Temel Dört İşlem

Bu bölümde temel dört aritmetik işlemin bir önceki bölümde bahsettiğimiz işlem özelliklerini inceleyeceğiz.

Toplama

Toplama işleminin tüm sayı kümelerinde değişme ve birleşme özellikleri vardır.

Toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.

Toplama işleminin ters elemanı sayının ters işaretlisidir.

Bir \( a \) sayısı için \( -a \) ifadesine \( a \)'nın toplamaya göre tersi denir.

Toplama işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi Kapalılık Durumu Örnek İşlem
Doğal sayılar Kapalıdır: İki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır. \( 5 + 0 = 5 \)
Tam sayılar Kapalıdır: İki tam sayının toplamı da bir tam sayıdır. \( 5 + 3 = 8 \)
Rasyonel sayılar Kapalıdır: İki rasyonel sayının toplamı da bir rasyonel sayıdır. \( \frac{1}{2} + 0,75 = \frac{5}{4} \)
İrrasyonel sayılar Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının toplamı bir irrasyonel sayı olmayabilir. \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \)
Reel sayılar Kapalıdır: İki reel sayının toplamı da bir reel sayıdır. \( \sqrt{2} + 3,15 \)

Çıkarma

Çıkarma işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.

Çıkarma işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 0 sayısı çıkarma işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, bir elemanın bir işlemin etkisiz elemanı olabilmesi için terimlerin sıralamasından bağımsız bu işlevi görmesi gerekir.

Çıkarma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi Kapalılık Durumu Örnek İşlem
Doğal sayılar Kapalı değildir: İki doğal sayının farkı bir doğal sayı olmayabilir. \( 2 - 3 = -1 \)
Tam sayılar Kapalıdır: İki tam sayının farkı da bir tam sayıdır. \( 5 - 3 = 2 \)
Rasyonel sayılar Kapalıdır: İki rasyonel sayının farkı da bir rasyonel sayıdır. \( \frac{3}{2} - 0,7 = \frac{4}{5} \)
İrrasyonel sayılar Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının farkı bir irrasyonel sayı olmayabilir. \( \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \)
Reel sayılar Kapalıdır: İki reel sayının farkı da bir reel sayıdır. \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

Çarpma

Çarpma işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.

Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.

Çarpmanın birim (etkisiz) elemanı 1'dir.

Çarpmanın ters elemanı 1 bölü kendisidir.

\( a \ne 0 \) olmak üzere, bir \( a \) sayısı için \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) ifadesine \( a \)'nın çarpmaya göre tersi denir.

Çarpma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi Kapalılık Durumu Örnek İşlem
Doğal sayılar Kapalıdır: İki doğal sayının çarpımı da bir doğal sayıdır. \( 2 \cdot 3 = 6 \)
Tam sayılar Kapalıdır: İki tam sayının çarpımı da bir tam sayıdır. \( 4 \cdot (-2) = -8 \)
Rasyonel sayılar Kapalıdır: İki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır. \( \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \)
İrrasyonel sayılar Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının çarpımı bir irrasyonel sayı olmayabilir. \( \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 1 \)
Reel sayılar Kapalıdır: İki reel sayının çarpımı da bir reel sayıdır. \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \)

Bölme

Bölme işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.

Bölme işleminin toplama ve çıkarma üzerine sadece sağdan dağılma özelliği vardır.

Yukarıdaki işlemleri kesirli ifade olarak yazdığımızda, bölmenin neden sağdan dağılma özelliği olduğu ve soldan dağılma özelliği olmadığı daha net görülecektir.

Bölme işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 1 sayısı bölme işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, 0 sayısının çıkarma işlemindeki durumunda olduğu gibi etkisiz eleman olmamaktadır.

Bölme işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:

Sayı Kümesi Kapalılık Durumu Örnek İşlem
Doğal sayılar Kapalı değildir: İki doğal sayının bölümü bir doğal sayı olmayabilir. \( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \)
Tam sayılar Kapalı değildir: İki tam sayının bölümü bir tam sayı olmayabilir. \( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \)
Rasyonel sayılar Kapalı değildir: İki rasyonel sayının bölümü bir rasyonel sayı olmayabilir. \( \dfrac{3}{2} \div 0 = \) Tanımsız
İrrasyonel sayılar Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının bölümü bir irrasyonel sayı olmayabilir. \( \sqrt{2} \div \sqrt{2} = 1 \)
Reel sayılar Kapalı değildir: İki reel sayının bölümü bir reel sayı olmayabilir. \( \sqrt{2} \div 0 = \) Tanımsız

« Önceki
İşlemler
Sonraki »
İşlem Öncelikleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır