Basamak Kavramı

Sayıların pozitif olduğu belirtilmemiştir.

Buna göre üç basamaklı en küçük tam sayı -999'dur.

İki basamaklı en büyük tam sayı 99'dur.

İki sayının toplamı \( -999 + 99 = -900 \) olur.

1526'dan 1599'a kadarki sayılar arasında birler ve onlar basamağı tek sayı olan sayıları yazalım.

\( 1531, 1533, 1535, 1537, 1539 \)

\( 1551, 1553, 1555, 1557, 1559 \)

\( 1571, 1573, 1575, 1577, 1579 \)

\( 1591, 1593, 1595, 1597, 1599 \)

1600'den 1697'ye kadarki sayılar 6 rakamını içerdiği için, bu sayılar arasında tüm basamakları tek sayı olan sayı yoktur.

1526 ve 1697 sayıları arasında tüm basamakları tek sayı olan 20 sayı vardır.

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (xyz) = 100x + 10y + z \)

Yüzler basamağı 2 artırılıp birler basamağı 2 azaltıldığında oluşan yeni sayının çözümlemesini yapalım.

\( 100(x + 2) + 10y + z - 2 \)

\( = 100x + 200 + 10y + z - 2 \)

\( = 100x + 10y + z + 198 \)

İlk 3 terim \( (xyz) \) sayısının çözümlenmiş halidir.

\( = (xyz) + 198 \)

Buna göre sayının değeri 198 artar.

Mehmet \( (ab) \) sayısından beşer beşer geriye doğru sayarak 5'e bölünebilen 30 sayısına ulaştığına göre \( (ab) \) sayısı 5'in bir katı olmalıdır.

47'den başlayıp yedişer yedişer saydığımızda ulaştığımız iki basamaklı sayıları listeleyelim.

\( 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, 96 \)

Bu sayılardan sadece 75 5'e tam bölünür.

\( (ab) = 75 \)

\( 7 - 5 = 2 \) bulunur.

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( a = 100x + 10y + z \)

\( b = 1000x + 100y + 10z + 7 \)

\( = 10(100x + 10y + z) + 7 \)

\( 100x + 10y + z \) toplamı \( (xyz) \) sayısının çözümlenmiş halidir.

\( = 10(xyz) + 7 \)

\( = 10a + 7 \) bulunur.

Verilen sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 2(10a + b) + (10b + a) = 105 \)

\( 20a + 2b + 10b + a = 105 \)

\( 21a + 12b = 105 \)

\( 7a + 4b = 35 \)

İki basamaklı bir sayının onlar basamağı 0 olamayacağı için bu eşitliği sağlayan \( (a, b) \) rakam ikilisi sadece \( (1, 7) \) olabilir.

\( 2 \cdot 17 + 71 = 105 \)

\( (ab) = 17 \) bulunur.

\( (xy) \) sayısının çözümlemesini yapalım.

\( \dfrac{10x + y}{13} = x \)

\( 10x + y = 13x \)

\( y = 3x \)

\( (x, y) \in \{(1, 3), (2, 6), (3, 9)\} \)

Buna göre bu eşitliği sağlayan üç \( (x, y) \) rakam ikilisi vardır.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10x + y + 10y + x = 121 \)

\( 11x + 11y = 121 \)

\( x + y = 11 \)

\( (x, y) \) rakam ikilileri aşağıdaki gibi olur.

\( (x, y) \in \{(2, 9), (3, 8), (4, 7), \ldots, (9, 2)\} \)

Buna göre \( (yx) \) sayısı en az 29 olabilir.

Birinci eşitliği çözümleyelim.

\( (ab) + (ca) + (bc) = 154 \)

\( (10a + b) + (10c + a) + (10b + c) = 154 \)

\( 11a + 11b + 11c = 154 \)

\( a + b + c = 14 \)

İkinci eşitliği çözümleyelim.

\( (cb) - (bc) = 9 \)

\( (10c + b) - (10b + c) = 9 \)

\( 9c - 9b = 9 \)

\( c - b = 1 \)

Üçüncü eşitliği çözümleyelim.

\( (ca) + (ac) = 132 \)

\( (10c + a) + (10a + c) = 132 \)

\( 11a + 11c = 132 \)

\( a + c = 12 \)

Bulduğumuz \( a + b + c = 14 \) denkleminde \( a + c = 12 \) yazalım.

\( 12 + b = 14 \)

\( b = 2 \)

Bulduğumuz \( c - b = 1 \) denkleminde \( b = 2 \) yazalım.

\( c - 2 = 1 \)

\( c = 3 \)

Bulduğumuz \( a + c = 12 \) denkleminde \( c = 3 \) yazalım.

\( a + 3 = 12 \)

\( a = 9 \)

\( (bca) = 239 \) bulunur.

\( (xyz) \) sayısının tersten ve düzden yazılışları aynı ise \( x = z \) olur.

Verilen denklemde \( x = z \) yazalım.

\( x + z = z + z = 4y \)

\( z = 2y \)

Yazılabilecek \( (xyz) \) sayılarını bulalım.

\( (xyz): 212, 424, 636, 848 \)

Buna göre dört farklı sayı yazılabilir.

Eşitliğin sol tarafını çözümleyelim.

\( 100A + 30 + B = 90A + 56 \)

\( 10A + B = 26 \)

\( 10A + B \) ifadesi iki basamaklı \( (AB) \) sayısına eşittir.

\( (AB) = 26 \)

\( A = 2, \quad B = 6 \)

\( A \cdot B = 2 \cdot 6 = 12 \) olarak bulunur.

\( (ab5) + (bc8) + (ca4) \) toplamını çözümleyelim.

\( (100a + 10b + 5) + (100b + 10c + 8) + (100c + 10a + 4) \)

\( = 110a + 110b + 110c + 17 \)

Bu ifadeyi verilen eşitsizlikte yerine koyalım.

\( 567 \lt (ab5) + (bc8) + (ca4) \lt 1777 \)

\( 567 \lt 110a + 110b + 110c + 17 \lt 1777 \)

\( 550 \lt 110a + 110b + 110c \lt 1760 \)

\( 5 \lt a + b + c \lt 16 \)

\( (abc) \) sayısının en büyük değerini bulmak için \( a + b + c \) toplamının alabileceği en büyük değeri kullanalım.

\( a + b + c \) toplamı en fazla 15 olabilir.

Sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarına en büyük değerleri verelim.

\( a = 9, \quad b = 5, \quad c = 1 \)

\( (abc) \) sayısının alabileceği en büyük değer 951'dir.

\( A \) sayısının çözümlemesini yapalım.

\( A = (a0b0) = 1000a + 10b \)

Altı basamaklı sayının çözümlemesini yapalım.

\( (a0b900) = 100000a + 1000b + 900 \)

İfadeyi 100 parantezine alalım.

\( = 100(1000a + 10b + 9) \)

\( 1000a + 10b \) yerine \( A \) yazalım.

\( = 100(A + 9) \)

\( = 100A + 900 \) bulunur.

Birinci eşitsizlikte yüzler basamağı \( d \) olan sayı yüzler basamağı \( c \) olan sayıdan büyüktür, ikinci eşitsizlikte ise yüzler basamağı \( c \) olan sayı yüzler basamağı \( d \) olan sayıdan büyüktür.

Bu iki eşitsizliğin birlikte sağlanması için \( c \) ve \( d \) birbirine eşit olmalıdır.

\( c = d \)

Birinci eşitsizlikteki iki sayının yüzler ve birler basamakları aynıdır, dolayısıyla ikinci sayının onlar basamağı daha büyük olmalıdır.

\( d \lt b \)

İkinci eşitsizlikteki iki sayının yüzler ve onlar basamakları aynıdır, dolayısıyla ikinci sayının birler basamağı daha büyük olmalıdır.

\( a \lt c \)

Rakamların küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt c = d \lt b \)

Verilen bilgileri birer denklem şeklinde yazalım.

\( 10x + y = a(x + y) \)

\( 10y + x = b(x + y) \)

Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.

\( 11x + 11y = a(x + y) + b(x + y) \)

\( 11(x + y) = (a + b)(x + y) \)

\( a + b = 11 \) olarak bulunur.

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (10x + x)^2 + (10y + y)^2 = 1210 \)

\( (11x)^2 + (11y)^2 = 1210 \)

\( 121x^2 + 121y^2 = 1210 \)

\( 121(x^2 + y^2) = 1210 \)

\( x^2 + y^2 = 10 \)

Kareleri toplamı 10 olan iki rakam 1 ve 3'tür.

Buna göre \( (xx) = 11, (yy) = 33 \) ya da \( (xx) = 33, (yy) = 11 \) olur.

Her iki durumda da \( (xx) + (yy) = 44 \) bulunur.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10x + y - (10y + x) = (x - y)(x + y) \)

\( 9(x - y) = (x - y)(x + y) \)

Bu eşitliğin iki çözümü vardır.

Durum 1: \( x + y = 9 \)

Bu eşitliği sağlayan 8 farklı \( (x, y) \) rakam ikilisi vardır.

\( (x, y) \in \{(1, 8), (2, 7), \ldots, (8, 1)\} \)

Durum 2: \( x - y = 0 \)

Bu eşitliği sağlayan 9 farklı \( (x, y) \) rakam ikilisi vardır.

\( (x, y) \in \{(1, 1), (2, 2), \ldots, (9, 9)\} \)

İki durumda ortak çözüm bulunmadığı için toplamda 17 farklı \( (xy) \) sayısı yazılabilir.

\( (xy) = a + 24 \)

\( (yx) = a - 30 \)

İkinci denklemi birinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.

\( (xy) - (yx) = a + 24 - a + 30 \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10x + y - (10y + x) = 54 \)

\( 9x - 9y = 54 \)

\( x - y = 6 \)

\( x \) ve \( y \)'nin alabileceği değerler için \( a \) sayısının alabileceği değerleri bulalım.

\( x = 9, \quad y = 3 \) ise:

\( 93 = a + 24 \Longrightarrow a = 69 \)

\( x = 8, \quad y = 2 \) ise:

\( 82 = a + 24 \Longrightarrow a = 58 \)

\( x = 7, \quad y = 1 \) ise:

\( 71 = a + 24 \Longrightarrow a = 47 \)

\( y \) rakamı iki basamaklı \( (yx) \) sayısının onlar basamağında bulunduğu için sıfır olamaz.

\( a \)'nın alabileceği en büyük değer 69, en küçük değer 47 olur.

\( 69 + 47 = 116 \) bulunur.

\( (abc) \) sayısının onlar ve yüzler basamağındaki rakamların yeri değiştirildiğinde \( (bac) \) sayısı oluşur.

İki sayının farkını alalım.

\( (bac) - (abc) = 360 \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (100b + 10a + c) - (100a + 10b + c) = 360 \)

\( 90b - 90a = 360 \)

\( b - a = 4 \)

Bu koşulu sağlayan \( (b, a) \) rakam ikililerini bulalım.

\( (b, a) \in \{ (9, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 2), (5, 1) \} \)

\( (b, a) = (4, 0) \) için \( (abc) \) sayısı iki basamaklı olacağı için bu ikili geçerli bir çözüm değildir.

\( (abc) \) sayısının en büyük olduğu \( (b, a) \) ikilisi \( (9, 5) \) olur.

\( c \) sayısı 9 ve 5 dışında en fazla 8 olabilir.

Buna göre en büyük \( (abc) \) sayısı 598'dir.

\( 598 \) sayısının rakamları çarpımı \( 5 \cdot 9 \cdot 8 = 360 \) olarak bulunur.

\( (abc) \) rakamları çarpımı 24 olan en büyük doğal sayı ise en soldan başlayarak olabilecek en büyük rakamları verelim.

\( a = 8, b = 3, c = 1 \)

\( (abc) = 831 \)

\( (xyz) \) rakamları toplamı 17 olan en küçük doğal sayı ise en soldan başlayarak olabilecek en küçük rakamları verelim.

\( x = 1, y = 7, z = 9 \)

\( (xyz) = 179 \)

\( (abc) + (xyz) = 831 + 179 \)

\( = 1010 \) olarak bulunur.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (10x + y + 10y + x)(10x + y - 10y - x) = 297 \)

\( (11x + 11y)(9x - 9y) = 297 \)

\( 11(x + y) \cdot 9(x - y) = 297 \)

\( (x + y)(x - y) = 3 \)

3 sayısının pozitif bölenleri 3 ve 1'dir.

\( x + y = 3 \)

\( x - y = 1 \)

\( x = 2, \quad y = 1 \)

\( x^y = 2^1 = 2 \) bulunur.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( (100x + 10y + 3) + (200 + 10x + 1) = 654 \)

\( 110x + 10y + 204 = 654 \)

\( 110x + 10y = 450 \)

\( 11x + y = 45 \)

Bu eşitlik sadece \( x = 4 \) için sağlanır.

\( x = 4, \quad y = 1 \)

\( x - y = 4 - 1 = 3 \) bulunur.

İki sayının toplamının en küçük olması için en küçük rakamlar sırasıyla yüzler, onlar ve birler basamağında kullanılmalıdır.

0 rakamı yüzler basamağında kullanılamaz.

0 dışında en küçük rakamlar olan 2 ve 4'ü yüzler basamağında kullanalım.

Hangi rakamın hangi üç basamaklı sayıda kullanıldığı iki sayının toplamını değiştirmez.

\( a = 2 \) ve \( d = 4 \) olarak seçelim.

\( (abc) = (2bc), \quad (def) = (4ef) \)

Kalan rakamlardan en küçükleri olan 0 ve 6'yı onlar basamağında kullanalım.

\( b = 0 \) ve \( e = 6 \) olarak seçelim.

\( (abc) = (20c), \quad (def) = (46f) \)

Kalan rakamları birler basamağında kullanalım.

\( c = 8 \) ve \( f = 9 \) olarak seçelim.

\( (abc) = (208), \quad (def) = (469) \)

\( (abc) + (def) \) toplamı en az \( 208 + 469 = 677 \) olarak bulunur.

\( (ab) \) sayısının onlar ve birler basamağı yer değiştirdiğinde \( (ba) \) sayısı oluşur.

\( (ab) - (ba) = 27 \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10a + b - (10b + a) = 27 \)

\( 9a - 9b = 27 \)

\( a - b = 3 \)

Yazılabilecek \( (a, b) \) rakam ikililerini bulalım.

\( (a, b) \in \{(9, 6), (8, 5), (7, 4), \ldots, (3, 0)\} \)

Buna göre 7 farklı \( (a, b) \) rakam ikilisi vardır.

Eşitlikteki sayıların çözümlemesini yapalım.

\( 10(100x + 10y + z - (10x + y + 10y + z)) - 3(10y + z) = 811 \)

\( 10(90x - y) - 30y - 3z = 811 \)

\( 900x - 10y - 30y - 3z = 811 \)

\( 900x - 40y - 3z = 811 \)

\( x \), \( y \) ve \( z \) birer rakam oldukları için bu eşitlik sadece aşağıdaki değerlerde sağlanır.

\( x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \)

Buna göre \( x \cdot y \cdot z = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \) bulunur.

\( A \) ifadesini çözümleyelim.

\( A = (ab5) + (a5b) + (5ab) \)

\( = (100a + 10b + 5) + (100a + 50 + b) + (500 + 10a + b) \)

\( = 210a + 12b + 555 \)

\( (ab9) + (a9b) + (9ab) \) ifadesini çözümleyelim.

\( = (100a + 10b + 9) + (100a + 90 + b) + (900 + 10a + b) \)

\( = 210a + 12b + 999 \)

Bu ifadeyi \( A \) cinsinden yazalım.

\( = 210a + 12b + 555 + 444 \)

\( = A + 444 \) bulunur.

Okula 110 kitap seti hediye edildiğine göre, okulun aldığı kitap seti sayısı en az 330, en fazla 359'dur (360 olması durumunda okulun alacağı hediye kitap seti sayısı 120 olurdu).

\( 330 \le (aaa) \le 359 \)

Bu aralıktaki \( (aaa) \) formunda, yani rakamları aynı olan sayı sadece 333'tür.

Buna göre okul 333 kitap seti almıştır.

Murat'ın başlangıçta toplamak istediği sayılara \( x \) ve \( y \), \( x \) sayısının sonuna yanlışlıkla eklediği rakama \( c \) diyelim.

Elimizdeki bilgileri denkleme dökelim.

\( x + y = 13569 \)

\( x \) sayısının sonuna \( c \) rakamı ekleyince orijinal sayıdaki basamakların değeri 10 katına çıkar.

\( (10x + c) + y = 55555 \)

İki denklemi taraf tarafa çıkaralım.

\( (10x + c) + y - (x + y) = 55555 - 13569 \)

\( 9x + c = 41986 \)

\( 9x = 41986 - c \)

\( 41986 - c \) değeri 9'un katı olması gerektiği için sadece \( c = 1 \) olabilir.

\( 9x = 41986 - 1 = 41985 \)

\( x = 4665 \)

Bulduğumuz \( x \) değerini ilk denklemde yerine koyalım ve \( y \) değerini bulalım.

\( x + y = 4665 + y = 13569 \)

\( y = 8904 \)

Buna göre, Murat'ın başlangıçta toplamak istediği iki sayıdan büyük olanı 8904 bulunur.

\( 5n \) üç basamaklı pozitif tam sayıdır.

\( 100 \le 5n \lt 1000 \)

\( 20 \le n \lt 200 \)

\( 8n \) dört basamaklı pozitif tam sayıdır.

\( 1000 \le 8n \lt 10000 \)

\( 125 \le n \lt 1250 \)

İki eşitsizliği de sağlayan \( n \) değer aralığı iki aralığın kesişimidir.

\( 125 \le n \lt 200 \)

\( n \in \{ 125, 126, 127, \ldots 199 \} \)

Verilen koşulları sağlayan \( 199 - 125 + 1 = 75 \) tane \( n \) değeri vardır.

İşlemde \( 2 \cdot 5 \) çarpanları bulunduğu için sonucun birler basamağı 0 olur.

\( \ldots \ldots 0 \)

Kalan çarpanlardan oluşan işlemin sonucunun son 2 basamağını bulalım.

\( 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \)

İşlemde \( 4 \cdot 15 = 6 \cdot 10 \) çarpanları bulunduğu için sonucun birler basamağı 0 olur.

\( \ldots \ldots 00 \)

Kalan çarpanlardan oluşan işlemin sonucunun son 1 basamağını bulalım.

\( 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \)

Son 1 basamağı bulmak için sayıların birler basamaklarını çarpmamız yeterlidir.

\( 3 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 3 \)

\( 18 \cdot 21 \cdot 63 \cdot 3 \)

Sayıların birler basamaklarını çarpalım.

\( 8 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 3 = 72 \)

Dolayısıyla işlemin birler basamağı 2'dir.

\( \ldots \ldots 200 \)

Verilen işlemin sonucunun son 3 basamağı 200 olarak bulunur.

\( (abc) \) sayısının onlar basamağı \( a \) kadar artırılırsa sayının değeri \( 10a \) kadar artar.

\( (abc) \) sayısının yüzler basamağı \( b \) kadar azaltılırsa sayının değeri \( 100b \) kadar azalır.

\( 10a - 100b = -250 \)

\( 10b - a = 25 \)

\( 10b = 25 + a \)

\( a \) ve \( b \) birer rakam oldukları için bu eşitlik sadece \( b = 3 \) ve \( a = 5 \) olduğunda sağlanır.

\( c \) herhangi bir değer alabileceği için en büyük rakam olarak 9 verelim.

\( (abc) = 539 \)

\( (abc) \) sayısının rakamları toplamı en fazla \( 5 + 3 + 9 = 17 \) olur.

İşlem kolaylığı açısından tüm sayıları üç basamaklı \( (abc) \) sayısı cinsinden yazalım.

\( (abcabc) = 1000(abc) + (abc) = 1001(abc) \)

\( (abc00) = 100(abc) \)

\( (abc0) = 10(abc) \)

Bulduğumuz değerleri sorudaki ifadede yerine yazalım.

\( \dfrac{(abcabc) + (abc00) + (abc0)}{11(abc)} = \dfrac{1001(abc) + 100(abc) + 10(abc)}{11(abc)} \)

\( = \dfrac{1111(abc)}{11(abc)} \)

\( = 101 \) bulunur.

Eşitliğin sol tarafını çözümleyelim.

\( (abcabc25) = (abcabc00) + 25 \)

\( = 100(abcabc) + 25 \)

\( = 100[1000(abc) + abc] + 25 \)

\( = 100000(abc) + 100(abc) + 25 \)

\( = 100100(abc) + 25 = x(abc) + y \)

Buna göre \( x = 100100 \) ve \( y = 25 \) olur.

\( x + y = 100100 + 25 = 100125 \) bulunur.

I. öncül:

\( (ab09) = 100(ab) + 9 \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çözümleyelim.

\( (ab09) = 1000a + 100b + 9 \)

\( = 100(10a + b) + 9 \)

\( 10a + b \) yerine \( (ab) \) yazabiliriz.

\( = 100(ab) + 9 \)

I. öncül doğrudur.

II. öncül:

\( (abcdd) = 100(abc) + 11d \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çözümleyelim.

\( (abcdd) = 10000a + 1000b + 100c + 10d + d \)

\( = 100(100a + 10b + c) + 11d \)

\( 100a + 10b + c \) yerine \( (abc) \) yazabiliriz.

\( = 100(abc) + 11d \)

II. öncül doğrudur.

III. öncül:

\( (ab0ab) = 101(ab) \)

Eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi çözümleyelim.

\( (ab0ab) = 10000a + 1000b + 10a + b \)

\( = 10010a + 1001b \)

\( = 1001(10a + b) \)

\( 10a + b \) yerine \( (ab) \) yazabiliriz.

\( = 1001(ab) \)

III. öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.

4 basamaklı sayıya \( (abcd) \) diyelim.

Sayının kendisi ile rakamları toplamının toplamı 2021 olacaktır.

\( (abcd) + a + b + c + d = 2021 \)

Sayının çözümlemesini yapalım.

\( 1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 2021 \)

\( 1001a + 101b + 11c + 2d = 2021 \)

Sayıların basamakları birer rakam olmak zorunda olduğu için bu eşitliği sağlayabilecek değerleri deneyerek bulalım.

Önce \( a = 1 \) deneyelim.

\( 1001 + 101b + 11c + 2d = 2021 \)

\( 101b + 11c + 2d = 1020 \)

\( b = 9 \) olmalıdır.

\( 909 + 11c + 2d = 1020 \)

\( 11c + 2d = 111 \)

\( c = 9 \) olmalıdır.

\( 99 + 2d = 111 \)

\( d = 6 \)

Buna göre \( (1996) \) sayısı verilen koşulu sağlar.

\( 1996 + 1 + 9 + 9 + 6 = 2021 \)

Şimdi \( a = 2 \) deneyelim.

\( 2002 + 101b + 11c + 2d = 2021 \)

\( 101b + 11c + 2d = 19 \)

\( b = 0 \) olmalıdır.

\( 11c + 2d = 19 \)

\( c = 1 \) olmalıdır.

\( 11 + 2d = 19 \)

\( d = 4 \)

Buna göre \( (2014) \) sayısı verilen koşulu sağlar.

\( 2014 + 2 + 0 + 1 + 4 = 2021 \)

Soruda verilen koşulu sağlayan sayılar 1996 ve 2014'tür.

Beril'in kumbarasına dördüncü gün attığı para miktarını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

\( (X8Y) - [(1XY) + (10Y) + (YX5)] \)

Sayıların çözümlemesini yapalım.

\( = 100X + 80 + Y - (100 + 10X + Y + 100 + Y + 100Y + 10X + 5) \)

\( = 100X + 80 + Y - (205 + 20X + 102Y) \)

\( = 80X - 101Y - 125 \)

Bu ifadenin değerinin en büyük olması için \( x = 9 \) ve \( y = 1 \) olmalıdır (\( (YX5) \) sayısının üç basamaklı olabilmesi için \( Y \) sıfır olamaz).

\( = 80 \cdot 9 - 101 \cdot 1 - 125 \)

\( = 494 \) bulunur.

Bu sayıya \( (ab) \) diyelim.

Sayının çözümlenmiş halini yazalım.

\( (ab) = 10a + b \)

\( (ab) \) sayısının rakamları toplamına oranı 4'tür.

\( \dfrac{10a + b}{a + b} = 4 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 10a + b = 4a + 4b \)

\( 2a = b \)

\( (ab) \) sayısının rakamları çarpımının rakamları toplamına oranı 2'dir.

\( \dfrac{ab}{a + b} = 2 \)

\( b = 2a \) yazalım.

\( \dfrac{a \cdot 2a}{a + 2a} = 2 \)

\( 2a^2 = 6a \)

\( a = 3 \)

\( b = 2a = 6 \)

\( (ab) = 36 \) bulunur.

Verilen ifadeyi çözümleyelim.

\( 1a - (10a + a) - (100a + 10a + a) + (1000a + 100a + 10a + a) \)

\( = a - 11a - 111a + 1111a = 990a \)

Bu sayıyı çarpanlarına ayıralım.

\( 990a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot a \)

Buna göre \( 990a \) sayısı 2, 3, 5 ve 11 asal sayılarına her zaman bölünür.

Sayıları oluştururken \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) rakamları birer kez kullanılacaktır.

Oluşturulacak 3 basamaklı 3 sayının toplamlarının en büyük olabilmesi için, 9, 8 ve 7 rakamları sayıların yüzler basamağında, 6, 5 ve 4 rakamları onlar basamağında, 3, 2 ve 1 rakamları ise birler basamağında kullanılmalıdır.

Buna göre yüzler basamağında 9, 8, 7, onlar basamağında 6, 5, 4 ve birler basamağında 3, 2, 1 rakamlarından biri olan 3 basamaklı sayılar istenen koşulları sağlar.

İstenen koşulları sağlayan sayılar III. ve IV. öncüllerdeki 843 ve 952 sayılarıdır.

\( a \) ve \( b \) sayılarını düzenleyelim.

\( a = 3(111 \ldots 1) \)

\( b = 5(111 \ldots 1) \)

\( a \cdot b = 15(\underbrace{111 \ldots 1}_\text{33 basamaklı})^2 \)

\( 10^{33} \) sayısı 34 basamaklıdır.

\( 10^{33} - 1 = (\underbrace{999 \ldots 9}_\text{33 basamaklı}) \)

Sayıyı 9'a bölelim.

\( \dfrac{10^{33} - 1}{9} = (\underbrace{111 \ldots 1}_\text{33 basamaklı}) \)

Soruda istenen çarpımı hesaplayalım.

\( a \cdot b = 15(\dfrac{10^{33} - 1}{9})^2 \)

\( = \dfrac{15(10^{33} - 1)^2}{81} \)

\( = \dfrac{5(10^{33} - 1)^2}{27} \) olarak bulunur.

İstenen koşulun sağlanabilmesi için \( \frac{5n}{6} \) ve \( 4n \) sayıları \( [1000, 9999] \) aralığında olmalıdır.

Bu iki sayıdan küçük olanın \( \frac{5n}{6} \), büyük olanın \( 4n \) olduğu bilgisini kullanarak bu değer aralığının alt ve üst sınırlarını karşılaştıralım.

\( 1000 \le \dfrac{5n}{6} \)

\( 1200 \le n \)

\( 4n \) sayısı 4'ün katı olduğu için en büyük 9996 olabilir.

\( 4n \le 9996 \)

\( n \le 2499 \)

Bulduğumuz iki aralığı birleştirelim.

\( 1200 \le n \le 2499 \)

\( \frac{5n}{6} \) ifadesinin tam sayı olabilmesi için \( n \) sayısı \( [1200, 2499] \) aralığında 6'nın katı bir sayı olmalıdır.

Ardışık sayılarda terim sayısı formülünü kullanarak \( n \)'nin alabileceği tam sayı değerlerin sayısını bulalım.

\( \text{Terim Sayısı} = \dfrac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Sayısı}} + 1 \)

\( [1200, 2499] \) aralığındaki 6'ya bölünebilen en küçük sayı 1200, en büyük sayı 2496'dır.

\( \dfrac{2496 - 1200}{6} + 1 = 216 + 1 = 217 \)

\( n \)'nin 217 farklı tam sayı değeri için \( \frac{5n}{6} \) ve \( 4n \) ifadeleri 4 basamaklı sayılar olur.

Kesrin sonucu bir tam sayı olduğuna göre \( (4x5y) + 13 \) ifadesi 45'in bir katı olmalıdır.

\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,

\( \dfrac{(4x5y) + 13}{45} = k \)

\( (4x5y) + 13 = 45k \)

\( (4x5y) = 45k - 13 \)

Bu eşitliğin sağ tarafına 45 ekleyerek \( (4x5y) \) sayısının 45 ile bölümünden kalanı bulabiliriz.

\( (4x5y) = 45(k - 1) + 32 \)

45'in çarpanları 9 ve 5'tir.

\( (4x5y) \) sayısının 9 ile bölümünden kalan 32'nin 9 ile bölümünden kalan ile aynıdır.

O halde \( (4x5y) \) sayısının 9 ile bölümünden kalan 5'tir.

\( (4x5y) \) sayısının 5 ile bölümünden kalan 32'nin 5 ile bölümünden kalan ile aynıdır.

O halde \( (4x5y) \) sayısının 5 ile bölümünden kalan 2'dir.

\( y \)'nin alabileceği değerleri bulalım.

5 ile bölümünden kalanın 2 olabilmesi için son rakam yani \( y \) 2 ya da 7 olmalıdır.

\( y \)'nin bu iki değeri için \( x \)'in alabileceği değerleri bulalım.

Durum 1: \( y = 2 \)

\( (4x52) \) sayısının 9 ile bölümünden kalanın 5 olması için \( x = 3 \) olmalıdır.

\( (4x5y) = 4352 \)

Durum 2: \( y = 7 \)

\( (4x57) \) sayısının 9 ile bölümünden kalanın 5 olması için \( x = 7 \) olmalıdır.

\( (4x57) = 4757 \)

\( x \)'in alabileceği değerler çarpımı \( 3 \cdot 7 = 21 \)'dir.