En Küçük/En Büyük/Farklı Değer Bulma

Verilen ifadenin en büyük değerini alması için katsayıları pozitif olan \( x \) ve \( y \) en büyük değerlerini, katsayısı negatif olan \( z \) de en küçük değerini almalıdır.

Sayılar birbirinden farklı olmadığı için aynı değerleri alabilirler.

\( x = 9, \quad y = 9, \quad z = 0 \)

Buna göre ifadenin en büyük değeri aşağıdaki gibi olur.

\( 2(9) + 7(9) - 6(0) = 18 + 63 - 0 = 81 \) bulunur.

Verilen ifadenin en büyük değerini alması için katsayıları pozitif olan \( x \) ve \( z \) en büyük değerlerini, katsayısı negatif olan \( y \) de en küçük değerini almalıdır.

Ayrıca \( z \)'nin katsayısı \( x \)'in katsayısından daha büyük olduğu için, \( z \) daha büyük değeri almalıdır.

Buna göre değişkenlerin değerleri aşağıdaki gibi olur.

\( x = 8, \quad y = 1, \quad z = 9 \)

Buna göre ifadenin en büyük değeri aşağıdaki gibi olur.

\( 5(8) - 3(1) + 11(9) = 136 \) bulunur.

Verilen ifadenin en küçük değerini alması için katsayıları pozitif olan \( a \) ve \( b \) en küçük değerlerini almalıdır.

\( a \) ve \( b \) birbirinden farklı sayılar olduğu için katsayısı daha büyük olan \( b \) en küçük pozitif tam sayı olan 1 değerini almalıdır.

\( b = 1 \)

Bu durumda \( a \) birden büyük en küçük tam sayı olan 2 değerini alır.

\( a = 2 \)

Buna göre ifadenin en küçük değeri aşağıdaki gibi olur.

\( 2(1) + 3(0) - 3 = -1 \) bulunur.

Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, toplamı verilen iki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın seçilir.

\( 6 \cdot 6 = 36 \)

İki sayının çarpımının en küçük değerini bulmak içinse sayılar birbirinden en uzak seçilir.

\( 1 \cdot 11 = 11 \)

Bu iki sayının tüm olası değerlerini bir tabloda listeleyerek çarpımın en küçük ve en büyük değerlerini teyit edebiliriz.

Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, çarpımı verilen iki sayının toplamının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirinden en uzak seçilir.

\( 1 + 12 = 13 \)

İki sayının toplamının en küçük değerini bulmak içinse sayılar birbirine eşit ya da en yakın seçilir.

\( 3 + 4 = 7 \)

Bu iki sayının tüm olası değerlerini bir tabloda listeleyerek toplamın en küçük ve en büyük değerlerini teyit edebiliriz.

Verilen ifadenin en büyük olması için \( a, b, c \) en büyük değerlerini almalıdır.

Üç sayı birbirinden farklı negatif tam sayılar olduğu için, bu değerler \( -1 \), \( -2 \) ve \( -3 \) olur.

İfadenin en büyük değerini alması için, katsayısı daha büyük olan değişken daha büyük değeri almalıdır.

\( a = -3, \quad b = -1, \quad c = -2 \)

Bu değerleri \( a + 3b + 2c \) ifadesinde yerine koyalım.

\( (-3) + 3(-1) + 2(-2) = -10 \) bulunur.

\( k \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\( a = 3k \) ve \( b = 2k \) şeklinde yazabiliriz.

\( k = 0 \) için:

\( a = 0, \quad b = 0 \)

\( k = 1 \) için:

\( a = 3, \quad b = 2 \)

\( k = 2 \) için:

\( a = 6, \quad b = 4 \)

\( k = 3 \) için:

\( a = 9, \quad b = 6 \)

\( k \)'nın daha büyük değerlerinde \( a \) bir rakam olmaz.

\( a \)'nın alabileceği değerlerin toplamını bulalım.

\( 0 + 3 + 6 + 9 = 18 \) bulunur.

\( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılar olduğuna göre, birinci eşitlik sadece \( 1 \cdot 11 = 11 \) ya da \( 11 \cdot 1 = 11 \) olduğunda sağlanır.

\( a = 11 \) ve \( b + 1 = 1 \) dersek \( b = 0 \) olur, 0 pozitif tam sayı olmadığı için bu geçerli bir çözüm değildir.

O halde \( a = 1 \) ve \( b + 1 = 11 \) olmalıdır.

\( b = 10 \)

Bulduğumuz değerleri ikinci eşitlikte yerine yazalım.

\( (a + c)(b - 1) = 81 \)

\( (1 + c)(10 - 1) = 81 \)

\( 1 + c = 9 \)

\( c = 8 \)

\( abc = 1 \cdot 10 \cdot 8 = 80 \) bulunur.

Sayıların toplamını bulalım.

\( x + y = 34 - a + a - 9 = 25 \)

Toplamı verilen iki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da (sayılar birer tam sayı ise) en yakın seçilir.

\( x = y = \dfrac{25}{2} \)

\( xy = \dfrac{25}{2} \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{625}{4} \) bulunur.

Birinci eşitlikte \( z \)'nin en büyük değerini alması için \( x \) en küçük değerini almalıdır.

\( x \)'in en küçük değeri ikinci eşitliği sağlamalıdır.

\( x \cdot y = 5 \)

Bu eşitliği sağlayan en küçük tam sayı \( x \) değeri \( -5 \)'tir.

\( (-5) \cdot (-1) = 5 \)

Bulduğumuz \( x \) değerini birinci eşitlikte yerine yazarak \( z \)'nin en büyük değerini bulalım.

\( x + z = -5 + z = 7 \)

\( z = 12 \) bulunur.

Ayşe, Leman ve Suna için verilen koşulları sağlayan sayıları yazalım.

Ayşe: 51, 15

Leman: 14, 23, 32, 41, 50

Suna: 16, 27, 38, 49, 50, 61, 72, 83, 94

Bu sayılardan en büyüğü 94, en küçüğü 14'tür.

\( 94 - 14 = 80 \) bulunur.

\( xy = y \) eşitliğini inceleyelim.

\( y \ne 0 \) olduğuna göre \( x = 1 \) olur.

\( y = z^2 + 1 \) eşitliğini inceleyelim.

\( x = 1 \) olduğu için \( z = 1 \) olamaz.

\( z = 3 \) olması durumunda eşitliğin sağ tarafı 10 olacağı \( z = 3 \) olamaz.

Buna göre \( z = 2 \) olur.

\( y = 2^2 + 1 = 5 \)

Buna göre değişkenlerin değerleri aşağıdaki gibi olur.

\( x = 1, \quad y = 5, \quad z = 2 \)

\( x + y + z = 1 + 5 + 2 = 8 \) bulunur.

\( b \)'nin en büyük değerini alması için katsayıları pozitif olan \( a \) ve \( c \) sayıları en küçük değerlerini almalıdır.

\( a = 3 \) ve \( c = 1 \) için \( b = 8 \) olur.

\( \dfrac{3}{3} + 4(8) + 1 = 34 \)

Bu değerler için \( c - 2a + b \) ifadesinin değerini bulalım.

\( 1 - 2(3) + 8 = 3 \) bulunur.

\( b \)'yi yalnız bırakalım.

\( b = \dfrac{59 - 7a}{3} \)

\( a \in \{1, 3, 4, 6, 7\} \) değerleri için \( b \) tam sayı değer almaz.

\( a = 2, \quad b = 15 \) için:

\( 7(2) + 3(15) = 59 \)

\( a = 5, \quad b = 8 \) için:

\( 7(5) + 3(8) = 59 \)

\( a = 8, \quad b = 1 \) için:

\( 7(8) + 3(1) = 59 \)

Buna göre \( b \)'nin alabileceği değerler çarpımı \( 1 \cdot 8 \cdot 15 = 120 \) olur.

Sayıların toplamını bulalım.

\( 10 \cdot 20 = 200 \)

En büyük sayıya \( a \) diyelim.

\( a \)'nın alabileceği en büyük değeri bulmak için diğer dokuz sayıya 1'den 9'a kadarki en küçük değerleri verelim.

\( 1 + 2 + 3 + \ldots + 9 + a = 200 \)

İlk 9 terim için ardışık sayıların toplam formülünü kullanalım.

\( \dfrac{9(9 + 1)}{2} + a = 200 \)

\( a = 155 \) bulunur.

Kesirli ifadeyi tek bir \( a \) değişkeni kalacak şekilde düzenleyelim.

\( \dfrac{a^2 - 20}{a - 4} = \dfrac{a^2 - 16}{a - 4} - \dfrac{4}{a - 4} \)

\( = \dfrac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4} - \dfrac{4}{a - 4} \)

\( = a + 4 - \dfrac{4}{a - 4} \)

\( a + 4 \) ifadesi her \( a \) için tam sayıdır.

\( \frac{4}{a - 4} \) ifadesini tam sayı yapan doğal sayı \( a \) değerleri aşağıdaki gibidir.

\( a \in \{0, 2, 3, 5, 6, 8\} \)

Buna göre \( a \)'nın alabileceği 6 farklı değer vardır.

Verilen ifadeyi tek bir \( x \) kalacak şekilde düzenleyelim.

\( \dfrac{4x + 25}{x + 1} = \dfrac{4x + 4 + 21}{x + 1} \)

\( = \dfrac{4x + 4}{x + 1} + \dfrac{21}{x + 1} \)

\( = 4 + \dfrac{21}{x + 1} \)

Bu ifadenin değerinin tam sayı olması için \( x + 1 \) ifadesi 21'i tam bölmelidir.

\( x + 1 \in \{ \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21 \} \)

Bu sayılardan 1 çıkardığımızda verilen ifadeyi tam sayı yapan \( x \) değerlerini buluruz.

\( x \in \{ -22, -8, -4, -2, 0, 2, 6, 20 \} \)

Bu \( x \) değerlerinin toplamını alalım.

\( -22 + (-8) + (-4) + (-2) + 0 + 2 + 6 + 20 = -8 \) bulunur.

Verilen üç eşitliği taraf tarafa toplayalım.

\( A + B + C = (12 + 5x - 3y) + (4y - 7 - x) + (5 - 4x - y) \)

\( A + B + C = 10 \)

\( ABC \) çarpımının en büyük değerini bulalım.

Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımlarının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın olacak şekilde seçilir.

\( A = 4, \quad B = 3, \quad C = 3 \)

\( ABC = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 \) bulunur.

Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.

\( (a - b) + (b + c) = 7 + (-10) \)

\( a + c = -3 \)

Negatif \( a \) ve \( c \) tam sayılarının alabileceği iki farklı değer için \( b \) değerlerini bulalım.

Durum 1:

\( a = -2, \quad c = -1 \)

\( b + c = b + (-1) = -10 \)

\( b = -9 \)

Durum 2:

\( a = -1 \quad c = -2 \)

\( b + c = b + (-2) = -10 \)

\( b = -8 \)

\( b \)'nin alabileceği değerlerin toplamını bulalım.

\( (-9) + (-8) = -17 \) bulunur.

Verilen eşitlikte \( y \)'yi yalnız bırakalım.

\( y = 300 - 3x \)

\( x = 0 \) için \( y = 300 \) bulunur.

\( x = 100 \) için \( y = 0 \) bulunur.

Bu eşitlikte 0-100 arasındaki her \( x \) değeri için doğal sayı bir \( y \) değeri elde edilir.

Terim sayısı \( = 100 - 0 + 1 = 101 \)

Verilen eşitliği sağlayan 101 farklı \( (x, y) \) ikilisi vardır.

Sayılara \( a, b, c, d \) diyelim.

\( a + b + c + d = 2500 \)

Sayıların sıralamasına \( d \lt c \lt b \lt a \) diyelim.

Buna göre \( c \) ve \( d \) 400'den küçük sayılardır.

En küçük \( d \) sayısının en küçük değerini alması için diğer sayılar en büyük değerlerini almalıdır.

\( a, b, c \) sayılarına alabilecekleri en büyük değerleri verelim.

\( a = 999 \)

\( b = 998 \)

\( c = 399 \)

Bu değerleri toplam eşitliğinde yerine koyalım.

\( 999 + 998 + 399 + d = 2500 \)

\( 2396 + d = 2500 \)

\( d = 104 \) bulunur.

Verilen eşitlikte \( b \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( 2b = 16 + 9c - a \)

\( b \) sayısının en büyük değere sahip olması için katsayısı pozitif olan \( c \) en büyük, katsayısı negatif olan \( a \) en küçük değerini almalıdır.

\( a = 1, \quad c = -1 \)

Bu değerleri ifadede yerine yazalım.

\( 2b = 16 + 9(-1) - 1 \)

\( 2b = 6 \)

\( b = 3 \) bulunur.

İfadeyi düzenleyelim.

\( a = \dfrac{5b - 2}{4} = \dfrac{6c}{c} + \dfrac{12}{c} \)

\( a = \dfrac{5b - 2}{4} = 6 + \dfrac{12}{c} \)

\( a \)'nın en küçük değeri için \( 6 + \frac{12}{c} \) ifadesi de en küçük olmalıdır.

\( a \)'nın en küçük değeri \( c = 12 \) verdiğimizde elde edilir.

\( a = 6 + \dfrac{12}{12} \)

\( a = 7 \)

\( a \)'nın en küçük değeri için \( b \) değerini bulalım.

\( 7 = \dfrac{5b - 2}{4} \)

\( 28 = 5b - 2 \)

\( b = 6 \) bulunur.

32 sayısının pozitif tam sayı bölenleri \( = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} \)

\( x = 1 \) için \( y = 29 \) olur.

\( x = 2 \) için \( y = 13 \) olur.

\( x = 4 \) için \( y = 5 \) olur.

\( x = 8 \) için \( y = 1 \) olur, ancak \( x \lt y \) olması gerektiği için bu geçerli bir çözüm değildir.

Daha büyük \( x \) değerleri için de aynı durum söz konusu olacağı için başka geçerli çözüm yoktur.

Buna göre \( x, y, z \) sayılarının alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.

\( x = 1, \quad y = 29, \quad 29 \lt z \)

\( x = 2, \quad y = 13, \quad 13 \lt z \)

\( x = 4, \quad y = 5, \quad 5 \lt z \)

Bu olasılıklar içinde sayıların toplamı en küçük değerini aşağıdaki değerlerde alır.

\( x = 4, \quad y = 5, \quad z = 6 \)

Buna göre \( x + y + z \) toplamı en az \( 4 + 5 + 6 = 15 \) olur.

İfadenin açılımını yazalım.

\( x^2y^2 - 12xy + 36 + 4x^2 + 12xy + 9y^2 = x^2y^2 + 4x^2 + 9y^2 + 36 \)

Bir reel sayının karesinin alabileceği en küçük değer 0'dır.

Elde ettiğimiz ifadede \( x^2 \) ve \( y^2 \)'li terimlerin işareti pozitif olduğu için, ifadenin en küçük değerini alması için \( x = y = 0 \) olmalıdır.

\( 0 + 0 + 0 + 36 = 36 \) bulunur.

Levhanın alanı en büyük değerini genişlik ve yükseklik en büyük olduğunda alır.

\( A_{maks} = (29 + 1)(32 + 2) = 1020 \) cm\( ^2\)

Levhanın alanı en küçük değerini genişlik ve yükseklik en küçük olduğunda alır.

\( A_{min} = (29 - 1)(32 - 2) = 840 \) cm\( ^2\)

Buna göre levhaların alanının en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark \( 1020 - 840 = 180 \) cm\( ^2\) olarak bulunur.

\( a \)'yı yalnız bırakalım.

\( ab = 15 - 4b \)

\( a = \dfrac{15 - 4b}{b} \)

İfadeyi tek bir \( b \) değişkeni olacak şekilde düzenleyelim.

\( = \dfrac{15}{b} - \dfrac{4b}{b} \)

\( = \dfrac{15}{b} - 4 \)

\( b \) 15'i tam bölen değerler aldığında \( \frac{15}{b} \) ifadesi ve eşitliğin sağ tarafı tam sayı olur.

\( b \in \{ \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 \} \)

\( b \)'nin negatif değerlerinde ve \( b \in \{ 5, 15 \} \) olduğunda \( a \) negatif olduğu için doğal sayı olmaz.

Buna göre \( b \) iki farklı değer alabilir.

\( b \in \{ 1, 3 \} \)

\( b \)'nin alabileceği değerlerin toplamı \( 1 + 3 = 4 \) olarak bulunur.

Sayılardan en büyüğünün en küçük değerini bulmak için 25'ten küçük olan dört doğal sayının en büyük değerlerini almalıyız.

21, 22, 23, 24

Bu dört sayının toplamını 268'den çıkaralım.

\( 268 - (24 + 23 + 22 + 21) = 178 \)

Buna göre diğer iki sayının toplamı 178'dir.

Bu iki sayıdan büyük olanın en küçük değerini bulmak için sayıları birbirine en yakın seçmeliyiz.

Bunun için 178 sayısını ikiye bölelim.

\( 178 \div 2 = 89 \)

Sayılar birbirinden farklı olduğu için sayıları 88 ve 90 olarak seçmeliyiz.

Buna göre en büyük sayı en az 90 olur.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( 7x + xy = -95 \)

\( x(7 + y) = -95 \)

95 sayısının tam sayı bölenleri \( = \{\pm 1, \pm 5, \pm 19, \pm 95\} \)

\( y \) pozitif olduğu için \( 7 + y \) toplamı sadece 19 ya da 95 olabilir.

\( 7 + y = 19 \) için:

\( y = 12, \quad x = -5 \)

\( 7 + y = 95 \) için:

\( y = 88, \quad x = -1 \)

Buna göre \( xy \) çarpımının en büyük değeri \( -5 \cdot 12 = -60 \) olur.

\( x^2 \) pozitif olduğu için \( y \) de pozitif olmalıdır.

147 sayısının pozitif tam sayı bölenleri \( = \{1, 3, 7, 21, 49, 147\} \)

\( x \) tam sayı olduğu için karesi 1 ya da 49 olabilir.

\( x^2 = 1 \) için:

\( x = \pm 1, \quad y = 147 \)

\( x^2 = 49 \) için:

\( x = \pm 7, \quad y = 3 \)

Buna göre \( x + y \) toplamı en az \( -7 + 3 = -4 \) olur.

23 sayısının tam sayı bölenleri \( = \{ \pm 1, \pm 23 \} \)

\( bc = 23 \) eşitliği için \( b \) ve \( c \) tam sayılarının alabileceği değerleri bulalım.

\( b = 1, c = 23 \Longrightarrow a = 43 \)

\( b = -1, c = -23 \Longrightarrow a = 41 \)

\( b = 23, c = 1 \Longrightarrow a = 65 \)

\( b = -23, c = -1 \Longrightarrow a = 19 \)

Bu bilgiler doğrultusunda verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

\( a + b + c \) toplamı en çok \( 65 + 23 + 1 = 89 \) olabilir.

Bu öncül doğrudur.

I. öncül:

\( a + b + c \) toplamı en az \( 19 + (-23) + (-1) = -5 \) olabilir.

Bu öncül yanlıştır.

I. öncül:

\( a + c \) toplamı en az \( 19 + (-1) = 41 + (-23) = 18 \) olabilir.

Bu öncül doğrudur.

Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.

Verilen ifadeyi düzenleyelim.

\( A = \dfrac{(x + y)^2}{xy} \)

\( = \dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy} \)

\( = \dfrac{x^2}{xy} + \dfrac{2xy}{xy} + \dfrac{y^2}{xy} \)

\( = \dfrac{x}{y} + 2 + \dfrac{y}{x} \)

\( A \) sayısının tam sayı olabilmesi için \( x = y \) ya da \( x = -y \) olmalıdır.

Verilen öncülleri inceleyelim.

I. öncül:

\( (x, y) = (1, -1) \) ya da \( (x, y) = (-1, 1) \) olabileceği için \( xy = -1 \) olabilir.

I. öncül doğrudur.

II. öncül:

\( x = y \) olabileceği için \( x - y = 0 \) olabilir.

II. öncül doğrudur.

III. öncül:

\( x \) ve \( y \) tam sayı olduğu için bulduğumuz koşulları sağlayacak şekilde \( x + y = 1 \) olamaz.

III. öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğru olabilir.

\( \frac{x}{y} \ne 0 \) ve \( z = 0 \) olduğu durumda ikinci eşitlik sağlanır, ancak birinci eşitlik sağlanmaz.

\( \frac{x}{y} = -1 \) ve \( z \) çift sayı olduğunda ikinci eşitlik sağlanır, ancak \( x \) ve \( y \) doğal sayılar oldukları için oranları \( -1 \) olamaz.

Bu yüzden \( \frac{x}{y} = 1 \) olmalıdır.

\( \dfrac{x}{y} = 1 \Longrightarrow x = y \)

Birinci eşitlikte \( z \)'nin alabileceği değerleri bulalım.

\( xyz = 81 \)

Üç tam sayının çarpımı tek sayı ise sayıların üçü de tek sayı olmalıdır.

\( x = y = 1 \Longrightarrow z = 81 \)

\( x = y = 3 \Longrightarrow z = 9 \)

\( x = y = 9 \Longrightarrow z = 1 \)

\( z \)'nin alabileceği değerlerin toplamını bulalım.

\( 81 + 9 + 1 = 91 \) bulunur.

Verilen eşitlikteki terimleri 5'e bölelim.

\( x + \dfrac{6y}{5} = 43 \)

\( x \)'in doğal sayı olabilmesi için \( y \) 5'in bir tam sayı katı olmalıdır.

\( y = 0 \Longrightarrow x = 43 \)

\( y = 5 \Longrightarrow x = 37 \)

\( y = 10 \Longrightarrow x = 31 \)

Bu şekilde \( x \)'in alabileceği değerler 6 azalarak devam eder.

\( y = 35 \Longrightarrow x = 1 \)

\( x \in \{1, 7, 13, \ldots, 43\} \)

\( x \)'in alabileceği değerlerin toplamını bulalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)

\( = \dfrac{43 - 1}{6} + 1 = 8 \)

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{1 + 43}{2} \cdot 8 = 176 \) bulunur.

Birinci eşitlikte \( 9zt \) ifadesindeki bilinmeyenlerin ikisi de 0'dan farklı olursa sonuç 8'den büyük olur, dolayısıyla \( z \) ya da \( t \) sıfır olmalıdır.

\( z = 0 \) veya \( t = 0 \)

\( 2xy = 8 \Longrightarrow xy = 4 \)

İkinci eşitliğe göre \( x \) veya \( z \) sıfır olamaz, aksi takdirde \( -yt = 7 \) olması için \( y \) ya da \( t \) negatif olmalıdır.

O halde \( t = 0 \) olmalıdır.

\( xz = 7 \) ve \( xy = 4 \) olduğunu biliyoruz.

\( x = 2 \) ya da \( x = 4 \) olamayacağı için \( x = 1 \) olmalıdır, buradan \( y = 4 \) ve \( z = 7 \) olarak bulunur.

Bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.

\( x + y + z + t = 1 + 4 + 7 + 0 = 12 \) bulunur.

\( x \in \mathbb{N} \) ve \( y \in \mathbb{Z} \) olsun.

Soruda verilen ifadeyi denklem şeklinde yazalım.

\( xy = 4x + 5y \)

Bu eşitlikte \( y \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( xy - 5y = 4x \)

\( y(x - 5) = 4x \)

\( y = \dfrac{4x}{x - 5} \)

Eşitliğin sağ tarafını tek bir \( x \) değişkeni kalacak şekilde düzenleyelim.

\( = \dfrac{4x - 20 + 20}{x - 5} \)

\( = \dfrac{4x - 20}{x - 5} + \dfrac{20}{x - 5} \)

\( = 4 + \dfrac{20}{x - 5} \)

\( y \) sayısının tam sayı olması için \( x - 5 \) ifadesi 20'yi tam bölmelidir.

20'nin tam sayı bölenleri \( = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \} \)

\( x - 5 \) ifadesinin bu bölenlerden biri olduğu \( x \) doğal sayı değerleri aşağıdaki gibi olur.

\( x \in \{ 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 15, 25 \} \)

Bu değerleri yukarıdaki eşitlikte yerine koyduğumuzda \( y \) değerleri aşağıdaki gibi bulunur.

\( x = 0 \Longrightarrow y = 0 \)

\( x = 1 \Longrightarrow y = -1 \)

\( x = 3 \Longrightarrow y = -6 \)

\( x = 4 \Longrightarrow y = -16 \)

\( x = 6 \Longrightarrow y = 24 \)

\( x = 7 \Longrightarrow y = 14 \)

\( x = 9 \Longrightarrow y = 9 \)

\( x = 10 \Longrightarrow y = 8 \)

\( x = 15 \Longrightarrow y = 6 \)

\( x = 25 \Longrightarrow y = 5 \)

Buna göre \( y \) 10 farklı değer alabilir.

Değeri istenen ifadede paydaları eşitleyelim.

\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} \)

\( x + y = -50 \) olarak veriliyor.

\( = \dfrac{-50}{xy} \)

\( x \) ve \( y \) negatif tam sayılar olduğu için \( xy \) çarpımı pozitif, \( -\frac{50}{xy} \) ifadesi negatif olur.

Sonuç negatif olacağından ifadenin en büyük değerini alması için \( -\frac{50}{xy} \) ifadesinde payda en büyük olmalıdır.

\( xy \) çarpımının en büyük olması için \( x + y = -50 \) eşitliğinde \( x \) ve \( y \) değerleri birbirine en yakın seçilmelidir.

\( x = -25, \quad y = -25 \)

Bu değerleri yerine koyalım.

\( -\dfrac{50}{xy} = -\dfrac{50}{(-25)(-25)} \)

\( = -\dfrac{2}{25} \) bulunur.

\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin en büyük değerini alması için katsayıları pozitif olan \( a \) ve \( b \) en büyük değerlerini, katsayısı negatif olan \( c \) en küçük değerini almalıdır.

Ancak sayılar arasındaki büyüklük ilişkisinden dolayı bir sayıya verdiğimiz değer diğer sayılara verdiğimiz değerleri etkilemektedir.

\( a \) ve \( b \) katsayılarının toplamı \( c \) katsayısından büyük olduğu için (\( 5 + 2 \gt 4 \)), ifadenin en büyük değeri için öncelikli olarak \( a \) ve \( b \)'ye büyük değer vermeliyiz.

\( a = 14, \quad b = 15, \quad c = 16 \)

\( 5(14) + 2(15) - 4(16) = 36 \)

Buna göre ifadenin en büyük değeri 36 olarak bulunur.

\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin en küçük değeri için \( a \) ve \( b \) en küçük, \( c \) en büyük değerini almalıdır.

\( a = 2, \quad b = 3, \quad c = 16 \)

\( 5(2) + 2(3) - 4(16) = -48 \)

Buna göre ifadenin en küçük değeri -48 olarak bulunur.