Mutlak Değer Fonksiyonunun İntegrali
Mutlak değer fonksiyonları mutlak değer içindeki ifadelerin pozitif ya da negatif olma durumuna göre farklı tanımlara sahip oldukları için integralleri tek adımda alınamaz. Bu tip fonksiyonların integrali aşağıdaki yöntemle alınabilir.
- Fonksiyon önce mutlak değer fonksiyonunun parçalı yazılışı bölümünde incelediğimiz yöntemle parçalı fonksiyon şeklinde yazılır.
- Daha sonra elde edilen parçalı fonksiyonun parçalı fonksiyonların integrali bölümünde incelediğimiz yöntemle integrali alınır.
Bir mutlak değer fonksiyonunun belirli integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int_0^5 {\abs{2x - 6}\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
İntegrali alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = \abs{2x - 6} \)
Mutlak değer fonksiyonunun parçalı yazılışı bölümünde incelediğimiz yöntemle fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
\( f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & x \lt 3 \\ 2x - 6 & x \ge 3 \end{cases} \)
İntegral ifadesini parçalı fonksiyon tanımını kullanarak birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_0^5 {\abs{2x - 6}\ dx} = \displaystyle\int_0^3 {(-2x + 6)\ dx} + \displaystyle\int_3^5 {(2x - 6)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (-x^2 + 6x)|_0^3 + (x^2 - 6x)|_3^5 \)
\( = [(-3^2 + 6(3)) - (-0^2 + 6(0))] + [(5^2 - 6(5)) - (3^2 - 6(3))] \)
\( = (9 - 0) + (-5 - (-9)) \)
\( = 13 \)
Mutlak değer fonksiyonunun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( \displaystyle\int_{-2}^2 {\abs{x^2 - 2x - 3}\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
İntegrali alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)
Mutlak değer fonksiyonunun parçalı yazılışı bölümünde incelediğimiz yöntemle fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
İntegral ifadesini parçalı fonksiyon tanımını kullanarak birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^2 {\abs{x^2 - 2x - 3}\ dx} = \displaystyle\int_{-2}^{-1} {(x^2 - 2x - 3)\ dx} + \displaystyle\int_{-1}^2 {(-x^2 + 2x + 3)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( \dfrac{x^3}{3} - x^2 - 3x \right)|_{-2}^{-1} + \left( -\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right)|_{-1}^2 \)
\( = \left[ \left( \dfrac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 3(-1) \right) - \left( \dfrac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 - 3(-2) \right) \right] + \left[ \left( -\dfrac{2^3}{3} + 2^2 + 3(2) \right) - \left( -\dfrac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right) \right] \)
\( = \left( \dfrac{5}{3} - \left( -\dfrac{2}{3} \right) \right) + \left( \dfrac{22}{3} - \left( -\dfrac{5}{3} \right) \right) \)
\( = \dfrac{34}{3} \)
Mutlak değerli fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Birden fazla mutlak değerli ifade içeren bir fonksiyonun belirli integralini alalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^3 {(\abs{x + 1} + \abs{6 - 3x} - 7)\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
İntegrali alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.
\( f(x) = \abs{x + 1} + \abs{6 - 3x} - 7 \)
Mutlak değer fonksiyonunun parçalı yazılışı bölümünde incelediğimiz yöntemle fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazalım.
İntegral ifadesini parçalı fonksiyon tanımını kullanarak birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^3 {(\abs{x + 1} + \abs{6 - 3x} - 7)\ dx} = \displaystyle\int_{-2}^{-1} {(-4x - 2)\ dx} + \displaystyle\int_{-1}^2 {(-2x)\ dx + \displaystyle\int_2^3 (4x - 12)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (-2x^2 - 2x)|_{-2}^{-1} + (-x^2)|_{-1}^2 + (2x^2 - 12x)|_2^3 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = [(-2(-1)^2 - 2(-1)) - (-2(-2)^2 - 2(-2))] + [(-2^2) - (-(-1)^2)] + [(2(3)^2 - 12(3)) - (2(2)^2 - 12(2))] \)
\( = (0 - (-4)) + (-4 - (-1)) + (-18 - (-16))\)
\( = 4 - 3 - 2 = -1 \)
Mutlak değerli fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a) \( \displaystyle\int_{-1}^4 {\abs{x}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int_{-3}^1 {\abs{x + 1}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int_0^2 {\abs{5x - 3}\ dx} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int_{-1}^4 {\abs{x}\ dx} \)
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( x = 0 \)
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( -1 \le x \lt 0 \) aralığında \( \abs{x} \) ifadesi mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( 0 \le x \le 4 \) aralığında \( \abs{x} \) ifadesi mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.
\( \displaystyle\int_{-1}^4 {\abs{x}\ dx} = \displaystyle\int_{-1}^0 {-x\ dx} + \displaystyle\int_0^4 {x\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -\dfrac{x^2}{2}|_{-1}^0 + \dfrac{x^2}{2}|_0^4 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = [-\dfrac{0^2}{2} - (-\dfrac{(-1)^2}{2})] + [\dfrac{4^2}{2} - \dfrac{0^2}{2}] \)
\( = (0 + \dfrac{1}{2}) + (8 - 0) \)
\( = \dfrac{17}{2} \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int_{-3}^1 {\abs{x + 1}\ dx} \)
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( x + 1 = 0 \Longrightarrow x = -1 \)
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( -3 \le x \lt -1 \) aralığında \( \abs{x + 1} \) ifadesi mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( -1 \le x \le 1 \) aralığında \( \abs{x + 1} \) ifadesi mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.
\( \displaystyle\int_{-3}^1 {\abs{x + 1}\ dx} = \displaystyle\int_{-3}^{-1} {-(x + 1)\ dx} + \displaystyle\int_{-1}^1 (x + 1)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -(\dfrac{x^2}{2} + x)|_{-3}^{-1} + (\dfrac{x^2}{2} + x)|_{-1}^1 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = -[(\dfrac{(-1)^2}{2} + (-1)) - (\dfrac{(-3)^2}{2} + (-3))] + [(\dfrac{1^2}{2} + 1) - (\dfrac{(-1)^2}{2} + (-1))] \)
\( = -[-\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}] + [\dfrac{3}{2} - (-\dfrac{1}{2})] \)
\( = -(-2) + 2 \)
\( = 4 \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int_0^2 {\abs{5x - 3}\ dx} \)
Bir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( 5x - 3 = 0 \Longrightarrow x = \dfrac{3}{5} \)
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( 0 \le x \lt \frac{3}{5} \) aralığında \( \abs{5x - 3} \) ifadesi mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \frac{3}{5} \le x \le 2 \) aralığında \( \abs{5x - 3} \) ifadesi mutlak değerden pozitif işaretli çıkar.
\( \displaystyle\int_0^2 {\abs{5x - 3}\ dx} = \displaystyle\int_0^{\frac{3}{5}} (3 - 5x)\ dx + \displaystyle\int_{\frac{3}{5}}^2 (5x - 3)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (3x - \dfrac{5}{2}x^2)|_0^{\frac{3}{5}} + (\dfrac{5}{2}x^2 - 3x)|_{\frac{3}{5}}^2 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = [(3 \cdot \dfrac{3}{5} - \dfrac{5}{2} \cdot (\dfrac{3}{5})^2) - (3 \cdot 0 - \dfrac{5}{2} \cdot 0^2)] + [(\dfrac{5}{2} \cdot (2)^2 - 3 \cdot 2) - (\dfrac{5}{2} \cdot (\dfrac{3}{5})^2 - 3 \cdot \dfrac{3}{5})] \)
\( = [(\dfrac{9}{5} - \dfrac{9}{10}) - 0] + [(10 - 6) - (\dfrac{9}{10} - \dfrac{9}{5})] \)
\( = \dfrac{9}{10} + 4 + \dfrac{9}{10} \)
\( = \dfrac{29}{5} \)
\( \displaystyle\int_{-2}^4 x\abs{x^2 - 9}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( \abs{x^2 - 9} = 0 \Longrightarrow x \in \{-3, 3\} \)
Buna göre integrali alınan mutlak değer ifadesinin kritik noktaları \( x = -3 \) ve \( x = 3 \) noktalarıdır.
İntegral ifadesini bu kritik noktalara göre üç aralığa bölelim ve her aralıktaki \( x \) değerine göre ifadeleri mutlak değerden çıkaralım.
\( -2 \le x \lt 3 \) için:
Bu aralıkta mutlak değer içindeki ifade negatif olur, dolayısıyla mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( \displaystyle\int_{-2}^3 (9x - x^3)\ dx \)
\( = (\dfrac{9x^2}{2} - \dfrac{x^4}{4})|_{-2}^3 \)
\( = (\dfrac{9(3)^2}{2} - \dfrac{3^4}{4}) - (\dfrac{9(-2)^2}{2} - \dfrac{(-2)^4}{4}) \)
\( = (\dfrac{81}{2} - \dfrac{81}{4}) - (18 - 4) \)
\( = \dfrac{81}{4} - 14 = \dfrac{25}{4} \)
\( 3 \le x \lt 4 \) için:
Bu aralıkta mutlak değer içindeki ifade pozitiftir olur, dolayısıyla mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( \displaystyle\int_3^4 (x^3 - 9x)\ dx \)
\( = (\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{9x^2}{2})|_3^4 \)
\( = (\dfrac{4^4}{4} - \dfrac{9(4)^2}{2}) - (\dfrac{3^4}{4} - \dfrac{9(3)^2}{2}) \)
\( = (64 - 72) - (\dfrac{81}{4} - \dfrac{81}{2}) \)
\( = -8 + \dfrac{81}{4} = \dfrac{49}{4} \)
İstenen integral değeri bu iki aralıktaki integral değerlerinin toplamına eşittir.
\( \dfrac{25}{4} + \dfrac{49}{4} = \dfrac{37}{2} \) bulunur.
\( \displaystyle\int_{-5}^5 x\abs{x - 2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
İntegral ifadesini bu kritik noktaya göre iki aralığa bölelim ve her aralıktaki \( x \) değerine göre ifadeleri mutlak değerden çıkaralım.
\( \displaystyle\int_{-5}^5 x\abs{x - 2}\ dx = \displaystyle\int_{-5}^2 x(2 - x)\ dx + \displaystyle\int_2^5 x(x - 2)\ dx \)
\( = \displaystyle\int_{-5}^2 (2x - x^2)\ dx + \displaystyle\int_2^5 (x^2 - 2x)\ dx \)
İfadelerin integralini alalım.
\( = (x^2 - \dfrac{x^3}{3})|_{-5}^2 + (\dfrac{x^3}{3} - x^2)|_2^5 \)
\( = [(2^2 - \dfrac{2^3}{3}) - ((-5)^2 - \dfrac{(-5)^3}{3})] + [(\dfrac{5^3}{3} - 5^2) - (\dfrac{2^3}{3} - 2^2)] \)
\( = [(4 - \dfrac{8}{3}) - (25 + \dfrac{125}{3})] + [(\dfrac{125}{3} - 25) - (\dfrac{8}{3} - 4)] \)
\( = -\dfrac{196}{3} + 18 = -\dfrac{142}{3} \) bulunur.
\( \displaystyle\int_{-2}^3 \abs{e^x - e}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
Mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( e^x - e = 0 \Longrightarrow x = 1 \)
Kritik noktanın solunda ve sağında mutlak değer içindeki ifadenin işareti farklı olacağı için integrali birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( -2 \le x \lt 1 \) aralığında \( e^x - e \) ifadesi mutlak değerden negatif işaretli çıkar.
\( 1 \lt x \le 3 \) aralığında \( e^x - e \) ifadesi mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( \displaystyle\int_{-2}^3 \abs{e^x - e}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^1 (e - e^x)\ dx + \displaystyle\int_1^3 (e^x - e)\ dx \)
İfadelerin integralini alalım.
\( = (ex - e^x)|_{-2}^1 + (e^x - ex)|_1^3 \)
\( = [(1e - e^1) - (-2e - e^{-2})] + [(e^3 - 3e) - (e^1 - 1e)] \)
\( = 0 - (-2e - \dfrac{1}{e^2}) + (e^3 - 3e) - 0 \)
\( = e^3 - e + \dfrac{1}{e^2} \) bulunur.
\( \displaystyle\int_{-2}^4 \abs{3x} \cdot (2x - 3)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterMutlak değer içindeki \( 3x \) ifadesini sıfır yapan \( x \) değerini bulalım.
\( 3x = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
Bu kritik nokta integral sınır değerleri arasında kaldığı için integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir tanımına karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.
\( x \lt 0 \) aralığında \( 3x \) ifadesinin değeri negatif olur ve mutlak değerden negatif işaretli çıkar. \( x \ge 0 \) aralığında \( 3x \) ifadesinin değeri sıfır ya da pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( \displaystyle\int_{-2}^4 \abs{3x} \cdot (2x - 3)\ dx = \displaystyle\int_{-2}^0 -3x \cdot (2x - 3)\ dx + \displaystyle\int_0^4 3x \cdot (2x - 3)\ dx \)
\( = \displaystyle\int_{-2}^0 (-6x^2 + 9x)\ dx + \displaystyle\int_0^4 (6x^2 - 9x)\ dx \)
İfadelerin integralini alalım.
\( = (-2x^3 + \dfrac{9x^2}{2})|_{-2}^0 + (2x^3 - \dfrac{9x^2}{2})|_0^4 \)
\( = (-2(0)^3 + \dfrac{9(0)^2}{2}) - (-2(-2)^3 + \dfrac{9(-2)^2}{2}) + (2(4)^3 - \dfrac{9(4)^2}{2}) - (2(0)^3 - \dfrac{9(0)^2}{2}) \)
\( = 0 - (16 + 18) + (128 - 72) - 0 \)
\( = 22 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^4 \abs{\abs{2 - x} - x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterBir mutlak değer ifadesinin içini sıfır yapan değerler o ifadenin kritik noktalarıdır.
İçteki mutlak değer ifadesinin kritik noktasını bulalım.
\( \abs{2 - x} = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Durum 1: \( x \lt 2 \)
Bu durumda içteki mutlak değer içindeki ifade pozitif olur ve mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( 2 - x - x = 0 \Longrightarrow x = 1 \)
Durum 2: \( x \ge 2 \)
Bu durumda içteki mutlak değer içindeki ifade negatif olur ve mutlak değerden ters işaretli çıkar.
\( x - 2 - x = 0 \Longrightarrow \) Bu aralıkta kritik nokta yoktur.
Buna göre integrali alınan mutlak değer ifadesinin kritik noktaları \( x = 1 \) ve \( x = 2 \) noktalarıdır.
İntegral ifadesini bu kritik noktalara göre üç aralığa bölelim ve her aralıktaki \( x \) değerine göre ifadeleri mutlak değerden çıkaralım.
\( 0 \le x \lt 1 \) için:
\( \displaystyle\int_0^1 \abs{2 - x - x}\ dx = \displaystyle\int_0^1 (2 - 2x)\ dx \)
\( = (2x - x^2)|_0^1 \)
\( = (2(1) - 1^2) - (2(0) - 0^2) = 1 \)
\( 1 \le x \lt 2 \) için:
\( \displaystyle\int_1^2 \abs{2 - x - x}\ dx = \displaystyle\int_0^1 (2x - x)\ dx \)
\( = (x^2 - 2x)|_1^2 \)
\( = (2^2 - 2(2)) - (1^2 - 2(1)) = 1 \)
\( 2 \le x \lt 4 \) için:
\( \displaystyle\int_2^4 \abs{x - 2 - x}\ dx = \displaystyle\int_2^4 2\ dx \)
\( = (2x)|_2^4 \)
\( = 2(4) - 2(2) = 4 \)
Sorulan integral değeri bu üç aralıktaki integral değerlerinin toplamına eşittir.
\( 1 + 1 + 4 = 6 \) bulunur.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \abs{\sin{x} - \cos{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü GösterSinüs grafiği \( (0, \frac{\pi}{4}) \) aralığında kosinüs grafiğinin altında, \( (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \) aralığında üstünde kalır.
Mutlak değerden kurtulmak için ifadeyi daha büyük olan fonksiyondan daha küçük olan fonksiyonu çıkaracak şekilde bu iki aralık için ayrı ayrı yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \abs{\sin{x} - \cos{x}}\ dx = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos{x} - \sin{x})\ dx + \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{x} - \cos{x})\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\sin{x} + \cos{x})|_0^{\frac{\pi}{4}} + (-\cos{x} - \sin{x})|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \)
\( = [(\sin{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{\pi}{4}}) - (\sin{0} + \cos{0})] + [(-\cos{\frac{\pi}{2}} - \sin{\frac{\pi}{2}}) - (-\cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}})] \)
\( = [(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1)] + [(-0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})] \)
\( = 2\sqrt{2} - 2 \) bulunur.