0-9 arası sayıları sadece rakamları kullanarak ifade edebiliriz, ancak daha büyük sayıları ifade etmek için bu rakamları belirli kurallar dahilinde bir araya getirebileceğimiz bir basamak sistemine ihtiyaç duyarız. Bir basamak sisteminde her rakam bulunduğu basamakla birlikte bir büyüklük ifade eder. Örneğin, 143 ve 341 sayıları aynı rakamlardan oluşsa da, her rakamın sayı içindeki konumu farklı olduğu için iki sayı farklı büyüklükler ifade etmektedir.
Geçmişte kullanılmış ve günümüzde kullanılmakta olan pek çok basamak sistemi vardır. Özellikle bilgisayar yazılımları ikili, sekizli ve onaltılı sistemleri yoğunlukla kullanmaktadır. Bununla birlikte, matematikte ve günlük hayatta en yaygın şekilde kullandığımız basamak sistemi 0-9 arası rakamları kullanan onlu basamak sistemidir.
Basamak sistemi bilgisi, sayı kavramının iyi anlaşılması dışında dört işlem ve sayıları karşılaştırma, sıralama ve yuvarlama işlemleri açısından da son derece önemlidir.
Tam sayılarda onlu basamak sisteminin işleyişi kısaca aşağıdaki gibidir:
Aşağıdaki şekilde 9 basamaklı \( 123.456.789 \) sayısının basamak isimleri ve basamakların birim değerleri gösterilmiştir:
Aşağıda \( 456.789 \) sayısı için gösterildiği gibi, her basamaktaki rakam aslında kendisinden sonraki basamaklarda sıfır olan, ama bu sıfırların gösterilmediği daha büyük bir sayının değerini taşımaktadır.
Yukarıda şekildeki \( 456.789 \) sayısının basamaklarının basamak değerlerinin hesaplaması aşağıdaki tabloda verilmiştir:
Basamak Adı | Hesaplama | Basamak Değeri |
---|---|---|
Yüz binler basamağı | \( 4 \times 100.000 \) | \( 400.000 \) |
On binler basamağı | \( 5 \times 10.000 \) | \( 50.000 \) |
Binler basamağı | \( 6 \times 1.000 \) | \( 6.000 \) |
Yüzler basamağı | \( 7 \times 100 \) | \( 700 \) |
Onlar basamağı | \( 8 \times 10 \) | \( 80 \) |
Birler basamağı | \( 9 \times 1 \) | \( 9 \) |
Bu basamak değerlerini topladığımızda aşağıdaki gibi sayının gerçek sayısal değerine ulaşırız:
\( 400.000 + 50.000 + 6.000 + 700 + \) \( 80 + 9 = 456.789 \)
İlkokulda onlu basamak sisteminin ilk öğretim yöntemlerinden olan onlu sistem blokları ile 245 sayısının modellenmiş şekli aşağıdaki gibidir. Burada da her basamakta kullanılan farklı bloklardan, her basamağın birim değerinin sola doğru 10'un kuvvetleri şeklinde büyüdüğünü görebiliriz.
Bir sayının basamaklarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılışına o sayının çözümlenmesi denir.
Aşağıda iki ve üç basamaklı birer sayının çözümlenmesi gösterilmiştir.
\( (ab) = (a \times 10) + (b \times 1) \)
\( (abc) = (a \times 100) + (b \times 10) + (c \times 1) \)
\( (53) = (5 \times 10) + (3 \times 1) = 53 \)
\( (726) = (7 \times 100) + (2 \times 10) + \) \( (6 \times 1) = 726 \)
Aşağıda altı basamaklı bir sayının çözümlenmesi gösterilmiştir.
\( (abc.def) = (a \times 100.000) + \) \( (b \times 10.000) + \) \( (c \times 1.000) + \) \( (d \times 100) + \) \( (e \times 10) + \) \( (f \times 1) \)
\( (456.789) = (4 \times 100.000) + \) \( (5 \times 10.000) + \) \( (6 \times 1.000) + \) \( (7 \times 100) + \) \( (8 \times 10) + \) \( (9 \times 1) \)
Aşağıdaki çözümlemeye göre, iki basamaklı bir sayı ve rakamları yer değiştirmiş halinin toplamı, sayının rakamları toplamının 11 katına eşittir.
\( (ab) + (ba) = (a \times 10) + (b \times 1) + \) \( (b \times 10) + (a \times 1) = 11(a + b) \)
\( (25) + (52) = (2 \times 10) + (5 \times 1) + \) \( (5 \times 10) + (2 \times 1) = 11(2 + 5) = 77 \)
Aşağıdaki çözümlemeye göre, iki basamaklı bir sayı ve rakamları yer değiştirmiş halinin farkı, sayının rakamları farkının 9 katına eşittir.
\( (ab) - (ba) = (a \times 10) + (b \times 1) - \) \( (b \times 10) + (a \times 1) = 9(a - b) \)
\( (94) - (49) = (9 \times 10) + (4 \times 1) - \) \( (4 \times 10) + (9 \times 1) = 9(9 - 4) = 45 \)
Bir sayının aşağıdaki şekilde basamaklarını ayırarak farklı sayıların toplamı şeklinde yazabiliriz.
\( (abcd) = (abc0) + (d) \)
\( (abcd) = (ab00) + (cd) \)
\( (abcd) = (a000) + (bcd) \)
\( (abcd) = (a000) + (b00) + (c0) + (d) \)
\( (1357) = (1000) + (300) + (50) + (7) \)
Bir tam sayının sonuna eklenen bir sıfır, sayının değerini \( 10^1 = 10 \) katına, iki sıfır \( 10^2 = 100 \) katına, \( n \) sıfır ise \( 10^n \) katına çıkarır.
\( (ab.cd0) = (a.bcd) \times 10 \)
\( (abc.d00) = (a.bcd) \times 100 \)
\( 12.340 = 1.234 \times 10 \)
\( 123.400 = 1.234 \times 100 \)
Bir tam sayının başına eklenen bir ya da birden fazla sıfır, sayının değerini değiştirmez.
\( (a.bcd) = (0a.bcd) = (00a.bcd) \)
\( 1.234 = 01.234 = 001.234 \)
Bir sayının belirli bir basamağındaki rakam bir arttırılırsa ya da azaltılırsa, sayının değeri basamağın birim değeri kadar artar ya da azalır.
Sayının binler basamağındaki rakamı 1 artırırsak, sayının değeri 1000 artar:
\( (13.456) \Longrightarrow (14.456) \)
\( (14.456) - (13.456) = 1.000 \)
Bir sayının belirli bir basamağındaki rakam \( n \) arttırılırsa ya da azaltılırsa, sayının değeri \( n \) çarpı basamağın birim değeri kadar artar ya da azalır.
Sayının yüzler basamağındaki rakamı 5 azaltırsak, sayının değeri 500 azalır:
\( (1.782) \Longrightarrow (1.282) \)
\( (1.282) - (1.782) = -500 \)
Basamak değerleri bilgisini kullanarak belirli koşulları sağlayan en küçük ve en büyük sayıları kolaylıkla bulabiliriz.
İki basamaklı en küçük ve en büyük bazı sayılar aşağıdaki gibidir.
En küçük tam sayı: 10
En küçük tek sayı: 11
Rakamları farklı en küçük tek sayı: 13
En büyük tam sayı: 99
En büyük çift sayı: 98
Rakamları farklı en büyük tek sayı: 97
Üç basamaklı en küçük ve en büyük bazı sayılar aşağıdaki gibidir.
En küçük tam sayı: 100
En küçük tek sayı: 101
Rakamları farklı en küçük tam sayı: 102
Rakamları farklı en küçük tek sayı: 103
En büyük tam sayı: 999
En büyük çift sayı: 998
Rakamları farklı en büyük tam sayı: 987
Rakamları farklı en büyük çift sayı: 986
Dört basamaklı en küçük ve en büyük bazı sayılar aşağıdaki gibidir.
En küçük tam sayı: 1000
En küçük tek sayı: 1001
Rakamları farklı en küçük tam sayı: 1023
Rakamları farklı en küçük çift sayı: 1024
En büyük tam sayı: 9999
En büyük çift sayı: 9998
Rakamları farklı en büyük tam sayı: 9876
Rakamları farklı en büyük tek sayı: 9875