Köklü İfade Tanım ve Görüntü Kümesi

Köklü ifadelerin tanım ve görüntü kümeleri ifadenin derecesinin tek ya da çift olmasına göre farklılık gösterir. Bu kümeler aşağıdaki tabloda özet şekilde, sayfanın geri kalanında ise detaylı açıklamalarıyla verilmiştir.

Kökün Derecesi Tanım Kümesi Görüntü Kümesi

Tek Dereceli (\( \sqrt[2n + 1]{x} \))

Grafik
\( \mathbb{R} \) \( \mathbb{R} \)

Çift Dereceli (\( \sqrt[2n]{x} \))

Grafik
\( \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \} \) \( \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \} \)

Tek Dereceli Köklü İfadeler

Bir köklü ifadenin derecesi tek sayı ise köklü ifadenin içi pozitif ya da negatif değer alabilir.

Pozitif Kök İçi

\( n \) tek sayı olmak üzere, bir sayının \( n \) kez kendisiyle çarpımının sonucu (\( n \). kuvveti) pozitif bir sayı ise bu sayı sadece pozitif olabilir. Dolayısıyla, pozitif sayıların tek dereceli köklerinin sonucu pozitif bir sayıdır.

Negatif Kök İçi

\( n \) tek sayı olmak üzere, bir sayının \( n \) kez kendisiyle çarpımının sonucu (\( n \). kuvveti) negatif bir sayı ise bu sayı sadece negatif olabilir. Dolayısıyla, negatif sayıların tek dereceli köklerinin sonucu negatif bir sayıdır.

Özet olarak, tek dereceli köklü ifadelerin hem kök içi (tanım kümesi) hem de işlem sonucu (görüntü kümesi) sıfır, pozitif ve negatif tüm reel sayı değerlerini alabilir.

Kökün Derecesi Tanım Kümesi Görüntü Kümesi

Tek Dereceli (\( \sqrt[2n + 1]{x} \))

Grafik
\( \mathbb{R} \) \( \mathbb{R} \)

Çift Dereceli Köklü İfadeler

Bir köklü ifadenin derecesi çift sayı ise köklü ifadenin içi sadece pozitif değer alabilir.

Negatif Kök İçi

\( n \) çift sayı olmak üzere, pozitif ya da negatif reel bir sayının \( n \) kez kendisiyle çarpımının sonucu (\( n \). kuvveti) her zaman pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla negatif bir sayının çift dereceli kökü reel sayılar kümesinde tanımlı değildir.

Bunun bir sonucu olarak, köklü ifadenin içini negatif yapan değişken değerleri o değişkenin tanım kümesinin dışında tutulmalıdır.

Pozitif Kök İçi

\( n \) çift sayı olmak üzere, bir sayının \( n \) kez kendisiyle çarpımının sonucu (\( n \). kuvveti) pozitif bir sayı ise o sayı pozitif ya da negatif olabilir. Buradan pozitif bir sayının çift dereceli köklerinin sonucunun hem pozitif hem de negatif olabileceği sonucu çıkabilir, ancak tanım gereği pozitif bir sayının çift dereceli kökünün sonucu sadece pozitif olabilir.

Dolayısıyla, değerinin pozitif mi negatif mi olduğu bilinmeyen bir değişkenin karesinin karekökünü ya da (\( n \) çift olmak üzere) \( n \). kuvvetinin \( n \). dereceden kökünü aldığımızda sonuç \( x \) değil, \( \abs{x} \) olmaktadır. Mutlak değer konusunda göreceğimiz üzere, aşağıdaki ifade aynı zamanda mutlak değerin tanımlarından biridir.

Burada iki benzer ifade arasında bir ayrım yapmamız önem taşımaktadır. Aşağıdaki ikinci dereceden üslü ifadenin \( x \) için çözüm kümesi hem -5 hem de 5'tir, çünkü her iki değeri de \( x \) yerine koyduğumuzda eşitlik sağlanmaktadır.

Ancak yukarıdakine benzer bir ifade gibi gözükse de, aşağıdaki ifadenin çözüm kümesi köklü ifadenin içinin mutlak değeri, yani sadece 5'tir.

Özet olarak, çift dereceli köklü ifadelerin tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki şekildeki gibidir.

Kökün Derecesi Tanım Kümesi Görüntü Kümesi

Çift Dereceli (\( \sqrt[2n]{x} \))

Grafik
\( \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \} \) \( \mathbb{R^+} \cup \{ 0 \} \)
SORU:

\(\ \sqrt{5 - x} + \sqrt{6 + x} + \sqrt{(x - 3)^2}\) ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?

Çözümü Göster


SORU:

\( f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{3 - x}} \) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulalım.

Çözümü Göster


SORU:

\( a \lt 0 \lt b \) olmak üzere,

\( \sqrt{(b - a)^2} - \sqrt{(2a - b)^2} + \sqrt{b^2} - \sqrt{a^2} \) ifadesinin eşitini bulalım.

Çözümü Göster


« Önceki
Köklü İfade Tanımı
Sonraki »
Köklü İfade Grafikleri


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır