Basamak Kavramı

Sayıların pozitif olduğu belirtilmemiştir.

Buna göre üç basamaklı en küçük tam sayı -999'dur.

İki basamaklı en büyük tam sayı 99'dur.

İki sayının toplamı \( -999 + 99 = -900 \) olur.

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (xyz) = 100x + 10y + z \)

Yüzler basamağı 2 artırılıp birler basamağı 2 azaltıldığında oluşan yeni sayının çözümlemesini yapalım.

\( 100(x + 2) + 10y + z - 2 \)

\( = 100x + 200 + 10y + z - 2 \)

\( = 100x + 10y + z + 198 \)

İlk 3 terim \( (xyz) \) sayısının çözümlenmiş halidir.

\( = (xyz) + 198 \)

Buna göre sayının değeri 198 artar.

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( a = 100x + 10y + z \)

\( b = 1000x + 100y + 10z + 7 \)

\( = 10(100x + 10y + z) + 7 \)

\( 100x + 10y + z \) toplamı \( (xyz) \) sayısının çözümlenmiş halidir.

\( = 10(xyz) + 7 \)

\( = 10a + 7 \) bulunur.

Verilen sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 2(10a + b) + (10b + a) = 105 \)

\( 20a + 2b + 10b + a = 105 \)

\( 21a + 12b = 105 \)

\( 7a + 4b = 35 \)

İki basamaklı bir sayının onlar basamağı 0 olamayacağı için bu eşitliği sağlayan \( (a, b) \) rakam ikilisi sadece \( (1, 7) \) olabilir.

\( 2 \cdot 17 + 71 = 105 \)

\( (ab) = 17 \) bulunur.

\( (xy) \) sayısının çözümlemesini yapalım.

\( \dfrac{10x + y}{13} = x \)

\( 10x + y = 13x \)

\( y = 3x \)

\( (x, y) \in \{(1, 3), (2, 6), (3, 9)\} \)

Buna göre bu eşitliği sağlayan üç \( (x, y) \) rakam ikilisi vardır.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10x + y + 10y + x = 121 \)

\( 11x + 11y = 121 \)

\( x + y = 11 \)

\( (x, y) \) rakam ikilileri aşağıdaki gibi olur.

\( (x, y) \in \{(2, 9), (3, 8), (4, 7), \ldots, (9, 2)\} \)

Buna göre \( (yx) \) sayısı en az 29 olabilir.

Birinci eşitliği çözümleyelim.

\( (ab) + (ca) + (bc) = 154 \)

\( (10a + b) + (10c + a) + (10b + c) = 154 \)

\( 11a + 11b + 11c = 154 \)

\( a + b + c = 14 \)

İkinci eşitliği çözümleyelim.

\( (cb) - (bc) = 9 \)

\( (10c + b) - (10b + c) = 9 \)

\( 9c - 9b = 9 \)

\( c - b = 1 \)

Üçüncü eşitliği çözümleyelim.

\( (ca) + (ac) = 132 \)

\( (10c + a) + (10a + c) = 132 \)

\( 11a + 11c = 132 \)

\( a + c = 12 \)

Bulduğumuz \( a + b + c = 14 \) denkleminde \( a + c = 12 \) yazalım.

\( 12 + b = 14 \)

\( b = 2 \)

Bulduğumuz \( c - b = 1 \) denkleminde \( b = 2 \) yazalım.

\( c - 2 = 1 \)

\( c = 3 \)

Bulduğumuz \( a + c = 12 \) denkleminde \( c = 3 \) yazalım.

\( a + 3 = 12 \)

\( a = 9 \)

\( (bca) = 239 \) bulunur.

\( (xyz) \) sayısının tersten ve düzden yazılışları aynı ise \( x = z \) olur.

Verilen denklemde \( x = z \) yazalım.

\( x + z = z + z = 4y \)

\( z = 2y \)

Yazılabilecek \( (xyz) \) sayılarını bulalım.

\( (xyz): 212, 424, 636, 848 \)

Buna göre dört farklı sayı yazılabilir.

\( (ab5) + (bc8) + (ca4) \) toplamını çözümleyelim.

\( (100a + 10b + 5) + (100b + 10c + 8) + (100c + 10a + 4) \)

\( = 110a + 110b + 110c + 17 \)

Bu ifadeyi verilen eşitsizlikte yerine koyalım.

\( 567 \lt (ab5) + (bc8) + (ca4) \lt 1777 \)

\( 567 \lt 110a + 110b + 110c + 17 \lt 1777 \)

\( 550 \lt 110a + 110b + 110c \lt 1760 \)

\( 5 \lt a + b + c \lt 16 \)

\( (abc) \) sayısının en büyük değerini bulmak için \( a + b + c \) toplamının alabileceği en büyük değeri kullanalım.

\( a + b + c \) toplamı en fazla 15 olabilir.

Sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarına en büyük değerleri verelim.

\( a = 9, \quad b = 5, \quad c = 1 \)

\( (abc) \) sayısının alabileceği en büyük değer 951'dir.

Eşitliğin sol tarafını çözümleyelim.

\( 100A + 30 + B = 90A + 56 \)

\( 10A + B = 26 \)

\( 10A + B \) ifadesi iki basamaklı \( (AB) \) sayısına eşittir.

\( (AB) = 26 \)

\( A = 2, \quad B = 6 \)

\( A \cdot B = 2 \cdot 6 = 12 \) olarak bulunur.

Verilen bilgileri birer denklem şeklinde yazalım.

\( 10x + y = a(x + y) \)

\( 10y + x = b(x + y) \)

Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( 11x + 11y = a(x + y) + b(x + y) \)

\( 11(x + y) = (a + b)(x + y) \)

\( a + b = 11 \) olarak bulunur.

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (10x + x)^2 + (10y + y)^2 = 1210 \)

\( (11x)^2 + (11y)^2 = 1210 \)

\( 121x^2 + 121y^2 = 1210 \)

\( 121(x^2 + y^2) = 1210 \)

\( x^2 + y^2 = 10 \)

Kareleri toplamı 10 olan iki rakam 1 ve 3'tür.

Buna göre \( (xx) = 11, (yy) = 33 \) ya da \( (xx) = 33, (yy) = 11 \) olur.

Her iki durumda da \( (xx) + (yy) = 44 \) bulunur.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10x + y - (10y + x) = (x - y)(x + y) \)

\( 9(x - y) = (x - y)(x + y) \)

Bu eşitliğin iki çözümü vardır.

1. çözüm: \( x + y = 9 \)

Bu eşitliği sağlayan 8 farklı \( (x, y) \) rakam ikilisi vardır.

\( (x, y) \in \{(1, 8), (2, 7), \ldots, (8, 1)\} \)

2. çözüm: \( x - y = 0 \)

Bu eşitliği sağlayan 9 farklı \( (x, y) \) rakam ikilisi vardır.

\( (x, y) \in \{(1, 1), (2, 2), \ldots, (9, 9)\} \)

İki durumda ortak çözüm bulunmadığı için toplamda 17 farklı \( (xy) \) sayısı yazılabilir.

\( (xy) = a + 24 \)

\( (yx) = a - 30 \)

İkinci denklemi birinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.

\( (xy) - (yx) = a + 24 - a + 30 \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10x + y - (10y + x) = 54 \)

\( 9x - 9y = 54 \)

\( x - y = 6 \)

\( x \) ve \( y \)'nin alabileceği değerler için \( a \) sayısının alabileceği değerleri bulalım.

\( x = 9, \quad y = 3 \) ise:

\( 93 = a + 24 \Longrightarrow a = 69 \)

\( x = 8, \quad y = 2 \) ise:

\( 82 = a + 24 \Longrightarrow a = 58 \)

\( x = 7, \quad y = 1 \) ise:

\( 71 = a + 24 \Longrightarrow a = 47 \)

\( y \) rakamı \( (yx) \) sayısının onlar basamağında bulunduğu için sıfır olamaz.

\( a \)'nın alabileceği en büyük değer 69, en küçük değer 47 olur.

\( 69 + 47 = 116 \) bulunur.

\( (abc) \) sayısının onlar ve yüzler basamağındaki rakamların yeri değiştirildiğinde \( (bac) \) sayısı oluşur.

İki sayının farkını alalım.

\( (bac) - (abc) = 360 \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (100b + 10a + c) - (100a + 10b + c) = 360 \)

\( 90b - 90a = 360 \)

\( b - a = 4 \)

Bu koşulu sağlayan \( (b, a) \) rakam ikililerini bulalım.

\( (b, a) \in \{ (9, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 2), (5, 1) \} \)

\( (b, a) = (4, 0) \) için \( (abc) \) sayısı iki basamaklı olacağı için bu ikili geçerli bir çözüm değildir.

\( (abc) \) sayısının en büyük olduğu \( (b, a) \) ikilisi \( (9, 5) \) olur.

\( c \) sayısı 9 ve 5 dışında en fazla 8 olabilir.

Buna göre en büyük \( (abc) \) sayısı 598'dir.

\( (abc) \) rakamları çarpımı 24 olan en büyük doğal sayı ise en soldan başlayarak olabilecek en büyük rakamları verelim.

\( a = 8, b = 3, c = 1 \)

\( (abc) = 831 \)

\( (xyz) \) rakamları toplamı 17 olan en küçük doğal sayı ise en soldan başlayarak olabilecek en küçük rakamları verelim.

\( x = 1, y = 7, z = 9 \)

\( (xyz) = 179 \)

\( (abc) + (xyz) = 831 + 179 \)

\( = 1010 \) olarak bulunur.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (10x + y + 10y + x)(10x + y - 10y - x) = 297 \)

\( (11x + 11y)(9x - 9y) = 297 \)

\( 11(x + y) \cdot 9(x - y) = 297 \)

\( (x + y)(x - y) = 3 \)

3 sayısının pozitif bölenleri 3 ve 1'dir.

\( x + y = 3 \)

\( x - y = 1 \)

\( x = 2, \quad y = 1 \)

\( x^y = 2^1 = 2 \) bulunur.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (100x + 10y + 3) + (200 + 10x + 1) = 654 \)

\( 110x + 10y + 204 = 654 \)

\( 110x + 10y = 450 \)

\( 11x + y = 45 \)

Bu eşitlik sadece \( x = 4 \) için sağlanır.

\( x = 4, \quad y = 1 \)

\( x - y = 4 - 1 = 3 \) bulunur.

\( (ab) \) sayısının onlar ve birler basamağı yer değiştirdiğinde \( (ba) \) sayısı oluşur.

\( (ab) - (ba) = 27 \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10a + b - (10b + a) = 27 \)

\( 9a - 9b = 27 \)

\( a - b = 3 \)

Yazılabilecek \( (a, b) \) rakam ikililerini bulalım.

\( (a, b) \in \{(9, 6), (8, 5), (7, 4), \ldots, (3, 0)\} \)

Buna göre 7 farklı \( (a, b) \) rakam ikilisi vardır.

\( (abc) \) sayısının onlar basamağı \( a \) kadar artırılırsa sayının değeri \( 10a \) kadar artar.

\( (abc) \) sayısının yüzler basamağı \( b \) kadar azaltılırsa sayının değeri \( 100b \) kadar azalır.

\( 10a - 100b = -280 \)

\( 10b - a = 28 \)

\( 10b = 28 + a \)

\( a \) ve \( b \) birer rakam oldukları için bu eşitlik sadece \( b = 3 \) ve \( a = 2 \) olduğunda sağlanır.

\( c \) herhangi bir değer alabileceği için en büyük rakam olarak 9 verelim.

\( (abc) = 239 \)

\( (abc) \) sayısının rakamları toplamı en fazla \( 2 + 3 + 9 = 14 \) olur.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10(100x + 10y + z - (10x + y + 10y + z)) - 3(10y + z) = 811 \)

\( 10(90x - y) - 30y - 3z = 811 \)

\( 900x - 10y - 30y - 3z = 811 \)

\( 900x - 40y - 3z = 811 \)

\( x \), \( y \) ve \( z \) birer rakam oldukları için bu eşitlik sadece aşağıdaki değerlerde sağlanır.

\( x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \)

Buna göre \( x \cdot y \cdot z = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \) bulunur.

İşlem kolaylığı açısından tüm sayıları üç basamaklı \( (abc) \) sayısı cinsinden yazalım.

\( (abcabc) = 1000(abc) + (abc) = 1001(abc) \)

\( (abc00) = 100(abc) \)

\( (abc0) = 10(abc) \)

Bulduğumuz değerleri sorudaki ifadede yerine yazalım.

\( \dfrac{(abcabc) + (abc00) + (abc0)}{11(abc)} = \dfrac{1001(abc) + 100(abc) + 10(abc)}{11(abc)} \)

\( = \dfrac{1111(abc)}{11(abc)} \)

\( = 101 \) bulunur.

Eşitliğin sol tarafını çözümleyelim.

\( (abcabc25) = (abcabc00) + 25 \)

\( = 100(abcabc) + 25 \)

\( = 100[1000(abc) + abc] + 25 \)

\( = 100000(abc) + 100(abc) + 25 \)

\( = 100100(abc) + 25 = x(abc) + y \)

Buna göre \( x = 100100 \) ve \( y = 25 \) olur.

\( x + y = 100100 + 25 = 100125 \) bulunur.

\( A \) ifadesini çözümleyelim.

\( A = (ab5) + (a5b) + (5ab) \)

\( = (100a + 10b + 5) + (100a + 50 + b) + (500 + 10a + b) \)

\( = 210a + 12b + 555 \)

\( (ab9) + (a9b) + (9ab) \) ifadesini çözümleyelim.

\( = (100a + 10b + 9) + (100a + 90 + b) + (900 + 10a + b) \)

\( = 210a + 12b + 999 \)

Bu ifadeyi \( A \) cinsinden yazalım.

\( = 210a + 12b + 555 + 444 \)

\( = A + 444 \) bulunur.

I. öncül:

\( (ab09) = 100(ab) + 9 \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çözümleyelim.

\( (ab09) = 1000a + 100b + 9 \)

\( = 100(10a + b) + 9 \)

\( 10a + b \) yerine \( (ab) \) yazabiliriz.

\( = 100(ab) + 9 \)

I. öncül doğrudur.

II. öncül:

\( (abcdd) = 100(abc) + 11d \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çözümleyelim.

\( (abcdd) = 10000a + 1000b + 100c + 10d + d \)

\( = 100(100a + 10b + c) + 11d \)

\( 100a + 10b + c \) yerine \( (abc) \) yazabiliriz.

\( = 100(abc) + 11d \)

II. öncül doğrudur.

III. öncül:

\( (ab0ab) = 101(ab) \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çözümleyelim.

\( (ab0ab) = 10000a + 1000b + 10a + b \)

\( = 10010a + 1001b \)

\( = 1001(10a + b) \)

\( 10a + b \) yerine \( (ab) \) yazabiliriz.

\( = 1001(ab) \)

III. öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.

Kesrin sonucu bir tam sayı olduğuna göre \( (4x5y) + 13 \) ifadesi 45'in bir katı olmalıdır.

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \dfrac{(4x5y) + 13}{45} = k \)

\( (4x5y) + 13 = 45k \)

\( (4x5y) = 45k - 13 \)

Bu eşitliğin sağ tarafına 45 ekleyerek \( (4x5y) \) sayısının 45 ile bölümünden kalanı bulabiliriz.

\( (4x5y) = 45(k - 1) + 32 \)

45'in çarpanları 9 ve 5'tir.

\( (4x5y) \) sayısının 9 ile bölümünden kalan 32'nin 9 ile bölümünden kalan ile aynıdır.

O halde \( (4x5y) \) sayısının 9 ile bölümünden kalan 5'tir.

\( (4x5y) \) sayısının 5 ile bölümünden kalan 32'nin 5 ile bölümünden kalan ile aynıdır.

O halde \( (4x5y) \) sayısının 5 ile bölümünden kalan 2'dir.

\( y \)'nin alabileceği değerleri bulalım.

5 ile bölümünden kalanın 2 olabilmesi için son rakam yani \( y \) 2 ya da 7 olmalıdır.

\( y \)'nin bu iki değeri için \( x \)'in alabileceği değerleri bulalım.

Durum 1: \( y = 2 \)

\( (4x52) \) sayısının 9 ile bölümünden kalanın 5 olması için \( x = 3 \) olmalıdır.

\( (4x5y) = 4352 \)

Durum 2: \( y = 7 \)

\( (4x57) \) sayısının 9 ile bölümünden kalanın 5 olması için \( x = 7 \) olmalıdır.

\( (4x57) = 4757 \)

\( x \)'in alabileceği değerler çarpımı \( 3 \cdot 7 = 21 \)'dir.

\( a \) ve \( b \) sayılarını düzenleyelim.

\( a = 3(111 \ldots 1) \)

\( b = 5(111 \ldots 1) \)

\( a \cdot b = 15(\underbrace{111 \ldots 1}_\text{33 basamaklı})^2 \)

\( 10^{33} \) sayısı 34 basamaklıdır.

\( 10^{33} - 1 = (\underbrace{999 \ldots 9}_\text{33 basamaklı}) \)

Sayıyı 9'a bölelim.

\( \dfrac{10^{33} - 1}{9} = (\underbrace{111 \ldots 1}_\text{33 basamaklı}) \)

Soruda istenen çarpımı hesaplayalım.

\( a \cdot b = 15(\dfrac{10^{33} - 1}{9})^2 \)

\( = \dfrac{15(10^{33} - 1)^2}{81} \)

\( = \dfrac{5(10^{33} - 1)^2}{27} \) olarak bulunur.

4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim.

Sayının kendisi ile rakamları toplamının toplamı 2021 olacaktır.

\( (abcd) + a + b + c + d = 2021 \)

Sayının çözümlemesini yapalım.

\( 1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 2021 \)

\( 1001a + 101b + 11c + 2d = 2021 \)

Sayıların basamakları birer rakam olmak zorunda olduğu için bu eşitliği sağlayabilecek değerleri deneyerek bulalım.

Önce \( a = 1 \) deneyelim.

\( 1001 + 101b + 11c + 2d = 2021 \)

\( 101b + 11c + 2d = 1020 \)

\( b = 9 \) olmalıdır.

\( 909 + 11c + 2d = 1020 \)

\( 11c + 2d = 111 \)

\( c = 9 \) olmalıdır.

\( 99 + 2d = 111 \)

\( d = 6 \)

Buna göre \( (1996) \) sayısı verilen koşulu sağlar.

\( 1996 + 1 + 9 + 9 + 6 = 2021 \)

Şimdi \( a = 2 \) deneyelim.

\( 2002 + 101b + 11c + 2d = 2021 \)

\( 101b + 11c + 2d = 19 \)

\( b = 0 \) olmalıdır.

\( 11c + 2d = 19 \)

\( c = 1 \) olmalıdır.

\( 11 + 2d = 19 \)

\( d = 4 \)

Buna göre \( (2014) \) sayısı verilen koşulu sağlar.

\( 2014 + 2 + 0 + 1 + 4 = 2021 \)

Soruda verilen koşulu sağlayan sayılar 1996 ve 2014'tür.

Okula 110 kitap seti hediye edildiğine göre, okulun aldığı kitap seti sayısı en az 330, en fazla 359'dur (360 olması durumunda okulun alacağı hediye kitap seti sayısı 120 olurdu).

\( 330 \le (aaa) \le 359 \)

Bu aralıktaki \( (aaa) \) formunda, yani rakamları aynı olan sayı sadece 333'tür.

Buna göre okul 333 kitap seti almıştır.

Beril'in kumbarasına dördüncü gün attığı para miktarını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

\( (X8Y) - [(1XY) + (10Y) + (YX5)] \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( = 100X + 80 + Y - (100 + 10X + Y + 100 + Y + 100Y + 10X + 5) \)

\( = 100X + 80 + Y - (205 + 20X + 102Y) \)

\( = 80X - 101Y - 125 \)

Bu ifadenin değerinin en büyük olması için \( x = 9 \) ve \( y = 1 \) olmalıdır (\( (YX5) \) sayısının üç basamaklı olabilmesi için \( Y \) sıfır olamaz).

\( = 80 \cdot 9 - 101 \cdot 1 - 125 \)

\( = 494 \) bulunur.

Bu sayıya \( (ab) \) diyelim.

Sayının çözümlenmiş halini yazalım.

\( (ab) = 10a + b \)

\( (ab) \) sayısının rakamları toplamına oranı 4'tür.

\( \dfrac{10a + b}{a + b} = 4 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 10a + b = 4a + 4b \)

\( 2a = b \)

\( (ab) \) sayısının rakamları çarpımının rakamları toplamına oranı 2'dir.

\( \dfrac{ab}{a + b} = 2 \)

\( b = 2a \) yazalım.

\( \dfrac{a \cdot 2a}{a + 2a} = 2 \)

\( 2a^2 = 6a \)

\( a = 3 \)

\( b = 2a = 6 \)

\( (ab) = 36 \) bulunur.

Verilen ifadeyi çözümleyelim.

\( 1a - (10a + a) - (100a + 10a + a) + (1000a + 100a + 10a + a) \)

\( = a - 11a - 111a + 1111a = 990a \)

Bu sayıyı çarpanlarına ayıralım.

\( 990a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot a \)

Buna göre \( 990a \) sayısı 2, 3, 5 ve 11 asal sayılarına her zaman bölünür.

Sayıları oluştururken \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) rakamları birer kez kullanılacaktır.

Oluşturulacak 3 basamaklı 3 sayının toplamlarının en büyük olabilmesi için, 9, 8 ve 7 rakamları sayıların yüzler basamağında, 6, 5 ve 4 rakamları onlar basamağında, 3, 2 ve 1 rakamları ise birler basamağında kullanılmalıdır.

Buna göre yüzler basamağında 9, 8, 7, onlar basamağında 6, 5, 4 ve birler basamağında 3, 2, 1 rakamlarından biri olan 3 basamaklı sayılar istenen koşulları sağlar.

İstenen koşulları sağlayan sayılar III. ve IV. öncüllerdeki 843 ve 952 sayılarıdır.