Belirli İntegralin Özellikleri

(a) seçeneği:

Bir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.

\( \displaystyle\int_6^1 {g(x)\ dx} = -\displaystyle\int_1^6 {g(x)\ dx} \)

\( = -14 \)

(b) seçeneği:

Belirli integralin aralıkların birleşimi özelliğini kullanalım.

\( \underbrace{\displaystyle\int_1^6 {f(x)\ dx}}_\text{9} = \underbrace{\displaystyle\int_1^3 {f(x)\ dx}}_\text{5} + \displaystyle\int_3^6 {f(x)\ dx} \)

\( \displaystyle\int_3^6 {f(x)\ dx} = 4 \)

(c) seçeneği:

İki fonksiyonun toplamının/farkının integrali, integrallerinin toplamına/farkına eşittir.

\( \displaystyle\int_1^6 [3f(x) - g(x)]\ dx = \displaystyle\int_1^6 {3f(x)\ dx} - \displaystyle\int_1^6 {g(x)\ dx} \)

Bir fonksiyonun sabit bir değerle çarpımının integrali, fonksiyonun integralinin sabit değerle çarpımına eşittir.

\( = 3\underbrace{\displaystyle\int_1^6 {f(x)\ dx}}_\text{9} - \underbrace{\displaystyle\int_1^6 {g(x)\ dx}}_\text{14} \)

\( = 3 \cdot 9 - 14 = 13 \)

\( \displaystyle\int_{-5}^0 (2f(x + 5) + 3)\ dx \)

İntegral ifadesine toplama ve sabit çarpma kurallarını uygulayalım.

\( = 2\displaystyle\int_{-5}^0 f(x + 5)\ dx + \displaystyle\int_{-5}^0 3\ dx \)

Birinci integral ifadesini 5 birim sağa öteleyelim.

\( = 2\displaystyle\int_0^5 f(x)\ dx + \displaystyle\int_{-5}^0 3\ dx \)

İfadelerin integralini alalım.

Birinci integral ifadesi \( A \)'ya eşittir.

\( = 2A + (3x)_{-5}^0 \)

\( = 2A + (3(0) - 3(-5)) \)

\( = 2A + 15 \) bulunur.

İntegrali alınan terimlerin tümü birer tek fonksiyondur, dolayısıyla bu terimlerin toplamı da bir tek fonksiyon olur.

Ayrıca integralin sınır değerleri birbirinin ters işaretlisidir.

\( \ln{2} - \pi = -(\pi - \ln{2}) \)

Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integral değerleri sıfır olur.

\( \displaystyle\int_{-(\pi - \ln{2})}^{\pi - \ln{2}} (x^5 + \sin{x} + x)\ dx = 0 \)

Aralıkların birleşimi özelliğini kullanalım.

\( \displaystyle\int_{-2}^5 f(x)\ dx = 5 \)

\( \displaystyle\int_{-2}^1 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx = 5 \)

İntegralin toplama işlem özelliğini kullanalım.

\( \displaystyle\int_1^5 (2 + f(x))\ dx = 12 \)

\( \displaystyle\int_1^5 2\ dx + \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx = 12 \)

\( (2x)|_1^5 + \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx = 12 \)

\( (2 \cdot 5 - 2 \cdot 1) + \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx = 12 \)

\( \displaystyle\int_1^5 f(x)\ dx = 4 \)

Bu değeri yukarıdaki eşitlikte yerine yazalım.

\( \displaystyle\int_{-2}^1 f(x)\ dx + 4 = 5 \)

\( \displaystyle\int_{-2}^1 f(x)\ dx = 1 \) bulunur.

Belirli integralde aralıkların birleşimi kuralı aşağıdaki gibidir.

\( \displaystyle\int_a^c {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_b^c {f(x)\ dx} \)

\( \displaystyle\int_{-6}^2{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{-6}^{-4}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{-4}^2{f(x)}\ dx\ \)

\( \displaystyle\int_{-6}^{-4}{3f(x)}\ dx = 27 \)

\( 3\displaystyle\int_{-6}^{-4}{f(x)}\ dx = 27 \)

\( \displaystyle\int_{-6}^{-4}{f(x)}\ dx = 9 \)

Soruda verilen ve bulduğumuz değerleri yerlerine koyalım.

\( 13 = 9 + \displaystyle\int_{-4}^2{f(x)}\ dx \)

\( \displaystyle\int_{-4}^2{f(x)}\ dx = 13 - 9 \)

\( = 4 \) olarak bulunur.

\( f \) fonksiyonu orijine göre simetrik olduğuna göre tek fonksiyondur.

Buna göre \( f \) fonksiyonunun belirli integrali ile ilgili aşağıdaki iki kural geçerlidir.

\( \displaystyle\int_{-a}^0 {f(x)\ dx} = -\displaystyle\int_0^a {f(x)\ dx} \)

\( \displaystyle\int_{-a}^a {f(x)\ dx} = 0 \)

\( \displaystyle\int_{-4}^0 f(x)\ dx = 4 \) ise,

\( \displaystyle\int_0^4 f(x)\ dx = -4 \)

Soruda verilen birinci integrali ifadesini aralıkların birleşimi kuralı ile iki aralığın toplamı şeklinde yazalım.

\( \displaystyle\int_{-1}^4 f(x)\ dx = \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^4 f(x)\ dx = 6 \)

\( \displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\ dx = 0 \) olduğuna göre,

\( \displaystyle\int_1^4 f(x)\ dx = 6 \)

Aralıkların toplamı özelliğini kullanalım.

\( \displaystyle\int_0^4 f(x)\ dx = \displaystyle\int_0^1 f(x)\ dx + \displaystyle\int_1^4 f(x)\ dx \)

\( -4 = \displaystyle\int_0^1 f(x)\ dx + 6 \)

\( \displaystyle\int_0^1 f(x)\ dx = -10 \) bulunur.

İntegral toplama ve sabit çarpım kurallarını kullanarak ifadeyi iki integral işleminin toplamı şeklinde yazalım.

\( \displaystyle\int_{-5}^5 (3f(x) + 4g(x))\ dx = 3\displaystyle\int_{-5}^5 f(x)\ dx \) \( + 4\displaystyle\int_{-5}^5 g(x)\ dx \)

Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integral değerleri sıfır olur, dolayısıyla ilk ifadenin değeri sıfırdır.

\( g \) çift fonksiyon olduğu için \( [-5, 0] \) aralığındaki belirli integral değeri \( [0, 5] \) aralığındaki değerine eşittir.

\( \displaystyle\int_{-5}^5 g(x)\ dx = 2\displaystyle\int_0^5 g(x)\ dx = 24 \)

Buna göre sorudaki ifadenin değerini bulalım.

\( 3 \cdot 0 + 4 \cdot 24 = 96 \) bulalım.

İntegrali alınan ifadeyi düzenleyelim.

\( \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}} (\sin{x}\cos{x} + \sin{x})\ dx \)

\( \sin{x}\cos{x} \) terimi tek ve çift iki fonksiyonun çarpımından oluştuğu için tek fonksiyondur.

\( \sin{x} \) terimi de tek fonksiyondur.

İki tek fonksiyonun toplamından oluşan fonksiyon tek fonksiyon olduğu için integrali alınan ifade tek fonksiyondur.

Tek fonksiyonlar orijine göre simetrik oldukları için herhangi bir \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integral değerleri sıfır olur.

İntegral işleminde sınır değerleri birbirinin ters işaretlisi olduğu için ifadenin integral değeri 0 olur.

\( \displaystyle\int_{-4}^4 (f'(x) - g'(x))\ dx = \displaystyle\int_{-4}^4 f'(x)\ dx \) \( - \displaystyle\int_{-4}^4 g'(x)\ dx \)

Bir tek fonksiyonun sınır değerleri birbirinin ters işaretlisi olan integralinin değeri 0'a eşittir.

Buna göre \( g'(x) \) tek fonksiyon olduğu için ikinci terim 0'a eşittir.

\( = \displaystyle\int_{-4}^4 f'(x)\ dx - 0 \)

Bir tek fonksiyonun türevi çift fonksiyondur.

Buna göre \( f(x) \) tek fonksiyon olduğu için türevi çift fonksiyondur.

Çift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetrik oldukları için \( [-a, 0] \) ve \( [0, a] \) aralıklarındaki belirli integral değerleri birbirine eşittir.

\( = 2\displaystyle\int_0^4 f'(x)\ dx \)

İfadenin integralini alalım.

\( = 2(f(x))_0^4 \)

\( = 2(f(4) - f(0)) = 2(10 - 4) = 12 \) bulunur.

İntegrali alınan ifadeyi bir fonksiyon olarak tanımlayalım.

\( f(x) = \ln{\dfrac{5 + x}{5 - x}} \cdot e^{x^4} \)

\( = (\ln(5 + x) - \ln(5 - x)) \cdot e^{x^4} \)

Fonksiyonun tek/çift fonksiyon olma durumunu anlamak için \( f(-x) \) fonksiyonunu bulalım.

\( f(-x) = (\ln(5 + (-x)) - \ln(5 - (-x))) \cdot e^{(-x)^4} \)

\( = (\ln(5 - x) - \ln(5 + x)) \cdot e^{x^4} \)

\( = -(\ln(5 + x) - \ln(5 - x)) \cdot e^{x^4} \)

\( = -f(x) \)

\( f(-x) = -f(x) \) olduğu için \( f \) fonksiyonu bir tek fonksiyondur.

Bir tek fonksiyonun \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integrali sıfıra eşittir.

\( \displaystyle\int_{-3}^3 {\ln{\dfrac{5 + x}{5 - x}} \cdot e^{x^{4}}\ dx} = 0 \)

\( \sin{x} \) bir tek fonksiyondur.

\( 1 + x^4 \) bir çift fonksiyondur.

Bir tek fonksiyonun çift fonksiyona bölümü tek fonksiyon olur.

Bir tek fonksiyonun \( [-a, a] \) aralığındaki belirli integrali sıfıra eşittir.

\( \displaystyle\int_{-\pi}^\pi {\dfrac{\sin{x}}{1 + x^4}\ dx} = 0 \)

Verilen ifadelere değişkenler atayalım.

\( \displaystyle\int_0^3 g(x)\ dx = A \)

\( \displaystyle\int_{-1}^0 g(x)\ dx = B \)

\( \displaystyle\int_{-1}^3 g(x)\ dx = A + B \)

Bir integralin alt ve üst sınırları kendi aralarında yer değiştirirse integral değeri işaret değiştirir.

\( \displaystyle\int_3^{-1} g(x)\ dx = -(A + B) \)

\( g(x) \) fonksiyonu \( [-1, 3] \) aralığında türevlenebilir olduğu için ardışık aralıklarda belirli integralleri birleştirme özelliğini kullanabiliriz.

Verilen eşitliklerde \( A \) ve \( B \)'yi yerlerine yazalım.

İntegral içindeki sabit çarpanları integral dışına alabiliriz.

\( 2(A + B) + 3B = 2A + 5B = 26 \)

\( 2A - (A + B) = A - B = 19 \)

İkinci denklemi 2 ile genişletip birinci denklemden taraf tarafa çıkaralım.

\( 7B = -12 \)

\( B = -\dfrac{12}{7} \) bulunur.

Bir integral ifadesine aşağıdaki şekilde öteleme uygulayabiliriz.

\( \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_{a+k}^{b+k} {f(x - k)\ dx} \)

\( k = 2 \) verelim.

\( \displaystyle\int_1^3 f(x + 2) \ dx = -12 \)

\( \displaystyle\int_{1 + 2}^{3 + 2} f((x - 2) + 2) \ dx = -12 \)

\( \displaystyle\int_3^5 f(x) \ dx = -12 \)

Soruda verilen ilk eşitlikte bu değeri yerine koyalım.

\( 3\displaystyle\int_3^5 f(x) \ dx + 7\displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 27 \)

\( 3(-12) + 7\displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 27 \)

\( 7\displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 63 \)

\( \displaystyle\int_5^7 f(x) \ dx = 9 \)

Değeri sorulan ifadeye sınırların yer değiştirmesi kuralını uygulayalım.

\( \displaystyle\int_7^3 f(x)\ dx = -\displaystyle\int_3^7 f(x)\ dx \)

Aralıkların birleşimi kuralını uygulayalım.

\( = -(\displaystyle\int_3^5 f(x)\ dx + \displaystyle\int_5^7 f(x)\ dx) \)

Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( = -(-12 + 9) \)

\( = 3 \) bulunur.

Belirli integralin aralıkların birleşimi kuralını kullanarak her aralıktaki belirli integral değerini bulalım.

\( (a, d) \) aralığını iki aralığa bölelim.

\( \displaystyle\int_a^d f(x)\ dx = \displaystyle\int_a^c f(x)\ dx + \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx \)

\( -7 = 1 + \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx \)

\( \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx = -8 \)

Buna göre fonksiyonun \( (c, d) \) aralığındaki belirli integral değeri -8'dir.

\( (b, d) \) aralığını iki aralığa bölelim.

\( \displaystyle\int_b^d f(x)\ dx = \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx + \displaystyle\int_c^d f(x)\ dx \)

\( -1 = \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx + (-8) \)

\( \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx = 7 \)

Buna göre fonksiyonun \( (b, c) \) aralığındaki belirli integral değeri 7'dir.

\( (a, c) \) aralığını iki aralığa bölelim.

\( \displaystyle\int_a^c f(x)\ dx = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx + \displaystyle\int_b^c f(x)\ dx \)

\( 1 = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx + 7 \)

\( \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = -6 \)

Buna göre fonksiyonun \( (a, b) \) aralığındaki belirli integral değeri -6'dır.

\( (0, d) \) aralığını iki aralığa bölelim.

\( \displaystyle\int_0^d f(x)\ dx = \displaystyle\int_0^a f(x)\ dx + \displaystyle\int_a^d f(x)\ dx \)

\( 2 = \displaystyle\int_0^a f(x)\ dx + (-7) \)

\( \displaystyle\int_0^a f(x)\ dx = 9 \)

Buna göre fonksiyonun \( (0, a) \) aralığındaki belirli integral değeri 9'dur.

Özetle fonksiyonun \( (0, a), (a, b), (b, c), (c, d) \) aralıklarındaki belirli integral değerleri sırasıyla 9, -6, 7 ve -8 olur.

Fonksiyonun \( (0, d) \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alan bu belirli integral değerlerinin mutlak değerlerinin toplamına eşittir.

\( A = 9 + 6 + 7 + 8 = 30 \) bulunur.

Çift fonksiyonlar \( y \) eksenine göre simetrik olduğu için \( y \) eksenine göre simetrik olan aralıklardaki belirli integral değerleri birbirine eşittir.

\( \displaystyle\int_{-a}^{0}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{0}^{a}{f(x)}\ dx = A \)

\( \displaystyle\int_{-a}^{a}{f(x)}\ dx = 2A \)

Bu bilgiden yararlanarak \( \displaystyle\int_{-5}^{5}{f(x)}\ dx \) integralini parçalayalım.

\( \displaystyle\int_{-5}^{5}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{-5}^{0}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx \)

\( = 2\displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx = 2\displaystyle\int_{-5}^{0}{f(x)}\ dx \)

\( 36 = 2\displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx \)

\( \displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx = 18 \)

Belirli integralde aralıkların birleşimi kuralı aşağıdaki gibidir.

\( \displaystyle\int_a^c {f(x)\ dx} = \displaystyle\int_a^b {f(x)\ dx} + \displaystyle\int_b^c {f(x)\ dx} \)

Yukarıdaki formülü \( \displaystyle\int_{-1}^{2}{f(x)}\ dx \) fonksiyonuna uygulayalım.

\( \displaystyle\int_{-1}^{2}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{1}^{2}{f(x)}\ dx \)

\( 12 = \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx + 5 \)

\( \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx = 7 \)

\( f(x) \) fonksiyonunun çift olma özelliğini tekrar kullanalım.

\( \displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)}\ dx = 2\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}\ dx \)

\( \displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}\ dx = \dfrac{7}{2} \)

Soruda istenen integrali bulmak için \( \displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx \) integralini aralıkların birleşim kuralı ile 3 parçaya ayıralım.

\( \displaystyle\int_{0}^{5}{f(x)}\ dx = \displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{1}^{2}{f(x)}\ dx + \displaystyle\int_{2}^{5}{f(x)}\ dx \)

\( 18 = \dfrac{7}{2} + 5 + \displaystyle\int_{2}^{5}{f(x)}\ dx \)

\( \displaystyle\int_{2}^{5}{f(x)}\ dx = \dfrac{19}{2} \) olarak bulunur.

\( f \) çift fonksiyon olduğu için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

\( \displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\ dx = \displaystyle\int_2^3 f(x)\ dx = 7 \)

Bir integral ifadesine aşağıdaki şekilde öteleme dönüşümü uygulayabiliriz.

\( \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = \displaystyle\int_{a + k}^{b + k} f(x - k)\ dx \)

Bu dönüşümü verilen ikinci integral ifadesine uygulayalım.

\( \displaystyle\int_4^5 f(x - 1)\ dx = \displaystyle\int_{4 - 1}^{5 - 1} f((x + 1) - 1)\ dx \)

\( = \displaystyle\int_3^4 f(x)\ dx = -4 \)

Bir integral ifadesine aşağıdaki şekilde yansıma dönüşümü uygulayabiliriz.

\( \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx = \displaystyle\int_a^b f(a + b - x)\ dx \)

\( \displaystyle\int_2^4 f(6 - x)\ dx = \displaystyle\int_2^4 f(2 + 4 - x)\ dx \)

\( = \displaystyle\int_2^4 f(x)\ dx \)

Buna göre soruda \( \displaystyle\int_2^4 f(x)\ dx \) ifadesinin değeri sorulmuş.

\( \displaystyle\int_2^4 f(6 - x)\ dx = \displaystyle\int_2^4 f(x)\ dx \)

İfadeye aralıkların birleşimi kuralını uygulayalım.

\( = \displaystyle\int_2^3 f(x)\ dx + \displaystyle\int_3^4 f(x)\ dx \)

İfadelerin yukarıda bulduğumuz değerlerini yazalım.

\( = \displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\ dx + \displaystyle\int_4^5 f(x - 1)\ dx \)

\( = 7 + (-4) = 3 \) bulunur.

\( g(x) \) fonksiyonu belirli bir \( x \) değeri için \( f \) fonksiyonunun \( [a, x] \) aralığındaki belirli integral değerini vermektedir.

Belirli integral değeri fonksiyon grafiğinin \( x \) ekseninin üstünde kaldığı aralıklarda pozitif, altında kalıdığı aralıklarda negatiftir.

Buna göre \( g(x) \) fonksiyonu \( [a, d] \) aralığında artandır.

\( \displaystyle\int_a^d f(x)\ dx \gt 0 \)

\( g(x) \) fonksiyonu \( [d, f] \) aralığında azalandır.

\( \displaystyle\int_d^f f(x)\ dx \lt 0 \)

\( d \) noktasına kadar alan artan \( g(x) \) fonksiyon değeri \( d \) noktasından sonra azalmaya başladığı için fonksiyon en büyük değerini \( x = d \) noktasında alır.

\( f(x) = x^2 + 7x = x(x + 7) \)

\( f(x) \) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.

\( f(x) \) fonksiyonu \( (-\infty, 0) \) ve \( (7, +\infty) \) aralıklarında pozitif, \( (0, 7) \) aralığında negatif değer alır.

Fonksiyonun değerinin pozitif olduğu aralıklarda belirli integrali de pozitif, negatif olduğu aralıklarda belirli integrali de negatiftir.

Verilen belirli integralin en küçük değerini alması için, \( a \) ve \( b \) değerleri grafiğin \( x \) ekseninin altında kaldığı en geniş aralığı kapsayacak şekilde seçilmelidir.

Buna göre \( a \) ve \( b \) değerleri şekildeki turuncu bölgeyi kapsayacak şekilde \( a = 0 \), \( b = 7 \) olmalıdır.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki belirli integrali fonksiyonun grafiğinin \( x \) ekseni ile arasında kalan net alanı verir.

\( f \) fonksiyonunun değeri \( [-1, 0) \) ve \( (3, 4] \) aralıklarında negatif, \( (0, 3) \) aralığında pozitiftir.

Buna göre \( f \) fonksiyonunun bu aralıklardaki belirli integrali de sırasıyla negatif ve pozitif işaretlidir.

\( g \) fonksiyonu belirli bir \( x \) değeri için \( f \) fonksiyonunun \( [-1, x] \) aralığındaki belirli integralini, yani \( x \) ekseni ile arasında kalan net alanını verir.

\( g \) fonksiyonu en büyük değerini \( f \) fonksiyonunun pozitif değer aldığı en son nokta olan \( x = 3 \) noktasında alır.