Tam sayılar konusunda sıklıkla karşılaşılan soru tiplerinden biri, bir ifadenin ya da bir ifadedeki değişkenin alabileceği en küçük, en büyük ya da tüm farklı değerlerin bulunmasıdır.
Bu tip sorularda dikkat edilmesi gereken iki önemli nokta şunlardır.
SORU 1:
\( a \), \( b \) ve \( c \) birbirinden farklı negatif tam sayılardır.
Buna göre \( a + 3b + 2c \) toplamı en çok kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ifadenin en büyük olması için \( a \), \( b \) ve \( c \) en büyük değerlerini almalıdır.
Üç sayı birbirinden farklı negatif tam sayılar olduğu için, bu değerler \( -1 \), \( -2 \) ve \( -3 \) olur.
İfadenin en büyük olması için, bu değerlerden daha büyük olan daha büyük katsayılı değişkene verilmelidir.
\( a = -3, \quad b = -1, \quad c = -2 \)
Bu değerleri \( a + 3b + 2c \) ifadesinde yerine koyalım.
\( (-3) + 3(-1) + 2(-2) = -10 \) bulunur.
SORU 2:
\( x , y, z \) birer rakam olmak üzere,
\( 2x + 7y - 6z \) ifadesinin sonucu en çok kaçtır?
Çözümü Göster
\( 2x + 7y - 6z \) ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( x \) ve \( y \) en büyük değerlerini, negatif işaretli \( z \) de en küçük değerini almalıdır.
Sayılar birbirinden farklı olmadığı için aynı değerleri alabilirler.
\( x = 9, \quad y = 9, \quad z = 0 \)
Buna göre ifadenin en büyük değeri aşağıdaki gibi olur.
\( 2 \cdot 9 + 7 \cdot 9 - 6 \cdot 0 \)
\( = 18 + 63 - 0 = 81 \) bulunur.
SORU 3:
\( x, y, z \) sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere,
\( 5x - 3y + 11z \) ifadesinin sonucu en çok kaçtır?
Çözümü Göster
\( 5x - 3y + 11z \) ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( x \) ve \( z \) en büyük değerlerini, negatif işaretli \( y \) de en küçük değerini almalıdır.
Ayrıca \( z \)'nin katsayısı \( x \)'in katsayısından büyük olduğu için, sonucun daha büyük olması için \( z \gt x \) olmalıdır.
Buna göre değerler aşağıdaki gibi olur.
\( x = 8, \quad y = 1, \quad z = 9 \)
Buna göre ifadenin en büyük değeri aşağıdaki gibi olur.
\( 5 \cdot 8 - 3 \cdot 1 + 11 \cdot 9 \)
\( = 136 \) bulunur.
SORU 4:
\( a \) ve \( b \) birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere,
\( 2a + 3b - 3 \) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \) birbirinden farklı sayılar olduğu için verilen ifadenin en küçük değerini alması için katsayısı daha büyük olan \( b \) en küçük doğal sayı olan 0 değerini almalıdır.
\( b = 0 \)
Bu durumda \( a \) 0'dan sonraki en küçük doğal sayı olan 1 değerini alır.
\( a = 1 \)
Bulduğumuz değerleri verilen ifadede yerine yazarak ifadenin en küçük değerini bulalım.
\( 2a + 3b - 3 = 2(1) + 3(0) - 3 \)
\( = -1 \) bulunur.
SORU 5:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a + b = 12 \) ise \( a \cdot b \)'nin en küçük ve en büyük değerleri nedir?
Çözümü Göster
Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, toplamı verilen iki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın seçilir.
\( 6 \cdot 6 = 36 \)
İki sayının çarpımının en küçük değerini bulmak içinse sayılar birbirinden en uzak seçilir.
\( 1 \cdot 11 = 11 \)
Bu iki sayının tüm olası değerlerini bir tabloda listeleyerek çarpımın en küçük ve en büyük değerlerini teyit edebiliriz.
| \( a \) |
\( b \) |
\( a + b \) |
\( a \cdot b \) |
| 1 |
11 |
12 |
11 |
| 2 |
10 |
12 |
20 |
| 3 |
9 |
12 |
27 |
| 4 |
8 |
12 |
32 |
| 5 |
7 |
12 |
35 |
| 6 |
6 |
12 |
36 |
| 7 |
5 |
12 |
35 |
| 8 |
4 |
12 |
32 |
| 9 |
3 |
12 |
27 |
| 10 |
2 |
12 |
20 |
| 11 |
1 |
12 |
11 |
SORU 6:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a \cdot b = 12 \) ise \( a + b \)'nin en küçük ve en büyük değerleri nedir?
Çözümü Göster
Yukarıda paylaştığımız kurallara göre, çarpımı verilen iki sayının toplamının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirinden en uzak seçilir.
\( 1 + 12 = 13 \)
İki sayının toplamının en küçük değerini bulmak içinse sayılar birbirine eşit ya da en yakın seçilir.
\( 3 + 4 = 7 \)
Bu iki sayının tüm olası değerlerini bir tabloda listeleyerek toplamın en küçük ve en büyük değerlerini teyit edebiliriz.
| \( a \) |
\( b \) |
\( a \cdot b \) |
\( a + b \) |
| 1 |
12 |
12 |
13 |
| 2 |
6 |
12 |
8 |
| 3 |
4 |
12 |
7 |
| 4 |
3 |
12 |
7 |
| 6 |
2 |
12 |
8 |
| 12 |
1 |
12 |
13 |
SORU 7:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x = 34 - a \)
\( y = a - 9 \)
olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımının alabileceği en büyük değer nedir?
Çözümü Göster
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( x + y = 34 - a + a - 9 = 25 \)
Toplamı verilen iki sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da (sayılar birer tam sayı ise) en yakın seçilir.
\( x = y = \dfrac{25}{2} \)
\( x \cdot y = \dfrac{25}{2} \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{625}{4} \) bulunur.
SORU 8:
\( a \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \dfrac{a^2 - 20}{a - 4} \) ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözümü Göster
Kesirli ifadede tek bir \( a \) kalacak şekilde ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{a^2 - 20}{a - 4} = \dfrac{a^2 - 16}{a - 4} - \dfrac{4}{a - 4} \)
\( = \dfrac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4} - \dfrac{4}{a - 4} \)
\( = a + 4 - \dfrac{4}{a - 4} \)
\( a + 4 \) ifadesi tam sayıdır.
\( \frac{4}{a - 4} \) ifadesini tam sayı yapan doğal sayı \( a \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( a \in \{0, 2, 3, 5, 6, 8\} \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği 6 farklı değer vardır.
SORU 9:
\( x, y, z \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x + z = 7 \)
\( x \cdot y = 5 \)
olduğuna göre, \( z \) en fazla kaç olabilir?
Çözümü Göster
Birinci eşitlikte \( z \)'nin en büyük değerini alması için \( x \) en küçük değerini almalıdır.
\( x \)'in en küçük değeri ikinci eşitliği sağlamalıdır.
\( x \cdot y = 5 \)
Bu eşitliği sağlayan en küçük tam sayı \( x \) değeri \( -5 \)'tir.
\( (-5) \cdot (-1) = 5 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini birinci eşitlikte yerine yazarak \( z \)'nin en büyük değerini bulalım.
\( x + z = -5 + z = 7 \)
\( z = 12 \) bulunur.
SORU 10:
\( a, b \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( ab + 4b = 15 \)
olduğuna göre, \( b \) kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
\( a \)'yı yalnız bırakalım.
\( ab = 15 - 4b \)
\( a = \dfrac{15 - 4b}{b} \)
İfadeyi tek bir \( b \) kalacak şekilde düzenleyelim.
\( = \dfrac{15}{b} - \dfrac{4b}{b} \)
\( = \dfrac{15}{b} - 4 \)
\( b \) 15'i tam bölen değerler aldığında \( \frac{15}{b} \) ifadesi doğal sayı, eşitliğin sağ tarafı da tam sayı olur.
\( b \in \{1, 3, 5, 15\} \)
Ancak \( b \in \{5, 15\} \) olduğunda \( a \) negatif olduğu için bu iki değer geçerli birer çözüm değildir.
\( a = \dfrac{15}{5} - 4 = -1 \)
\( a = \dfrac{15}{15} - 4 = -3 \)
Buna göre \( b \) iki farklı değer alabilir.
\( b \in \{1, 3\} \) bulunur.
SORU 11:
\( a \) ve \( b \) birer rakam olmak üzere,
\( 2a = 3b \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( k \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( a = 3k \) ve \( b = 2k \) şeklinde yazabiliriz.
\( k = 0 \) için:
\( a = 0, \quad b = 0 \)
\( k = 1 \) için:
\( a = 3, \quad b = 2 \)
\( k = 2 \) için:
\( a = 6, \quad b = 4 \)
\( k = 3 \) için:
\( a = 9, \quad b = 6 \)
\( k \)'nın daha büyük değerlerinde \( a \) bir rakam olmaz.
\( a \)'nın alabileceği değerlerin toplamını bulalım.
\( 0 + 3 + 6 + 9 = 18 \) bulunur.
SORU 12:
\( \dfrac{4x + 25}{x + 1} \) ifadesini tam sayı yapan \( x \) tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi tek bir \( x \) kalacak şekilde düzenleyelim.
\( \dfrac{4x + 25}{x + 1} = \dfrac{4x + 4 + 21}{x + 1} \)
\( = \dfrac{4x + 4}{x + 1} + \dfrac{21}{x + 1} \)
\( = 4 + \dfrac{21}{x + 1} \)
Bu ifadenin değerinin tam sayı olması için \( x + 1 \) ifadesi 21'i tam bölmelidir.
21'i tam bölen tam sayılar: \( \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21 \)
Paydadaki ifadeyi bu değerlere eşitleyerek \( x \)'in alabileceği değerleri bulalım.
\( x + 1 = +1 \Longrightarrow x = 0 \)
\( x + 1 = -1 \Longrightarrow x = -2 \)
\( x + 1 = +3 \Longrightarrow x = 2 \)
\( x + 1 = -3 \Longrightarrow x = -4 \)
\( x + 1 = +7 \Longrightarrow x = 6 \)
\( x + 1 = -7 \Longrightarrow x = -8 \)
\( x + 1 = +21 \Longrightarrow x = 20 \)
\( x + 1 = -21 \Longrightarrow x = -22 \)
Bulduğumuz \( x \) değerlerinin toplamını alalım.
\( 0 + (-2) + 2 + (-4) + 6 + (-8) + 20 + (-22) = -8 \) bulunur.
SORU 13:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a(b + 1) = 11 \)
\( (a + c)(b - 1) = 81 \)
olduğuna göre, \( a \cdot b \cdot c \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılar olduğuna göre, birinci eşitlik sadece \( 1 \cdot 11 = 11 \) ya da \( 11 \cdot 1 = 11 \) olduğunda sağlanır.
\( a = 11 \) ve \( b + 1 = 1 \) dersek \( b = 0 \) olur, 0 pozitif tam sayı olmadığı için bu geçerli bir çözüm değildir.
O halde \( a = 1 \) ve \( b + 1 = 11 \) olmalıdır.
\( b = 10 \)
Bulduğumuz değerleri ikinci eşitlikte yerine yazalım.
\( (a + c)(b - 1) = 81 \)
\( (1 + c)(10 - 1) = 81 \)
\( 1 + c = 9 \)
\( c = 8 \)
\( a \cdot b \cdot c = 1 \cdot 10 \cdot 8 = 80 \) bulunur.
SORU 14:
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( A = 12 + k \)
\( B = 7 - k \)
olduğuna göre, \( A \cdot B \) çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen \( A \) ve \( B \) sayılarını toplayalım.
\( A + B = (12 + k) + (7 - k) \)
\( = 19 \)
\( A \cdot B \) ifadesinin en büyük değerini bulalım.
Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın olacak şekilde seçilir.
\( A = 10, \quad B = 9 \)
\( A \cdot B = 10 \cdot 9 = 90 \) bulunur.
SORU 15:
\( x, y, z \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( x \cdot y \cdot z = 81 \)
\( (\dfrac{x}{y})^z = 1 \)
olduğuna göre, \( z \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( z = 0 \) için ikinci eşitlik sağlanır, ancak birinci eşitlik sağlanmaz.
Bu yüzden \( \frac{x}{y} = 1 \) olmalıdır.
\( \dfrac{x}{y} = 1 \Longrightarrow x = y \)
Birinci eşitlikte \( z \)'nin alabileceği değerleri bulalım.
\( x \cdot y \cdot z = 81 \)
Üç tam sayının çarpımı tek sayı ise sayıların üçü de tek sayı olmalıdır.
\( x = y = 1 \Longrightarrow z = 81 \)
\( x = y = 3 \Longrightarrow z = 9 \)
\( x = y = 9 \Longrightarrow z = 1 \)
\( z \)'nin alabileceği değerler toplamını bulalım.
\( 81 + 9 + 1 = 91 \) bulunur.
SORU 16:
\( A, B, C \in \mathbb{Z^+} \) ve \( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( A = 12 + 5x - 3y \)
\( B = 4y - 7 - x \)
\( C = 5 - 4x - y \)
olduğuna göre, \( A \cdot B \cdot C \) çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen üç eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( A + B + C = (12 + 5x - 3y) \) \( + (4y - 7 - x) \) \( + (5 - 4x - y) \)
\( A + B + C = 10 \)
\( A \cdot B \cdot C \) çarpımının en büyük değerini bulalım.
Toplamları verilen iki ya da daha fazla sayının çarpımlarının en büyük değerini bulmak için sayılar birbirine eşit ya da en yakın olacak şekilde seçilir.
\( A = 4, \quad B = 3, \quad C = 3 \)
\( A \cdot B \cdot C = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 \) bulunur.
SORU 17:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( a - b = 7 \)
\( b + c = -10 \)
olduğuna göre, \( b \)'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( (a - b) + (b + c) = 7 + (-10) \)
\( a + c = -3 \)
Negatif \( a \) ve \( c \) sayılarının alabileceği değerleri bulalım.
Durum 1: \( a = -2, \quad c = -1 \)
Durum 2: \( a = -1 \quad c = -2 \)
Bulduğumuz \( c \) değerlerini ikinci denklemde yerine yazarak \( b \)'nin alabileceği değerleri bulalım.
\( b + c = -10 \)
\( c = -1 \Longrightarrow b = -9 \)
\( c = -2 \Longrightarrow b = -8 \)
\( b \)'nin alabileceği değerlerin toplamını bulalım.
\( (-9) + (-8) = -17 \) bulunur.
SORU 18:
\( x, y, z, t \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 2xy + 9zt = 8 \)
\( xz - yt = 7 \)
olduğuna göre, \( x + y + z + t \) kaçtır?
Çözümü Göster
Birinci eşitlikte \( 9zt \) ifadesindeki bilinmeyenlerin ikisi de 0'dan farklı olursa sonuç 8'den büyük olur, dolayısıyla \( z \) veya \( t \) sıfır olmalıdır.
\( z = 0 \) veya \( t = 0 \)
\( 2xy = 8 \Longrightarrow xy = 4 \)
İkinci eşitliğe göre \( x \) ve \( z \) sıfır olamaz, aksi takdirde \( -yt = 7 \) olması için \( y \) ya da \( t \) negatif olmalıdır.
O halde \( t = 0 \) olmalıdır.
\( xz = 7 \) ve \( xy = 4 \) olduğunu biliyoruz.
\( x = 2 \) ya da \( x = 4 \) olamayacağı için \( x = 1 \) olmalıdır, buradan \( y = 4 \) ve \( z = 7 \) olarak bulunur.
Bulduğumuz değerlerin toplamını alalım.
\( x + y + z + t = 1 + 4 + 7 + 0 \)
\( = 12 \) bulunur.
SORU 19:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a \lt b \lt c \)
\( c + \dfrac{b}{a} = 24 \)
olduğuna göre, \( a + b + c \) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
En büyük sayı olan \( c \)'nin alabileceği en büyük sayıları deneyelim.
\( c = 24 \) için:
\( 24 + \dfrac{b}{a} = 24 \)
\( \dfrac{b}{a} = 0 \)
\( b = 0 \) pozitif tam sayı olmadığı için \( c = 24 \) olamaz.
\( c = 23 \) için:
\( 23 + \dfrac{b}{a} = 24 \)
\( \dfrac{b}{a} = 1 \)
\( b = a \) olmalıdır, ancak \( a \lt b \) olduğundan \( c = 23 \) olamaz.
\( c = 22 \) için:
\( 22 + \dfrac{b}{a} = 24 \)
\( \dfrac{b}{a} = 2 \)
Toplamları en büyük olacak şekilde oranı 2 olan iki sayı \( b = 20 \) ve \( a = 10 \) olur.
\( a + b + c \) toplamının en büyük değeri \( 10 + 20 + 22 = 52 \) olarak bulunur.
SORU 20:
\( A, x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( A = \dfrac{(x + y)^2}{xy} \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğru olabilir?
I. \( xy = -1 \)
II. \( x - y = 0 \)
III. \( x + y = 1 \)
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi düzenleyelim.
\( A = \dfrac{(x + y)^2}{xy} \)
\( = \dfrac{x^2 + 2xy + y^2}{xy} \)
\( = \dfrac{x^2}{xy} + \dfrac{2xy}{xy} + \dfrac{y^2}{xy} \)
\( = \dfrac{x}{y} + 2 + \dfrac{y}{x} \)
\( A \) sayısının tam sayı olabilmesi için \( x = y \) ya da \( x = -y \) olmalıdır.
\( (x, y) = (1, -1) \) ya da \( (x, y) = (-1, 1) \) olabileceği için \( xy = -1 \) olabilir, dolayısıyla I. öncül doğrudur.
\( x = y \) olabileceği için \( x - y = 0 \) olabilir, dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Verilen eşitliği sağlayacak şekilde \( x + y = 1 \) olamaz, dolayısıyla III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğru olabilir.
SORU 21:
\( x, y \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 3x + y = 300 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (x, y) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster
\( 3x + y = 300 \) eşitliğinde,
\( x = 0 \) verirsek \( y = 300 \) bulunur.
\( x = 1 \) verirsek \( y = 297 \) bulunur.
\( x = 2 \) verirsek \( y = 294 \) bulunur.
\( \vdots \)
\( x = 100 \) verirsek \( y = 0 \) bulunur.
\( x \) değerlerine göre, 0-100 arası ardışık terim sayısı kadar verilen eşitliği sağlayan sayı ikilisi vardır.
\( \text{Terim sayısı} = 100 - 0 + 1 = 101 \)
Verilen eşitliği sağlayan 101 farklı \( (x, y) \) ikilisi vardır.
SORU 22:
Bir doğal sayı ile tam sayının çarpımları, doğal sayının 4 katı ile tam sayının 5 katının toplamına eşittir.
Buna göre, tam sayı kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
\( x \in \mathbb{N} \) ve \( y \in \mathbb{Z} \) olsun.
İki sayının çarpımı \( xy \), doğal sayının 4 katı ile tam sayının 5 katının toplamı \( 4x + 5y \) olur.
\( xy = 4x + 5y \)
Bu eşitlikte \( y \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( xy - 5y = 4x \)
\( y(x - 5) = 4x \)
\( y = \dfrac{4x}{x - 5} \)
Eşitliğin sağ tarafını tek bir \( x \) kalacak şekilde düzenleyelim.
\( = \dfrac{4x - 20 + 20}{x - 5} \)
\( = \dfrac{4x - 20}{x - 5} + \dfrac{20}{x - 5} \)
\( = 4 + \dfrac{20}{x - 5} \)
\( y \) sayısının tam sayı olması için \( x - 5 \) ifadesi 20'yi tam bölmelidir.
20'yi tam bölen doğal sayılar: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Her bölen için \( x \) ve \( y \) değerlerini bulalım.
\( x - 5 = 1 \Longrightarrow x = 6, y = 24 \)
\( x - 5 = 2 \Longrightarrow x = 7, y = 14 \)
\( x - 5 = 4 \Longrightarrow x = 9, y = 9 \)
\( x - 5 = 5 \Longrightarrow x = 10, y = 8 \)
\( x - 5 = 10 \Longrightarrow x = 15, y = 6 \)
\( x - 5 = 20 \Longrightarrow x = 25, y = 5 \)
Buna göre \( y \) 6 farklı değer alabilir.
SORU 23:
\( x, y \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( x + y = -50 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Değeri istenen ifadede paydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} \)
\( x + y = -50 \) olarak veriliyor.
\( = \dfrac{-50}{xy} \)
\( x \) ve \( y \) negatif tam sayılar olduğu için \( xy \) çarpımı pozitif, \( \dfrac{-50}{xy} \) ifadesi negatif olur.
Sonuç negatif olacağından ifadenin en büyük değerini alması için \( \frac{-50}{xy} \) ifadesinde payda en büyük olmalıdır.
\( xy \) çarpımının en büyük olması için \( x + y = -50 \) eşitliğinde \( x \) ve \( y \)'ye birbirlerine en yakın değerler verilir.
\( x = -25, \quad y = -25 \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( \dfrac{-50}{xy} = \dfrac{-50}{(-25)(-25)} \)
\( = -\dfrac{2}{25} \) bulunur.
SORU 24:
İki basamaklı ve birbirinden farklı beş doğal sayının toplamı 120 ise bu sayılardan en büyüğü en fazla kaçtır?
Çözümü Göster
Sayılardan en büyüğünün en fazla olması için diğer dört sayı en küçük seçilmelidir.
\( 10 + 11 + 12 + 13 + x = 120 \)
\( 46 + x = 120 \)
\( x = 74 \)
İki basamaklı beş farklı doğal sayının en büyüğü en fazla 74 olabilir.
SORU 25:
Ayşe, Leman ve Suna iki basamaklı doğal sayılar yazacaktır.
Ayşe rakamları çarpımı 5 olan, Leman rakamları toplamı 5 olan, Suna rakamları farkı 5 olan sayıları yazmıştır.
Üçünün yazdıkları sayılardan en büyük ve en küçük olanların farkı kaçtır?
Çözümü Göster
Ayşe, Leman ve Suna için verilen koşulları sağlayan sayıları yazalım.
Ayşe: 51, 15
Leman: 14, 23, 32, 41, 50
Suna: 16, 27, 38, 49, 50, 61, 72, 83, 94
Bu sayılardan en büyüğü 94, en küçüğü 14'tür.
\( 94 - 14 = 80 \) bulunur.
SORU 26:
İkisi 400'den küçük üç basamaklı ve birbirinden farklı dört sayının toplamı 2687'dir.
Bu sayılardan en küçüğü en az kaçtır?
Çözümü Göster
Sayılara \( a, b, c, d \) diyelim.
\( a + b + c + d = 2687 \)
Sayıların sıralamasına \( d \lt c \lt b \lt a \) diyelim.
Buna göre \( c \) ve \( d \) 400'den küçük sayılardır.
\( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarına alabilecekleri en büyük değerleri verelim.
\( a = 999 \)
\( b = 998 \)
\( c = 399 \)
Bu değerleri toplam eşitliğinde yerine koyalım.
\( 999 + 998 + 399 + d = 2687 \)
\( 2396 + d = 2687 \)
\( d = 291 \) bulunur.
SORU 27:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) ve \( c \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( 16 + 9c = a + 2b \)
olduğuna göre, \( b \) en çok kaçtır?
Çözümü Göster
\( b \) sayısının en büyük değere sahip olabilmesi için \( 16 + 9c \) ifadesinin sonucu en büyük olmalıdır.
O halde \( c \) sayısına alabileceği en büyük değeri verelim.
\( c = -1 \)
Bu değeri denklemde yerine yazalım.
\( 16 + 9(-1) = a + 2b \)
\( 7 = a + 2b \)
\( b \) sayısının en büyük değere sahip olabilmesi için \( a \) en küçük olmalıdır.
\( a = 1 \)
Bu değeri denklemde yerine yazalım.
\( 7 = 1 + 2b \)
\( b = 3 \) bulunur.
SORU 28:
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a = \dfrac{5b - 2}{4} = \dfrac{6c + 12}{c} \)
olduğuna göre, \( a \)'nın en küçük değeri için \( b \) kaçtır?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( a = \dfrac{5b - 2}{4} = \dfrac{6c}{c} + \dfrac{12}{c} \)
\( a = \dfrac{5b - 2}{4} = 6 + \dfrac{12}{c} \)
\( a \)'nın en küçük değeri için \( 6 + \dfrac{12}{c} \) ifadesi de en küçük olmalıdır.
\( c = 12 \) verirsek \( a \)'nın en küçük değeri bulunur.
\( a = 6 + \dfrac{12}{12} \)
\( a = 7 \)
\( a \)'nın en küçük değeri için \( b \) değerini bulalım.
\( 7 = \dfrac{5b - 2}{4} \)
\( 28 = 5b - 2 \)
\( b = 6 \) bulunur.
SORU 29:
\( a \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z^-} \) olmak üzere,
\( \dfrac{-4}{7} \cdot x = a \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
\( \frac{-4}{7} \cdot x \) çarpımının sonucunun doğal sayı olabilmesi için \( x \) sıfır ya da 7'nin katı negatif bir sayı olmalıdır.
\( x \) negatif tam sayı olduğuna göre, işlem sonucunu doğal sayı yapacak en büyük \( x \) değeri \( -7 \) olur.
SORU 30:
\( x, y, z \) sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere,
\( xy = y \) ve \( y = z^2 + x \) eşitlikleri veriliyor.
Buna göre \( x + y + z \) toplamı en çok kaçtır?
Çözümü Göster
\( xy = y \) ve \( y \ne 0 \) olduğuna göre \( x = 1 \) olur.
\( y = z^2 + 1 \) eşitliğinde \( z = 3 \) olması durumunda eşitliğin sağ tarafı 10 olacağı \( z = 2 \) olur ( \( x = 1 \) olduğu için \( z = 1 \) olamaz).
\( y = 2^2 + 1 = 5 \)
Buna göre değerler aşağıdaki gibi olur.
\( x = 1, \quad y = 5, \quad z = 2 \)
\( x + y + z = 1 + 5 + 2 = 8 \) bulunur.
SORU 31:
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 1 \lt a \lt b \lt c \lt 17 \) olduğuna göre,
\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerler kaçtır?
Çözümü Göster
\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( a \) ve \( b \) en büyük değerlerini, negatif işaretli \( c \) en küçük değerini almalıdır.
Ancak sayılar arasındaki büyüklük ilişkisinden dolayı bir sayıya verdiğimiz değer diğer sayılara verdiğimiz değerleri etkilemektedir.
Pozitif işaretli \( a \) ve \( b \) sayılarının katsayıları toplamı negatif işaretli \( c \) sayısının katsayısından büyük olduğu için (\( 5 + 2 \gt 4 \)) ifadenin en büyük değeri için öncelikli olarak \( a \) ve \( b \)'ye büyük değer vermeliyiz.
\( a = 14, \quad b = 15, \quad c = 16 \)
\( 5 \cdot 14 + 2 \cdot 15 - 4 \cdot 16 = 36 \)
Buna göre ifadenin en büyük değeri 36 olarak bulunur.
\( 5a + 2b - 4c \) ifadesinin en küçük değeri için \( a \) ve \( b \) en küçük, \( c \) en büyük değerini almalıdır.
\( a = 2, \quad b = 3, \quad c = 16 \)
\( 5 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 4 \cdot 16 = -48 \)
Buna göre ifadenin en küçük değeri -48 olarak bulunur.
SORU 32:
\( x, y, z \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( x \lt y \lt z \)
\( x(y + 8) = 32 \)
olduğuna göre, \( x + y + z \) toplamı en az kaçtır?
Çözümü Göster
32 sayısının pozitif tam sayı bölenleri: \( \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} \)
\( x = 1 \) için \( y = 24 \) olur.
\( x = 2 \) için \( y = 8 \) olur.
\( x = 4 \) için \( y = 0 \) olur, ancak \( x \lt y \) olması gerektiği için bu geçerli bir çözüm değildir.
Daha büyük \( x \) değerleri için de aynı durum söz konusu olacağı için başka geçerli çözüm yoktur.
Buna göre \( x, y, z \) sayılarının alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.
\( x = 1, \quad y = 24, \quad 24 \lt z \)
\( x = 2, \quad y = 8, \quad 8 \lt z \)
Bu olasılıklar içinde sayıların toplamı en küçük değerini aşağıdaki değerlerde alır.
\( x = 2, \quad y = 8, \quad z = 9 \)
Buna göre \( x + y + z \) toplamı en az \( 2 + 8 + 9 = 19 \) olur.
SORU 33:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x \lt 0 \lt y \)
\( 7x + 95 + xy = 0 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitliği düzenleyelim.
\( 7x + xy = -95 \)
\( x(7 + y) = -95 \)
95 sayısının tam sayı bölenleri: \( \{\pm 1, \pm 5, \pm 19, \pm 95\} \)
\( y \) pozitif olduğu için \( 7 + y \) toplamı sadece 19 ya da 95 olabilir.
\( 7 + y = 19 \) ise:
\( y = 12, \quad x = -5 \)
\( 7 + y = 95 \) ise:
\( y = 88, \quad x = -1 \)
Buna göre \( xy \) çarpımının en büyük değeri \( -5 \cdot 12 = -60 \) olur.
SORU 34:
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x^2 \cdot y = 147 \)
olduğuna göre, \( x + y \) toplamı en az kaçtır?
Çözümü Göster
\( x^2 \) pozitif olduğu için \( y \) de pozitif olmalıdır.
147 sayısının pozitif tam sayı bölenleri: \( \{1, 3, 7, 21, 49, 147\} \)
\( x \) tam sayı olduğu için karesi 1 ya da 49 olabilir.
\( x^2 = 1 \) için:
\( x = \pm 1, \quad y = 147 \)
\( x^2 = 49 \) için:
\( x = \pm 7, \quad y = 3 \)
Buna göre \( x + y \) toplamı en az \( -7 + 3 = -4 \) olur.
SORU 35:
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a - b = 42 \)
\( b \cdot c = 23 \)
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. \( a + b + c \) toplamı en çok 89 olabilir.
II. \( a + b + c \) toplamı en az 17 olabilir.
III. \( a + c \) toplamı en az 18 olabilir.
Çözümü Göster
\( b \cdot c = 23 \) eşitliği için \( b \) ve \( c \) tam sayılarının alabileceği değerleri bulalım.
\( b = 1, c = 23 \Longrightarrow a = 43 \)
\( b = -1, c = -23 \Longrightarrow a = 41 \)
\( b = 23, c = 1 \Longrightarrow a = 65 \)
\( b = -23, c = -1 \Longrightarrow a = 19 \)
Bu bilgiler doğrultusunda verilen öncülleri inceleyelim.
I. öncül: \( a + b + c \) toplamı en çok \( 65 + 23 + 1 = 89 \) olabilir. Bu öncül doğrudur.
II. öncül: \( a + b + c \) toplamı en az \( 19 + (-23) + (-1) = -5 \) olabilir. Bu öncül yanlıştır.
III. öncül: \( a + c \) toplamı en az \( 19 + (-1) = 41 + (-23) = 18 \) olabilir. Bu öncül doğrudur.
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
SORU 36:
\( a, b, c \) birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,
\( \dfrac{a}{3} + 4b + c = 34 \)
olduğuna göre, \( b \) en büyük değerini aldığında \( c - 2a + b \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( b \)'nin en büyük değerini alması için pozitif işaretli \( a \) ve \( c \) sayıları en küçük değerlerini almalıdır.
\( a = 3 \) ve \( c = 1 \) için \( b = 8 \) olur.
\( \dfrac{3}{3} + 4 \cdot 8 + 1 = 34 \)
Bu değerler için \( c - 2a + b \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 1 - 2 \cdot 3 + 8 = 3 \) bulunur.
SORU 37:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( 7a + 3b = 59 \) olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \)'nin alabileceği değerleri bulalım.
\( a \in \{1, 3, 4, 6, 7\} \) değerleri için \( b \) tam sayı değer almaz.
\( a = 2, \quad b = 15 \) için:
\( 7 \cdot 2 + 3 \cdot 15 = 59 \)
\( a = 5, \quad b = 8 \) için:
\( 7 \cdot 5 + 3 \cdot 8 = 59 \)
\( a = 8, \quad b = 1 \) için:
\( 7 \cdot 8 + 3 \cdot 1 = 59 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği değerler çarpımı \( 2 \cdot 5 \cdot 8 = 80 \) olur.
SORU 38:
\( x, y \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( 5x + 6y = 215 \) olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen eşitlikte her terimi 5'e bölelim.
\( x + \dfrac{6y}{5} = 43 \)
\( x \)'in doğal sayı olabilmesi için \( y \) 5'in bir doğal sayı katı olmalıdır.
\( y = 0 \Longrightarrow x = 43 \)
\( y = 5 \Longrightarrow x = 37 \)
\( y = 10 \Longrightarrow x = 31 \)
Bu şekilde \( x \)'in alabileceği değerler 6 azalarak devam eder.
\( y = 35 \Longrightarrow x = 1 \)
\( x \in \{1, 7, 13, \ldots, 43\} \)
\( x \)'in alabileceği değerlerin toplamını bulalım.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = \dfrac{43 - 1}{6} + 1 = 8 \)
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{1 + 43}{2} \cdot 8 \)
\( = 22 \cdot 8 = 176 \) bulunur.
SORU 39:
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (2xy - 1)^2 + (x + 2y)^2 \) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
İfadenin açılımını yazalım.
\( 4x^2y^2 - 4xy + 1 + x^2 + 4xy + 4y^2 \) \( = 4x^2y^2 + x^2 + 4y^2 + 1 \)
Bir reel sayının karesinin alabileceği en küçük değer 0'dır.
Elde ettiğimiz ifadede \( x^2 \) ve \( y^2 \)'li terimlerin işareti pozitif olduğu için, ifadenin en küçük değerini alması için \( x = y = 0 \) olmalıdır.
\( 0 + 0 + 0 + 1 = 1\) bulunur.
SORU 40:
\( A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 10^3 \) olarak veriliyor.
\( A \) ifadesindeki üslü ifadelerin tabanı 1'er artırılırsa \( A \) değeri kaç artar?
Çözümü Göster
\( A \) ifadesindeki üslü ifadelerin tabanını 1'er artıralım.
\( (1 + 1)^3 + (2 + 1)^3 + (3 + 1)^3 + \ldots + (10 + 1)^3 \)
\( = 2^3 + 3^3 + 4^3 + \ldots + 11^3 \)
Bulduğumuz ifadeden \( A \) sayısını çıkardığımızda \( A \) değerinin kaç arttığını buluruz.
\( (2^3 + 3^3 + \ldots + 11^3) - (1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 10^3) \)
İki terim dışında tüm terimler birbirini götürür.
\( = 11^3 - 1^3 \)
\( = 1331 - 1 = 1330 \) bulunur.
SORU 41:
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n^2 + 63 \) ifadesini tam kare yapan \( n \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( m \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n^2 + 63 = m^2 \) diyelim.
\( 63 = m^2 - n^2 \)
\( 63 = (m - n)(m + n) \)
63'ün pozitif çarpanları 1, 3, 7, 9, 21, 63 sayılarından oluşur.
Buna göre istenen durum üç şekilde oluşur.
Durum 1: \( 63 = 1 \cdot 63 \)
\( m - n = 1 \)
\( m + n = 63 \)
Buradan \( m = 32 \) ve \( n = 31 \) bulunur.
Durum 2: \( 63 = 3 \cdot 21 \)
\( m - n = 3 \)
\( m + n = 21 \)
Buradan \( m = 12 \) ve \( n = 9 \) bulunur.
Durum 3: \( 63 = 7 \cdot 9 \)
\( m - n = 7 \)
\( m + n = 9 \)
Buradan \( m = 8 \) ve \( n = 1 \) bulunur.
Verilen ifadeyi tam sayı yapan \( n \) değerlerinin toplamı \( 31 + 9 + 1 = 41 \) olarak bulunur.
SORU 42:
Bir fabrikada üretilen levhaların genişliği \( 29 \pm 1 \) cm ve yüksekliği \( 32 \pm 2 \) cm'dir.
Buna göre, bu levhaların alanının en büyük ve en küçük değerleri arasındaki fark nedir?
Çözümü Göster
Levhanın alanı en büyük değerini genişlik ve yükseklik en büyük olduğunda alır.
\( A_{maks} = (29 + 1)(32 + 2) = 1020 \) cm\( ^2\)
Levhanın alanı en küçük değerini genişlik ve yükseklik en küçük olduğunda alır.
\( A_{min} = (29 - 1)(32 - 2) = 840 \) cm\( ^2\)
Buna göre levhaların alanının en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark \( 1020 - 840 = 180 \) cm\( ^2\) olarak bulunur.