Köklü Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
Köklü fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri köklü ifadenin derecesinin tek ya da çift olmasına göre değişir.
\( f(x) = \sqrt[n]{x} \)
Köklü ifadenin derecesi çift sayı ise köklü ifadenin içi negatif bir değer alamayacağı için tanım ve değer kümeleri sıfır ve pozitif reel sayılarla sınırlıdır.
Köklü ifadenin derecesi tek sayı ise köklü ifadenin içi tüm reel sayılar olabileceği için tanım ve değer kümeleri tüm reel sayılardır.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, köklü fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| Fonksiyon | Denklem | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|---|
| Çift dereceli | \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | \( [0, \infty) \) | \( [0, \infty) \) |
| Tek dereceli | \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) |
\( f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}}} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterEn dıştaki köklü ifadeden en içtekine doğru adım adım ilerleyerek fonksiyonun tanım kümesini bulalım.
Bir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( 2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 -6x + 9}} \ge 0 \)
\( \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}} \le 2 \)
Kök işaretinden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Ayrıca karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi negatif olamaz.
\( 0 \le 1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 4 \)
\( -1 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
Reel değerli bir karekök ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için eşitsizliğin alt sınırını sıfır yapabiliriz.
\( 0 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
\( 0 \le \sqrt{(x - 3)^2} \le 3 \)
Karekök ifadesi mutlak değerin tanımıdır.
\( 0 \le \abs{x - 3} \le 3 \)
\( -3 \le x - 3 \le 3 \)
\( 0 \le x \le 6 \)
Tanım kümesi: \( x \in [0, 6] \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesini ve bu tanım kümesindeki görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterKarekök içindeki ifadeyi tam kareye tamamlamak için 16 ekleyip çıkaralım.
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25} \)
\( = \sqrt{x^2 - 8x + 16 - 16 + 25} \)
\( = (x - 4)^2 + 9 \)
\( (x - 4)^2 \) ifadesi negatif olamayacağı için \( (x - 4)^2 + 9 \) ifadesi de negatif olamaz, dolayısıyla fonksiyonu tanımsız yapan bir \( x \) değeri yoktur.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
Alternatif olarak, karekök içindeki ifadenin deltasının negatif olduğunu göstererek de aynı sonuca varabiliriz (pozitif başkatsayılı ve negatif deltalı bir parabolün grafiği \( x \) ekseninin üstünde kalır ve her \( x \) için pozitif değer alır.).
Görüntü kümesini bulmak için verilen ifadeyi inceleyelim.
\( (x - 4)^2 + 9 \) parabolünün tepe noktası \( T(4, 9) \) noktasıdır ve kolları yukarı yönlüdür, buna göre görüntü kümesi aşağıdaki aralıkta olur.
\( 9 \le (x - 4)^2 + 9 \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü aldığımızda \( f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesini elde ederiz.
\( 3 \le \sqrt{(x - 4)^2 + 9} \lt \infty \)
\( 3 \le f(x) \lt \infty \)
Görüntü kümesi: \( f(x) \in [3, \infty) \)
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1 }} \) reel değerli fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBir karekök ifadesinin sonucunun reel sayı olması için kök içi pozitif ya da sıfır olmalıdır.
\( \dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1} \ge 0 \)
Payı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 4^{-x} - 2 = 0 \)
\( 4^{-x} = 2 \)
\( 2^{-2x} = 2^1 \)
\( -2x = 1 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 3^x - 1 = 0 \)
\( 3^x = 1 \)
\( x = 0 \)
Bu değerleri kullanarak eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için bir işaret tablosu hazırlayalım.
Bu tabloyu hazırlarken \( 4^{-x} \) ifadesinin azalan, \( 3^x \) ifadesinin artan bir fonksiyon olduğuna dikkat edilmelidir.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( x \in [-\frac{1}{2}, 0) \)