Ardışık Sayılar

Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

(a) seçeneği:

\( 15, 17, 19, \ldots, 67 \)

Verilen sayı dizisinde ilk terim 15, son terim 67, artış miktarı 2'dir.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{67 - 15}{2} + 1 \)

\( = \dfrac{52}{2} + 1 = 27 \)

(b) seçeneği:

\( 113, 105, 97, \ldots, 33 \)

Verilen sayı dizisinde ilk terim 113, son terim 33, artış miktarı -8'dir.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{33 - 113}{-8} + 1 \)

\( = \dfrac{-80}{-8} + 1 = 11 \)

(c) seçeneği:

\( -104, -99, -94, \ldots, 106 \)

Verilen sayı dizisinde ilk terim -104, son terim 106, artış miktarı 5'tir.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{106 - (-104)}{5} + 1 \)

\( = \dfrac{210}{5} + 1 = 43 \)

Ardışık sayılarda ilk ve son terimlerin aritmetik ortalamasına ortanca terim denir.

\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)

(a) seçeneği:

\( 42, 49, 56, \ldots , 112 \)

\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{42 + 112}{2} \)

\( = \dfrac{154}{2} = 77 \)

(b) seçeneği:

\( 520, 507, 494, \ldots, 0 \)

\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{520 + 0}{2} \)

\( = 260 \)

(c) seçeneği:

\( 943, 920, 897, \ldots, 460 \)

\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{943 + 460}{2} \)

\( = 701,5 \)

Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

(a) seçeneği:

\( 5, 11, 17, \ldots, 191 \)

Verilen sayı dizisinde ilk terim 5, son terim 191, artış miktarı 6'dır.

Önce dizideki terim sayısını bulalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{191 - 5}{6} + 1 = 32 \)

Terimler toplamını bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{5 + 191}{2} \cdot 32 \)

\( = 98 \cdot 32 = 3136 \)

(b) seçeneği:

\( 20, 28, 36, \ldots, 332 \)

Verilen sayı dizisinde ilk terim 20, son terim 332, artış miktarı 8'dir.

Önce dizideki terim sayısını bulalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{332 - 20}{8} + 1 = 40 \)

Terimler toplamını bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{20 + 332}{2} \cdot 40 \)

\( = 176 \cdot 40 = 7040 \)

(c) seçeneği:

\( 514, 500, 486, \ldots, 290 \)

Verilen sayı dizisinde ilk terim 514, son terim 290, artış miktarı -14'tür.

Önce dizideki terim sayısını bulalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{290 - 514}{-14} + 1 = 17 \)

Terimler toplamını bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{514 + 290}{2} \cdot 17 \)

\( = 402 \cdot 17 = 6834 \)

Sayılardan en büyüğüne \( k \) diyelim.

Ardışık sayıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım ve toplamlarını alalım.

\( k + (k - 1) + (k - 2) + (k - 3) + (k - 4) + (k - 5) = 6k - 15 \)

Bulduğumuz toplamı \( n \)'ye eşitleyelim ve \( k \) değerini bulalım.

\( 6k - 15 = n \)

\( 6k = n + 15 \)

\( k = \dfrac{n + 15}{6} \) bulunur.

\( a \), \( b \) ve \( c \) ardışık doğal sayılar olduğu için, aralarında aşağıdaki eşitlikleri kurabiliriz.

\( b = a + 1, \quad c = b + 1 = a + 2 \)

Sorulan ifadedeki tüm değişkenleri \( a \) cinsinden yazalım.

\( \dfrac{(a + 1 - a)(a + 2 - a)}{a + 2 - (a + 1)} \)

\( = \dfrac{1 \cdot 2}{1} = 2 \)

İki sayı ardışık tek sayılar olduğu için aralarındaki fark 2'dir.

\( a \lt b \) olduğuna göre \( b = a + 2 \) yazabiliriz.

\( 2a + 3b = 41 \)

\( 2a + 3(a + 2) = 41 \)

\( 5a + 6 = 41 \)

\( a = 7 \)

\( b = a + 2 = 9 \)

\( a + b = 7 + 9 = 16 \) bulunur.

Sayılara \( a \), \( a + 3 \), \( a + 6 \) ve \( a + 9 \) diyelim.

En küçük ve en büyük sayıların toplamını bulalım.

\( a + (a + 9) = 39 \)

\( a = 15 \)

Bu durumda dört sayının toplamı aşağıdaki gibi olur:

\( 15 + 18 + 21 + 24 = 78 \) bulunur.

Tüm işlemi \( -1 \) parantezine alalım.

\( -(1 + 2 + 3 + \ldots + 49) \)

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = -\dfrac{1 + 49}{2} \cdot 49 \)

\( = -25 \cdot 49 = -1225 \) bulunur.

İlk terime \( a \) diyelim. Bu durumda son terim \( a + 8 \) olur.

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( 99 = \dfrac{a + a + 8}{2} \cdot 9 \)

\( 99 = (a + 4) \cdot 9 \)

\( a = 7 \)

Ardışık sayılardan en küçüğü \( a = 7 \) olduğuna göre, en büyüğü \( a + 8 = 15 \) olur.

Sayılardan hangisinin büyük olduğu verilmediği için, ikisinin de diğerinden büyük olduğu durumu dikkate almamız gerekir.

Durum 1: \( 2a + 5 \lt 4a - 11 \)

Bu durumda ikinci sayı birinciden 2 fazladır.

\( 2a + 5 + 2 = 4a - 11 \)

\( a = 9 \)

Durum 2: \( 2a + 5 \gt 4a - 11 \)

Bu durumda birinci sayı ikinciden 2 fazladır.

\( 2a + 5 = 4a - 11 + 2 \)

\( a = 7 \)

\( a \)'nın alabileceği değerler toplamı \( 9 + 7 = 16 \) olur.

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{1 + 99}{2} \cdot 99 \)

\( = 50 \cdot 99 \)

Ortanca terimi bulalım.

\( \text{Ortanca terim} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)

\( = \dfrac{1 + 99}{2} = 50 \)

Buna göre terimler toplamı ortanca terimin 99 katıdır.

İstenen koşulu sağlayan sayılar aşağıdaki sayı dizisini oluşturur.

\( 42, 52, 62, \ldots, 402, 412 \)

Bu sayıların toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

\( = \dfrac{412 - 42}{10} + 1 = 38 \)

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{42 + 412}{2} \cdot 38 = 8626 \) bulunur.

\( A \) ifadesindeki terim sayısını bulalım.

\( n_A = \dfrac{99 - 4}{5} + 1 = 20 \)

\( B \) ifadesindeki terim sayısını bulalım.

\( n_B = \dfrac{80 - 4}{4} + 1 = 20 \)

Terim sayıları aynı olan iki sayıya ait eşitlikleri taraf tarafa çıkaralım.

\( A - B = (4 - 4) + (9 - 8) + (14 - 12) + \ldots + (99 - 80) \)

\( = 0 + 1 + 2 + \ldots + 19 \)

\( = 1 + 2 + \ldots + 19 \)

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{1 + 19}{2} \cdot 19 \)

\( = 10 \cdot 19 = 190 \) bulunur.

7'ye tam bölünen iki basamaklı pozitif tam sayıları listeleyelim.

\( 14, 21, 28, \ldots, 98 \)

Bu sayı dizisinde ilk terim 14, son terim 98, artış miktarı 7'dir.

Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

\( = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = 13 \)

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{14 + 98}{2} \cdot 13 \)

\( = 56 \cdot 13 = 728 \) bulunur.

Ardışık sayı dizisindeki sayıların en küçüğüne \( a \) diyelim. Bu durumda sayıların en büyüğü \( a + 31 \) olur.

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( A = \dfrac{a + a + 31}{2} \cdot 32 \)

\( 2a + 31 = \dfrac{A}{16} \)

\( 2a = \dfrac{A}{16} - 31 = \dfrac{A - 496}{16} \)

\( a = \dfrac{A - 496}{32} \)

Sayıların en büyüğü olan \( a + 31 \) değeri bulalım.

\( a + 31 = \dfrac{A - 496}{32} + 31 \)

\( = \dfrac{A - 496 + 31 \cdot 32}{32} \)

\( = \dfrac{A + 496}{32} \) bulunur.

Kümedeki eleman sayısını bulalım.

\( \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 = \dfrac{99 - 3}{3} + 1 = 33 \)

Kümedeki sayıların toplamını bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{3 + 99}{2} \cdot 33 \)

\( = 51 \cdot 33 = 1683 \)

Kümeden çıkarılan sayıya \( x \) diyelim ve \( x \) çıkarıldıktan sonraki ortalamayı bulalım.

\( \dfrac{\text{Kalan toplam}}{\text{Kalan terim sayısı}} = \dfrac{1683 - x}{33 - 1} = 51 \)

\( 1683 - x = 32 \cdot 51 \)

\( 1683 - x = 1632 \)

\( x = 51 \)

Buna göre kümeden çıkarılan sayı 51'dir.

Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

İki basamaklı tek sayıların toplamını bulalım.

\( 11, 13, 15, \ldots, 99 \)

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{99 - 11}{2} + 1 = 45 \)

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{11 + 99}{2} \cdot 45 \)

\( a = 55 \cdot 45 \)

Aynı şekilde iki basamaklı çift sayıların toplamını bulalım.

\( 10, 12, 14, \ldots, 98 \)

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{98 - 10}{2} + 1 = 45 \)

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{10 + 98}{2} \cdot 45 \)

\( b = 54 \cdot 45 \)

İki sayının farkını bulalım.

\( a - b = 55 \cdot 45 - 54 \cdot 45 \)

\( = 45(55 - 54) = 45 \) bulunur.

Birinci sayıya \( b \) diyelim. Bu durumda ikinci sayı \( b + 1 \) olur.

Ardışık sayıların toplamını alalım.

\( b + (b + 1) + (b + 2) + \ldots + (b + 10) = A \)

\( 11b + (1 + 2 + 3 + \ldots + 10) = A \)

1'den \( n \)'ye kadar olan doğal sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.

\( 11b + \dfrac{10 \cdot 11}{2} = A \)

\( 11b + 55 = A \)

Altıncı sıradaki sayı \( b + 5 \) olur.

\( 11(b + 5) = A \)

\( b + 5 = \dfrac{A}{11} \) olarak bulunur.

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

Buna göre terimlerin ortalaması aşağıdaki gibi olur.

\( \dfrac{\text{Terimler toplamı}}{\text{Terim sayısı}} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \)

Dolayısıyla ardışık sayıların ortalaması terim sayısına değil, ilk ve son terime bağlı olarak değişir.

Verilen kümelere bu formülü uygulayalım.

(a) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 5, son terimi 85'tir.

Ortalama \( = \dfrac{5 + 85}{2} = 45 \)

(b) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 7, son terimi 84'tür.

Ortalama \( = \dfrac{7 + 84}{2} = 45,5 \)

(c) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 9, son terimi 81'dir.

Ortalama \( = \dfrac{9 + 81}{2} = 45 \)

(d) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 11, son terimi 77'dir.

Ortalama \( = \dfrac{11 + 77}{2} = \dfrac{88}{2} = 44 \)

(e) seçeneğindeki kümenin ilk terimi 13, son terimi 78'dir.

Ortalama \( = \dfrac{13 + 78}{2} = 45,5 \)

(d) seçeneğindeki kümenin elemanlarının ortalaması en küçüktür.

Ardışık sayılarda terimler toplamı formülü kullanalım.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

1 ve \( n \) arasındaki ardışık tam sayıların toplamını bulalım.

\( S_n = \dfrac{1 + n}{2} \cdot n \)

\( = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)

1 ve \( 2n \) arasındaki ardışık tam sayıların toplamını bulalım.

\( S_{2n} = \dfrac{1 + 2n}{2} \cdot 2n \)

\( = \dfrac{2n(2n + 1)}{2} = n(2n + 1) \)

İlk \( 2n \) pozitif tam sayının toplamı, ilk \( n \) pozitif tam sayının toplamından 155 fazladır.

\( S_{2n} = S_n + 155 \)

\( n(2n + 1) = \dfrac{n(n + 1)}{2} + 155 \)

\( 4n^2 + 2n = n^2 + n + 310 \)

\( 3n^2 + n - 310 = 0 \)

\( (n - 10)(3n + 31) = 0 \)

\( n \) pozitif olduğu için \( n = 10 \) olur.

1 ve \( 4n \) arasındaki ardışık tam sayıların toplamını bulalım.

\( S_{4n} = \dfrac{1 + 4n}{2} \cdot 4n \)

\( = 2n(1 + 4n) \)

\( n = 10 \) yazalım.

\( = 20(1 + 40) = 820 \) bulunur.

Yeni oluşan sayıya \( B \) diyelim.

\( B = 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 7 \cdot 5 + \ldots + 19 \cdot 17 \)

\( A \) ve \( B \) ifadelerinin terimlerini birebir karşılaştıralım.

\( A \) sayısında birinci terimde 2 tane 5 varken \( B \) sayısında 3 tane 5 vardır. \( A \) sayısında ikinci terimde 3 tane 6 varken \( B \) sayısında 4 tane 6 vardır.

Buna göre iki ifadenin farkını aldığımızda ardışık sayıların toplamını elde ederiz.

\( B - A = 5 + 6 + 7 + \ldots + 19 \)

Bu ardışık sayı dizisinde \( 19 - 5 + 1 = 15 \) terim vardır.

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( B - A = \dfrac{5 + 19}{2} \cdot 15 \)

\( = 12 \cdot 15 = 180 \)

Buna göre toplam 180 artar.

\( A = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + ... + 17 \cdot 19 \)

\( B = 2 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + ... + 18 \cdot 19 \)

Birinci ifadeyi ikinci ifadeden çıkardığımızda ardışık tek sayı dizisi elde ederiz.

\( B - A = 3 + 5 + 7 + ... + 19 \)

Eşitliğin sağ tarafındaki ardışık sayıların toplamını bulalım.

Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Artış miktarı}} + 1 \)

\( = \dfrac{19 - 3}{2} + 1 = 9 \)

Bir ardışık sayı dizisindeki terimler toplamı aşağıdaki formülle bulunur.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( B - A = \dfrac{3 + 19}{2} \cdot 9 \)

\( = 11 \cdot 9 = 99 \)

Buna göre \( B \) sayısı \( A \) cinsinden aşağıdaki gibi bulunur.

\( B = A + 99 \)

Terimleri ikişerli grupladığımızda son terim hariç her çıkarma işleminin sonucunun -3 olduğunu görürüz.

\( (2 - 5) + (8 - 11) + \ldots + (110 - 113) + 116 \)

\( = (-3) + (-3) + \ldots + (-3) + 116 \)

Parantez içindeki sayı ikililerinin her iki terimi de 6'şar artmaktadır.

2'den 110'a kadar 6'şar 6'şar saydığımızda kaç \( a - b \) şeklinde sayı ikilisi olduğunu bulalım.

İkili sayısı \( = \dfrac{110 - 2}{6} + 1 = 19 \)

Buna göre verilen sayı dizisinde son terim hariç toplamları -3 olan 19 tane sayı ikilisi vardır.

\( = 19 \cdot (-3) + 116 \)

\( = -57 + 116 = 59 \) bulunur.

Elemanları küçükten büyüğe sıralanmış bir sayı kümesi tek sayıda eleman içeriyorsa sayıların medyanı ortadaki terimdir, çift sayıda eleman içeriyorsa ortaki iki terimin ortalamasına eşittir.

Sayı kümesi ardışık sayılardan oluşuyorsa her iki durumda da medyan tüm sayıların ortalamasına eşittir.

Ortalama \( = \dfrac{12!}{132} \)

\( = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{12 \cdot 11} \)

\( = 10! \) bulunur.

1'den \( n \)'ye kadar olan tam sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.

Verilen eşitsizlikte bu formülü kullanalım.

\( \dfrac{n(n + 1)}{2} \lt 10000 \)

\( n(n + 1) \lt 20000 \)

Çarpımları 20000'den küçük olan en büyük iki ardışık sayıyı bulmalıyız.

\( 140^2 = 19600 \)

\( 141^2 = 19881 \)

\( 142^2 = 20164 \)

\( 141 \cdot 142 = 20022 \)

Buna göre çarpımları 20000'den küçük olan en büyük iki ardışık sayı 140 ve 141 olur.

\( 140 \cdot 141 = 19740 \lt 20000 \)

\( n = 140 \) olarak bulunur.

Bu sayıların farklı seçimlerine birkaç örnek verelim.

\( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \)

\( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \)

\( 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \)

\( 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \)

\( 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \)

Ardışık beş pozitif tam sayı 1 ya da 2 tane 4'e bölünen sayı, ek olarak 1 ya da 2 tane 2'ye bölünen sayı, 1 ya da 2 tane 3'e bölünen sayı ve 1 tane 5'e bölünen sayı içerir.

Dolayısıyla ardışık beş tam sayı içinde her zaman en az üç tane 2, en az bir tane 3 ve bir tane 5 çarpanı bulunur ve bu sayıların çarpımı 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 8 rakamlarına her zaman tam bölünür.

Buna göre bu sayıların çarpımı 7 ve 9 rakamlarına her zaman bölünmez.

5 iki basamaklı ardışık sayıyı yazalım.

\( (ab), (ab) + 1, \ldots, (ab) + 4 \)

Bu sayıların toplamı bir \( x \) sayma sayısının 3. kuvvetine eşittir.

\( 5(ab) + 10 = x^3 \)

\( 5(ab) = x^3 - 10 \)

Bir sayma sayısının üçüncü kuvveti (\( x^3 \)) aşağıdakilerden biri olabilir.

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512...

Bu sayıların 10 eksiği (\( x^3 - 10 \)) aşağıdakilerden biri olabilir.

-9, -2, 17, 54, 115, 206, 333, 502...

Bu ifade \( 5(ab) \) ifadesine eşittir, dolayısıyla 5'in bir tam sayı katı olmalıdır.

Yukarıdaki listede bu koşulu sağlayan sayı 115'tir.

\( 5(ab) = x^3 - 10 = 115 \)

\( (ab) = 23 \)

Sayıların en büyüğü \( (ab) + 4 = 27 \) olur.

Sorudaki üç ardışık sayının toplamı sayıların çarpımına eşittir.

\( (n - 1) + n + (n + 1) = (n - 1)n(n + 1) \)

\( 3n = n(n^2 - 1) \)

\( n^3 - n - 3n = 0 \)

\( n(n^2 - 4) = 0 \)

\( n(n - 2)(n + 2) = 0 \)

Bu denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.

\( n \in \{-2, 0, 2\} \)

Köklerin toplamı \( -2 + 0 + 2 = 0 \) olarak bulunur.

Verilen ardışık sayıları ortak bir \( k \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( a = k \)

\( b = k + 10 \)

\( c = k + 20 \)

Bu değerleri verilen eşitlikte yerine yazalım.

\( (1 + \dfrac{10}{a})(1 + \dfrac{10}{b})(1 + \dfrac{10}{c}) = 6 \)

\( (1 + \dfrac{10}{k})(1 + \dfrac{10}{k + 10})(1 + \dfrac{10}{k + 20}) = 6 \)

\( (\dfrac{k + 10}{k})(\dfrac{k + 20}{k + 10})(\dfrac{k + 30}{k + 20}) = 6 \)

Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirelim.

\( \dfrac{k + 30}{k} = 6 \)

\( k + 30 = 6k \)

\( k = 6 \)

\( b \) değerini bulalım.

\( b = k + 10 = 16 \) bulunur.

Verilen ardışık sayıları ortak bir \( k \) değişkeni cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( x = 2k + 1 \)

\( y = 2k + 3 \)

\( z = 2k + 5 \)

Bu ifadeleri verilen rasyonel ifadede yerine yazalım.

\( \dfrac{(x - z)^3}{(x - y)^2} \)

\( = \dfrac{[(2k + 1) - (2k + 5)]^3}{[(2k + 1) - (2k + 3)]^2} \)

\( = \dfrac{(2k + 1 - 2k - 5)^3}{(2k + 1 - 2k - 3)^2} \)

\( = \dfrac{(-4)^3}{(-2)^2} \)

\( = \dfrac{-64}{4} = -16 \) bulunur.

Ceyda'nın çözdüğü soru sayısı 1. gün 10, 2. gün 11, 3. gün 12, \( n \). gün \( n + 9 \) olur.

Ceyda'nın \( n \) günde çözeceği toplam soru sayısını bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{10 + n + 9}{2} \cdot n \)

\( = \dfrac{n(n + 19)}{2} \)

Ceyda'nın hangi gün 200. soruyu çözdüğünü bulmak için \( n \)'ye değer verelim.

\( n = 10 \Longrightarrow \dfrac{10(10 + 19)}{2} = 145 \)

\( n = 11 \Longrightarrow \dfrac{11(11 + 19)}{2} = 165 \)

\( n = 12 \Longrightarrow \dfrac{12(12 + 19)}{2} = 186 \)

\( n = 13 \Longrightarrow \dfrac{13(13 + 19)}{2} = 208 \)

Buna göre Ceyda 200. sorusunu 13. günde çözer.

1. satırda 1, 2. satırda 2, \( n \). satırda \( n \) kare boyanıyor.

Buna göre \( n \). satır tamamlandığında boyanan toplam kare sayısı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.

Bu sayının en az 63 olacağı \( n \) değerini bulalım.

\( \dfrac{n(n + 1)}{2} \ge 63 \)

\( n(n + 1) \ge 126 \)

\( n = 10 \Longrightarrow 10(10 + 1) = 110 \not\ge 126 \)

\( n = 11 \Longrightarrow 11(11 + 1) = 132 \ge 126 \)

Buna göre 63. kare 11. satırda boyanmış olur.

İlk seferde dağıtılan kalem sayısını ardışık sayıların toplam formülü ile aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{2 + 2n}{2} \cdot n = n(n + 1) \)

Kalem sayısını toplam kişi sayısına bölelim.

\( \dfrac{n(n + 1)}{n} = n + 1 \)

Bu sayı aynı zamanda ilk durumda \( n \). kişinin aldığı kalem sayısının 10 eksiğine eşittir.

\( n + 1 = 2n - 10 \)

\( n = 11 \)

Buna göre toplam kalem sayısı \( 11 \cdot 12 = 132 \) olarak bulunur.

Binadaki zemin kat dahil kat sayısına \( k \) dersek toplam daire sayısı \( 3 + 4(k - 1) = 4k - 1 \) olur.

Daire numaralarının toplamını ardışık sayıların toplam formülü ile bulalım.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{1 + 4k - 1}{2} \cdot (4k - 1) \)

\( = 2k(4k - 1) \)

Bu toplamın daire sayısına bölümü aritmetik ortalamayı verir.

\( \dfrac{2k(4k - 1)}{4k - 1} = 38 \)

\( k = 19 \) bulunur.

Sevda ve Orkun'ın saymaya başladıkları sayıya \( x \) diyelim.

Sevda'nın saydığı ilk sayı \( x \), son sayı \( x + 4(20 - 1) = x + 76 \) olur.

Sevda'nın saydığı sayıların toplamını bulalım. Bu toplam \( a \)'ya eşittir.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( = \dfrac{x + x + 76}{2} \cdot 20 \)

\( = 20x + 760 = a \)

Orkun'un saydığı ilk sayı \( x \), son sayı \( x + 8(40 - 1) = x + 312 \) olur.

Orkun'un saydığı sayıların toplamını bulalım.

\( = \dfrac{x + x + 312}{2} \cdot 40 \)

\( = 40x + 6240 \)

Orkun'un saydığı sayıların toplamını \( a \) cinsinden yazalım.

\( 40x + 6240 = 2(20x + 760) + 4720 \)

\( = 2a + 4720 \) bulunur.

İlk durumdaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.

Sayfa numaralarının toplamı \( = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)

\( = \dfrac{123 \cdot 124}{2} = 123 \cdot 62 \)

Koparılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamını bulalım.

\( 123 \cdot 62 - 117 \cdot 62 = (123 - 117) \cdot 62 \)

\( = 62 \cdot 6 = 372 \)

Koparılan 4 yapraktaki 8 sayfanın numaraları \( a, a + 1, a + 2 , a + 3, a + 4, a + 5, a + 6, a + 7 \) şeklindedir.

Bu sayıların toplamı 372'dir.

\( \text{Terimler toplamı} = \dfrac{\text{İlk terim} + \text{Son terim}}{2} \cdot \text{Terim sayısı} \)

\( 372 = \dfrac{a + a + 7}{2} \cdot 8 \)

\( 2a + 7 = 93 \)

\( a = 43 \) bulunur.