Ardışık sayılar pozitif ya da negatif olabilir. Bir ardışık sayı dizisi birden başlamak zorunda değildir, herhangi bir sayıdan başlayıp herhangi bir sayıda bitebilir.
Ardışık tam sayıların ardışık iki teriminden biri tek diğeri çift olacağı için ardışık terimlerin toplamı her zaman tek sayı, çarpımı ise çift sayıdır.
Ardışık sayılarda terimler arası artış miktarı herhangi bir sayı olabilir.
Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
Terimler arası artış miktarı 1 olduğunda yukarıdaki formül aşağıdaki şekilde sadeleşir.
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
Aşağıda 1'den başlayan ve \( n \) terimli bazı ardışık sayılar için terimler toplamı formülleri verilmiştir. Bu formüllerin ezberlenmesinden ziyade yukarıdaki genel formülün mantığının ve türetilişinin anlaşılması daha önemlidir.
Tek sayıda terimi olan ardışık sayılarda ortanca terim en ortadaki terime karşılık gelirken çift sayıda terimi olan ardışık sayılarda ortadaki iki terimin ortalamasına karşılık gelir.
SORU 1:
\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar ve \( a \lt b \lt c \) olduğuna göre,
\( \dfrac{(b - a)(c - a)}{c - b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar olduğu için, aralarında aşağıdaki eşitlikleri kurabiliriz.
\( b = a + 1, \quad c = b + 1 = a + 2 \)
Sorulan ifadedeki tüm değişkenleri \( a \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{(a + 1 - a)(a + 2 - a)}{a + 2 - (a + 1)} \)
\( = \dfrac{1 \cdot 2}{1} = 2 \)
SORU 2:
\( a \) ve \( b \) ardışık iki tek sayı ve \( a \lt b \) olmak üzere,
\( 2a + 3b = 41 \) ise, \( a + b \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İki sayı ardışık tek sayılar olduğu için aralarındaki fark 2'dir.
\( a \lt b \) olduğuna göre \( b = a + 2 \) yazabiliriz.
\( 2a + 3b = 41 \)
\( 2a + 3(a + 2) = 41 \)
\( 5a + 6 = 41 \)
\( a = 7 \)
\( b = a + 2 = 9 \)
\( a + b = 7 + 9 = 16 \) bulunur.
SORU 3:
Üçün katı ardışık dört tam sayıdan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı 39 ise, bu sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sayılara \( a \), \( a + 3 \), \( a + 6 \) ve \( a + 9 \) diyelim.
En küçük ve en büyük sayıların toplamını bulalım.
\( a + (a + 9) = 39 \)
\( a = 15 \)
Bu durumda dört sayının toplamı aşağıdaki gibi olur:
\( 15 + 18 + 21 + 24 = 78 \) bulunur.
SORU 4:
\( 2a + 5 \) ve \( 4a - 11 \) birer ardışık tek sayı ise, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sayılardan hangisinin büyük olduğu verilmediği için, ikisinin de diğerinden büyük olduğu durumu dikkate almamız gerekir.
Durum 1: \( 2a + 5 \lt 4a - 11 \)
Bu durumda ikinci sayı birinciden 2 fazladır.
\( 2a + 5 + 2 = 4a - 11 \)
\( a = 9 \)
Durum 2: \( 2a + 5 \gt 4a - 11 \)
Bu durumda birinci sayı ikinciden 2 fazladır.
\( 2a + 5 = 4a - 11 + 2 \)
\( a = 7 \)
\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 9 + 7 = 16 \) olur.
SORU 5:
Aşağıda verilen ardışık sayılardaki terim sayısını bulunuz.
(a) \( 15, 17, 19, \ldots, 67 \)
(b) \( 113, 105, 97, \ldots, 33 \)
(c) \( -104, -99, -94, \ldots, 106 \)
Çözümü Göster
Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)
(a) seçeneği:
\( 15, 17, 19, \ldots, 67 \)
Verilen sayı dizisinde ilk terim 15, son terim 67, artış miktarı 2'dir.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{67 - 15}{2} + 1 \)
\( = \dfrac{52}{2} + 1 = 27 \)
(b) seçeneği:
\( 113, 105, 97, \ldots, 33 \)
Verilen sayı dizisinde ilk terim 113, son terim 33, artış miktarı -8'dir.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{33 - 113}{-8} + 1 \)
\( = \dfrac{-80}{-8} + 1 = 11 \)
(c) seçeneği:
\( -104, -99, -94, \ldots, 106 \)
Verilen sayı dizisinde ilk terim -104, son terim 106, artış miktarı 5'tir.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{106 - (-104)}{5} + 1 \)
\( = \dfrac{210}{5} + 1 = 43 \)
SORU 6:
Aşağıda verilen ardışık sayı dizilerindeki ortanca terimi bulunuz.
(a) \( 42, 49, 56, \ldots , 112 \)
(b) \( 520, 507, 494, \ldots, 0 \)
(c) \( 943, 920, 897, \ldots, 460 \)
Çözümü Göster
Ardışık sayılarda ilk ve son terimlerin aritmetik ortalamasına ortanca terim denir.
\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)
(a) seçeneği:
\( 42, 49, 56, \ldots , 112 \)
\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{42 + 112}{2} \)
\( = \dfrac{154}{2} = 77 \)
(b) seçeneği:
\( 520, 507, 494, \ldots, 0 \)
\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{520 + 0}{2} \)
\( = 260 \)
(c) seçeneği:
\( 943, 920, 897, \ldots, 460 \)
\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{943 + 460}{2} \)
\( = 701,5 \)
SORU 7:
Aşağıda verilen ardışık sayı dizilerindeki terimler toplamını bulunuz.
(a) \( 5, 11, 17, \ldots, 191 \)
(b) \( 20, 28, 36, \ldots, 332 \)
(c) \( 514, 500, 486, \ldots, 290 \)
Çözümü Göster
Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
(a) seçeneği:
\( 5, 11, 17, \ldots, 191 \)
Verilen sayı dizisinde ilk terim 5, son terim 191, artış miktarı 6'dır.
Önce dizideki terim sayısını bulalım.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{191 - 5}{6} + 1 = 32 \)
Terimler toplamını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{5 + 191}{2} \cdot 32 \)
\( = 98 \cdot 32 = 3136 \)
(b) seçeneği:
\( 20, 28, 36, \ldots, 332 \)
Verilen sayı dizisinde ilk terim 20, son terim 332, artış miktarı 8'dir.
Önce dizideki terim sayısını bulalım.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{332 - 20}{8} + 1 = 40 \)
Terimler toplamını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{20 + 332}{2} \cdot 40 \)
\( = 176 \cdot 40 = 7040 \)
(c) seçeneği:
\( 514, 500, 486, \ldots, 290 \)
Verilen sayı dizisinde ilk terim 514, son terim 290, artış miktarı -14'tür.
Önce dizideki terim sayısını bulalım.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{290 - 514}{-14} + 1 = 17 \)
Terimler toplamını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{514 + 290}{2} \cdot 17 \)
\( = 402 \cdot 17 = 6834 \)
SORU 8:
\( 1 + 2 + \ldots + 99 \) toplamının sonucu sayıların ortanca teriminin kaç katıdır?
Çözümü Göster
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{1 + 99}{2} \cdot 99 \)
\( = 50 \cdot 99 \)
Ortanca terimi bulalım.
\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)
\( = \dfrac{1 + 99}{2} = 50 \)
Buna göre terimler toplamı ortanca terimin 99 katıdır.
SORU 9:
\( -1 - 2 - 3 - \ldots - 49 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm işlemi \( -1 \) parantezine alalım.
\( -(1 + 2 + 3 + \ldots + 49) \)
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = -\dfrac{1 + 49}{2} \cdot 49 \)
\( = -25 \cdot 49 = -1225 \) bulunur.
SORU 10:
Ardışık 9 doğal sayının toplamı 99 ise, bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
Çözümü Göster
İlk terime \( a \) diyelim. Bu durumda son terim \( a + 8 \) olur.
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( 99 = \dfrac{a + a + 8}{2} \cdot 9 \)
\( 99 = (a + 4) \cdot 9 \)
\( a = 7 \)
Ardışık sayılardan en küçüğü \( a = 7 \) olduğuna göre, en büyüğü \( a + 8 = 15 \) olur.
SORU 11:
\( A = 4 + 9 + 14 + \ldots + 99 \)
\( B = 4 + 8 + 12 + \ldots + 80 \)
olduğuna göre, \( A - B \) kaçtır?
Çözümü Göster
İkinci eşitliği birinci eşitlikten taraf tarafa çıkaralım.
\( A - B = (4 - 4) + (9 - 8) + (14 - 12) + \ldots + (99 - 80) \)
\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 19 \)
\( = 1 + 2 + \ldots + 19 \)
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{1 + 19}{2} \cdot 19 \)
\( = 10 \cdot 19 = 190 \) bulunur.
SORU 12:
7'ye tam bölünen iki basamaklı pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
7'ye tam bölünen iki basamaklı pozitif tam sayıları listeleyelim.
\( 14, 21, 28, \ldots, 98 \)
Bu sayı dizisinde ilk terim 14, son terim 98, artış miktarı 7'dir.
Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)
\( = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = 13 \)
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{14 + 98}{2} \cdot 13 \)
\( = 56 \cdot 13 = 728 \) bulunur.
SORU 13:
Ardışık 32 tam sayının toplamı \( A \) olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü \( A \) cinsinden kaçtır?
Çözümü Göster
Ardışık sayı dizisindeki sayıların en küçüğüne \( a \) diyelim. Bu durumda sayıların en büyüğü \( a + 31 \) olur.
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( A = \dfrac{a + a + 31}{2} \cdot 32 \)
\( 2a + 31 = \dfrac{A}{16} \)
\( 2a = \dfrac{A}{16} - 31 = \dfrac{A - 496}{16} \)
\( a = \dfrac{A - 496}{32} \)
Sayıların en büyüğü olan \( a + 31 \) değeri bulalım.
\( a + 31 = \dfrac{A - 496}{32} + 31 \)
\( = \dfrac{A - 496 + 31 \cdot 32}{32} \)
\( = \dfrac{A + 496}{32} \) bulunur.
SORU 14:
\( A = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + \ldots + 16 \cdot 19 \)
toplamında her terimin ilk çarpanı 3 artırılıp ikinci çarpanı 2 azaltılırsa toplam nasıl değişir?
Çözümü Göster
Yeni oluşan sayıya \( B \) diyelim.
\( B = 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 7 \cdot 5 + \ldots + 19 \cdot 17 \)
\( A \) ve \( B \) ifadelerinin terimlerini birebir karşılaştıralım.
\( A \) sayısında birinci terimde 2 tane 5 varken \( B \) sayısında 3 tane 5 vardır. \( A \) sayısında ikinci terimde 3 tane 6 varken \( B \) sayısında 4 tane 6 vardır.
Buna göre iki ifadenin farkını aldığımızda ardışık sayıların toplamını elde ederiz.
\( B - A = 5 + 6 + 7 + \ldots + 19 \)
Bu ardışık sayı dizisinde \( 19 - 5 + 1 = 15 \) terim vardır.
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( B - A = \dfrac{5 + 19}{2} \cdot 15 \)
\( = 12 \cdot 15 = 180 \)
Buna göre toplam 180 artar.
SORU 15:
\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + ... + 17 \cdot 19 \) olduğuna göre,
\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + ... + 18 \cdot 19 \) toplamı \( A \) cinsinden kaçtır?
Çözümü Göster
\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + ... + 17 \cdot 19 \)
\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + ... + 18 \cdot 19 \)
Birinci ifadeyi ikinci ifadeden çıkardığımızda ardışık tek sayı dizisi elde ederiz.
\( B - A = 3 + 5 + 7 + ... + 19 \)
Eşitliğin sağ tarafındaki ardışık sayıların toplamını bulalım.
Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)
\( = \dfrac{19 - 3}{2} + 1 = 9 \)
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( B - A = \dfrac{3 + 19}{2} \cdot 9 \)
\( = 11 \cdot 9 = 99 \) bulunur.
SORU 16:
\( \{3, 6, 9, \ldots, 99\} \) kümesinin elemanlarından biri kümeden çıkarılıyor ve kalan sayıların ortalaması 51 olarak bulunuyor.
Buna göre kümeden çıkarılan sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Kümedeki eleman sayısını bulalım.
\( \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 = \dfrac{99 - 3}{3} + 1 = 33 \)
Kümedeki sayıların toplamını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{3 + 99}{2} \cdot 33 \)
\( = 51 \cdot 33 = 1683 \)
Kümeden çıkarılan sayıya \( x \) diyelim ve \( x \) çıkarıldıktan sonraki ortalamayı bulalım.
\( \dfrac{\text{Kalan toplam}}{\text{Kalan terim sayısı}} = \dfrac{1683 - x}{33 - 1} = 51 \)
\( 1683 - x = 32 \cdot 51 \)
\( 1683 - x = 1632 \)
\( x = 51 \)
Buna göre kümeden çıkarılan sayı 51'dir.
SORU 17:
İki basamaklı tek sayıların toplamı \( a \), iki basamaklı çift sayıların toplamı \( b \) ise \( a - b \) farkı kaçtır?
Çözümü Göster
Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
İki basamaklı tek sayıların toplamını bulalım.
\( 11, 13, 15, \ldots, 99 \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{99 - 11}{2} + 1 = 45 \)
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{11 + 99}{2} \cdot 45 \)
\( a = 55 \cdot 45 \)
Aynı şekilde iki basamaklı çift sayıların toplamını bulalım.
\( 10, 12, 14, \ldots, 98 \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{98 - 10}{2} + 1 = 45 \)
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{10 + 98}{2} \cdot 45 \)
\( b = 54 \cdot 45 \)
İki sayının farkını bulalım.
\( a - b = 55 \cdot 45 - 54 \cdot 45 \)
\( = 45(55 - 54) = 45 \) bulunur.
SORU 18:
\( 2 - 5 + 8 - 11 + \ldots + 110 - 113 + 116 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Terimleri ikişerli grupladığımızda son terim hariç her çıkarma işleminin sonucunun -3 olduğunu görürüz.
\( (2 - 5) + (8 - 11) + \ldots + (110 - 113) + 116 \)
\( = (-3) + (-3) + \ldots + (-3) + 116 \)
2'den 110'a kadar 6'şar 6'şar saydığımızda kaç \( a - b \) şeklinde sayı ikilisi olduğunu bulalım.
İkili sayısı \( = \dfrac{110 - 2}{6} + 1 = 19 \)
Buna göre verilen sayı dizisinde son terim hariç toplamları -3 olan 19 tane sayı ikilisi vardır.
\( = 19 \cdot (-3) + 116 \)
\( = -57 + 116 = 59 \) bulunur.
SORU 19:
11 ardışık tam sayının toplamı \( A \)'dır. Sayılar küçükten büyüğe sıralandığında altıncı sıradaki sayının \( A \) cinsinden değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Birinci sayıya \( b \) diyelim. Bu durumda ikinci sayı \( b + 1 \) olur.
Ardışık sayıların toplamını alalım.
\( b + (b + 1) + (b + 2) + \ldots + (b + 10) = A \)
\( 11b + (1 + 2 + 3 + \ldots + 10) = A \)
1'den \( n \)'ye kadar olan doğal sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
\( 11b + \dfrac{10 \cdot 11}{2} = A \)
\( 11b + 55 = A \)
Altıncı sıradaki sayı \( b + 5 \) olur.
\( 11(b + 5) = A \)
\( b + 5 = \dfrac{A}{11} \) olarak bulunur.
SORU 20:
Aşağıdaki kümelerden hangisinin elemanlarının ortalaması en küçüktür?
(a) 1 ile 85 arasında 5'in katları
(b) 1 ile 85 arasında 7'nin katları
(c) 1 ile 85 arasında 9'un katları
(d) 1 ile 85 arasında 11'in katları
(e) 1 ile 85 arasında 13'ün katları
Çözümü Göster
Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
Buna göre terimlerin ortalaması aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{\text{Terimler toplamı}}{\text{Terim sayısı}} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)
Dolayısıyla ardışık sayıların ortalaması terim sayısına değil, ilk ve son terime bağlı olarak değişir.
Verilen kümelere bu formülü uygulayalım.
(a) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 5, son terimi 85'tir.
Ortalama \( = \dfrac{5 + 85}{2} = 45 \)
(b) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 7, son terimi 84'tür.
Ortalama \( = \dfrac{7 + 84}{2} = 45,5 \)
(c) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 9, son terimi 81'dir.
Ortalama \( = \dfrac{9 + 81}{2} = 45 \)
(d) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 11, son terimi 77'dir.
Ortalama \( = \dfrac{11 + 77}{2} = \dfrac{88}{2} = 44 \)
(e) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 13, son terimi 78'dir.
Ortalama \( = \dfrac{13 + 78}{2} = 45,5 \)
(d) seçeneğindeki kümenin elemanlarının ortalaması en küçüktür.
SORU 21:
132 tane ardışık tam sayının toplamı \( 12! \) olduğuna göre, bu sayıların medyanı kaçtır?
Çözümü Göster
Elemanları küçükten büyüğe sıralanmış bir sayı kümesi tek sayıda eleman içeriyorsa sayıların medyanı ortadaki terimdir, çift sayıda eleman içeriyorsa ortaki iki terimin ortalamasına eşittir.
Sayı kümesi ardışık sayılardan oluşuyorsa her iki durumda da medyan tüm sayıların ortalamasına eşittir.
Ortalama \( = \dfrac{12!}{132} \)
\( = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{12 \cdot 11} \)
\( = 10! \) bulunur.
SORU 22:
\( 1 + 2 + 3 + \ldots + n \lt 10000 \)
eşitsizliğini sağlayan en büyük \( n \) tam sayı değeri nedir?
Çözümü Göster
1'den \( n \)'ye kadar olan tam sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
Verilen eşitsizlikte bu formülü kullanalım.
\( \dfrac{n(n + 1)}{2} \lt 10000 \)
\( n(n + 1) \lt 20000 \)
Çarpımları 20000'den küçük olan en büyük iki ardışık sayıyı bulmalıyız.
\( 140^2 = 19600 \)
\( 141^2 = 19881 \)
\( 142^2 = 20164 \)
\( 141 \cdot 142 = 20022 \)
Buna göre çarpımları 20000'den küçük olan en büyük iki ardışık sayı 140 ve 141 olur.
\( 140 \cdot 141 = 19740 \lt 20000 \)
\( n = 140 \) olarak bulunur.
SORU 23:
Ardışık beş pozitif tam sayının çarpımı sıfır hariç hangi rakamlara her zaman tam bölünmez?
Çözümü Göster
Bu sayıların farklı seçimlerine birkaç örnek verelim.
\( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \)
\( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \)
\( 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \)
\( 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \)
\( 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \)
Ardışık beş pozitif tam sayı 1 ya da 2 tane 4'e bölünen sayı, ek olarak 1 ya da 2 tane 2'ye bölünen sayı, 1 ya da 2 tane 3'e bölünen sayı ve 1 tane 5'e bölünen sayı içerir.
Dolayısıyla ardışık beş tam sayı içinde her zaman en az üç tane 2, en az bir tane 3 ve bir tane 5 çarpanı bulunur ve bu sayıların çarpımı 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 8 rakamlarına her zaman tam bölünür.
Buna göre bu sayıların çarpımı 7 ve 9 rakamlarına her zaman bölünmez.
SORU 24:
5 tane iki basamaklı ardışık doğal sayının toplamı bir sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.
Buna göre ardışık sayıların en büyüğü kaçtır?
Çözümü Göster
5 iki basamaklı ardışık sayıyı yazalım.
\( (ab), (ab) + 1, \ldots, (ab) + 4 \)
Bu sayıların toplamı bir \( x \) sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.
\( 5(ab) + 10 = x^3 \)
\( 5(ab) = x^3 - 10 \)
Bir sayma sayısının üçüncü kuvveti (\( x^3 \)) aşağıdakilerden biri olabilir.
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512...
Bu sayıların 10 eksiği (\( x^3 - 10 \)) aşağıdakilerden biri olabilir.
-9, -2, 17, 54, 115, 206, 333, 502...
Bu ifade \( 5(ab) \) ifadesine eşittir, dolayısıyla 5'in bir tam sayı katı olmalıdır.
Yukarıdaki listede bu koşulu sağlayan sayı 115'tir.
\( 5(ab) = x^3 - 10 = 115 \)
\( (ab) = 23 \)
Sayıların en büyüğü \( (ab) + 4 = 27 \) olur.
SORU 25:
\( n - 1, n, n + 1 \) şeklinde verilen ardışık üç tam sayının toplamı bu sayıların çarpımına eşittir.
Buna göre bu koşulu sağlayan \( n \) tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Sorudaki üç ardışık sayının toplamı sayıların çarpımına eşittir.
\( (n - 1) + n + (n + 1) = (n - 1)n(n + 1) \)
\( 3n = n(n^2 - 1) \)
\( n^3 - n - 3n = 0 \)
\( n(n^2 - 4) = 0 \)
\( n(n - 2)(n + 2) = 0 \)
Bu denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
\( n \in \{-2, 0, 2\} \)
Köklerin toplamı \( -2 + 0 + 2 = 0 \) olarak bulunur.
SORU 26:
\( a, b, c \) ortak farkı 10 olan ardışık sayılardır.
\( a \lt b \lt c \)
\( (1 + \dfrac{10}{a})(1 + \dfrac{10}{b})(1 + \dfrac{10}{c}) = 6 \)
olduğuna göre, \( b \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ardışık sayıları ortak bir \( k \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( a = k \)
\( b = k + 10 \)
\( c = k + 20 \)
Bu değerleri verilen eşitlikte yerine yazalım.
\( (1 + \dfrac{10}{a})(1 + \dfrac{10}{b})(1 + \dfrac{10}{c}) = 6 \)
\( (1 + \dfrac{10}{k})(1 + \dfrac{10}{k + 10})(1 + \dfrac{10}{k + 20}) = 6 \)
\( (\dfrac{k + 10}{k})(\dfrac{k + 20}{k + 10})(\dfrac{k + 30}{k + 20}) = 6 \)
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirelim.
\( \dfrac{k + 30}{k} = 6 \)
\( k + 30 = 6k \)
\( k = 6 \)
\( b \) değerini bulalım.
\( b = k + 10 = 16 \) bulunur.
SORU 27:
\( \dfrac{3x}{5} \), \( 2x - 10 \) ve \( x + 4 \) ifadeleri sırasıyla ardışık çift tam sayılardır.
Buna göre en büyük sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen dizideki sayılar ardışık çift sayılar olduğuna göre bu sayılar arasındaki fark birbirine eşit ve 2'dir.
\( (2x - 10) - \dfrac{3x}{5} = (x + 4) - (2x - 10) \)
\( \dfrac{5(2x - 10) - 3x}{5} = -x + 14 \)
\( 7x - 50 = -5x + 70 \)
\( x = 10 \)
Bu değeri \( x + 4 \) ifadesinde yerine yazarak en büyük sayıyı bulalım.
\( x + 4 = 10 + 4 = 14 \) bulunur.
SORU 28:
\( x, y, z \) ardışık tek doğal sayılardır.
\( x \lt y \lt z \) olduğuna göre,
\( \frac{(x - z)^3}{(x - y)^2} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilen ardışık sayıları ortak bir \( k \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( x = 2k + 1 \)
\( y = 2k + 3 \)
\( z = 2k + 5 \)
Bu ifadeleri verilen rasyonel ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{(x - z)^3}{(x - y)^2} \)
\( = \dfrac{[(2k + 1) - (2k + 5)]^3}{[(2k + 1) - (2k + 3)]^2} \)
\( = \dfrac{(2k + 1 - 2k - 5)^3}{(2k + 1 - 2k - 3)^2} \)
\( = \dfrac{(-4)^3}{(-2)^2} \)
\( = \dfrac{-64}{4} = -16 \) bulunur.
SORU 29:
Başlangıçta 123 sayfa olan bir kitabın herhangi bir bölümünden ardışık 4 yaprak koparılıyor.
Geriye kalan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamı \( 117 \cdot 62 \) olduğuna göre, koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının en küçüğü kaçtır?
Çözümü Göster
İlk durumdaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.
Sayfa numaralarının toplamı \( = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( = \dfrac{123 \cdot 124}{2} = 123 \cdot 62 \)
Koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.
\( 123 \cdot 62 - 117 \cdot 62 = (123 - 117) \cdot 62 \)
\( = 62 \cdot 6 = 372 \)
Koparılan 4 yapraktaki 8 sayfanın numaraları \( a, a + 1, a + 2 , a + 3, a + 4, a + 5, a + 6, a + 7 \) şeklindedir.
Bu sayıların toplamı 372'dir.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( 372 = \dfrac{a + a + 7}{2} \cdot 8 \)
\( 2a + 7 = 93 \)
\( a = 43 \) bulunur.
SORU 30:
Ceyda sınava hazırlanmak için ilk gün 10 soru çözmüştür, sonraki günlerde her gün soru sayısını birer artırarak devam etmiştir.
Buna göre Ceyda 200. sorusunu kaçıncı günde çözer?
Çözümü Göster
Ceyda'nın çözdüğü soru sayısı 1. gün 10, 2. gün 11, 3. gün 12, \( n \). gün \( n + 9 \) olur.
Ceyda'nın \( n \) günde çözeceği toplam soru sayısını bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{10 + n + 9}{2} \cdot n \)
\( = \dfrac{n(n + 19)}{2} \)
Ceyda'nın hangi gün 200. soruyu çözdüğünü bulmak için \( n \)'ye değer verelim.
\( n = 10 \Longrightarrow \dfrac{10(10 + 19)}{2} = 145 \)
\( n = 11 \Longrightarrow \dfrac{11(11 + 19)}{2} = 165 \)
\( n = 12 \Longrightarrow \dfrac{12(12 + 19)}{2} = 186 \)
\( n = 13 \Longrightarrow \dfrac{13(13 + 19)}{2} = 208 \)
Buna göre Ceyda 200. sorusunu 13. günde çözer.
SORU 31:
Kareli bir kağıdın 1. satırında 1 kare, 2. satırında 2 kare olacak şekilde her satırında satır numarası kadar kare boyanacaktır.
Buna göre 63. kare kaçıncı satırda boyanır?
Çözümü Göster
1. satırda 1, 2. satırda 2, \( n \). satırda \( n \) kare boyanıyor.
Buna göre \( n \). satır tamamlandığında boyanan toplam kare sayısı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
Bu sayının en az 63 olacağı \( n \) değerini bulalım.
\( \dfrac{n(n + 1)}{2} \ge 63 \)
\( n(n + 1) \ge 126 \)
\( n = 10 \Longrightarrow 10(10 + 1) = 110 \not\ge 126 \)
\( n = 11 \Longrightarrow 11(11 + 1) = 132 \ge 126 \)
Buna göre 63. kare 11. satırda boyanmış olur.
SORU 32:
Bir yönetici ofisindeki çalışanlara 1. çalışana 2 adet, 2. çalışana 4 adet, 3. çalışana 6 adet ve \( n \). çalışana \( 2n \) adet olacak şekilde kalem dağıtıyor. Bu işlem sonucunda tüm kalemler dağıtılmış oluyor.
Yönetici daha sonra tüm kalemleri toplayıp bu sefer herkese eşit sayıda olacak şekilde dağıtıyor. Bu durumda \( n \). çalışanın aldığı kalem sayısı ilk durumdan 10 eksik olduğuna göre, toplam dağıtılan kalem sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
İlk seferde dağıtılan kalem sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{2 + 2n}{2} \cdot n = n(n + 1) \)
Kalem sayısını toplam kişi sayısına bölelim.
\( \dfrac{n(n + 1)}{n} = n + 1 \)
Bu sayı aynı zamanda ilk durumda \( n \). kişinin aldığı kalem sayısının 10 eksiğine eşittir.
\( n + 1 = 2n - 10 \)
\( n = 11 \)
Buna göre toplam kalem sayısı \( 11 \cdot 12 = 132 \) olarak bulunur.
SORU 33:
Kayra'nın oturduğu binada zemin katta 3 daire, sonraki her katta 4'er daire vardır. Daire numaraları zeminden itibaren 1 ile başlayan ardışık numaralardır. Binadaki daire numaralarının aritmetik ortalaması 38'dir.
Buna göre, Kayra zemin kat dahil olmak üzere kaç katlı bir binada oturmaktadır?
Çözümü Göster
Binadaki zemin kat dahil kat sayısına \( k \) dersek toplam daire sayısı \( 3 + 4(k - 1) = 4k - 1 \) olur.
Daire numaralarının toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{1 + 4k - 1}{2} \cdot (4k - 1) \)
\( = 2k(4k - 1) \)
Bu toplamın daire sayısına bölümü aritmetik ortalamayı verir.
\( \dfrac{2k(4k - 1)}{4k - 1} = 38 \)
\( k = 19 \) bulunur.
SORU 34:
Aldığı şiir kitabını okumaya başlayan Elif 1. şiiri okuyup 2. şiiri atlıyor. Sonra 3. ve 4. şiirleri okuyup, 5. ve 6. şiirleri atlıyor. Daha sonra 7., 8., 9. şiirleri okuyup 10., 11., 12. şiirleri atlıyor. Bu şekilde her seferinde okunan ve atlanan şiir sayısı 1 artarak devam ediyor.
Son şiiri de okuyup kitabı bitiren Elif'in okuduğu şiir sayısı atladığı şiir sayısından 17 fazladır. Buna göre bu kitapta toplam kaç şiir vardır?
Çözümü Göster
Elif 1 şiir okuyor, 1 şiir atlıyor, 2 şiir okuyor, 2 şiir atlıyor, ..., \( n \) şiir okuyor, \( n \) şiir atlıyor, en sonunda \( n + 1 \) şiir okuyup kitabı bitiriyor.
Elif'in okuduğu şiir sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.
\( 1 + 2 + \ldots + (n + 1) = \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2} \)
Elif'in atladığı şiir sayısını da aynı formülle bulalım.
\( 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
Elif'in okuduğu ve atladığı şiir sayılarının farkını bulalım.
\( \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2} - \dfrac{n(n + 1)}{2} = 17 \)
\( \dfrac{n^2 + 3n + 2 - n^2 - n}{2} = 17 \)
\( n + 1 = 17 \Longrightarrow n = 16 \)
Kitaptaki şiir sayısını bulmak için Elif'in okuduğu ve atladığı toplam şiir sayısını bulalım.
\( \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2} + \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( = \dfrac{17 \cdot 18}{2} + \dfrac{16 \cdot 17}{2} \)
\( = 289 \) bulunur.
SORU 35:
Sevda bir sayıdan başlayarak ileriye dörder, Orkun da aynı sayıdan başlayarak ileriye sekizer ritmik sayıyor. Sevda 20 sayı saydıktan sonra saymayı bırakıyor, Orkun ise 40 sayı sayana kadar devam ediyor.
Sevda'nın saydığı sayıların toplamı \( a \) olduğuna göre, Orkun'un saydığı sayıların toplamı \( a \) cinsinden kaçtır?
Çözümü Göster
Sevda ve Orkun'ın saymaya başladıkları sayıya \( x \) diyelim.
Sevda'nın saydığı ilk sayı \( x \), son sayı \( x + 4(20 - 1) = x + 76 \) olur.
Sevda'nın saydığı sayıların toplamını bulalım. Bu toplam \( a \)'ya eşittir.
\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)
\( = \dfrac{x + x + 76}{2} \cdot 20 \)
\( = 20x + 760 = a \)
Orkun'un saydığı ilk sayı \( x \), son sayı \( x + 8(40 - 1) = x + 312 \) olur.
Orkun'un saydığı sayıların toplamını bulalım.
\( = \dfrac{x + x + 312}{2} \cdot 40 \)
\( = 40x + 6240 \)
Orkun'un saydığı sayıların toplamını \( a \) cinsinden yazalım.
\( 40x + 6240 = 2(20x + 760) + 4720 \)
\( = 2a + 4720 \) bulunur.
