Mutlak Değerli İfadelerin İntegrali

Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.

İçteki mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.

\( \abs{2 - x} = 0 \Longrightarrow x = 2 \)

Durum 1: \( x \lt 2 \)

Bu durumda içteki mutlak değer içindeki ifade pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( 2 - x - x = 0 \Longrightarrow x = 1 \)

Durum 2: \( x \ge 2 \)

Bu durumda içteki mutlak değer içindeki ifade negatif olur ve mutlak değerden ters işaretli çıkar.

\( x - 2 - x = 0 \Longrightarrow \) Bu aralıkta kritik nokta yoktur.

Buna göre integrali alınan mutlak değer ifadesinin kritik noktaları \( x = 1 \) ve \( x = 2 \) noktalarıdır.

İntegral ifadesini bu kritik noktalara göre üç aralığa bölelim ve her aralıktaki \( x \) değerine göre ifadeleri mutlak değerden çıkaralım.

\( 0 \le x \lt 1 \) için:

\( \displaystyle\int_0^1 \abs{2 - x - x}\ dx = \displaystyle\int_0^1 (2 - 2x)\ dx \)

\( = (2x - x^2)|_0^1 \)

\( = (2(1) - 1^2) - (2(0) - 0^2) = 1 \)

\( 1 \le x \lt 2 \) için:

\( \displaystyle\int_1^2 \abs{2 - x - x}\ dx = \displaystyle\int_0^1 (2x - x)\ dx \)

\( = (x^2 - 2x)|_1^2 \)

\( = (2^2 - 2(2)) - (1^2 - 2(1)) = 1 \)

\( 2 \le x \lt 4 \) için:

\( \displaystyle\int_2^4 \abs{x - 2 - x}\ dx = \displaystyle\int_2^4 2\ dx \)

\( = (2x)|_2^4 \)

\( = 2(4) - 2(2) = 4 \)

Sorulan integral değeri bu üç aralıktaki integral değerlerinin toplamına eşittir.

\( 1 + 1 + 4 = 6 \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.

Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.

\( \abs{x^2 - 9} = 0 \Longrightarrow x \in \{-3, 3\} \)

Buna göre integrali alınan mutlak değer ifadesinin kritik noktaları \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarıdır.

İntegral ifadesini bu kritik noktalara göre üç aralığa bölelim ve her aralıktaki \( x \) değerine göre ifadeleri mutlak değerden çıkaralım.

\( -2 \le x \lt 3 \) için:

Bu aralıkta mutlak değer içindeki ifade negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( \displaystyle\int_{-2}^3 (9x - x^3)\ dx \)

\( = (\dfrac{9x^2}{2} - \dfrac{x^4}{4})|_{-2}^3 \)

\( = (\dfrac{9(3)^2}{2} - \dfrac{3^4}{4}) - (\dfrac{9(-2)^2}{2} - \dfrac{(-2)^4}{4}) \)

\( = (\dfrac{81}{2} - \dfrac{81}{4}) - (18 - 4) \)

\( = \dfrac{81}{4} - 14 = \dfrac{25}{4} \)

\( 3 \le x \lt 4 \) için:

Bu aralıkta mutlak değer içindeki ifade pozitiftir olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( \displaystyle\int_3^4 (x^3 - 9x)\ dx \)

\( = (\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{9x^2}{2})|_3^4 \)

\( = (\dfrac{4^4}{4} - \dfrac{9(4)^2}{2}) - (\dfrac{3^4}{4} - \dfrac{9(3)^2}{2}) \)

\( = (64 - 72) - (\dfrac{81}{4} - \dfrac{81}{2}) \)

\( = -8 + \dfrac{81}{4} = \dfrac{49}{4} \)

İstenen integral değeri bu iki aralıktaki integral değerlerinin toplamına eşittir.

\( \dfrac{25}{4} + \dfrac{49}{4} = \dfrac{37}{2} \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.

Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.

\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)

İntegral ifadesini bu kritik noktaya göre iki aralığa bölelim ve her aralıktaki \( x \) değerine göre ifadeleri mutlak değerden çıkaralım.

\( \displaystyle\int_{-5}^5 x\abs{x - 2}\ dx = \displaystyle\int_{-5}^2 x(2 - x)\ dx \) \( + \displaystyle\int_2^5 x(x - 2)\ dx \)

\( = \displaystyle\int_{-5}^2 (2x - x^2)\ dx + \displaystyle\int_2^5 (x^2 - 2x)\ dx \)

İfadelerin integralini alalım.

\( = (x^2 - \dfrac{x^3}{3})|_{-5}^2 + (\dfrac{x^3}{3} - x^2)|_2^5 \)

\( = [(2^2 - \dfrac{2^3}{3}) - ((-5)^2 - \dfrac{(-5)^3}{3})] \) \( + [(\dfrac{5^3}{3} - 5^2) - (\dfrac{2^3}{3} - 2^2)] \)

\( = [(4 - \dfrac{8}{3}) - (25 + \dfrac{125}{3})] \) \( + [(\dfrac{125}{3} - 25) - (\dfrac{8}{3} - 4)] \)

\( = -\dfrac{196}{3} + 18 = -\dfrac{142}{3} \) bulunur.

Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.

Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.

\( e^x - e = 0 \Longrightarrow x = 1 \)

Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.

\( -2 \le x \lt 1 \) aralığında \( e^x - e \) ifadesi mutlak değerden negatif işaretli çıkar.

\( 1 \lt x \le 3 \) aralığında \( e^x - e \) ifadesi mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( \displaystyle\int_{-2}^3 \abs{e^x - e}\ dx \)

\( = \displaystyle\int_{-2}^1 (e - e^x)\ dx + \displaystyle\int_1^3 (e^x - e)\ dx \)

İfadelerin integralini alalım.

\( = (ex - e^x)|_{-2}^1 + (e^x - ex)|_1^3 \)

\( = [(1e - e^1) - (-2e - e^{-2})] + [(e^3 - 3e) - (e^1 - 1e)] \)

\( = 0 - (-2e - \dfrac{1}{e^2}) + (e^3 - 3e) - 0 \)

\( = e^3 - e + \dfrac{1}{e^2} \) bulunur.

Sinüs grafiği \( (0, \frac{\pi}{4}) \) aralığında kosinüs grafiğinin altında, \( (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \) aralığında üstünde kalır.

Mutlak değerden kurtulmak için ifadeyi daha büyük olan fonksiyondan daha küçük olan fonksiyonu çıkaracak şekilde bu iki aralık için ayrı ayrı yazalım.

\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \abs{\sin{x} - \cos{x}}\ dx \) \( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos{x} - \sin{x})\ dx \) \( + \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{x} - \cos{x})\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\sin{x} + \cos{x})|_0^{\frac{\pi}{4}} \) \( + (-\cos{x} - \sin{x})|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \)

\( = [(\sin{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{\pi}{4}}) \) \( - (\sin{0} + \cos{0})] \) \( + [(-\cos{\frac{\pi}{2}} \) \( - \sin{\frac{\pi}{2}}) \) \( - (-\cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}})] \)

\( = [(\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( + \frac{\sqrt{2}}{2}) \) \( - (0 + 1)] + [(-0 - 1) \) \( - (-\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( - \frac{\sqrt{2}}{2})] \)

\( = 2\sqrt{2} - 2 \) bulunur.

Mutlak değer içindeki \( 3x \) ifadesini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.

\( 3x = 0 \Longrightarrow x = 0 \)

Bu kritik nokta integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.

\( x \lt 0 \) aralığında \( 3x \) ifadesinin değeri negatif olur ve mutlak değerden negatif işaretli çıkar. \( x \ge 0 \) aralığında \( 3x \) ifadesinin değeri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.

\( \displaystyle\int_{-2}^4 \abs{3x} \cdot (2x - 3)\ dx = \displaystyle\int_{-2}^0 -3x \cdot (2x - 3)\ dx + \displaystyle\int_0^4 3x \cdot (2x - 3)\ dx \)

\( = \displaystyle\int_{-2}^0 (-6x^2 + 9x)\ dx + \displaystyle\int_0^4 (6x^2 - 9x)\ dx \)

İfadelerin integralini alalım.

\( = (-2x^3 + \dfrac{9x^2}{2})|_{-2}^0 + (2x^3 - \dfrac{9x^2}{2})|_0^4 \)

\( = (-2(0)^3 + \dfrac{9(0)^2}{2}) - (-2(-2)^3 + \dfrac{9(-2)^2}{2}) \) \( + (2(4)^3 - \dfrac{9(4)^2}{2}) - (2(0)^3 - \dfrac{9(0)^2}{2}) \)

\( = 0 - (16 + 18) + (128 - 72) - 0 \)

\( = 22 \) bulunur.