Tek ve çift sayıların küme tanımı aşağıdaki gibidir.
Tek ya da çift olma özelliği sadece tam sayılar için geçerlidir, \( \frac{1}{2} \) sayısı için teklik/çiftlik söz konusu değildir.
Her tam sayı ya tektir ya da çifttir. Sıfır çift sayıdır.
Negatif tam sayılar da tek ya da çift olabilir. Örneğin \( -2 \) çift iken \( -11 \) tektir.
Bir sayı tek ise negatifi de tektir, çift ise negatifi de çifttir. Örneğin \( 16 \) ve \( -16 \) çifttir, \( 47 \) ve \( -47 \) tektir.
Tek ve çift sayılar kümelerinin birleşimi tam sayılar kümesine eşittir.
Tek ve çift sayılar arasındaki toplama/çıkarma işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
\( n \) tane çift sayının toplamı çifttir.
\( n \) tane tek sayının toplamı \( n \) tek ise tek, \( n \) çift ise çifttir.
İki sayının toplamı tek ise bu sayıların biri tektir diğeri çifttir.
İki sayının toplamı çift ise bu sayıların ya ikisi de tektir ya da ikisi de çifttir.
Tek ve çift sayılar arasındaki çarpma işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir. Buna göre, iki sayının çarpımı sadece sayıların ikisi de tek sayı olduğunda tek sayı olur.
İki ya da daha fazla tam sayı arasındaki çarpma işleminin sonucu tek ise sayıların tümü tektir.
İki ya da daha fazla tam sayı arasındaki çarpma işleminin sonucu çift ise sayılardan en az biri çifttir.
Asal sayılar içinde sadece 2 çifttir, diğer tüm asal sayılar tektir.
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayılar arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
Buna göre, sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
Alternatif olarak; toplama, çıkarma, çarpma ve üslü işlemlerden oluşan bir ifadenin sonucunun tek/çift olma durumunu bulmak için, üsler hariç ifadedeki çift sayıların yerine 0, tek sayıların yerine 1 yazarak sonucun tek/çift olma durumu kontrol edilebilir.
SORU 1:
Aşağıdaki ifadelerin hangileri çifttir?
(a) \( 4^{50} + 5^{21} \)
(b) \( 7^{34} \cdot 8^{78} \)
(c) \( 11^{103} \cdot 9^{58} + 22^{19} \)
Çözümü Göster
Bir üslü ifadede tek/çift olma durumu açısından (üssün sıfır olduğu durum hariç) üssün bir önemi yoktur. Taban çift sayı ise sonuç çift sayı, taban tek sayı sayı sonuç tek sayıdır.
(a) seçeneği:
\( 4^{50} + 5^{21} \)
\( 4^{50} \) ifadesinde taban çift sayı olduğundan sonuç da çift sayıdır.
\( 5^{21} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
Bir çift sayı ile tek sayının toplamı tek sayıdır.
(b) seçeneği:
\( 7^{34} \cdot 8^{78} \)
\( 7^{34} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
\( 8^{78} \) ifadesinde taban çift sayı olduğundan sonuç da çift sayıdır.
Bir tek sayı ile çift sayının çarpımı çift sayıdır.
(c) seçeneği:
\( 11^{103} \cdot 9^{58} + 22^{19} \)
\( 11^{103} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
\( 9^{58} \) ifadesinde taban tek sayı olduğundan sonuç da tek sayıdır.
\( 22^{19} \) ifadesinde taban çift sayı olduğundan sonuç da çift sayıdır.
İki tek sayının çarpımı tek sayı olduğundan \( 11^{103} \cdot 9^{58} \) çarpımının sonucu tek sayıdır.
Bir tek sayı ile çift sayının toplamı tek sayı olduğundan \( 11^{103} \cdot 9^{58} + 22^{19} \) ifadesinin sonucu tek sayıdır.
Buna göre sadece 2. seçenek çift sayıdır.
SORU 2:
\( a \) bir tam sayı olmak üzere, aşağıdaki ifadelerin teklik/çiftlik durumunu inceleyin.
I. \( -2a \)
II. \( 3a^3 \)
III. \( 1 - 2a \)
IV. \( 4a^2 - 5 \)
V. \( a^2 + a \)
Çözümü Göster
I. öncül: \( -2a \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir.
II. öncül: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( 3a \) sayısı \( a \) tek ise tek, çift ise çifttir. Buna göre ifadenin teklik/çiftlik durumu \( a \) sayısı ile aynıdır.
III. öncül: \( 2a \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir. Bir tek sayıdan çift sayı çıkartıldığında sonuç tek sayı olur.
IV. öncül: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( 4a \) ifadesi 2 çarpanı içerdiği için her zaman çifttir. Bir çift sayıdan tek sayı çıkartıldığında sonuç tek sayı olur.
V. öncül: Teklik/çiftlik durumu açısından üssün bir önemi yoktur. \( a^2 + a \) ifadesi \( a \) tek sayı ise iki tek sayının toplamı, çift sayı ise iki çift sayının toplamı olur. Her iki durumda da sonuç çift sayı olur.
SORU 3:
15 tam sayının toplamı çift sayı olduğuna göre, bu sayılardan en çok kaç tanesi tek sayıdır?
Çözümü Göster
Herhangi bir sayıda çift sayının toplamı sayıları 2 ortak parantezine alabileceğimiz için çift olur. Tek sayılarda ise tek sayıların adedi tekse sonuç tek, çift ise sonuç çift olur.
Buna göre 15 sayıdan 15'ini de tek alırsak sonuç tek olur.
Sayılardan 14'ünü tek alırsak toplamları çift olur. 15. çift sayıyı bu toplama eklediğimizde sonuç yine çift olur.
Buna göre 15 sayıdan en çok 14'ünü tek alırsak toplamları çift olur.
SORU 4:
\( k, m, n \) \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( km = 2n + 7 \) olduğuna göre,
\( k + m \) ifadesinin tek/çift olma durumunu inceleyiniz.
Çözümü Göster
\( 2n \) sayısı 2 çarpanı içerdiği için çifttir, dolayısıyla \( 2n + 7 \) ifadesi tek olur. Bu durumda \( km \) çarpımı da tek olmalıdır.
İki sayının çarpımı tek ise bu sayıların ikisi de tektir. İki tek sayının toplamı çift olduğu için \( k + m \) toplamı çift olur.
SORU 5:
Merve 5 haneli telefon şifresi hakkında aşağıdaki bilgileri veriyor.
- Son iki rakamın çarpımı tek sayıdır.
- Son üç rakamın toplamı çift sayıdır.
- İlk iki rakamın toplamı tek sayıdır.
Buna göre Merve'nin telefon şifresinde kaç adet çift sayı vardır?
Çözümü Göster
Merve'nin telefon şifresine \( abcde \) diyelim.
Son iki rakamın çarpımı (\( d \cdot e \)) tek sayı olduğuna göre, \( d \) ve \( e \) tek sayıdır.
Son üç rakamın toplamı (\( c + d + e \)) çift sayı olduğuna ve \( d + e \) toplamı çift sayı olduğuna göre, \( c \) çift sayıdır.
İlk iki rakamın toplamı (\( a + b \)) tek sayı olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek sayı diğeri çift sayıdır.
Buna göre Merve'nin telefon şifresinde biri \( c \) diğeri \( a \) ve \( b \)'den biri olmak üzere iki çift sayı vardır.
SORU 6:
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^2 + 3a = b \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
\( (a) 20 \quad (b) 25 \quad (c) 26 \quad (d) 32 \quad (e) 36 \)
Çözümü Göster
\( a^2 + 3a = a(a + 3) = b \)
\( a \) ve \( a + 3 \) sayılarından biri tek diğeri çifttir. En az biri çift olan sayıların çarpımı çift olduğu için \( a(a + 3) \) çarpımının sonucu çift sayı olur.
Buna göre \( b \) sayısı kesinlikle çifttir. Doğru cevap (b) seçeneğidir.
SORU 7:
\( p, m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5p + 2m + n \) işleminin sonucu çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri kesinlikle çifttir?
I. \( mnp \)
II. \( p - n \)
III. \( m + n \)
Çözümü Göster
2 çarpanı içerdiği için \( m \) tek de çift de olsa \( 2m \) sayısı çift olur, dolayısıyla \( m \)'nin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
\( 5p + \underbrace{2m}_\text{Çift} + n = \text{Çift} \) olduğu için \( 5p + n \) toplamı çift sayı olur.
Buna göre \( p \) ve \( n \) ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.
Bu bilgilerle öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( m \), \( p \) ve \( n \) sayılarının üçü de tek olabileceği için \( mnp \) çarpımı tek olabilir. İçlerinden biri çift olabileceği için çarpımları çift de olabilir. Buna göre bu ifadenin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
II. öncül: \( p \) ve \( n \) sayılarının ikisinin de çift ve ikisinin de tek olduğu iki durumda \( p - n \) ifadesi çift olur. Bu öncül için kesinlikle çifttir diyebiliriz.
III. öncül: \( m \) sayısının tek/çift olma durumunu kesin bilmediğimiz için \( m + p \) toplamı tek ya da çift olabilir.
Buna göre yalnız II. öncül her zaman çifttir.
SORU 8:
\( m \) ve \( n \) ardışık sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri her zaman tek sayıdır?
I. \( 3m + 7n \)
II. \( 23mn \)
III. \( m - n + 37 \)
IV. \( mn - 4 \)
Çözümü Göster
İki ardışık sayıdan biri tek sayı diğeri çift sayıdır, dolayısıyla toplamları ve farkları tek, çarpımları çift olur.
I. öncül: \( 3m + 7n \) ifadesindeki katsayılar tek sayı oldukları için terimlerin tek/çift olma durumlarını değiştirmezler, dolayısıyla bu katsayıları yok sayabiliriz. Buna göre \( m + n \) toplamı, dolayısıyla \( 3m + 7n \) her zaman tektir.
II. öncül: \( mn \) çarpımı çift sayı olduğu için \( 23mn \) çarpımı da kesinlikle çift olur.
III. öncül: \( m – n \) farkı tek sayıdır. Bu farka tek sayı olan 37 eklediğimizde sonuç kesinlikle çift olur.
IV. öncül: \( mn \) çarpımı çift sayı olduğu için \( mn - 4 \) ifadesi de çift olur.
Buna göre yalnız I. öncül her zaman tektir.
SORU 9:
\( a \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( \dfrac{3a + 16}{a} \) işleminin sonucu tek sayıdır.
Buna göre \( a \) kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi tek bir \( a \) olacak şekilde düzenleyelim.
\( \dfrac{3a}{a} + \dfrac{16}{a} = 3 + \dfrac{16}{a} \)
3 ile toplanan bu ifadenin tek sayı olabilmesi için \( \frac{16}{a} \) ifadesi çift sayı olmalıdır.
\( \frac{16}{a} \) ifadesinin sonucunu çift sayı yapan tam sayı \( a \) değerleri \( \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\} \) olur.
Buna göre verilen ifadeyi çift sayı yapan 8 farklı \( a \) değeri vardır.
SORU 10:
Eda, Sibel ve Kerim bir kutu bilyeyi sırasıyla \( e \), \( s \) ve \( k \) adet olarak paylaşıyorlar. Eda ve Sibel'in aldığı miktarların toplamı çift sayı, Eda ve Kerim'in aldığı miktarların farkı tek sayıdır.
Buna göre, üçünün aldıkları miktarlarla ilgili aşağıdaki ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( s + k \) tek sayıdır.
II. \( s \cdot k \) çift sayıdır.
III. \( e = k \) olabilir.
IV. \( e + s + k \) çift sayıdır.
Çözümü Göster
Soruda verilen bilgileri yorumlayalım.
\( e + s \) çift sayı olduğuna göre, \( e \) ve \( s \) ikisi de çift ya da ikisi de tektir.
\( \abs{e - k} \) tek sayı olduğuna göre, \( e \) ve \( k \)'dan biri tek diğeri çifttir.
Buna göre Eda'nın aldığı bilye sayısının tek/çift olma durumuna göre Sibel ve Kerim'in bilye sayılarının tek/çift olma durumları aşağıdaki tablodaki gibi olur.
| \( e \) |
\( s \) |
\( k \) |
| \( \text{Çift} \) |
\( \text{Çift} \) |
\( \text{Tek} \) |
| \( \text{Tek} \) |
\( \text{Tek} \) |
\( \text{Çift} \) |
I. öncül: İki durumda da doğrudur.
II. öncül: İki durumda da doğrudur.
III. öncül: Sayılardan biri tek diğeri çift olduğu için eşit olamazlar. Bu öncül yanlıştır.
IV. öncül: Sayıların toplamı birinci durumda tek, ikinci durumda çifttir. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.
SORU 11:
\( x, y, z \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
- \( x + y \) toplamı çift sayı
- \( y + z \) toplamı çift sayı
- \( x \cdot z \) çarpımı çift sayı
olduğu bilindiğine göre, \( x, y, z \) sayılarından hangileri çifttir?
Çözümü Göster
\( x + y \) toplamı çift ise sayıların ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.
\( y + z \) toplamı çift ise sayıların ya ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir.
İlk iki ifadeye göre sayıların ya üçü de çifttir ya da üçü de tektir.
\( x \cdot z \) çarpımı çift ise sayılardan en az biri çift olmalıdır, dolayısıyla yukarıdaki üç sayının da tek sayı olma durumu doğru olamaz.
Buna göre sayıların üçü de çifttir.
SORU 12:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
Sayı doğrusu üzerinde \( a \) sayısının \( b \) sayısına uzaklığı çift sayı, \( b \) sayısının \( c \) sayısına uzaklığı tek sayı, 11 sayısının \( a \) sayısına uzaklığı tek sayıdır.
Buna göre aşağıdaki öncüllerden hangileri kesinlikle doğrudur?
I. \( 2c + 3a \) çifttir.
II. \( c - a \) tektir.
III. \( a^c \) tektir.
VI. \( \dfrac{b}{c} + 9 \) tektir.
Çözümü Göster
İki sayının sayı doğrusu üzerinde aralarındaki uzaklık, sayıların farkının mutlak değerine eşittir.
11 sayısının \( a \) sayısına uzaklığı tek sayı olduğuna göre \( \abs{11 - a} \) tek sayıdır, dolayısıyla \( a \) çifttir.
\( a \) sayısının \( b \) sayısına uzaklığı çift sayı olduğuna göre \( \abs{a - b} \) çift sayıdır. \( a \)'nın çift sayı olduğu bilindiğine göre \( b \) de çifttir.
\( b \) sayısının \( c \) sayısına uzaklığı tek sayı olduğuna göre \( \abs{b - c} \) tek sayıdır. \( b \)'nin çift sayı olduğu bilindiğine göre \( c \) tektir.
Sonuç olarak; \( a \) ve \( b \) çift sayı, \( c \) tek sayıdır.
I. öncül:
\( 2c \) ifadesi çift, \( 3a \) ifadesi çifttir. İki çift sayının toplamı çift sayıdır.
I. öncül doğrudur.
II. öncül:
Bir tek sayı ile çift sayının farkı tek sayıdır.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
Bir üslü ifadede tek/çift olma durumu açısından (üssün sıfır olduğu durum hariç) üssün bir önemi yoktur. Taban çift sayı ise sonuç çift sayı, taban tek sayı sayı sonuç tek sayıdır.
\( a \) çift sayı olduğu için \( a^c \) ifadesi de çifttir.
III. öncül yanlıştır.
IV. öncül:
İki sayının sadece tek/çift olma durumunu bilerek bölümlerinin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söylenemez, örneğin iki çift sayının bölümü tek de çift de olabilir.
IV. öncülün doğruluğu hakkında kesin bir şey söylenemez.
Buna göre I. ve II. öncüller kesinlikle doğrudur.
SORU 13:
\( x, y, z, t \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x = y^4 - z^5 \)
\( y = z^7 + t^2 \)
olduğuna göre, aşağıdaki öncüllerden hangileri yanlıştır?
I. \( y \) ve \( z \) çift ise \( x + t \) tektir.
II. \( x + y \) çift ise \( z \cdot t \) çifttir.
III. \( z \) ve \( t \) çift ise \( x - y \) tektir.
Çözümü Göster
Bir üslü ifadede tek/çift olma durumu açısından (üssün sıfır olduğu durum hariç) üssün bir önemi yoktur. Taban çift sayı ise sonuç çift sayı, taban tek sayı sayı sonuç tek sayıdır.
Buna göre verilen eşitlikleri tek/çift olma durumları açısından aşağıdaki şekilde düşünebiliriz.
\( x = y - z \)
\( y = z + t \)
I. öncül:
\( y \) ve \( z \) çift ise \( x = y - z \) eşitliğine göre \( x \) çift sayı, \( y = z + t \) eşitliğine göre \( t \) çift sayıdır.
O halde \( x + t \) toplamı da çift sayıdır.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
\( x + y \) çift ise iki farklı durum vardır.
Durum 1: \( x \) ve \( y \) çift sayı
\( x = y - z \) eşitliğine göre \( z \) çift sayı, \( y = z + t \) eşitliğine göre \( t \) çift sayıdır.
O halde \( z \cdot t \) çarpımı çift sayıdır.
Durum 2: \( x \) ve \( y \) tek sayı
\( x = y - z \) eşitliğine göre \( z \) çift sayı, \( y = z + t \) eşitliğine göre \( t \) tek sayıdır.
O halde \( z \cdot t \) çarpımı çift sayıdır.
İki durumda da sonuç çift sayıdır.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( z \) ve \( t \) çift ise \( y = z + t \) eşitliğine göre \( y \) çift sayıdır.
\( z \) ve \( y \) çift ise \( x = y - z \) eşitliğine göre \( x \) çift sayıdır.
O halde \( x - y \) farkı çift sayıdır.
III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve III. öncüller yanlıştır.
SORU 14:
\( A = (n - 2)! + 4^{9 - n} \) ifadesinde \( A \) tek sayıdır.
Buna göre \( n \)'nin alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( A \)'nın tek sayı olabilmesi için işlemin terimlerinden biri tek diğeri çift olmalıdır.
\( x! \) ifadesi sadece \( x = 0 \) ve \( x = 1 \) için tek sayıdır, \( x \ge 2 \) için çift sayıdır.
\( 4^y \) ifadesi sadece \( y = 0 \) için tek sayıdır.
Buna göre \( n \) üç farklı değer alabilir.
Durum 1: \( n = 2 \)
Bu durumda birinci terim tek, ikinci terim çift olur.
\( A = (2 - 2)! + 4^{9 - 2} \)
\( = 1 + 4^7 \)
Durum 2: \( n = 3 \)
Bu durumda birinci terim tek, ikinci terim çift olur.
\( A = (3 - 2)! + 4^{9 - 3} \)
\( = 1 + 4^6 \)
Durum 3: \( n = 9 \)
Bu durumda birinci terim çift, ikinci terim tek olur.
\( A = (9 - 2)! + 4^{9 - 9} \)
\( = 7! + 4^0 = 7! + 1 \)
\( n \)'nin alabileceği değerler toplamı \( 2 + 3 + 9 = 14 \) olarak bulunur.
SORU 15:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 4^{\frac{a - 2}{2}} + 5 \) ve \( b^b + 9 \) ifadelerinin çift sayı olduğu biliniyor.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \( a^b + b^a \) çift sayıdır.
II. \( 19^a \cdot 3b \) tek sayıdır.
III. \( a! + b! \) çift sayıdır.
Çözümü Göster
\( 4^{\frac{a - 2}{2}} + 5 \) çift sayı ise \( 4^{\frac{a - 2}{2}} \) tek sayıdır.
4'ün sadece sıfırıncı kuvveti tek sayıdır.
\( \frac{a - 2}{2} = 0 \Longrightarrow a = 2 \)
\( b^b + 9 \) çift sayı ise \( b^b \) tek sayıdır, dolayısıyla \( b \) tek sayıdır.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( 2^b + b^2 \) ifadesinde \( 2^b \) çift sayı, \( b^2 \) tek sayıdır, dolayısıyla toplamları tek sayıdır. Bu öncül hiçbir zaman doğru değildir.
II. öncül: \( 19^2 \cdot 3b \) ifadesinde \( 19^2 \) ve \( 3b \) tek sayıdır, dolayısıyla çarpımları da tek sayıdır. Bu öncül her zaman doğrudur.
III. öncül: \( a! \) ifadesi \( a \)'nın tüm pozitif çift sayı değerlerinde 2 çarpanı içerir, dolayısıyla çift sayı olur. \( b! \) ifadesi \( b = 1 \) olduğunda tek sayı, \( b \ge 3 \) olduğunda çift sayı olur. Bu öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre sadece II. öncül her zaman doğrudur.
SORU 16:
\( a, b, c, m, n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (a + b)^c = 2m + 3 \)
\( (b \cdot c)^a = 2n \)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
(a) \( b \) çift sayı ise \( c \) tek sayıdır.
(b) \( b \) çift sayıdır.
(c) \( a \) tek sayıdır.
(d) \( a \) tek sayı ise \( c \) tek sayıdır.
(e) \( a \) çift sayı ise \( c \) çift sayıdır.
Çözümü Göster
Verilen iki eşitlikten aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
\( (a + b)^c = 2m + 3 \)
Üssün pozitif tam sayı olduğu durumda bir ifadenin sonucunun tek/çift olma durumu ifadenin tabanı ile aynıdır. Bu durumda \( 2m \) çift ve \( 2m + 3 \) tek sayı olduğu için \( a + b \) de tek sayı olur. Buna göre, \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek diğeri çift olmalıdır.
\( (b \cdot c)^a = 2n \)
\( 2n \) çift sayı olduğu için \( b \cdot c \) de çift sayıdır. Bir çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması gerektiği için \( b \) ve \( c \) ikisi birlikte tek olamaz.
Buna göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının tek/çift olma durumları aşağıdaki 3 durumdan biri gibi olur.
| \( a \) |
\( b \) |
\( c \) |
| \( \text{Tek} \) |
\( \text{Çift} \) |
\( \text{Tek} \) |
| \( \text{Çift} \) |
\( \text{Tek} \) |
\( \text{Çift} \) |
| \( \text{Tek} \) |
\( \text{Çift} \) |
\( \text{Çift} \) |
Bu 3 durum doğrultusunda verilen seçenekleri değerlendirelim.
(a) \( b \) çift sayı ise \( c \) tek sayıdır: Tabloya göre \( b \) çift ise \( c \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(b) \( b \) çift sayıdır: Tabloya göre \( b \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(c) \( a \) tek sayıdır: Tabloya göre \( a \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(d) \( a \) tek sayı ise \( c \) tek sayıdır: Tabloya göre \( a \) tek ise \( c \) tek ya da çift olabilir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğru değildir.
(e) \( a \) çift sayı ise \( c \) çift sayıdır: Tabloya göre \( a \) çift ise \( c \) de çifttir, bu yüzden bu seçenek her zaman doğrudur.
Buna göre (e) seçeneği her zaman doğrudur.
SORU 17:
\( x \) ve \( y \) pozitif tam sayıları aralarında asaldır.
İki sayının en küçük ortak katı (EKOK) çift sayı olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle tektir?
I. \( x - y \)
II. \( x^2 + y^2 \)
III. \( x^y \)
Çözümü Göster
Sayıların EKOK'u çift sayı olduğuna göre bu sayılarından en az biri 2 çarpanını içerir, dolayısıyla çifttir.
Sayılar aralarında asal olduğuna göre diğer sayı çift olamaz, aksi takdirde iki sayı da 2 çarpanını içereceği için aralarında asal olmazlar.
Buna göre iki sayıdan biri tek diğeri çifttir.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: Sayılardan biri tek diğeri çift olduğu için \( x - y \) ifadesi her zaman tek olur.
II. öncül: Tek bir sayının karesi tek, çift bir sayının karesi çifttir. Dolayısıyla \( x^2 + y^2 \) toplamının sonucu tek olur.
III. öncül: Çift sayının pozitif tek sayı üssü çift, tek sayının pozitif çift sayı üssü tektir. Sayılardan hangisinin tek hangisinin çift olduğunu bilmediğimiz için bu öncül için kesin bir şey söyleyemeyiz.
Buna göre I. ve II. öncüldeki ifadeler her zaman tektir.
SORU 18:
\( a \), \( b \) ve \( c \) tam sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
- \( 2a \), \( b - 2 \), \( 6c^3 \) sayılarının hepsi çifttir.
- \( b + c \) tek sayıdır.
- \( 9a \), \( 5b \) ve \( 3c \) sayılarından sadece biri tektir.
Buna göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının tek/çift olma durumlarını inceleyiniz.
Çözümü Göster
I. öncül: \( 2a \) ve \( 6c^3 \) sayılarının katsayıları 2 çarpanı içerdiği için bu ifadeler her zaman çift olur, dolayısıyla \( a \) ve \( c \)'nin tek/çift olma durumları hakkında bir şey söyleyemeyiz. \( b - 2 \) çift ise \( b \) de çifttir.
II. öncül: \( b \) çift olduğuna göre, \(b + c \) ifadesinin tek olması için \( c \) tek olmalıdır.
III. öncül: \( b \) çift olduğuna göre \( 5b \) de çifttir. \( c \) tek olduğuna göre \( 3c \) de tektir. Verilen 3 sayıdan sadece biri tek ise \( 9a \) çift olmalıdır, dolayısıyla \( a \) çift olur.
Buna göre \( a \) ve \( b \) çift, \( c \) tektir.
SORU 19:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a - b = \dfrac{33}{c} \) olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangileri kesinlikle tek sayıdır?
I. \( c(b + a) \)
II. \( abc \)
III. \( a + b + c \)
IV. \( c^a + 9 \)
Çözümü Göster
Sayıların üçü de birer tam sayıdır. Verilen eşitliğin solundaki \( a - b \) ifadesi de tam sayı olacağı için sağındaki \( \frac{33}{c} \) ifadesi de tam sayı olmalıdır.
\( c \) sayısı 33'ü tam böldüğüne göre 33'ün bir çarpanı olmalıdır. 33'ün bölenleri 1, 3, 11 ve 33 olduğu için \( c \) mutlaka tek sayıdır. Ayrıca 33'ün bu sayılardan herhangi birine bölümünün sonucu da tek sayı olur.
Bu durumda \( a - b \) sonucu da tektir. Buna göre \( a \) ve \( b \) sayılarından biri tek diğeri çifttir.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( a \) ve \( b \)'nin biri tek diğeri çift olduğu için toplamları tek olur. \( c \) de tek olduğu için \( c(b + a) \) çarpımı tek sayı olur. Bu öncül her zaman tektir.
II. öncül: \( a \) ve \( b \) sayılarından biri çift olduğu için \( abc \) çarpımı her zaman çift olur.
III. öncül: \( a \) ve \( b \)'nin biri tek diğeri çift olduğu için toplamları tek olur. \( c \) de tek olduğu için \( a + b + c \) toplamı çift olur. Bu öncül her zaman çifttir.
IV. öncül: Üssü pozitif tam sayı olan ifadelerin sonucunun tek mi çift mi olduğunu bulmak için tabana bakmamız yeterlidir, dolayısıyla \( c \) tek olduğu için \( c^a \) da tek olur. Tek bir sayıyı 9 ile toplarsak sonuç çift olur. Bu öncül her zaman çifttir.
Buna göre sadece I. öncül kesinlikle tektir.
SORU 20:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2y^2 + xy + 6y + 3x \) ifadesinin tek sayı olduğu bilinmektedir.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri tek sayıdır?
I. \( xy \)
II. \( x^x \)
III. \( y + 10^x \)
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( 2y(y + 3) + x(y + 3) \)
\( = (y + 3)(2y + x) \)
Bu çarpımın sonucu tek sayı olduğuna göre, her iki çarpan da tek sayı olmalıdır.
\( y + 3 \) toplamında, 3 tek sayı olduğu için \( y \) çift sayı olmalıdır.
\( 2y + x \) toplamında, \( 2y \) çift sayı olduğu için \( x \) tek sayı olmalıdır.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( y \) çift sayı olduğu için \( xy \) çarpımı çift olur.
II. öncül: \( x \) tek sayı olduğu için \( x^x \) ifadesi tek olur.
III. öncül: \( y + 10^x \) toplamı her iki terim de çift olduğu için çifttir.
Buna göre sadece II. öncül tek sayıdır.
SORU 21:
Bir sınava katılan bir grup öğrenci hakkında aşağıdakiler biliniyor.
- Öğrenci sayısı tek sayıdır.
- Öğrencilerin sınavda aldığı notların toplamı çift sayıdır.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. Sınav notu çift sayı olan öğrenci sayısı çifttir.
II. Sınav notu tek olan öğrenci sayısı çifttir.
III. Öğrencilerden en az birinin notu tek sayıdır.
Çözümü Göster
Öğrenci sayısına \( n \) diyelim. \( n \) tek sayıdır.
\( n \) tane notun toplamı çift sayıdır.
\( a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \) çift sayı
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: Tüm sayılar çift olabileceği için notu çift sayı olan öğrenci sayısı tek ya da çift olabilir. Bu öncül her zaman doğru değildir.
II. öncül: Notların toplamı çift sayı olduğu için, notu tek sayı olan öğrenci sayısı ya sıfırdır ya da ikinin katıdır. Bu öncül her zaman doğrudur.
III. öncül: Tüm öğrencilerin notu çift sayı olabilir. Bu öncül her zaman doğru değildir.
Buna göre sadece II. öncül her zaman doğrudur.
SORU 22:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 2x + y, 3x + 5y + 1, xy \)
ifadelerinden ikisinin çift sayı, diğerinin tek sayı olduğu biliniyor.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri çift sayı olabilir?
I. \( x + 3 \)
II. \( xy - 1 \)
III. \( y \)
Çözümü Göster
\( x \) ve \( y \) sayılarının her bir farklı tek/çift sayı olma durumlarında bu üç ifadenin tek/çift sayı olma durumlarını kontrol edelim.
\( 2x + y, 3x + 5y + 1, xy \)
Durum 1: \( x \) ve \( y \) çift sayı
1. ve 3. ifadeler çift sayı, 2. ifade tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanır.
Durum 2: \( x \) çift sayı, \( y \) tek sayı
2. ve 3. ifadeler çift sayı, 1. ifade tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanır.
Durum 3: \( x \) tek sayı, \( y \) çift sayı
Tüm ifadeler çift sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanmaz.
Durum 4: \( x \) ve \( y \) tek sayı
Tüm ifadeler tek sayı olur. Bu durumda soruda verilen koşul sağlanmaz.
Sadece 1. ve 2. durumlar geçerli çözüm olduğu için \( x \)'in çift sayı olduğu sonucuna varabiliriz, \( y \)'nin tek/çift olma durumu hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
Bu bilgiler doğrultusunda öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( x + 3 \) toplamı her zaman tek sayıdır, çift sayı olamaz.
II. öncül: \( xy - 1 \) toplamı \( x \) çift sayı olduğu için her zaman tek sayıdır, çift sayı olamaz.
III. öncül: \( y \) çift sayı olabilir.
Buna göre sadece III. öncül çift sayı olabilir.