden kurtulmak için iki tarafa 2 ekleyelim.
\( 3(\dfrac{x}{5} + 4) - 2 \textcolor{red}{+ 2} = 19 \textcolor{red}{+ 2} \)
\( 3(\dfrac{x}{5} + 4) = 21 \)
Eşitliğin sol tarafındaki 3 çarpanından kurtulmak için iki tarafı 3'e bölelim.
\( \dfrac{3(\frac{x}{5} + 4)}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{21}{\textcolor{red}{3}} \)
\( \dfrac{x}{5} + 4 = 7 \)
Eşitliğin sol tarafındaki +4 teriminden kurtulmak için iki taraftan 4 çıkaralım.
\( \dfrac{x}{5} + 4 \textcolor{red}{- 4} = 7 \textcolor{red}{- 4} \)
\( \dfrac{x}{5} = 3 \)
Eşitliğin sol tarafında paydadaki 5'ten kurtulmak için iki tarafı 5 ile çarpalım.
\( \dfrac{x}{5} \textcolor{red}{\cdot 5} = 3 \textcolor{red}{\cdot 5} \)
\( x = 15 \)
Bu işlemler sonucunda \( x \) değişkenini eşitlikte yalnız bırakmış ve eşitliği sağlayan değerini bulmuş olduk.