Belirli integralin en önemli uygulaması bir fonksiyonun grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alanın hesaplanmasıdır. Bu hesaplamalarda belirli integrali pozitif ve negatif değer alabilen, alanı ise sadece pozitif değer alabilen bir büyüklük olarak anlamamız önem taşımaktadır.
Bir fonksiyonun değerinin pozitif olduğu (\( f(x) \gt 0 \)), yani grafiğinin \( x \) ekseninin üstünde kaldığı bir aralıktaki belirli integrali pozitif işaretlidir. Bu aralıkta fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alan da bu pozitif integral değerine eşittir.
\( A_1 = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( (+) = (+) \)
Bir fonksiyonun değerinin negatif olduğu (\( f(x) \lt 0 \)), yani grafiğinin \( x \) ekseninin altında kaldığı bir aralıktaki belirli integrali negatif işaretlidir. Alan pozitif bir büyüklük olduğu için, bu aralıkta fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alan bu negatif integral değerinin ters işaretlisine eşittir.
\( A_2 = -\displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} \)
\( (+) = -(-) \)
Buna göre, bir fonksiyonun aşağıdaki gibi hem pozitif hem negatif değerler aldığı bir aralıkta grafiğinin \( x \) ekseni ile arasında kalan toplam alanı, fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde kaldığı aralıklardaki belirli integralinden altında kaldığı aralıklardaki belirli integralini çıkararak bulabiliriz.
Bir aralıktaki toplam alanı bulmak için bir integrali yukarıdaki gibi alt integrallere bölerken kullanmamız gereken sınır noktaları, fonksiyonun \( x \) eksenini keserek işaret değiştirdiği noktalardır. Bu noktalar \( f(x) = 0 \) denkleminin tek katlı kökleridir. Çift katlı köklerde ise fonksiyon \( x \) eksenini işaret değiştirmeden keser.
Benzer şekilde, bir fonksiyonun bir aralıktaki belirli integrali, bu aralıkta \( x \) ekseninin üstünde kalan alanlarla altında kalan alanların farkına eşittir.
Bir fonksiyonun mutlak değeri \( x \) ekseninin altında kalan noktaların \( x \) eksenine göre yansımasını aldığı için, bir fonksiyonun mutlak değerinin belirli integrali grafiğin bu aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan toplam alana eşittir.
\( A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \) olmak üzere,
\( A = \displaystyle\int_a^e {\abs{f(x)}\ dx} \)
Bir fonksiyonun belirli integrali ile \( x \) ekseni ile arasında kalan alan ilişkisini bir örnek üzerinden inceleyelim.
ÖRNEK:
\( f(x) = 6x^2 - 54x + 108 \)
Yukarıda denklemi ve grafiği verilen fonksiyonun grafiğindeki taralı bölgenin alanını bulalım.
Taralı alan \( [1, 8] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.
Taralı alan fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde ve altında kaldığı bölgelerden oluştuğu için aralığı fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktalara göre alt aralıklara bölmemiz ve her aralık için ayrı integral hesaplamamız gerekir.
Fonksiyon \( [1, 3] \) aralığında \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için bu aralıktaki integral değeri pozitiftir ve \( A_1 \) bu integral değerine eşittir.
Fonksiyon \( [3, 6] \) aralığında \( x \) ekseninin altında kaldığı için bu aralıktaki integral değeri negatiftir ve \( A_2 \) bu integral değerinin ters işaretlisine eşittir.
Fonksiyon \( [6, 8] \) aralığında \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için bu aralıktaki integral değeri pozitiftir ve \( A_3 \) bu integral değerine eşittir.
Taralı alan \( [1, 4] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.
\( f \) fonksiyonu bu aralıkta \( x \) ekseninin üstünde kaldığı için belirli integrali pozitif işaretlidir. Bu aralıkta fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alan da bu pozitif integral değerine eşittir.
Taralı alan \( [\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.
Taralı alan fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde ve altında kaldığı bölgelerden oluştuğu için, bu alanı fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde kaldığı aralıklardaki belirli integralinden altında kaldığı aralıklardaki belirli integralini çıkarak bulabiliriz.
Taralı alan \( [-2, 2] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( x \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.
Taralı alan fonksiyonun \( x \) ekseninin üstünde ve altında kaldığı bölgelerden oluştuğu için aralığı fonksiyonun \( x \) eksenini kestiği noktalara göre alt aralıklara bölmemiz ve her aralık için ayrı integral hesaplamamız gerekir.
\( [-2, 0] \), \( [0, 1] \) ve \( [1, 2] \) aralıkları için hesaplamak istediğimiz alan değerlerine sırasıyla \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) diyelim.
\( A_1 \) aralığı:
Fonksiyon bu aralıkta \( x \) ekseninin altında kaldığı için bu aralıktaki integral değeri negatiftir ve alan bu integral değerinin ters işaretlisine eşittir.
Fonksiyon bu aralıkta \( x \) ekseninin altında kaldığı için bu aralıktaki integral değeri negatiftir ve alan bu integral değerinin ters işaretlisine eşittir.
Taralı alan iki eğrinin iki farklı aralıkta \( x \) ekseni ile aralarında kalan alanların toplamına eşittir.
Bu iki alanı ayıran sınır noktası iki eğrinin kesişim noktasıdır. İki denklemi ortak çözerek bu noktanın apsis değerini bulalım.
\( x^2 + 1 = x^2 - 5x + 6 \)
\( 5x = 5 \)
\( x = 1 \)
Buna göre taralı alanı aşağıdaki şekildeki gibi ikiye bölebiliriz.
Bu alanlardan \( A_1 \) soldaki eğrinin \( [0, 1] \) aralığında, \( A_2 \) de sağdaki eğrinin \( [1, 2] \) aralığında \( x \) ekseni ile aralarında kalan alanlara karşılık gelmektedir.
Denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerlerinden oluşur.
\( x \in \{-\sqrt[4]{k}, 0, \sqrt[4]{k}\} \)
Fonksiyon çift fonksiyon olduğu için \( x = 0 \) noktasının solunda ve sağında grafik \( x \) eksenine göre aynı tarafta kalır, dolayısıyla istediğimiz alanı bulmak için integrali \( [-\sqrt[4]{k}, \sqrt[4]{k}] \) aralığında alabiliriz.
Kosinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alan ve periyodu \( 2\pi \) olan periyodik bir fonksiyondur.
\( \abs{\cos{x}} \) fonksiyonunun grafiği \( \cos{x} \) fonksiyonunun \( x \) ekseni altında kalan kısımlarının \( x \) eksenine göre simetriğinin alınmasıyla oluşur.
\( \cos{x} \) ve \( \abs{\cos{x}} \) grafiklerinin birer periyodu aşağıda verilmiştir.
Buna göre \( \abs{\cos{x}} \) fonksiyonunun \( [0, \frac{\pi}{2}] \), \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \), \( [\pi, \frac{3\pi}{2}] \) ve \( [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \) aralıklarındaki belirli integralleri birbirine eşit olur.
Taralı alana \( A_1 \), \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 2] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alana \( A_2 \), bu iki alanın toplamının oluşturduğu dikdörtgen şeklindeki alana \( A \) diyelim.
\( A = A_1 + A_2 \)
\( A_1 = A - A_2 \)
Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki değerini bulalım.
\( f(2) = 2(2)^4 - 5(2) + 13 = 35 \)
Dikdörtgenin alanını bulalım.
\( A = 2 \cdot 35 = 70 \)
Eğrinin \( [0, 2] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integraline eşittir.
Yukarıda \( f(x) = x^2 + 10x + 26 \) parabolünün grafiği verilmiştir. \( T \) parabolün tepe noktası olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Taralı bölgenin alanı, \( [-5, 0] \) aralığında parabolle \( x \) ekseni arasında kalan alan ile köşeleri \( T(-5, 1) \), \( (-5, 0) \) ve \( (0, 0) \) noktaları olan üçgenin alanının farkına eşittir.
Önce \( [-5, 0] \) aralığında parabol ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.
Buna göre \( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 6 \) apsisli noktalarda keser.
\( d_1 \) ve \( d_2 \) doğrularının denklemlerini bularak kesişimleri olan \( B \) noktasının koordinatlarını bulalım.
\( x = 0 \) ve \( x = 6 \) apsisli noktalardaki teğetlerin eğimini bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( f'(x) = x - 3 \)
\( f'(0) = 0 - 3 = -3 \)
\( f'(6) = 6 - 3 = 3 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun \( x = 0 \) noktasındaki eğimi -3, \( x = 6 \) noktasındaki eğimi 3'tür.
Teğet doğruların denklemini bulmak için bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( d_1 \) doğrusu için:
\( y - 0 = -3(x - 0) \)
\( d_1: y = -3x \)
\( d_2 \) doğrusu için:
\( y - 0 = 3(x - 6) \)
\( d_2: y = 3x - 18 \)
\( B \) noktasının koordinatlarını bulmak için \( d_1 \) ve \( d_2 \) denklemlerini ortak çözelim.
\( -3x = 3x - 18 \)
\( 6x = 18 \)
\( x = 3, \quad y = -9 \)
\( B(3, -9) \)
Taralı bölgeninin alanını bulmak için \( OAB \) üçgeninin alanından \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 6] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı çıkaralım.
\( A_1 = A(OAB) - A_2 \)
\( OAB \) üçgeninin alanını bulalım.
\( A(OAB) = \dfrac{6 \cdot 9}{2} = 27 \)
\( A_2 \) alanı \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 6] \) aralığındaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.
Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 6] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.
Verilen fonksiyon 4. dereceden polinom fonksiyonudur.
Fonksiyon tanımını çarpanlarına ayıralım.
\( f(x) = x^2(x^2 + 6x + 9) \)
\( = x^2(x + 3)^2 \)
Buna göre fonksiyonun \( x = -3 \) ve \( x = 0 \) noktalarında olmak üzere iki tane çift katlı kökü vardır.
Çift dereceli ve pozitif başkatsayılı polinomların grafiklerinde \( x \) negatif ve pozitif sonsuza giderken \( y \) pozitif sonsuza gider.
Bir polinom fonksiyonunun grafiği tek katlı köklerde \( x \) eksenini keser ve eksenin öteki tarafına geçer, çift katlı köklerde ise \( x \) eksenini teğet keser ve eksenin öteki tarafına geçmeden geri döner.
Bu bilgiler doğrultusunda fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur.
Buna göre istenen alan şekildeki taralı bölgeye karşılık gelir ve fonksiyonun \( [-3, 0] \) aralığındaki belirli integraline eşittir.
\( A = \displaystyle\int_{-3}^0(x^4 + 6x^3 + 9x^2)\ dx \)
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( f(x) = g(x) \)
\( -x^2 + 3x + 4 = 2x - 2 \)
\( x^2 - x - 6 = 0 \)
\( (x + 2)(x - 3) = 0 \)
Buna göre iki fonksiyon \( x = -2 \) ve \( x = 3 \) apsisli noktalarda kesişir.
\( f \) fonksiyonunun \( x \) eksenini kestiği noktaları bulalım.
\( f(x) = -x^2 + 3x + 4 = 0 \)
\( -(x + 1)(x - 4) = 0 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonu \( x \) eksenini \( x = -1 \) ve \( x = 4 \) apsisli noktalarda keser.
\( g \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulalım.
\( g(x) = 2x - 2 = 0 \)
\( x = 1 \)
Buna göre \( g \) doğrusu \( x \) eksenini \( x = 1 \) apsisli noktada keser.
Taralı bölgenin alanı \( [1, 4] \) aralığında \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının \( x \) ekseni ile aralarında kalan alanların toplamına eşittir.
\( A = A_1 + A_2 \)
\( [1, 3] \) ve \( [3, 4] \) aralıklarında taralı alan farklı fonksiyonun \( x \) ekseni ile arasında kalan alana karşılık geldiği için belirli integrali iki aralık için ayrı ayrı almalıyız.
Önce \( [1, 3] \) aralığında \( g \) fonksiyonu ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.
\( A_1 = \displaystyle\int_1^3(2x - 2)\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (x^2 - 2x)|_1^3 \)
\( = (3^2 - 2(3)) - (1^2 - 2(1)) \)
\( = 4 \)
Şimdi \( [3, 4] \) aralığında \( f \) fonksiyonu ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.
Yukarıda \( f(x) = x^2 + 10x + 28 \) fonksiyonu ile \( d \) doğrusu verilmiştir. Parabol ile doğru \( A(-8, 12) \) noktasında birbirine teğet olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Bir fonksiyona bir noktada teğet olan doğrunun eğimi fonksiyonun o noktadaki birinci türev değerine eşittir.
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = -8 \) noktasındaki türevinden yararlanarak \( d \) doğrusunun denklemini yazalım.
\( f'(x) = 2x + 10 \)
\( f'(-8) = 2(-8) + 10 = -6 \)
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini yazalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 12 = -6(x - (-8)) \)
\( y = -6x - 36 \)
\( d \) doğrusunun \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için doğru denkleminde \( y = 0 \) yazalım.
\( 0 = -6x - 36 \)
\( x = -6 \)
Bu durumda \( d \) doğrusu \( x \) eksenini \( (-6, 0) \) noktasında keser.
Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-8, 0] \) aralığındaki belirli integralinden \( A_2 \) ile işaretli üçgenin alanını çıkaralım.
Yukarıda \( f(x) \) parabolünün eksenleri kestiği noktalar ile \( y = -3 \) doğrusunun grafiği verilmiştir. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Parabolün denklemini bulmak için kökleri ve ek bir noktası bilinen parabol denklem formülünü kullanalım.
\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)
\( f(x) = a(x + 2)(x - 2) \)
\( a \) değerini bulmak için \( (0, -4) \) noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyalım.
\( f(0) = a(0 + 2)(0 - 2) = -4 \)
\( a = 1 \)
\( f \) fonksiyonunun denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
\( f(x) = (x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 \)
Parabol ile \( y = -3 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( x^2 - 4 = -3 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Buna göre parabol ve doğru \( x = -1 \) ve \( x = 1 \) apsisli noktalarda kesişir.
Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-2, -1] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan ile köşeleri \( (-1, 0) \), \( (-1, -3) \), \( (1, -3) \) ve \( (1, 0) \) olan dikdörtgenin alanını toplayalım.
\( A = A_1 + A_2 + A_3 \)
Dikdörtgenin alanını bulalım.
\( A_2 = 2 \cdot 3 = 6 \)
\( f(x) \) fonksiyonunun \( [-2, -1] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıklardaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.
Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-2, -1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.
\( A_1 = \abs{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{5}{3} \)
\( f(x) \) çift fonksiyon olduğu için \( [-2, -1] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarındaki belirli integral değerleri birbirine eşittir.
<
\( A_3 = A_1 = \dfrac{5}{3} \)
Taralı bölge bulduğumuz üç alanın toplamına eşittir.
Yukarıda \( f(x) = \sin(3x) + 1 \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( A \) noktasının apsisi \( \frac{\pi}{4} \) olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, \frac{\pi}{4}] \) aralığındaki belirli integralinden köşeleri \( (\frac{\pi}{4}, 0) \), \( A \) ve orijin olan üçgenin alanını çıkaralım.
Parabolün \( x \) eksenini kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.
\( f(x) = x(x - 4) = 0 \)
Parabol \( x \) eksenini \( x = 0 \) ve \( x = 4 \) apsisli noktalarda keser.
Parabol ile doğruların kesişim noktalarını bulalım.
Parabol ile \( y = 5 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( x^2 - 4x = 5 \)
\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 5) = 0 \)
Parabol ve \( y = 5 \) doğrusu \( x = -1 \) ve \( x = 5 \) apsisli noktalarda kesişir.
Parabol ile \( y = -3 \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( x^2 - 4x = -3 \)
\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
\( (x - 1)(x - 3) = 0 \)
Parabol ve \( y = -3 \) doğrusu \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) apsisli noktalarda kesişir.
\( A_1 \) alanını bulmak için köşeleri \( (-1, 5) \), \( (5, 5) \), \( (5, 0) \) ve \( (4, 0) \) olan yamuğun alanından \( f(x) \) fonksiyonunun \( [4, 5] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı çıkaralım.
Yamuğun alanını bulalım.
\( \dfrac{6 + 1}{2} \cdot 5 = \dfrac{35}{2} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun \( [4, 5] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulalım.
\( A_2 \) alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan ile köşeleri \( (1, 0) \), \( (1, -3) \) ve \( (4, 0) \) noktaları olan üçgenin alanı ile toplayalım.
Üçgenin alanını bulalım.
\( \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \dfrac{9}{2} \)
\( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulalım.
Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [0, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.
Yukarıda \( f(x) = 9 - e^{\frac{x}{3}} \) eğrisinin grafiği verilmiştir. \( B \) noktası \( y = 6 \) doğrusunun üzerinde olduğuna göre, \( \frac{A_2}{A_1} \) oranı kaçtır?
Yukarıda \( f(x) \) parabolü ve \( y = 5 \) doğrusunun grafiği verilmiştir. \( T(-1, -4) \) parabolün tepe noktası ve \( A(1, 0) \) parabolün \( x \) eksenini kestiği noktalardan biri olduğuna göre, \( A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \) kaç birimkaredir?
Alan pozitif bir büyüklük olduğu için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [-3, 1] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integralinin mutlak değerine eşittir.
\( A_3 + A_4 = \abs{-\dfrac{32}{3}} - A(BAT) \)
\( = \abs{-\dfrac{32}{3}} - 8 = \dfrac{8}{3} \)
\( A_1 + A_2 \) alanını bulmak için parabolün \( y = 5 \) doğrusuyla kesişim noktalarını bulalım.
\( (x + 1)^2 - 4 = 5 \)
\( (x + 1)^2 - 3^2 = 0 \)
\( (x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = 0 \)
\( (x - 2)(x + 4) = 0 \)
Parabol \( y = 5 \) doğrusunu \( x = -4 \) ve \( x = 2 \) apsisli noktalarda keser.
\( A_1 + A_2 \) alanını bulmak için \( CDFE \) dikdörtgeninin alanından parabolün \( [-4, -3] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı ve \( BAK \) üçgeninin alanını çıkaralım.
Dikdörtgenin alanını bulalım.
\( A(CDFE) = 5 \cdot 6 = 30 \)
Üçgenin alanını bulalım.
\( A(BAK) = \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10 \)
Parabolün \( [-4, -3] \) ve \( [1, 2] \) aralıklarında \( x \) ekseniyle arasında kalan alanı bulalım.
\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarını incelediğimizde birbirinin tersi fonksiyonlar olduğunu görürüz.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{-x - 5}{x - 1} = g(x) \)
Bir fonksiyonun kendisinin ve tersinin grafikleri \( y = x \) doğrusuna göre simetriktir.
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonunun tersinin \( [-5, 0] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan, \( g(x) \) fonksiyonunun aynı aralıkta \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı kareye tamamlayan alandır.
Fonksiyonun \( x \) ekseni ile arasında kalan alanlar \( [a, b] \), \( [b, c] \), \( [c, d] \) ve \( [d, e] \) aralıkları için sırasıyla 23, 35, 14 ve 51 birimdir.
Buna göre \(\displaystyle\int_a^e f(x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Fonksiyonun biri çift katlı olmak üzere 5 reel kökü vardır, dolayısıyla fonksiyon 6. derecedendir.
Fonksiyonun başkatsayısı negatif olduğu için \( x \) pozitif ve negatif sonsuza giderken \( y \) negatif sonsuza gider.
\( c \) noktasındaki çift katlı kökte grafik \( x \) eksenini işaret değiştirmeden keser, diğer tek katlı köklerde işaret değiştirerek keser.
Buna göre fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur. Grafiğin farklı aralıklarda \( x \) ekseni ile arasında kalan alanlar grafikte işaretlenmiştir.
Fonksiyonun \( [a, e] \) aralığındaki belirli integrali, bu aralıkta \( x \) ekseninin üstünde kalan alanlarla altında kalan alanların farkına eşittir.
Analitik düzlemde \( A(0, 0), B(5, 0), C(5, 100), D(0, 100) \) noktalarını köşe kabul eden dikdörtgenin içinden rastgele seçilen bir noktanın koordinatları \( (a, b) \) ise \( b \gt 3a^2 \) olma olasılığı kaçtır?
Soruda \( ABCD \) dikdörtgeninin içinden seçilen bir noktanın \( y = 3x^2 \) eğrisinin üzerinde kalan bölgede bulunma olasılığı sorulmaktadır.
Nokta rastgele seçileceği için koordinatlarının verilen koşulu sağlama olasılığı bu bölgenin alanının (\( A_1 \)) dikdörtgenin alanına (\( A_1 + A_2 \)) oranına eşittir.
\( [0, 5] \) aralığında \( y = 3x^2 \) eğrisi ile \( x \) ekseni arasında kalan alanı bulalım.