Parçalı Fonksiyonların İntegrali
Konu tekrarı için: Parçalı Fonksiyonlar
Tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı tanımlara sahip olan fonksiyonlara parçalı fonksiyon denir. Bir parçalı fonksiyonun farklı tanıma sahip olduğu alt aralıklara fonksiyonun dalları ya da parçaları, fonksiyon tanımının değiştiği noktalara fonksiyonun geçiş noktaları denir.
Bir parçalı fonksiyonun belirli integralini alırken izlenmesi gereken yöntem aşağıdaki gibidir.
- İntegral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geliyorsa integral işlemi her biri parçalı fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla aralığa bölünür.
- İntegral aralığı parçalı fonksiyonun tek bir parçasına karşılık geliyorsa integral işlemi ilgili parçadaki tanım kullanılarak tek adımda alınır.
Bir parçalı fonksiyonun bir geçiş noktasını içeren bir aralıkta integralinin alınabilmesi için fonksiyonun bu noktada limitli, sürekli ya da türevlenebilir olma zorunluluğu yoktur.
Bir parçalı fonksiyonun belirli integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x + 10 & x \lt 4 \\ x - 2 & x \ge 4 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-2}^8 {f(x)\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
Verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = 4 \) noktasıdır.
\( [-2, 8] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geldiği için, integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-2}^8 {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{-2}^4 {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_4^8 {f(x)\ dx} \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{-2}^4 {(-x^2 + 2x + 10)\ dx} + \displaystyle\int_4^8 {(x - 2)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \left( -\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 10x \right)|_{-2}^4 + \left( \dfrac{x^2}{2} - 2x \right)|_4^8 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \left[ \left( -\dfrac{4^3}{3} + 4^2 + 10(4) \right) - \left( -\dfrac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 10(-2) \right) \right] + \left[ \left( \dfrac{8^2}{2} - 2(8) \right) - \left( \dfrac{4^2}{2} - 2(4) \right) \right] \)
\( = \left( \dfrac{104}{3} + \dfrac{40}{3} \right) - \left( 16 - 0 \right) \)
\( = 48 - 16 = 32 \) bulunur.
Parçalı fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
İkiden fazla aralıktan oluşan parçalı fonksiyonların belirli integrali de benzer bir yöntemle hesaplanabilir.
\( f(x) = \begin{cases} -2 & x \lt 1 \\ x + 1 & 1 \le x \lt 3 \\ 8 - 2x & x \ge 3 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-3}^6 {f(x)\ dx} \) integralinin sonucunu bulalım.
Verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktaları \( x = 1 \) ve \( x = 3 \) noktalarıdır.
\( [-3, 6] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geldiği için, integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-3}^6 {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{-3}^1 {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_1^3 {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_3^6 {f(x)\ dx} \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{-3}^1 {-2\ dx} + \displaystyle\int_1^3 {(x + 1)\ dx} + \displaystyle\int_3^6 {(8 - 2x)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (-2x)|_{-3}^1 + \left( \dfrac{x^2}{2} + x \right)|_1^3 + (8x - x^2)|_3^6 \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = (-2(1) + 2(-3)) + \left( \left( \dfrac{3^2}{2} + 3 \right) - \left( \dfrac{1^2}{2} + 1 \right) \right) + ((8(6) - 6^2) - (8(3) - 3^2)) \)
\( = -8 + 6 + (-3) \)
\( = -5 \) bulunur.
Parçalı fonksiyonun grafiği ve her aralıkta belirli integralin karşılık geldiği alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
\( f(x) = \begin{cases} 4x + 1 & x \lt 2 \\ 3x^2 - 1 & x \ge 2 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-1}^{4} {f(x)\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = 2 \) noktasıdır.
\( [-1, 4] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geldiği için, integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^{4} {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{-1}^{2} {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_{2}^{4} {f(x)\ dx} \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{-1}^{2} {(4x + 1)\ dx} + \displaystyle\int_{2}^{4} {(3x^2 - 1)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (2x^2 + x)|_{-1}^{2} + (x^3 - x)|_{2}^{4} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = [(2(2)^2 + 2) - (2(-1)^2 + (-1))] + [(4^3 - 4) - (2^3 - 2)] \)
\( = [(8 + 2) - (2 - 1)] + [(64 - 4) - (8 - 2)] \)
\( = (10 - 1) + (60 - 6) \)
\( = 9 + 54 = 63 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} \cos{x} & x \lt 0 \\ 3x^2 + 1 & x \ge 0 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} {f(x)\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = 0 \) noktasıdır.
\( [-\frac{\pi}{2}, 0] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun tek bir parçasına karşılık geldiği için, integral işlemi ilgili parçadaki tanım kullanılarak tek adımda alınır.
Bu aralıkta fonksiyonun sadece \( x \lt 0 \) bölgesinde tanımlı olan parçası kullanılır.
\( \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} {\cos{x}\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\sin{x})|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \sin{0} - \sin(-\frac{\pi}{2}) \)
\( = 0 - (-1) = 1 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} -\sin{x} & -\frac{\pi}{2} \le x \lt 0 \\ 2x & x \ge 0 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{3} {f(x)\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = 0 \) noktasıdır.
\( [-\frac{\pi}{4}, 3] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geldiği için, integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{3} {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_{0}^{3} {f(x)\ dx} \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} {(-\sin{x})\ dx} + \displaystyle\int_{0}^{3} {2x\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\cos{x})|_{-\frac{\pi}{4}}^{0} + (x^2)|_{0}^{3} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = \left( \cos{0} - \cos\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \right) + (3^2 - 0^2) \)
\( = \left( 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + (9 - 0) \)
\( = 10 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} x^3 & x \lt 0 \\ 6x & 0 \le x \lt 5 \\ 2x + 4 & x \ge 5 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{2}^{7} {f(x)\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun geçiş noktaları \( x = 0 \) ve \( x = 5 \) noktalarıdır.
\( [2, 7] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geldiği için, integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( \displaystyle\int_{2}^{7} {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{2}^{5} {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_{5}^{7} {f(x)\ dx} \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = \displaystyle\int_{2}^{5} {6x\ dx} + \displaystyle\int_{5}^{7} {(2x + 4)\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (3x^2)|_{2}^{5} + (x^2 + 4x)|_{5}^{7} \)
Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.
\( = [3(5)^2 - 3(2)^2] + [(7^2 + 4(7)) - (5^2 + 4(5))] \)
\( = (75 - 12) + [(49 + 28) - (25 + 20)] \)
\( = 95 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & -6 \le x \lt -3 \\ 3x^2 - 4x + 2 & x \ge -3 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-1}^{-4} {f(x)\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Gösterİntegral ifadesine sınırların yer değiştirmesi kuralını uygulayalım.
Bir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.
\( \displaystyle\int_{-1}^{-4} {f(x)\ dx} = -\displaystyle\int_{-4}^{-1} {f(x)\ dx} \)
Verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = -3 \) noktasıdır.
\( [-4, -1] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geldiği için, integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( = -\left( \displaystyle\int_{-4}^{-3} {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_{-3}^{-1} {f(x)\ dx} \right) \)
\( f(x) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımını yazalım.
\( = -\left( \displaystyle\int_{-4}^{-3} {(2x + 6)\ dx} + \displaystyle\int_{-3}^{-1} {(3x^2 - 4x + 2)\ dx} \right) \)
İfadelerin integrallerini alalım.
\( = -[( x^2 + 6x)|_{-4}^{-3} + (x^3 - 2x^2 + 2x)|_{-3}^{-1}] \)
Sınır değerlerini yerlerine koyarak belirli integral değerlerini hesaplayalım.
Birinci ifade için:
\( (x^2 + 6x)|_{-4}^{-3} = [((-3)^2 + 6(-3)) - ((-4)^2 + 6(-4))] \)
\( = [(9 - 18) - (16 - 24)] = -1 \)
İkinci ifade için:
\( (x^3 - 2x^2 + 2x)|_{-3}^{-1} = [((-1)^3 - 2(-1)^2 + 2(-1)) - ((-3)^3 - 2(-3)^2 + 2(-3))] \)
\( = [(-1 - 2 - 2) - (-27 - 18 - 6)] \)
\( = [-5 - (-51)] = 46 \)
Bulduğumuz değerleri ana işlemde yerine koyalım.
\( = -[(-1) + 46] = -45 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} 4x - 1 & x \lt 3 \\ 3x^2 & x \ge 3 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-1}^{2} {f(x+1)\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x + 1 \)
\( du = dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(-1) = -1 + 1 = 0 \)
\( u(2) = 2 + 1 = 3 \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^{2} {f(x+1)\ dx} = \displaystyle\int_{0}^{3} {f(u)\ du} \)
Verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = 3 \) noktasıdır.
\( [0, 3] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun tek bir parçasına karşılık geldiği için, integral işlemi ilgili parçadaki tanım kullanılarak tek adımda alınır.
\( \displaystyle\int_{0}^{3} {f(u)\ du} = \displaystyle\int_{0}^{3} {(4u - 1)\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (2u^2 - u)|_{0}^{3} \)
\( = (2(3)^2 - 3) - (2(0)^2 - 0) \)
\( = 15 \) bulunur.
\( f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & x \lt 0 \\ 3x^2 + 4 & x \ge 0 \end{cases} \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{-1}^{1} {f(2x+1)\ dx} \) integralinin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterAşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 2x + 1 \)
\( du = 2\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{du}{2} \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(-1) = 2(-1) + 1 = -1 \)
\( u(1) = 2(1) + 1 = 3 \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int_{-1}^{1} {f(2x+1)\ dx} = \displaystyle\int_{-1}^{3} {f(u)\ \dfrac{du}{2}} = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{3} {f(u)\ du} \)
Verilen parçalı fonksiyonun geçiş noktası \( x = 0 \) noktasıdır.
\( [-1, 1] \) integral aralığı parçalı fonksiyonun birden fazla parçasına karşılık geldiği için, integral işlemini her biri fonksiyonun tek bir parçasına karşılık gelecek şekilde birden fazla integralin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\int_{-1}^{0} {f(u)\ du} + \displaystyle\int_{0}^{3} {f(u)\ du} \right) \)
\( f(u) \) yerine her aralıkta geçerli olan fonksiyon tanımlarını yazalım.
\( = \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle\int_{-1}^{0} {(2u + 4)\ du} + \displaystyle\int_{0}^{3} {(3u^2 + 4)\ du} \right) \)
İfadelerin integrallerini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}[(u^2 + 4u)|_{-1}^{0} + (u^3 + 4u)|_{0}^{3}] \)
Sınır değerlerini yerlerine koyarak belirli integral değerlerini hesaplayalım.
Birinci ifade için:
\( (u^2 + 4u)|_{-1}^{0} = (0^2 + 4(0)) - ((-1)^2 + 4(-1)) \)
\( = 0 - (1 - 4) = 3 \)
İkinci ifade için:
\( (u^3 + 4u)|_{0}^{3} = (3^3 + 4(3)) - (0^3 + 4(0)) \)
\( = (27 + 12) - 0 = 39 \)
Bulduğumuz değerleri ana işlemde yerine koyalım.
\( = \dfrac{1}{2}(3 + 39) = 21 \) bulunur.