İntegrali altı trigonometrik fonksiyon olan ifadeler aşağıdaki gibidir.
Diğer dört trigonometrik fonksiyonun integralleri aşağıdaki gibidir.
Ters sinüs fonksiyonunun türevi olan ifadelerin integralleri aşağıda verilmiştir.
Ters kosinüs fonksiyonunun türevi olan ifadelerin integralleri aşağıda verilmiştir.
Ters tanjant fonksiyonunun türevi olan ifadelerin integralleri aşağıda verilmiştir.
Ters kotanjant fonksiyonunun türevi olan ifadelerin integralleri aşağıda verilmiştir.
Ters sekant fonksiyonunun türevi olan ifadelerin integralleri aşağıda verilmiştir.
Ters kosekant fonksiyonunun türevi olan ifadelerin integralleri aşağıda verilmiştir.
SORU 1:
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int {15\csc^2(3x + 1)\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {8\sec^2(4x + 5)\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {18\csc(3x)\cot(3x)\ dx} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {15\csc^2(3x + 1)\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = 3x + 1 \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 3\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {15\csc^2{u}\ \dfrac{du}{3}} \)
\( = 5\displaystyle\int {\csc^2{u}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 5(-\cot{u}) + C \)
\( = -5\cot{u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -5\cot(3x + 1) + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {8\sec^2(4x + 5)\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = 4x + 5 \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 4\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{4} = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {8\sec^2{u}\ \dfrac{du}{4}} \)
\( = 2\displaystyle\int {\sec^2{u}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 2\tan{u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = 2\tan(4x + 5) + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {18\csc(3x)\cot(3x)\ dx} \)
Kosekant ve kotanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int {18\dfrac{1}{\sin(3x)}\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {18\dfrac{\cos(3x)}{\sin^2(3x)}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sin(3x) \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 3\cos(3x)\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = \cos(3x)\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {18\dfrac{1}{u^2}\ \dfrac{du}{3}} \)
\( = 6\displaystyle\int {\dfrac{1}{u^2}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = -\dfrac{6}{u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -\dfrac{6}{\sin(3x)} + C \)
\( = -6\csc(3x) + C \)
SORU 2:
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int {\dfrac{8}{13}\cos{\frac{8x}{13}}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {4\sin{\frac{4x}{9}}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {3\cos{\frac{5x}{4}}\ dx} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{8}{13}\cos{\frac{8x}{13}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \dfrac{8x}{13} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \dfrac{8}{13}dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{13}{8}du = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{8}{13}\cos{u}\ \dfrac{13}{8}\ du } = \displaystyle\int {\cos{u}\ du } \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \sin{u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \sin{\dfrac{8x}{13}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {4\sin{\frac{4x}{9}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \dfrac{4x}{9} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \dfrac{4}{9}dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{9}{4}du = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {4\sin{u}\ \dfrac{9}{4}\ du } = 9\displaystyle\int {\sin{u}\ du } \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 9(-\cos{u}) + C \)
\( = -9\cos{u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -9\cos{\dfrac{4x}{9}} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {3\cos{\frac{5x}{4}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \dfrac{5x}{4} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \dfrac{5}{4}dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{4}{5}du = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {3\cos{u}\ \dfrac{4}{5}\ du } = \dfrac{12}{5}\displaystyle\int {\cos{u}\ du } \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{12}{5}\sin{u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{12}{5}\sin{\dfrac{5x}{4}} + C \)
SORU 3:
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int (\sin(7x) - \dfrac{1}{5}\cos{\frac{13x}{5}})\ dx \)
(b) \( \displaystyle\int (5\cos(2x) - \sin{\dfrac{x}{8}} + 6\sin{\frac{3x}{2}})\ dx \)
(c) \( \displaystyle\int (\dfrac{5}{6}\cos{\dfrac{2x}{3}} - \dfrac{6}{7}\sin{\dfrac{3x}{4}} + \dfrac{7}{8}\cos{\dfrac{4x}{5}})\ dx \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int (\sin(7x) - \dfrac{1}{5}\cos{\frac{13x}{5}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{-\cos(7x)}{7} - \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\sin{\frac{13x}{5}}}{\frac{13}{5}} + C \)
\( = -\dfrac{1}{7}\cos(7x) - \dfrac{1}{13}\sin{\dfrac{13x}{5}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int (5\cos(2x) - \sin{\dfrac{x}{8}} + 6\sin{\frac{3x}{2}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 5 \cdot \dfrac{\sin(2x)}{2} - \dfrac{-\cos{\frac{x}{8}}}{\frac{1}{8}} + 6 \cdot \dfrac{-\cos{\frac{3x}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \)
\( = \dfrac{5}{2}\sin(2x) + 8\cos{\dfrac{x}{8}} - 4\cos{\dfrac{3x}{2}} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int (\dfrac{5}{6}\cos{\dfrac{2x}{3}} - \dfrac{6}{7}\sin{\dfrac{3x}{4}} + \dfrac{7}{8}\cos{\dfrac{4x}{5}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{\sin{\frac{2x}{3}}}{\frac{2}{3}} - \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{-\cos{\frac{3x}{4}}}{\frac{3}{4}} + \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{\sin{\frac{4x}{5}}}{\frac{4}{5}} + C \)
\( = \dfrac{5}{4}\sin{\dfrac{2x}{3}} + \dfrac{8}{7}\cos{\dfrac{3x}{4}} + \dfrac{35}{32}\sin{\dfrac{4x}{5}} + C \)
SORU 4:
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{5}{1 - \sin{x}}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + \tan{\frac{x}{4}})^2\ dx \)
(c) \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (5\sec{x} + 4\cos{x})^2\ dx \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{5}{1 - \sin{x}}\ dx} \)
Payı ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{5}{1 - \sin{x}}\dfrac{1 + \sin{x}}{1 + \sin{x}}\ dx} \)
\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{1 + \sin{x}}{1 - \sin^2{x}}\ dx} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 1 - \sin^2{x} = \cos^2{x} \)
\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} {\dfrac{1 + \sin{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)
İfadeyi iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.
\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\dfrac{1}{\cos^2{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}})\ dx \)
\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\dfrac{1}{\cos^2{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\dfrac{1}{\cos{x}})\ dx \)
Sinüs ve kosinüs ifadelerini sekant ve tanjant cinsinden yazalım.
\( = 5\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2{x} + \tan{x}\sec{x})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 5 \cdot (\tan{x} + \sec{x})|_0^{\frac{\pi}{3}} \)
\( = 5 \cdot [(\tan{\frac{\pi}{3}} + \sec{\frac{\pi}{3}}) - (\tan{0} + \sec{0})] \)
\( = 5 \cdot [(\sqrt{3} + 2) - (0 + 1)] \)
\( = 5(\sqrt{3} + 1) \)
\( = 5\sqrt{3} + 5 \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + \tan{\frac{x}{4}})^2\ dx \)
İntegral içerisindeki ifadenin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + 2\tan{\frac{x}{4}} + \tan^2{\frac{x}{4}})\ dx \)
\( \tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} (1 + 2\tan{\frac{x}{4}} + \sec^2{\frac{x}{4}} - 1)\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^{\pi} (2\tan{\frac{x}{4}} + \sec^2{\frac{x}{4}})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = (2 \cdot 4 \ln{\abs{\sec{\dfrac{x}{4}}}} + 4\tan{\dfrac{x}{4}})|_0^{\pi} \)
\( = (8\ln{\abs{\sec{\dfrac{x}{4}}}} + 4\tan{\dfrac{x}{4}})|_0^{\pi} \)
\( = (8\ln{\abs{\sec{\dfrac{\pi}{4}}}} + 4\tan{\dfrac{\pi}{4}}) - (8\ln{\abs{\sec{0}}} + 4\tan{0}) \)
\( = (8\ln{\abs{\sqrt{2}}} + 4 \cdot 1) - (8\ln{\abs{1}} + 4 \cdot 0) \)
\( = (4\ln{2} + 4) - (8 \cdot 0 + 4 \cdot 0) \)
\( = 4\ln{2} + 4 \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (5\sec{x} + 4\cos{x})^2\ dx \)
İntegral içerisindeki ifadenin açılımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (25\sec^2{x} + 40\sec{x}\cos{x} + 16\cos^2{x})\ dx \)
\( \sec{x}\cos{x} = 1 \)
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (25\sec^2{x} + 40 + 16\cos^2{x})\ dx \)
Üçüncü terimde kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} [25\sec^2{x} + 40 + 16(\dfrac{\cos(2x) + 1}{2})]\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} [25\sec^2{x} + 40 + 8(\cos(2x) + 1)]\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} (25\sec^2{x} + 48 + 8\cos(2x))\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = (25\tan{x} + 48x + 8 \cdot \dfrac{1}{2}\sin(2x))|_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = (25\tan{x} + 48x + 4\sin(2x))|_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = (25\tan{\frac{\pi}{4}} + 48 \cdot \dfrac{\pi}{4} + 4\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})) - (25\tan{0} + 48 \cdot 0 + 4\sin(2 \cdot 0)) \)
\( = (25 \cdot 1 + 12\pi + 4 \cdot 1) - (25 \cdot 0 + 48 \cdot 0 + 4 \cdot 0) \)
\( = 25 + 12\pi + 4 - 0 \)
\( = 12\pi + 29 \)
SORU 5:
\( \displaystyle\int {\tan^2{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Yöntem 1:
Tanjant fonksiyonunu sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \displaystyle\int {(\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}})^2\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)
Paydaki ifadede Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \cos^2{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{1}{\cos^2{x}} - \dfrac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}})\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sec^2{x}\ dx} - \displaystyle\int {1\ dx} \)
İfadelerin integralini alalım.
\( = \tan{x} - x + C \)
Yöntem 2:
İfadeye 1 ekleyip çıkaralım.
\( \displaystyle\int {(\tan^2{x} + 1 - 1)\ dx} \)
\( \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \) özdeşliğini kullanalım.
\( = \displaystyle\int {(\sec^2{x} - 1)\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \tan{x} - x + C \)
SORU 6:
\( \displaystyle\int 6\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin{x} = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) \)
\( \displaystyle\int 3\sin{x}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -3\cos{x} + C \)
SORU 7:
\( \displaystyle\int (5 + 5\tan^2{x})\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Verilen ifadeyi 5 parantezine alalım.
\( 5\displaystyle\int (1 + \tan^2{x})\ dx \)
\( 1 + \tan^2{x} = \sec^2{x} \) özdeşliğini kullanalım.
\( = 5\displaystyle\int {\sec^2{x}\ dx} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 5\tan{x} + C \)
SORU 8:
\( \displaystyle\int_0^{3\pi} \cos(2x)\ dx + \displaystyle\int_0^{3\pi} 2\sin^2{x}\ dx \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
İki kat açı formülü ile birinci ifadeyi düzenleyelim.
\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2{x} \)
\( \displaystyle\int_0^{3\pi} (1 - 2\sin^2{x})\ dx + \displaystyle\int_0^{3\pi} 2\sin^2{x}\ dx \)
İki integral işleminin sınır değerleri eşit olduğu için toplama kuralını kullanarak iki ifadeyi tek integral işleminde birleştirebiliriz.
\( = \displaystyle\int_0^{3\pi} (1 - 2\sin^2{x} + 2\sin^2{x})\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^{3\pi} 1\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (x)|_0^{3\pi} = 3\pi - 0 = 3\pi \) bulunur.
SORU 9:
\( \displaystyle\int_{0}^{50\pi} \sqrt{\sin^2{x} + \cos(2x)}\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İki kat açı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyelim.
\( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2{x} \)
\( \displaystyle\int_0^{50\pi} \sqrt{\sin^2{x} + \cos^2(x) - \sin^2{x}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^{50\pi} \sqrt{\cos^2(x)}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^{50\pi} \abs{\cos{x}}\ dx \)
Kosinüs fonksiyonunun grafiğini ve \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı düşündüğümüzde grafiğin \( x \) ekseninin üzerinde kaldığı \( [0, \frac{\pi}{2}] \) ve \( [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \) aralıklarındaki belirli integral değerleri birbirine eşittir. Grafiğin \( x \) ekseninin altında kaldığı \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \) ve \( [\pi, \frac{3\pi}{2}] \) aralıklarında ise belirli integral aynı değerlerin negatifine eşittir.
Buna göre kosinüs fonksiyonunun mutlak değerinin \( [0, 2\pi] \) aralığındaki değeri \( [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığındaki değerinin 4 katıdır.
Kosinüs fonksiyonu periyodik olduğu ve periyodu \( 2\pi \) olduğu için \( [0, 50\pi] \) aralığında aynı grafik 25 kez tekrarlanır.
Buna göre ifadeyi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( = \displaystyle\int_0^{50\pi} \abs{\cos{x}}\ dx = 25 \cdot 4\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ dx \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 100(\sin{x})_0^{\frac{\pi}{2}} \)
\( = 100(\sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0}) \)
\( = 100(1 - 0) = 100 \) bulunur.
SORU 10:
\( \displaystyle\int{\dfrac{\cos{x}}{\cos(2x) - 1} \ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
Kosinüs iki kat açı formülü ile paydadaki ifadeyi düzenleyelim.
\( \displaystyle\int{\dfrac{\cos{x}}{\cos(2x) - 1} \ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{1 - 2\sin^2{x} - 1}\ dx} \)
\( = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sin^2{x}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sin{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \cos{x}\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {\dfrac{1}{u^2}\ du} = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int{u^{-2}\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^{-1}}{-1} + C \)
\( = \dfrac{1}{2u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{1}{2\sin{x}} + C \)
\( = \dfrac{1}{2}\csc{x} + C \)
SORU 11:
\( \displaystyle\int{(4\cos{x} - 1)^2\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( \displaystyle\int{(4\cos{x} - 1)^2\ dx} = \displaystyle\int (16\cos^2{x} - 8\cos{x} + 1)\ dx \)
Birinci terimde kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)
\( = \displaystyle\int (16 \cdot \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} - 8\cos{x} + 1)\ dx \)
\( = \displaystyle\int (8\cos(2x) + 8 - 8\cos{x} + 1)\ dx \)
\( = \displaystyle\int (8\cos(2x) - 8\cos{x} + 9)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 4\sin(2x) - 8\sin{x} + 9x + C \)
SORU 12:
\( \displaystyle\int {\cos^2{x}\csc^2{x}\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
Kosinüs ve kosekant ifadelerini sinüs cinsinden yazalım.
\( \cos^2{x} = 1 - \sin^2{x} \)
\( \csc^2{x} = \dfrac{1}{\sin^2{x}} \)
\( \displaystyle\int {\cos^2{x}\csc^2{x}\ dx} = \displaystyle\int {(1 - \sin^2{x})\dfrac{1}{\sin^2{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \sin^2{x}}{\sin^2{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{1}{\sin^2{x}} - 1)\ dx \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin^2{x}}\ dx} - \displaystyle\int {1\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\csc^2{x}\ dx} - \displaystyle\int {1\ dx} \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = -\cot{x} - x + C \)
SORU 13:
\( x \in [0, \pi] \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int {\sqrt{(\cos{x} - 3)^2 - 4 + \sin^2{x}}\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
\( \displaystyle\int {\sqrt{(\cos{x} - 3)^2 - 4 + \sin^2{x}}\ dx} \)
Kök içindeki ifadeyi düzenleyelim.
\( = \displaystyle\int {\sqrt{\cos^2{x} - 6\cos{x} + 9 - 4 + \sin^2{x}}\ dx} \)
\( \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( = \displaystyle\int {\sqrt{6 - 6\cos{x}}\ dx} \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int {\sqrt{6 - 6(1 - 2\sin^2{\frac{x}{2}})}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{6 - 6 + 12\sin^2{\frac{x}{2}})}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\sqrt{12\sin^2{\frac{x}{2}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {2\sqrt{3}\abs{\sin{\frac{x}{2}}}\ dx} \)
\( x \in [0, \frac{\pi}{2}] \) aralığında sinüs pozitiftir.
\( = \displaystyle\int {2\sqrt{3}\sin{\frac{x}{2}}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 2\sqrt{3} \cdot 2 \cdot (-\cos{\dfrac{x}{2}}) + C \)
\( = -4\sqrt{3}\cos{\dfrac{x}{2}} + C \)
SORU 14:
\( \displaystyle\int (3\cos{x} - 2\sin{x})^2\ dx \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster
Parantez karesi ifadesinin açılımını yazalım.
\( \displaystyle\int (3\cos{x} - 2\sin{x})^2\ dx = \displaystyle\int (9\cos^2{x} - 12\cos{x}\sin{x} + 4\sin^2{x})\ dx \)
1. ve 3. terimlerde kosinüs iki kat açı formüllerini kullanalım.
\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)
\( \sin^2{x} = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} \)
\( = \displaystyle\int (9 \cdot \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} - 12\cos{x}\sin{x} + 4 \cdot \dfrac{1 - \cos(2x)}{2})\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{9\cos(2x)}{2} + \dfrac{9}{2} - 12\cos{x}\sin{x} + 2 - 2\cos(2x))\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{5\cos(2x)}{2} - 12\cos{x}\sin{x} + \dfrac{13}{2})\ dx \)
2. terimde sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{5\cos(2x)}{2} - 6\sin(2x) + \dfrac{13}{2})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \dfrac{5\sin(2x)}{4} + 3\cos(2x) + \dfrac{13}{2}x + C \)
SORU 15:
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\cos(2x + \frac{\pi}{2})\ dx} \) integralinin değerini bulunuz.
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 2x + \dfrac{\pi}{2} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 2\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{2} = dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(0) = 2(0) + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \)
\( u(\dfrac{\pi}{4}) = 2 \cdot \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} = \pi \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} {\cos(2x + \frac{\pi}{2})\ dx} = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} {\cos{u} \cdot\ \dfrac{du}{2}} \)
\( = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} {\cos{u}\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}(\sin{u})|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \)
\( = \dfrac{1}{2}(\sin{\pi} - \sin{\frac{\pi}{2}}) \)
\( = \dfrac{1}{2}(0 - 1) \)
\( = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
SORU 16:
\( \displaystyle\int {\dfrac{3 + 4\cos^4{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İfadeyi iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{3}{\cos^2{x}} + \dfrac{4\cos^4{x}}{\cos^2{x}})\ dx \)
\( \displaystyle\int (\dfrac{3}{\cos^2{x}} + 4\cos^2{x})\ dx \)
Birinci ifadeyi sekant cinsinden yazalım.
İkinci ifadede kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos^2{x} = \dfrac{\cos(2x) + 1}{2} \)
\( = \displaystyle\int [3\sec^2{x} + 4(\dfrac{\cos(2x) + 1}{2})]\ dx \)
\( = \displaystyle\int (3\sec^2{x} + 2\cos(2x) + 2)\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 3\tan{x} + 2 \cdot \dfrac{1}{2}\sin(2x) + 2x + C \)
\( = 3\tan{x} + \sin(2x) + 2x + C \)
SORU 17:
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + \sin{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Payı ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{1 + \sin{x}}\dfrac{1 - \sin{x}}{1 - \sin{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \sin{x}}{1 - \sin^2{x}}\ dx} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( 1 - \sin^2{x} = \cos^2{x} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1 - \sin{x}}{\cos^2{x}}\ dx} \)
İfadeyi iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{\cos^2{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}})\ dx \)
\( \displaystyle\int (\dfrac{1}{\cos^2{x}} - \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\dfrac{1}{\cos{x}})\ dx \)
Elde ettiğimiz ifadeyi sekant ve tanjant cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int (\sec^2{x} - \tan{x}\sec{x})\ dx \)
Terimlerin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = \tan{x} - \sec{x} + C \)
SORU 18:
\( \displaystyle\int {5\csc^2{x}\cos{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Kosekant fonksiyonunu sinüs cinsinden yazalım.
\( 5\displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin^2{x}}\cos{x}\ dx} \)
\( = 5\displaystyle\int {\dfrac{1}{\sin{x}}\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}\ dx} \)
\( = 5\displaystyle\int {\csc{x}\cot{x}\ dx} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = -5\csc{x} + C \)
SORU 19:
\( \displaystyle\int {\sqrt[5]{\sin^2{x}\cos^5{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( \displaystyle\int {\sqrt[5]{\sin^2{x}\cos^5{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\sqrt[5]{\sin^2{x}}\cos{x}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(\sin{x})^{\frac{2}{5}}\cos{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sin{x} \)
\( du = \cos{x}\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {u^{\frac{2}{5}}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^{\frac{7}{5}}}{\frac{7}{5}} + C \)
\( = \dfrac{5\sqrt[5]{u^7}}{7} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{5\sqrt[5]{\sin^7{x}}}{7} + C \)
SORU 20:
\( \displaystyle\int {14\sin^5{x}\sin(2x)\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( \displaystyle\int {14\sin^5{x}(2\sin{x}\cos{x})\ dx} \)
\( = 28\displaystyle\int {\sin^6{x}\cos{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sin{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \cos{x}\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = 28\displaystyle\int {u^6\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 28 \cdot \dfrac{u^7}{7} + C \)
\( = 4u^7 + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = 4\sin^7{x} + C \)
SORU 21:
\( \displaystyle\int {3\cos^4{x}\sin(2x)\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( \displaystyle\int {3\cos^4{x}(2\sin{x}\cos{x})\ dx} \)
\( = 6\displaystyle\int {\cos^5{x}\sin{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \cos{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = -\sin{x}\ dx \)
\( \Longrightarrow -du = \sin{x}\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = 6\displaystyle\int {u^5\ (-du)} \)
\( = -6\displaystyle\int {u^5\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = (-6) \cdot \dfrac{u^6}{6} + C \)
\( = -u^6 + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -\cos^6{x} + C \)
SORU 22:
\( \displaystyle\int {\dfrac{8\sqrt[5]{\tan^3{x}}}{\cos^2{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( 8\displaystyle\int {\sqrt[5]{\tan^3{x}} \cdot \dfrac{1}{\cos^2{x}}}\ dx \)
İkinci ifadeyi sekant cinsinden yazalım.
\( = 8\displaystyle\int {\sqrt[5]{\tan^3{x}}\sec^2{x}\ dx} \)
\( = 8\displaystyle\int {(\tan{x})^{\frac{3}{5}}\sec^2{x}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \tan{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \sec^2{x}\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = 8\displaystyle\int {u^{\frac{3}{5}}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 8 \cdot \dfrac{u^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + C \)
\( = 5u^{\frac{8}{5}} + C \)
\( = 5\sqrt[5]{u^8} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = 5\sqrt[5]{\tan^8{x}} + C \)
SORU 23:
\( \displaystyle\int {3x^2\sin{x^3}\cos{x^3}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sin{x^3} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 3x^2\cos{x^3}\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {u\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^2}{2} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{\sin^2{x^3}}{2} + C \)
