Bu bölümde temel dört aritmetik işlemin bir önceki bölümde bahsettiğimiz işlem özelliklerini inceleyeceğiz.
Toplama işleminin tüm sayı kümelerinde değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\( a + b = b + a \)
\( a + (b + c) = (a + b) + c \)
Toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0'dır.
\( a + 0 = 0 + a = a \)
Toplama işleminin ters elemanı sayının ters işaretlisidir.
\( a + (-a) = 0 \)
Bir \( a \) sayısı için \( -a \) ifadesine \( a \)'nın toplamaya göre tersi denir.
Toplama işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
---|---|---|
Doğal sayılar | Kapalıdır: İki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır. | \( 5 + 0 = 5 \) |
Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının toplamı da bir tam sayıdır. | \( 5 + 3 = 8 \) |
Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının toplamı da bir rasyonel sayıdır. | \( \frac{1}{2} + 0,75 = \frac{5}{4} \) |
İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının toplamı bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \) |
Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının toplamı da bir reel sayıdır. | \( \sqrt{2} + 3,15 \) |
Çıkarma işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.
Çıkarma işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 0 sayısı çıkarma işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, bir elemanın bir işlemin etkisiz elemanı olabilmesi için terimlerin sıralamasından bağımsız bu işlevi görmesi gerekir.
\( a \ne 0 \) olmak üzere,
\( a - 0 = a \)
\( 0 - a \ne a \)
Çıkarma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
---|---|---|
Doğal sayılar | Kapalı değildir: İki doğal sayının farkı bir doğal sayı olmayabilir. | \( 2 - 3 = -1 \) |
Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının farkı da bir tam sayıdır. | \( 5 - 3 = 2 \) |
Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının farkı da bir rasyonel sayıdır. | \( \frac{3}{2} - 0,7 = \frac{4}{5} \) |
İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının farkı bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \) |
Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının farkı da bir reel sayıdır. | \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) |
Çarpma işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\( a \cdot b = b \cdot a \)
\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \)
Çarpma işleminin toplama ve çıkarma üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)
\( a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \)
\( (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c \)
Çarpmanın birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
\( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
Çarpmanın ters elemanı 1 bölü kendisidir.
\( a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \quad (a \ne 0) \)
\( a \ne 0 \) olmak üzere, bir \( a \) sayısı için \( a^{-1} = \frac{1}{a} \) ifadesine \( a \)'nın çarpmaya göre tersi denir.
Çarpma işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
---|---|---|
Doğal sayılar | Kapalıdır: İki doğal sayının çarpımı da bir doğal sayıdır. | \( 2 \cdot 3 = 6 \) |
Tam sayılar | Kapalıdır: İki tam sayının çarpımı da bir tam sayıdır. | \( 4 \cdot (-2) = -8 \) |
Rasyonel sayılar | Kapalıdır: İki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır. | \( \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \) |
İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının çarpımı bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 1 \) |
Reel sayılar | Kapalıdır: İki reel sayının çarpımı da bir reel sayıdır. | \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \) |
Bölme işleminin değişme ve birleşme özellikleri yoktur.
Bölme işleminin toplama ve çıkarma üzerine sadece sağdan dağılma özelliği vardır.
\( c \ne 0 \) olmak üzere,
\( (a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c) \)
\( (a - b) \div c = (a \div c) - (b \div c) \)
Yukarıdaki işlemleri kesirli ifade olarak yazdığımızda, bölmenin neden sağdan dağılma özelliği olduğu ve soldan dağılma özelliği olmadığı daha net görülecektir.
\( \dfrac{a + b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} \)
\( \dfrac{c}{a + b} \ne \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \)
Bölme işleminin birim (etkisiz) ve ters elemanları yoktur. 1 sayısı bölme işleminin ikinci terimi olarak etkisiz eleman gibi davransa da, 0 sayısının çıkarma işlemindeki durumunda olduğu gibi etkisiz eleman olmamaktadır.
Bölme işleminin farklı sayı kümeleri için kapalılık özelliği aşağıdaki gibidir:
Sayı Kümesi | Kapalılık Durumu | Örnek İşlem |
---|---|---|
Doğal sayılar | Kapalı değildir: İki doğal sayının bölümü bir doğal sayı olmayabilir. | \( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \) |
Tam sayılar | Kapalı değildir: İki tam sayının bölümü bir tam sayı olmayabilir. | \( 2 \div 4 = \dfrac{1}{2} \) |
Rasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki rasyonel sayının bölümü bir rasyonel sayı olmayabilir. | \( \dfrac{3}{2} \div 0 = \) Tanımsız |
İrrasyonel sayılar | Kapalı değildir: İki irrasyonel sayının bölümü bir irrasyonel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} \div \sqrt{2} = 1 \) |
Reel sayılar | Kapalı değildir: İki reel sayının bölümü bir reel sayı olmayabilir. | \( \sqrt{2} \div 0 = \) Tanımsız |
\( x, y \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x \) ile çarpmaya göre tersinin toplamı, \( y \) ile çarpmaya göre tersinin toplamının 7 katından \( \frac{48}{11} \) eksiktir.
\( x = 7y \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Gösterİki tam sayının toplamı 22 ve çarpmaya göre terslerinin toplamı \( \frac{11}{56} \)'dır.
Buna göre bu sayılardan büyük olanın küçük olandan farkı nedir?
Çözümü Göster\( 0 \lt a \lt 1 \)
\( 0 \lt b \lt 1 \) olmak üzere,
\( \dfrac{a}{b^2}, \sqrt{\dfrac{b}{a}}, ab, a^2b^3 \)
Yukarıdaki ifadelerden hangileri 1'den büyük olabilir?
Çözümü Göster