Ardışık Sayılar
Küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe sıralı ve art arda gelen terimleri düzenli ve sabit bir fark kadar artan ya da azalan sayılara ardışık sayılar denir. Bir ardışık sayı dizisinin art arda gelen terimleri arasındaki bu sabit farka ortak fark denir.
\( d \) ortak fark olmak üzere,
\( a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \)
\( 2, 6, 10, 14, 18, \ldots \)
Ardışık sayılar pozitif ya da negatif olabilir. Bir ardışık sayı dizisi birden başlamak zorunda değildir, herhangi bir sayıdan başlayıp herhangi bir sayıda bitebilir.
Ardışık Sayı Tipleri
Ardışık sayılar art arda gelen terimleri arasındaki farka göre farklı şekilde isimlendirilirler.
Ardışık Tam Sayılar
Ardışık tam sayılar art arda gelen tam sayılardan oluşur ve ortak farkı 1'dir.
\( 1, 2, 3, \ldots, n - 2, n - 1, n \)
\( 4, 5, 6, 7, 8 \)
Ardışık tam sayıların art arda gelen iki teriminden biri tek diğeri çift olacağı için toplamları ve farkları her zaman tek sayıdır. Benzer şekilde ardışık tam sayıların art arda gelen iki teriminin çarpımı her zaman çift sayıdır. Ayrıca asal sayılar konusunda göreceğimiz üzere, iki ardışık tam sayı aralarında asaldır.
Ardışık Çift Sayılar
Ardışık çift sayılar art arda gelen çift sayılardan oluşur ve ortak farkı 2'dir.
\( 2, 4, 6, \ldots, 2n - 2, 2n \)
\( 26, 28, 30, 32, 34 \)
Ardışık Tek Sayılar
Ardışık tek sayılar art arda gelen tek sayılardan oluşur ve ortak farkı 2'dir.
\( 1, 3, 5, \ldots, 2n - 3, 2n - 1 \)
\( 45, 47, 49, 51, 53 \)
İki ardışık tek sayı aralarında asaldır.
Bir Sayının Katı Olan Ardışık Sayılar
Bu ardışık sayılar belirli bir sayının (\( d \)) ardışık katlarından oluşur ve ortak farkı bu sayıdır.
\( d, 2d, 3d, \ldots, (n - 1)d, nd \)
\( 8, 16, 24, 32, 40 \)
Terim Sayısı
Ortak farkı \( d \) olan bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots, \) \( a + (n - 1)d \)
ortak farkı \( d \) olan ardışık sayılar olmak üzere,
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
Ardışık sayılar: \( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{15 - 1}{2} + 1 = 8 \)
Ardışık sayılar: \( -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12 \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{12 - (-6)}{3} + 1 = 7 \)
Bir ardışık sayı dizisinin ortak farkı 1 ise yukarıdaki formül aşağıdaki şekilde sadeleşecektir.
Bir ardışık sayı dizisinin ortak farkı 1 ise,
\( \text{Terim sayısı} = \text{Son terim} - \text{İlk terim} + 1 \)
Terimler Toplamı
Bir ardışık sayı dizisinin terimler toplamını aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
Ardışık sayılar: \( 1, 3, 5, \ldots, 97, 99 \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{99 - 1}{2} + 1 = 50 \)
\( \text{Terimler toplamı} = (1 + 99) \cdot \dfrac{50}{2} \) \( = 2500 \)
Bazı Dizilerin Terimler Toplamı
Aşağıda bazı ardışık sayı dizileri için terimler toplamı formülleri ve formüllerin türetilişi verilmiştir. Aşağıdaki formüllerin ezberlenmesinden ziyade yukarıdaki genel formülün mantığının ve bu formüllerin nasıl türetilebileceğinin anlaşılması daha önemlidir.
Ardışık Tam Sayıların Terimler Toplamı
Ardışık tam sayılar: \( 1, 2, 3, \ldots, n \)
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)
Ardışık Çift Sayıların Terimler Toplamı
Ardışık çift sayılar: \( 2, 4, 6, \ldots, 2n \)
\( \text{Terimler toplamı} = n \cdot (n + 1) \)
Ardışık Tek Sayıların Terimler Toplamı
Ardışık tek sayılar: \( 1, 3, 5, \ldots, 2n - 1 \)
\( \text{Terimler toplamı} = n^2 \)
Ortanca Terim
Tek sayıda terimi olan ardışık sayı dizilerinde en ortadaki terime ortanca terim denir. Ortanca terim ilk ve son terimlere eşit uzaklıktadır. Çift sayıda terimi olan dizilerde ortanca terim yoktur.
Tek sayıda terim: \( 3, 5, \textcolor{red}{7}, 9, 11 \)
Çift sayıda terim: \( 3, 5, 7, 9, 11, 13 \)
Tek sayıda terimi olan ardışık sayı dizilerinde ilk ve son terimlerin toplamının yarısı ortanca terimi verir.
\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)
Ardışık sayılardaki ortanca terim ile veri analizi konusunda gördüğümüz ortanca (medyan) kavramları birbirinden farklıdır. Çift sayıda terimi olan ardışık sayıların ortanca terimi yoktur, ancak aynı sayıları veri analizi kapsamında bir veri kümesi olarak alırsak bu sayıların bir medyanı vardır.
\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar ve \( a \lt b \lt c \) olduğuna göre,
\( \dfrac{(b - a)(c - a)}{c - b} \) ifadesinin değerini bulalım.
Çözümü Göster
\( a \) ve \( b \) ardışık iki tek sayı ve \( a \lt b \) olmak üzere,
\( 2a + 3b = 41 \) ise, \( a + b \) toplamının değerini bulalım.
Çözümü Göster
Üçün katı ardışık dört tam sayıdan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 39 ise, bu sayıların toplamını bulalım.
Çözümü Göster
\( 2a + 5 \) ve \( 4a - 11 \) birer ardışık tek sayı ise, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamını bulalım.
Çözümü Göster
Ardışık 9 doğal sayının toplamı 99 ise, bu sayılardan en büyüğünü bulalım.
Çözümü Göster
Ardışık 7 doğal sayının toplamı \( A \) ise, bu sayılardan ortanca olanının \( A \) cinsinden değerini bulalım.
Çözümü Göster
\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + ... + 17 \cdot 19 \) ise,
\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + ... + 18 \cdot 19 \) toplamının değerini \( A \) cinsinden bulalım.
Çözümü Göster