Pozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar, sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir.

Pozitif sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağındaki, negatif sayılar da solundaki sayılardır.

Sayı doğrusu
Sayı doğrusu

Bir sayının pozitif ya da negatif olma durumuna o sayının işareti denir. Bir sayıyı pozitif ya da negatif yapan o sayının işaretidir. Pozitif sayılar sayının önüne konan "\( + \)" işareti ile, negatif sayılar da sayının önüne konan "\( - \)" işareti ile gösterilirler. Sayının önünde bir işaret olmadığı durumda sayının pozitif olduğu anlaşılmalıdır.

Pozitif ve negatif işaretleri
Pozitif ve negatif işaretleri

Sıfır sayısı ne pozitif ne de negatif bir sayıdır ve bu yüzden işaretsizdir. Önüne gelecek pozitif ya da negatif işaretleri sayının değerini değiştirmez.

Bir Sayının Toplamaya Göre Tersi

Bir sayının toplamaya göre tersi, o sayı ile toplandığında sıfır sonucunu veren sayıdır. Buna göre bir sayının toplamaya göre tersi o sayının ters işaretlisidir. Sıfırın toplamaya göre tersi sıfırdır. Bir sayının toplamaya göre tersinin tersi kendisine eşittir.

Pozitif ve Negatif Sayılarla İşlemler

Bu bölümde pozitif ve negatif sayılarla işlemlere dair bazı kurallardan bahsedeceğiz.

Pozitif Sayıyla Toplama

Bir sayıyı pozitif bir sayı ile toplarsak sayının değerini artırmış ve sayıyı sayı doğrusu üzerinde sağa taşımış oluruz.

Pozitif sayı ile toplama
Pozitif sayı ile toplama

Negatif Sayıyla Toplama

Bir sayıyı negatif bir sayı ile toplarsak sayının değerini azaltmış ve sayıyı sayı doğrusu üzerinde sola taşımış oluruz. Dolayısıyla, negatif bir sayı ile toplama işlemini bir çıkarma işlemi olarak da düşünebiliriz.

Negatif sayı ile toplama
Negatif sayı ile toplama

Pozitif Sayı Çıkarma

Bir sayıdan pozitif bir sayıyı çıkarırsak sayının değerini azaltmış ve sayıyı sayı doğrusu üzerinde sola taşımış oluruz.

Pozitif sayı çıkarma
Pozitif sayı çıkarma

Negatif Sayı Çıkarma

Bir sayıdan negatif bir sayı çıkarırsak sayının değerini artırmış ve sayıyı sayı doğrusu üzerinde sağa taşımış oluruz. Dolayısıyla, negatif bir sayı çıkarma işlemini bir toplama işlemi olarak da düşünebiliriz.

Negatif sayı çıkarma
Negatif sayı çıkarma

Kısaca özetlersek, bir sayıyı negatif bir sayı ile toplamakla aynı sayının pozitifini çıkarmak aynı işlemdir.

Benzer şekilde, bir sayıdan negatif bir sayı çıkarmakla aynı sayının pozitifi ile toplamak aynı işlemdir.

Bunun dışında pozitif ve negatif sayıların toplama ve çıkarma işlemi ile ilgili şu yorumları yapabiliriz:

  • İki ya da daha fazla sayıda pozitif sayının toplamı her zaman pozitif bir sayıdır.
  • İki ya da daha fazla sayıda negatif sayının toplamı her zaman negatif bir sayıdır.
  • Zıt işaretli sayılar toplandığında sonuç mutlak değer olarak büyük olan sayının işaretini alır.
  • Mutlak değerleri eşit ve zıt işaretli iki sayının toplamı sıfır olur.

Toplamlarının işareti verilen sayıların pozitif/negatif olma durumları hakkında aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz.

Pozitif/Negatif Sayılarla Çarpma

Pozitif ve negatif sayıların birbiriyle çarpımının pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir. Buna göre, çarpılan terimlerin her ikisi de pozitif ya da negatif ise sonuç pozitif, terimlerden biri pozitif diğeri negatif ise sonuç negatiftir.

İşlem Örnek
\( (+) \cdot (+) = (+) \) \( 3 \cdot 2 = 6 \)
\( (+) \cdot (-) = (-) \) \( 3 \cdot (-2) = -6 \)
\( (-) \cdot (+) = (-) \) \( (-3) \cdot 2 = -6 \)
\( (-) \cdot (-) = (+) \) \( (-3) \cdot (-2) = 6 \)

Eğer çarpma işlemi ikiden fazla çarpandan oluşuyorsa negatif çarpanların sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir. Pozitif çarpanların sayısının sonucun işaretine etkisi yoktur.

Çarpımlarının işareti verilen sayıların pozitif/negatif olma durumları hakkında aşağıdaki çıkarımları yapabiliriz.

Pozitif/Negatif Sayılarla Bölme

Pozitif ve negatif sayıların birbirine bölümünün pozitif/negatif olma durumları çarpmadaki ile aynıdır. Buna göre, bölünen terimlerin her ikisi de pozitif ya da negatif ise sonuç pozitif, terimlerden biri pozitif diğeri negatif ise sonuç negatiftir.

İşlem Örnek
\( (+) \div (+) = (+) \) \( 8 \div 2 = 4 \)
\( (+) \div (-) = (-) \) \( 8 \div (-2) = -4 \)
\( (-) \div (+) = (-) \) \( (-8) \div 2 = -4 \)
\( (-) \div (-) = (+) \) \( (-8) \div (-2) = 4 \)

Pozitif/Negatif Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri

Pozitif/negatif tam sayıların tek/çift pozitif tam sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.

İşlem Örnek
\( (+)^\text{Çift} = (+) \) \( 3^2 = 9 \)
\( (+)^\text{Tek} = (+) \) \( 3^3 = 27 \)
\( (-)^\text{Çift} = (+) \) \( (-3)^2 = 9 \)
\( (-)^\text{Tek} = (-) \) \( (-3)^3 = 27 \)

Bu tabloya göre, üs çift sayı ise sonuç tabanın işaretinden bağımsız her zaman pozitif, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.

Üs işlemi tekrarlı çarpma olduğu için, bu sonucu yukarıdaki çarpma kuralından da türetebiliriz. Buna göre, pozitif sayıların çarpımı çarpan sayısından bağımsız her zaman pozitiftir. Negatif sayıların çarpımında çarpan sayısı çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatiftir.

NOT: Yukarıdaki tablo negatif sayıların çift dereceli köklerinin reel sayılar kümesinde tanımlı olmamasını da açıklamaktadır. Buna göre, bir sayının çift sayıda üssü hiçbir zaman negatif olamaz, dolayısıyla negatif bir sayının çift dereceli kökünün de reel sayılarda çözümü yoktur.

Önünde negatif işareti bulunan üslü işlemlerde işlem önceliğine dikkat etmemiz gerekmektedir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde, üs işleminin tabanı \( -2 \) değil \( 2 \)'dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanmaktadır.

Negatif bir sayının üssünü almak istiyorsak parantez negatif işaretini de içine alacak ve üs işlemi tüm paranteze uygulanacak şekilde yerleştirilmelidir.

Çok sayıda üslü ifadenin çarpımından oluşan bir ifadenin sonucunun pozitif/negatif olma durumunu bulmak için, yukarıdaki bilgiler ışığında aşağıdaki yöntemi kullanabiliriz.

  • Sonuç tabanın işaretinden bağımsız her zaman pozitif olacağı için, üssü çift sayı olan ifadeler silinir.
  • Sonuç üsten bağımsız her zaman tabanın işareti ile aynı olacağı için, üssü tek sayı olan ifadelerin üsleri silinir.
  • Geriye kalan ifadede, negatif çarpanların sayısının tek ya da çift olmasından sonucun işareti bulunur.
SORU:

\( a \) ve \( b \) birer reel sayı olmak üzere,

\( a \cdot b^2 \lt 0 \)

\( a^2 \cdot b \gt 0 \)

olduğuna göre, \( a \) ve \( b \)'nin işaretlerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( x \), \( y \) ve \( z \) birer reel sayı olmak üzere,

\( x^2 \cdot y \lt 0 \)

\( x \cdot z \lt 0 \)

\( y \cdot z \gt 0 \)

olduğuna göre, \( x \), \( y \) ve \( z \)'nin işaretlerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( x \), \( y \) ve \( z \) birer reel sayı olmak üzere,

\( x \cdot y \lt 0 \)

\( y \cdot z \gt 0 \)

\( \dfrac{x \cdot y}{z} \lt 0 \)

olduğuna göre, \( x \), \( y \) ve \( z \)'nin işaretlerini bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( a \), \( b \) ve \( c \) birbirinden farklı negatif tam sayılardır. Buna göre, \( a + 3b + 2c \) toplamı en fazla kaçtır?

Çözümü Göster


« Önceki
Sayı Doğrusu
Sonraki »
Basamak Kavramı


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır