Konu tekrarı için: Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali
Bu bölümde trigonometrik fonksiyonlar arasındaki farklı cebirsel işlemler sonucunda oluşan ifadelerin integralini almak için kullanılabilecek bazı yöntemleri inceleyeceğiz.
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
\( m, n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\sin^m{x}\cos^n{x}\ dx} \)
Bu ifadelerin integralini almak için izlenecek yöntem üslerin tek ya da çift olmasına göre farklılık gösterir.
\( m \) bir tek sayı, \( n \) de sıfır dahil bir çift sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\sin^5{x}\cos^6{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Tek dereceli sinüs ifadesinin bir kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\cos^6{x}\sin{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci sinüs çarpanı \( \sin^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {(\sin^2{x})^2\cos^6{x}\sin{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \sin^2{x} \) ifadesi \( \cos^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( = \displaystyle\int {(1 - \cos^2{x})^2\cos^6{x}\sin{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \cos{x}, \quad du = -\sin{x}\ dx \)
\( = -\displaystyle\int {(1 - u^2)^2u^6\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = -\displaystyle\int {(1 - 2u^2 + u^4)u^6\ du} \)
\( = -\displaystyle\int {(u^6 - 2u^8 + u^{10})\ du} \)
\( = -\dfrac{u^7}{7} + \dfrac{2u^9}{9} - \dfrac{u^{11}}{11} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = -\dfrac{\cos^7{x}}{7} + \dfrac{2\cos^9{x}}{9} - \dfrac{\cos^{11}{x}}{11} + C \)
\( m \) sıfır dahil bir çift sayı, \( n \) de bir tek sayı olduğu durumda, yukarıdaki yöntem sinüs - kosinüs fonksiyonları aralarında yer değiştirerek uygulanır.
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\cos^7{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Tek dereceli kosinüs ifadesinin bir kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\sin^4{x}\cos^6{x}\cos{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci kosinüs çarpanı \( \cos^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {\sin^4{x}(\cos^2{x})^3\cos{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \cos^2{x} \) ifadesi \( \sin^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( = \displaystyle\int {\sin^4{x}(1 - \sin^2{x})^3\cos{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \sin{x}, \quad du = \cos{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int {u^4(1 - u^2)^3\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = \displaystyle\int {u^4(1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6)\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u^4 - 3u^6 + 3u^8 - u^{10})\ du} \)
\( = \dfrac{u^5}{5} - \dfrac{3u^7}{7} + \dfrac{u^9}{3} - \dfrac{u^{11}}{11} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = \dfrac{\sin^5{x}}{5} - \dfrac{3\sin^7{x}}{7} + \dfrac{\sin^9{x}}{3} - \dfrac{\sin^{11}{x}}{11} + C \)
\( m \) ve \( n \) birer tek sayı olduğu durumda yukarıdaki iki yöntemden herhangi biri uygulanabilir, ancak sinüs ifadesinin kuvveti daha küçük ise birinci yöntemin, kosinüs ifadesinin kuvveti daha küçük ise ikinci yöntemin kullanılması işlem kolaylığı sağlayacaktır.
\( m \) ve \( n \) sıfır dahil birer çift sayı olduğu durumda aşağıdaki iki özdeşlik kullanılarak ifadelerin derecesi düşürülür ve integrali alınabilir bir forma getirilir. İfade bir noktada yukarıdaki formlardan birine gelirse ilgili yöntem kullanılır.
\( \cos^2{x} = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
\( \sin{x}\cos{x} = \dfrac{1}{2}\sin(2x) \)
Bu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\cos^6{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \displaystyle\int {(\cos^2{x})^3\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)))^3\ dx} \)
\( = \dfrac{1}{8}\displaystyle\int {(1 + 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) + \cos^3(2x))\ dx} \)
Birinci terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {1\ dx} = x + C \)
İkinci terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {3\cos(2x)\ dx} = \dfrac{3\sin(2x)}{2} + C \)
Üçüncü terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {3\cos^2(2x)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {3\dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x))\ dx} \)
\( = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{3\sin(4x)}{8} + C \)
Dördüncü terimin integralini alalım.
\( \displaystyle\int {\cos^3(2x)\ dx} \)
Yukarıda \( m \)'nin çift, \( n \)'nin tek olduğu durumda kullandığımız yöntemi değişken değiştirmeden kullanalım.
\( \displaystyle\int {\cos^2(2x)\cos(2x)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(1 - \sin^2(2x))\cos(2x)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\cos(2x) - \sin^2(2x)\cos(2x))\ dx} \)
\( = \dfrac{\sin(2x)}{2} - \dfrac{\sin^3(2x)}{6} + C \)
Tüm terimleri birleştirelim.
\( \dfrac{1}{8}(x + \dfrac{3\sin(2x)}{2} + \dfrac{3x}{2} + \dfrac{3\sin(4x)}{8} + \dfrac{\sin(2x)}{2} - \dfrac{\sin^3(2x)}{6}) \)
\( = \dfrac{5x}{16} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + \dfrac{3\sin(4x)}{64} - \dfrac{\sin^3(2x)}{48} + C \)
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
\( m, n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\tan^m{x}\sec^n{x}\ dx} \)
Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik özdeşlikler kullanılır. Bu formüllerin ispatı için trigonometrik özdeşlikler sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( \sec^2{x} = \tan^2{x} + 1 \)
\( m \) ve \( n \) değerlerinin iki farklı durumu için izlenecek yöntem aşağıdaki gibidir.
\( m \) bir tek sayı, \( n \) de sıfırdan büyük herhangi bir sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\tan^5{x}\sec^5{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Tanjant ve sekant ifadelerinin birer kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\tan^4{x}\sec^4{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci tanjant çarpanı \( \tan^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {(\tan^2{x})^2\sec^4{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \tan^2{x} \) ifadesi \( \sec^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \)
\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)^2\sec^4{x}\tan{x}\sec{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \sec{x}, \quad du = \tan{x}\sec{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int {(u^2 - 1)^2u^4\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = \displaystyle\int {(u^4 - 2u^2 + 1)u^4\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u^8 - 2u^6 + u^4)\ du} \)
\( = \dfrac{u^9}{9} - \dfrac{2u^7}{7} + \dfrac{u^5}{5} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = \dfrac{\sec^9{x}}{9} - \dfrac{2\sec^7{x}}{7} + \dfrac{\sec^5{x}}{5} + C \)
\( m \) sıfırdan büyük herhangi bir sayı, \( n \) de sıfırdan büyük herhangi bir çift sayı olduğu durumda izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\tan^4{x}\sec^8{x}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Adım 1: Sekant ifadesinin iki kuvveti ayrılır.
\( \displaystyle\int {\tan^4{x}\sec^6{x}\sec^2{x}\ dx} \)
Adım 2: Birinci sekant çarpanı \( \sec^2{x} \) ifadesinin kuvveti biçiminde yazılır.
\( = \displaystyle\int {\tan^4{x}(\sec^2{x})^3\sec^2{x}\ dx} \)
Adım 3: Pisagor özdeşliği ile \( \sec^2{x} \) ifadesi \( \tan^2{x} \) cinsinden yazılır.
\( \sec^2{x} = \tan^2{x} + 1 \)
\( = \displaystyle\int {\tan^4{x}(\tan^2{x} + 1)^3\sec^2{x}\ dx} \)
Adım 4: Elde edilen ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulanır.
\( u = \tan{x}, \quad du = \sec^2{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int {u^4(u^2 + 1)^3\ du} \)
Adım 5: Parantez içindeki ifadeler dağıtılır ve terimlerin ayrı ayrı integrali alınır.
\( = \displaystyle\int {u^4(u^6 + 3u^4 + 3u^2 + 1)\ du} \)
\( = \displaystyle\int {(u^{10} + 3u^8 + 3u^6 + u^4)\ du} \)
\( = \dfrac{u^{11}}{11} + \dfrac{u^9}{3} + \dfrac{3u^7}{7} + \dfrac{u^5}{5} + C \)
Adım 6: \( u \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır.
\( = \dfrac{\tan^{11}{x}}{11} + \dfrac{\tan^9{x}}{3} + \dfrac{3\tan^7{x}}{7} + \dfrac{\tan^5{x}}{5} + C \)
Aşağıdaki formdaki trigonometrik fonksiyonların integrali trigonometrik özdeşlikler ve değişken değiştirme yöntemi yardımıyla alınabilir.
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\sin(ax)\cos(bx)\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\sin(ax)\sin(bx)\ dx} \)
\( \displaystyle\int {\cos(ax)\cos(bx)\ dx} \)
Bu ifadelerin integrali alınırken aşağıdaki trigonometrik ters dönüşüm formülleri kullanılır. Bu formüllerin ispatı için dönüşüm formülleri sayfasını inceleyebilirsiniz.
\( \sin{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) \)
\( \sin{x}\sin{y} = -\dfrac{1}{2}(\cos(x + y) - \cos(x - y)) \)
\( \cos{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) \)
Bu ifadelerin integralini alırken izlenecek yöntemi bir örnek üzerinde gösterelim.
\( \displaystyle\int {\cos(9x)\cos(6x)\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
Trigonometrik ters dönüşüm formülünü kullanalım.
\( \cos{x}\cos{y} = \dfrac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}(\cos(9x + 6x) + \cos(9x - 6x))\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{\cos(15x)}{2} + \dfrac{\cos(3x)}{2})\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\sin(15x)}{30} + \dfrac{\sin(3x)}{6} + C \)