Pozitif ve Negatif Sayılar

Verilen eşitsizliklere göre \( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı reel sayılardır.

Birinci eşitsizlik: Sıfırdan farklı bir sayının çift kuvveti her zaman pozitif olduğu için \( b^2 \) pozitiftir. \( a \cdot b^2 \) ifadesi negatif olduğuna göre \( a \) negatiftir.

İkinci eşitsizlik: \( a^2 \) çift kuvvetten dolayı pozitiftir. \( a^2 \cdot b \) ifadesi pozitif olduğuna göre \( b \) pozitiftir.

Buna göre \( a \) negatif, \( b \) pozitiftir.

Verilen eşitsizliklere göre \( x \), \( y \) ve \( z \) sıfırdan farklı reel sayılardır.

Birinci eşitsizlik: Sıfırdan farklı bir sayının çift kuvveti her zaman pozitif olduğu için \( x^2 \) pozitiftir. \( x^2 \cdot y \) ifadesi negatif olduğuna göre \( y \) negatiftir.

İkinci eşitsizlik: \( y \cdot z \) ifadesinin pozitif olması için \( y \) ve \( z \) aynı işaretli olmalıdır. Birinci eşitsizlikte \( y \)'yi negatif olarak bulmuştuk, dolayısıyla \( z \) de negatiftir.

Üçüncü eşitsizlik: \( x \cdot z \) ifadesinin negatif olması için \( x \) ve \( z \) ters işaretli olmalıdır. İkinci eşitsizlikte \( z \)'yi negatif olarak bulmuştuk, dolayısıyla \( x \) pozitiftir.

Buna göre \( x \) pozitif, \( y \) ve \( z \) negatiftir.

Verilen eşitsizliklere göre \( x \), \( y \) ve \( z \) sıfırdan farklı reel sayılardır.

Birinci eşitsizlik: \( x \cdot y \) ifadesinin negatif olması için \( x \) ve \( y \) ters işaretli olmalıdır.

İkinci eşitsizlik: \( y \cdot z \) ifadesinin pozitif olması için \( y \) ve \( z \) aynı işaretli olmalıdır.

Üçüncü eşitsizlik: Birinci eşitsizlikten paydaki \( x \cdot y \) ifadesinin negatif olduğunu biliyoruz. Bu durumda tüm ifadenin negatif olması için \( z \) pozitif olmalıdır.

İkinci eşitsizlikte \( y \) ve \( z \)'nin aynı işaretli olduğunu bulmuştuk. \( z \) pozitif olduğu için \( y \) de pozitiftir.

Birinci eşitsizlikte \( x \) ve \( y \)'nin ters işaretli olduğunu bulmuştuk. \( y \) pozitif olduğu için \( x \) negatiftir.

Buna göre \( x \) negatif, \( y \) ve \( z \) pozitiftir.

Verilen ifade negatif olduğu için sayılardan hiçbiri sıfır olamaz.

\( x^5 \cdot y^6 \cdot z^7 \) çarpımında \( y^6 \) çift kuvvetli olduğu için sonucu pozitiftir. Buna göre \( x \) ve \( z \)'den biri pozitif diğeri negatif olmalıdır.

Sayılar arasındaki sıralamada \( z \) sayısı \( x \)'ten küçük olduğu için \( z \) negatif \( x \) pozitif olmalıdır. \( y \) sayısı \( z \)'den küçük olduğu için \( y \) de negatif olmalıdır.

Buna göre \( x \) pozitif, \( y \) ve \( z \) negatiftir.

I. öncül: Sayı doğrusuna göre \( a \) negatif \( c \) pozitiftir, ancak mutlak değer olarak büyüklüklerini bilmediğimiz için toplamlarının pozitif/negatif olma durumunu kesin bilemeyiz.

II. öncül: Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

III. öncül: Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç negatif olur.

IV. öncül: Daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayıyı çıkardığımızda sonuç pozitif olur.

V. öncül: \( b \) negatif ve \( c \) pozitif olduğu için çarpımları negatif olur.

Buna göre sadece IV. maddedeki ifade her zaman pozitiftir.

Bir sayının mutlak değeri kendisinden büyükse o sayı negatiftir. Buna göre \( a \) negatiftir.

\( a \cdot b \cdot c \lt 0 \) eşitsizliğinde \( a \) negatif olduğu için \( b \cdot c \gt 0 \) olmalıdır, dolayısıyla \( b \) ve \( c \) aynı işaretlidir.

\( b + c \) toplamı negatif olduğuna göre, işaretleri aynı olan \( b \) ve \( c \) negatif olmalıdır.

Buna göre \( a \), \( b \) ve \( c \) sayılarının üçü de negatiftir.

Küme pozitif ve negatif sayılar içerdiği için seçilecek sayıların çarpımının en küçük değeri negatif olmalıdır.

Çarpımın negatif olması için seçilecek sayıların ya üçü de negatif olmalıdır ya da biri negatif ikisi pozitif olmalıdır.

Durum 1: 3 sayı da negatif

\( -19 \cdot (-17) \cdot (-1) = -19 \cdot 17 \)

Durum 2: 1 sayı negatif, 2 sayı pozitif

Sayıları hem pozitif hem de negatif tarafta mutlak değerce en büyük seçmeliyiz.

\( -19 \cdot 6 \cdot 3 = -19 \cdot 18 \)

2. durumda bulduğumuz değer daha küçüktür.

\( -19 \cdot 18 = -342 \) bulunur.

I. öncül: \( x^2 \) ifadesi her zaman pozitif olduğu için \( -x^2 \) negatif olur.

II. öncül: Daha küçük \( x \) sayısından daha büyük \( y \) sayısını çıkardığımızda sonuç her zaman negatif olur.

III. öncül: \( x + y \) toplamı \( \abs{x} \lt \abs{y} \) ise pozitif, \( \abs{x} \gt \abs{y} \) ise negatif, \( \abs{x} = \abs{y} \) ise sıfırdır. Bu işlemin sonucunun işareti hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.

IV. öncül: Sıfırdan farklı bir sayının karesi her zaman pozitif olduğu için \( x^2 + y^2 \) toplamı her zaman pozitiftir.

Buna göre sadece IV. öncüldeki ifade her zaman pozitiftir.

\( x \lt -x \) eşitsizliği sadece \( x \) negatif olduğunda sağlanır (\( -3 \lt -(-3) \)).

I. öncül: \( x \lt z \lt -x \) eşitsizliğinden \( \abs{z} \lt \abs{x} \) çıkarımını yapabiliriz. Buna göre \( z \) sayısından mutlak değerce kendisinden daha büyük olan negatif \( x \) sayısını çıkarırsak sonuç pozitif olur.

II. öncül: \( xy - x^2 = x(y - x) \) şeklinde yazalım. \( x \lt y \) olduğu için \( y - x \) farkı pozitif olur. \( x \) negatif olduğu için \( x(y - x) \) çarpımı negatif olur.

III. öncül: \( x \lt y \lt -x \) eşitsizliğinden \( \abs{y} \lt \abs{x} \) çıkarımını yapabiliriz. \( x \) mutlak değerce daha büyük olduğu için \( y \) pozitif olsa da \( x + y \) ifadesi negatif olur.

Buna göre II. ve III. öncüldeki ifadeler her zaman negatiftir.

Eşitsizlikleri parça parça inceleyelim.

\( b - a \lt 0 \) olduğuna göre \( b \lt a \) olur.

\( 0 \lt a \cdot b \) olduğuna göre \( a \) ve \( b \)'nin işaretleri aynıdır.

\( 0 \lt a + b \) olduğuna göre işaretleri aynı olan \( a \) ve \( b \)'nin ikisi de pozitiftir.

Buna göre sıralama \( 0 \lt b \lt a \) şeklinde olur.

I. öncül: \( x \) sayısı \( y \) sayısından küçük olduğu için \( x - y \) ifadesi negatiftir. Negatif bir sayıdan pozitif \( z \) sayısını çıkardığımızda sonuç yine negatif olur. Bu ifade sıfır olamaz.

II. öncül: \( x + y \) toplamının sonucu negatiftir. Negatif bir sayı ile pozitif \( z \) sayısını topladığımızda sonuç sıfır olabilir (örnek: -3 - 2 + 5).

III. öncül: \( x \cdot y \) çarpımının sonucu pozitiftir. Pozitif bir sayı ile pozitif \( z \) sayısını topladığımızda sonuç pozitif olur. Bu ifade sıfır olamaz.

Buna göre yalnız II. öncül sıfır olabilir.

Bir sayının tek sayı üssünün işareti o sayının işareti ile aynıdır, dolayısıyla \( a^9 \cdot b^5 \lt 0 \) ise \( a \cdot b \lt 0 \) olur.

Buna göre \( a \) ve \( b \) ters işaretli sayılardır.

\( \frac{6a+2b}{a} \) ifadesini düzenleyelim.

\( \dfrac{6a}{a} + \dfrac{2b}{a} = 6 + \dfrac{2b}{a} \)

\( a \) ve \( b \) ters işaretli oldukları için \( \frac{2b}{a} \) sayısı negatif bir sayıdır.

Buna göre aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz.

\( \dfrac{6a + 2b}{a} \lt 6 \)

Sorudaki ifadelerden sadece I. ve III. 6'dan küçük olduğu için verilen ifadenin sonucu olabilir.

\( x + y = 0 \Longrightarrow x = -y \)

Buna göre \( x \) ve \( y \) ya ikisi de sıfırdır ya da ters işaretli sayılardır.

\( 0 \lt x \cdot y \cdot z \) olduğuna göre sayılardan herhangi biri sıfır değildir, buna göre \( x \) ve \( y \) ters işaretli oldukları için \( z \) negatif olur.

\( y \cdot z - x \cdot y \lt 0 \Longrightarrow y \cdot z \lt x \cdot y \)

\( x \) ve \( y \) ters işaretli oldukları için çarpımları negatiftir. Buna göre \( y \cdot z \) çarpımı da negatif olur. \( z \) negatif olduğuna göre \( y \) pozitif olur.

Yukarıda \( x \) ve \( y \)'nin ters işaretli olduklarını bulduğumuz için bu durumda \( x \) negatif olur.

Buna göre \( x \) ve \( z \) negatif, \( y \) pozitiftir.

\( c \lt b \lt a \)

\( a, b, c \) negatif sayılardır.

\( \abs{a} \lt \abs{b} \lt \abs{c} \)

Öncüllerdeki parantezleri genişletelim.

(a) \( (a - 1)bc = abc - bc \)

(b) \( (b - 1)ac = abc - ac \)

(c) \( (c - 1)ab = abc - ab \)

\( abc \) çarpımı üç negatif sayının çarpımından oluştuğu için negatiftir ve üç ifadede de ortaktır.

\( bc \), \( ac \) ve \( ab \) çarpımları iki negatif sayının çarpımı olduğu için pozitiftir.

\( a \) ve \( b \) mutlak değerce en küçük iki sayı olduğundan çarpımları \( bc \) ve \( ac \)'ye göre daha küçüktür.

Buna göre \( (c - 1)ab = abc - ab \) ifadesi \( abc \) ifadesine en yakındır.

Doğru cevap (c) seçeneğidir.

\( c - b \gt 0 \Longrightarrow c \gt b \)

\( b - a \gt 0 \Longrightarrow b \gt a \)

\( b \cdot c - a \lt 0 \Longrightarrow b \cdot c \lt a \)

Bu iki eşitsizliği birlikte yazalım.

\( a \lt b \lt c \)

\( a + c \lt 0 \) olabilmesi için ya \( a \) ve \( c \) birlikte negatif ya da \( a \) negatif ve \( c \) pozitif olmalıdır.

O halde \( a \) her durumda negatiftir.

\( a \) ve \( c \) birlikte negatif ise \( a \lt b \lt c \) eşitsizliğinden \( b \) de negatif olur.

\( a \) negatif ve \( c \) pozitif ise \( b \) sıfır, pozitif ya da negatif olabilir.

\( b \cdot c \lt a \) eşitsizliğinde \( a \) negatif olduğu için \( b \) ve \( c \) zıt işaretli olmalıdır, dolayısıyla \( c \) pozitif olur.

Buna göre \( a \) ve \( b \) negatif, \( c \) pozitiftir.

I. öncül:

Negatif bir sayının çift sayı kuvveti pozitif olacağından \( x^8 \) pozitiftir, dolayısıyla \( -x^8 \) negatif olur.

II. öncül:

\( (-5)^x = \dfrac{1}{(-5)^{-x}} \)

\( -x \) pozitif çift sayıdır. Negatif bir sayının pozitif çift sayı kuvveti pozitif olacağından \( (-5)^{-x} \) pozitiftir. Bu durumda \( \frac{1}{(-5)^{-x}} \) ifadesi de pozitif olur.

III. öncül:

\( -x \) ve paydadaki mutlak değer ifadesi pozitiftir.

Pozitif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü pozitif olduğundan sonuç pozitif olur.

IV. öncül:

\( 3^x \) ifadesi \( x \)'in tüm değerleri için pozitiftir, dolayısıyla \( -3^x \) negatif olur.

V. öncül:

Derecesi tek sayı olan köklü ifadelerde ifadenin işareti kök içinin işareti ile aynıdır, dolayısıyla \( x \) negatif olduğu için \( \sqrt[9]{x} \) negatif olur.

VI. öncül:

\( -x^{-7} = -\dfrac{1}{x^7} \)

Negatif bir sayının pozitif tek sayı kuvveti negatiftir, dolayısıyla \( x^7 \) negatif olur. Bu durumda \( -\frac{1}{x^7} \) ifadesi pozitif olur.

Buna göre I., IV. ve V. öncüller negatiftir.