Çözüm Kümesi

Yerine konduğunda bir denklemi ya da eşitsizliği sağlayan ve üzerinde çalışılan sayı kümesinin bir elemanı olan değere o denklem ya da eşitsizliğin bir çözümü denir. Denklemin bir çözümüne denklemin kökü de denir. Bu bölümün geri kalanında sadece denklemlerden bahsedecek olsak da, notlarımız eşitsizlikler için de geçerli olacaktır.

Bir denklemi sağlayan tüm değerlerin ya da değer aralıklarının oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Bir denklemin çözüm kümesini veriyorsak, çözüm kümesinin dışında kalan bir değerin denklemi sağlamadığını da söylemiş oluruz.

Örnek olarak, \( -4 \) ve \( 4 \) değerleri \( x^2 = 16 \) denklemini sağladığı için bu denklemin birer çözümüdür. Bu iki değer dışında denklemi sağlayan bir değer olmadığı için, denklemin çözüm kümesi \( \{ -4, 4 \} \)'tür.

Bir denklemin tüm çözümlerinden oluşan çözüm kümesini bulma işlemine denklemi çözme denir. Bir denklemi çözme işlemi bize denklemin olası çözümlerini verir. Denklemin gerçek çözüm kümesine ulaşmak için, bulduğumuz bu olası değerlerin denklemi sağladığından emin olmamız gerekir.

Bir denklemi çözme işlemi sonucunda elde ettiğimiz değerlerin problemde verilen denklemi ya da herhangi başka bir koşulu sağlamadığını görüyorsak (tam sayı, pozitif sayı vb), bu değerleri çözüm kümesine dahil etmememiz gerekir.

Bir denklemi çözme işlemi sonucunda bulduğumuz değerleri orijinal denklemde yerine koyarak geçerliliğini kontrol etme işlemine sağlama denir.

Denklem çözümünden elde edilen değerlerin üzerinde çalışılan sayı kümesinin bir elemanı olup olmadığına dikkat edilmelidir. Örneğin, tam sayılar kümesinde tanımlı bir değişken için bulacağımız \( \frac{3}{2} \) ya da \( \sqrt{2} \) gibi değerler çözüm kümesinin elemanı değildir.

Çözüm Kümesinin Gösterimi

Bir denklem ya da eşitsizliğin çözüm kümesindeki değerleri ve değer aralıklarını birkaç şekilde gösterebiliriz.

Eşitlik Gösterimi

Bir çözüm kümesi tek bir değerden oluşuyorsa, bu değeri eşittir işareti (\( = \)) ile gösterebiliriz. Çözüm kümesi birbirinin eşleniği iki değerden oluşuyorsa, \( \pm \) sembolü ile iki değeri tek bir eşitlikle gösterebiliriz.

Küme Gösterimi

Küme gösteriminde çözüm kümesindeki değerler liste şeklinde listelenirler.

Değer Aralıklarının Gösterimi

Bir denklem ya da eşitsizliğin çözüm kümesindeki değer aralıklarını önceki bölümde gördüğümüz aşağıdaki yöntemlerden biri ile gösterebiliriz:

  • Sayı doğrusu
  • Ortak özellik yöntemi: \( \{ x: -2 \lt x \le 8, x \in \mathbb{R} \} \)
  • Eşitsizlik gösterimi: \( -2 \lt x \le 8 \)
  • Aralık gösterimi: \( (-2, 8] \)

Sıralı İkili/Üçlü/n'li Gösterimi

Bir denklem iki bilinmeyenli ise her bir çözüm bir sıralı ikili ile, üç bilinmeyenli ise bir sıralı üçlü ile, \( n \) bilinmeyenli ise bir sıralı \( n \)'li ile ifade edilir.

  • \( 2x - 4 = 6 \) bir bilinmeyenli denklemi için \( x = 5 \) denklemin bir (ve tek) çözümüdür.
  • \( 3x - y = 2 \) iki bilinmeyenli denklemi için \( (x, y) = (2, 4) \) sıralı ikilisi denklemin çözümlerinden biridir.
  • \( \abs{x} + \abs{y} + \abs{z} = 3 \) üç bilinmeyenli denklemi için \( (x, y, z) = (1, 2, 0) \) sıralı üçlüsü denklemin çözümlerinden biridir.

Grafik Gösterimi

Önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz gibi, bir denklemin, eşitsizliğin ya da denklem/eşitsizlik sisteminin grafiği de bize o problemin çözüm kümesini görsel olarak vermektedir.


« Önceki
Eşitsizlikler Arası İşlemler
Sonraki »
Birinci Dereceden Denklemler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır