İşlemler

Bir ya da daha fazla sayıda terimi kullanarak bir matematiksel hesaplama sonucunda bir sonuç üreten fonksiyonlara işlem denir. Tanımsal detaylara burada girmeyecek olsak da, işlemler ve ileriki konularda işleyeceğimiz fonksiyonlar birbirine benzer kavramlardır.

İşlemlerin terimleri birer sayı olmak zorunda değildir, küme, vektör ya da matris de olabilir.

Matematiksel ya da mantıksal işlemlerde kullanılan sembollere operatör denir. Örneğin temel aritmetik işlemlerde kullandığımız \( +, -, \times, \div \) sembolleri ve diğer konularda kullandığımız \( !, \land, \lor, \Rightarrow, \cap, \cup \) gibi semboller birer operatördür.

İşlem Tipleri

En sık kullandığımız işlemler temel dört işlem olan toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir, ancak işlemler bunlarla sınırlı değildir. İşlemleri genel olarak 2 ana grup altında inceleyebiliriz:

İkili İşlemler

İki terimi olan işlemlere ikili işlemler denir. Bazı ikili işlemler şunlardır:

  • Toplama: \( a + b \)
  • Çıkarma: \( a - b \)
  • Çarpma: \( a \cdot b \)
  • Bölme: \( a \div b \)
  • Üslü İfadeler: \( a^b \)
İkili işlemler
İkili işlemler

Birli İşlemler

Tek bir terimi olan işlemlere birli işlemler denir. Bazı birli işlemler şunlardır:

  • Negatif: \( -a \)
  • Karekök: \( \sqrt{a} \)
  • Mutlak değer: \( \abs{a} \)
  • Trigonometrik fonksiyonlar: \( \sin{a}, \cos{a} \)
Birli işlemler
Birli işlemler

İşlem Özellikleri

İşlemler aşağıdaki özelliklere sahip olup olmadıklarına göre değerlendirilirler.

Değişme Özelliği

Bir işlemin terimleri aralarında yer değiştirdiğinde işlem sonucu değişmiyorsa o işlemin değişme özelliği vardır.

Örnek olarak, aşağıdaki işlemlerin değişme özelliği vardır.

Aşağıdaki işlemlerde terimlerin yerleri değiştirildiğinde işlemin sonucu değişir, bu yüzden bu işlemlerin değişme özelliği yoktur.

Birleşme Özelliği

Bir işlemde işlemlerin yapılış sırası işlem sonucunu değiştirmiyorsa o işlemin birleşme özelliği vardır.

Örnek olarak, aşağıdaki işlemlerin birleşme özelliği vardır.

Toplama/Çıkarma Üzerinde Dağılma Özelliği

Bir terimin toplam ya da farktan oluşan diğer bir terim ile işleminin sonucu, o terimin toplanan/farkı alınan terimlerin herbiri ile işleminin sonuçlarının toplamına/farkına eşitse o işlemin toplama/çıkarma üzerinde dağılma özelliği vardır.

Yukarıdaki tanımı toplama/çıkarma işlemleri üzerinde dağılma özelliği için yapmış olsak da, aşağıda örneklerini göreceğimiz gibi, bir işlemin herhangi diğer bir işlem üzerinde dağılma özelliğini de tanımlayabiliriz.

Örnek olarak, aşağıdaki işlemlerin belirtilen işlem üzerinde dağılma özelliği vardır.

Kapalılık Özelliği

Bir işlemin bir kümenin tüm elemanları ile sonucu yine o kümenin bir elemanı ise o işlemin o kümede kapalılık özelliği vardır.

Kapalılık özelliğine aşağıdaki örnekleri verebiliriz:

  • Tam sayılarda toplama işlemi: İki tam sayının toplamı yine bir tam sayıdır, dolayısıyla toplama işlemi tam sayılar kümesinde kapalıdır.
  • Tek sayılar kümesinde çarpma işlemi: İki tek sayının çarpımı yine tek sayıdır, dolayısıyla çarpma işlemi tek sayılar kümesinde kapalıdır.
  • Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemi: İki doğal sayının farkı bir doğal sayı olmayabilir (\( 1 - 2 = -1 \)), dolayısıyla çıkarma işlemi doğal sayılar kümesinde kapalı değildir.
  • Tam sayılar kümesinde bölme işlemi: İki tam sayının bölümü bir tam sayı olmayabilir (\( 1 \div 2 \)), dolayısıyla bölme işlemi tam sayılar kümesinde kapalı değildir.

Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği

Bir işleme girdi olan tüm elemanların değişmeden işlem sonucuna yansımasını sağlayan bir \( I \) elemanı varsa bu elemana o işlemin birim (etkisiz) elemanı denir.

Bir elemanın bir işlemin birim elemanı olabilmesi için, bu özelliğinin tanım kümesindeki tüm elemanlar için geçerli olması gerekir. Aşağıdaki örnekte \( 0 \)'la girdiği işlemin sonucu yine \( 0 \) olan \( 4 \) sayısı çarpma işlemi için birim eleman değildir, çünkü \( 0 \) dışında bir sayı ile çarpıldığında aynı sonucu vermeyecektir.

Bazı işlemlerin birim elemanları aşağıdaki gibidir:

Konu İşlem Birim Eleman (\( I \)) Örnek İşlem
4 İşlem Toplama \( 0 \) \( a + 0 = 0 + a = a \)
4 İşlem Çarpma \( 1 \) \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
Bölenler EKOK \( 1 \) \( EKOK(a, 1) = EKOK(1, a) = a \)
Mantık Ve \( 1 \) \( p \land 1 = 1 \land p = p \)
Mantık Veya \( 0 \) \( p \lor 0 = 0 \lor p = p \)
Mantık Ya Da \( 0 \) \( p \veebar 0 = 0 \veebar p = p \)
Mantık Ancak ve Ancak \( 1 \) \( p \Leftrightarrow 1 = 1 \Leftrightarrow p = p \)
Kümeler Birleşim \( \emptyset \) \( A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A \)
Kümeler Kesişim \( E \) \( A \cap E = E \cap A = A \)

Ters Eleman Özelliği

Bir işlemin tanım kümesindeki tüm elemanları o işlemin birim elemanına dönüştüren bir \( e \) elemanı varsa bu elemana işlemin ters elemanı denir. Bir işlemin ters elemanının olabilmesi için o işlemin birim (etkisiz) elemanının tanımlı olması gerekir.

Bazı işlemlerin ters elemanları aşağıdaki gibidir:

Konu İşlem Ters Eleman (\( e \)) Örnek İşlem
4 İşlem Toplama \( -a \) \( a + (-a) = I = 0 \)
4 İşlem Çarpma \( \dfrac{1}{a} \) \( a \cdot \dfrac{1}{a} = I = 1 \)

Artı/Pozitif ve Eksi/Negatif Farkı

Bu noktada artı/pozitif ve eksi/negatif sembollerinin farkından da bahsetmemiz iyi olacaktır. Pozitif/negatif sembolleri birli işlemler olarak sayıların pozitiflik/negatiflik durumunu belirler, artı/eksi sembolleri ise ikili işlemler olarak, iki ya da daha fazla sayının toplama/çıkarma işlemine karşılık gelir.

Aşağıdaki şekilde bu işaretlerin ayrımı özetlenmiştir:

Pozitif/negatif ve toplama/çıkarma işlemleri
Pozitif/negatif ve toplama/çıkarma işlemleri

Bu işaretler arasında çoğu zaman bir ayrım yapmasak (ve işlem sonucu açısından yapmamıza gerek olmasa) da, aşağıdaki gibi iki tip işlemi de içeren ifadelerin çözümlemesinde bu ayrımı bilmemiz faydalı olacaktır:

Pozitif/negatif ve toplama/çıkarma işlemleri örnek
Pozitif/negatif ve toplama/çıkarma işlemleri örnek

« Önceki
Basamak Kavramı
Sonraki »
Temel Dört İşlem


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır