Eğri ile y-Ekseni Arasında Kalan Alan

Fonksiyonun apsis değerleri verilen iki noktasının ordinat değerlerini bulalım.

\( f(0) = e^0 = 1 \)

\( f(2) = e^2 = e^2 \)

Buna göre taralı alan \( [1, e^2] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( y \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.

Grafiğin \( y \) ekseni ile arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonu \( y \) cinsinden yazalım.

\( y = e^x \)

\( x = \ln{y} \)

\( f \) fonksiyonu bu aralıkta \( y \) ekseninin sağında kaldığı için belirli integrali pozitif işaretlidir. Bu aralıkta fonksiyon grafiği ile \( y \) ekseni arasında kalan alan da bu pozitif integral değerine eşittir.

\( A = \displaystyle\int_1^{e^2} \ln{y}\ dy \)

Bu ifadenin integralini kısmi integral yöntemi sayfasında aşağıdaki şekilde bulmuştuk.

\( = (x\ln{x} - x)|_1^{e^2} \)

Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.

\( = (e^2\ln{e^2} - e^2) - (1\ln{1} - 1) \)

\( = e^2 + 1 \) bulunur.

Fonksiyonun apsis değerleri verilen üç noktasının ordinat değerlerini bulalım.

\( f(-1) = \sqrt[3]{8(-1)} = -2 \)

\( f(0) = \sqrt[3]{8(0)} = 0 \)

\( f(8) = \sqrt[3]{8(8)} = 4 \)

Buna göre taralı alan \( [-2, 4] \) aralığında fonksiyon grafiği ile \( y \) ekseni arasında kalan alana karşılık gelmektedir.

Grafiğin \( y \) ekseni ile arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonu \( y \) cinsinden yazalım.

\( y = \sqrt[3]{8x} \)

\( x = \dfrac{y^3}{8} \)

Taralı alan fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında ve solunda kaldığı bölgelerden oluştuğu için, bu alanı fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kaldığı aralıklardaki belirli integralinden solunda kaldığı aralıklardaki belirli integralini çıkarak bulabiliriz.

\( A = \displaystyle\int_0^4 \dfrac{y^3}{8}\ dy - \displaystyle\int_{-2}^0 \dfrac{y^3}{8}\ dy \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{y^4}{32})|_0^4 - (\dfrac{y^4}{32})|_{-2}^0 \)

Sınır değerlerini yerine koyarak belirli integral değerini bulalım.

\( = (\dfrac{4^4}{32} - \dfrac{0^4}{32}) - (\dfrac{0^4}{32} - \dfrac{(-2)^4}{32}) \)

\( = (8 - 0) - (0 - \dfrac{1}{2}) \)

\( = 8\dfrac{1}{2}) \) bulunur.

\( f \) fonksiyonunun tahmini grafiğini çizelim.

\( f \) fonksiyonu \( [0, 5] \) aralığında \( x \) ekseninin üzerinde kaldığı için \( x \) ekseni ile arasında kalan alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integraline eşittir.

\( A_1 = \displaystyle\int_0^5 f(x)\ dx \)

\( g \) fonksiyonu \( f \) fonksiyonunun tersi olduğu için, \( [f(0) = 0, f(5) = 7] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alan \( g(y) = f^{-1}(x) \) fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integraline eşittir.

\( A_2 = \displaystyle\int_0^7 g(y)\ dy \)

Bu iki alanın toplamı \( 5 \cdot 7 = 35 \) birimkarelik dikdörtgenin alanına karşılık gelir.

\( A_1 + A_2 = 35 \) olarak bulunur.

\( f \) fonksiyonunun tahmini grafiğini çizelim.

\( \displaystyle\int_3^8 f(x)\ dx \) integrali \( f \) fonksiyonunun \( [3, 8] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı ifade eder.

\( \displaystyle\int_3^8 f(x)\ dx = A_1 + A_2 \)

\( A_2 \) değerini dikdörtgen alan formülü ile bulabiliriz.

\( A_2 = (8 - 3) \cdot 2 = 10 \)

\( A_1 \) değerini bulalım.

\( \displaystyle\int_3^8 f(x)\ dx = A_1 + A_2 \)

\( 15 = A_1 + 10 \)

\( A_1 = 5 \)

\( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu için \( \displaystyle\int_2^6 f^{-1}(x)\ dx \) integrali \( f \) fonksiyonunun \( [f(8) = 2, f(3) = 6] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alanı ifade eder.

\( \displaystyle\int_2^6 f^{-1}(x)\ dx = A_1 + A_3 \)

\( A_3 \) değerini dikdörtgen alan formülü ile bulabiliriz.

\( A_3 = (6 - 2) \cdot 3 = 12 \)

Soruda istenen integral değerini bulalım.

\( \displaystyle\int_2^6 f^{-1}(x)\ dx = A_1 + A_3 \)

\( = 5 + 12 = 17 \) bulunur.

Verilen iki integral ifadesinden birincisi \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \in [0, 7] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alana, ikincisi de \( y \in [0, 5] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alana karşılık gelir.

Fonksiyonun birinci türevi pozitif olduğu için grafiği şekildeki gibi sürekli artandır.

Fonksiyonun ikinci türevi negatif olduğu için eğimi sürekli azalandır, dolayısıyla grafiği şekildeki gibi konkavdır.

Bu yüzden eğri ile \( x \) ekseni arasında kalan bölge, \( y \) ekseni ile arasında kalan bölgeden daha büyük olur.

\( \displaystyle\int_0^7 f(x)\ dx \gt \displaystyle\int_0^5 f^{-1}(y)\ dy \)

\( f^{-1} \) fonksiyonunun \( [6, 13] \) aralığındaki belirli integrali fonksiyonun bu aralıkta \( y \) ekseni ile arasında kalan taralı alanı verir.

Değeri sorulan ifadenin integralini almak için değişken değiştirme yöntemini kullanalım.

\( x^2 - 16 = u \)

\( \Longrightarrow 2x\ dx = du \)

\( u \) değişkeni için sınır değerlerini bulalım.

\( u(-4) = (-4)^2 - 16 = 0 \)

\( u(5) = 5^2 - 16 = 9 \)

\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.

\( \displaystyle\int_{-4}^5{2xf(x^2 - 16)}\ dx = \displaystyle\int_0^9{f(u)}\ du \)

Buna göre değeri istenen ifade \( [0, 9] \) aralığında \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) ekseni ile arasında kalan alana eşittir.

Bu alanı bulmak için köşeleri orijin, \( (9, 0) \), \( (5, 6) \) ve \( (0, 6) \) noktaları olan yamuğun alanı ile taralı alana karşılık gelen \( f^{-1} \) fonksiyonunun \( [6, 13] \) aralığındaki belirli integralini toplayalım.

Yamuğun alanını bulalım.

\( \dfrac{9 + 5}{2} \cdot 6 = 42 \)

Fonksiyonun \( [0, 9] \) aralığında \( x \) ekseni ile arasında kalan alanı bulalım.

\( \displaystyle\int_0^9{f(u)}\ du = 42 + 11 \)

\( = 53 \) olarak bulunur.

Doğru ile eğrinin kesişim noktasının koordinatlarını bulmak için doğru ya da eğrinin denkleminde \( x = 2 \) yazalım.

\( y = 2(2) + 6 = 10 \)

Kesişim noktası: \( (2, 10) \)

Doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktayı bulalım.

\( y = 2(0) + 6 = 6 \)

Doğru \( y \) eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser.

Eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktayı bulalım.

\( f(0) = 0^3 + 2 = 2 \)

Eğri \( y \) eksenini \( (0, 2) \) noktasında keser.

Taralı bölgenin alanını bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunun \( [2, 10] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alandan köşeleri \( (0, 6) \), \( (0, 10) \) ve \( (2, 10) \) olan üçgenin alanını çıkaralım.

Üçgenin alanını bulalım.

\( A_2 = \dfrac{(10 - 6) \cdot 2}{2} = 4 \)

\( f(x) \) fonksiyonunun \( [2, 10] \) aralığında \( y \) ekseni ile arasında kalan alanı bulmak için fonksiyonu \( y \) cinsinden yazalım.

\( x^3 + 2 = y \)

\( x^3 = y - 2 \)

\( x = f(y) = \sqrt[3]{y - 2} \)

Fonksiyon bu aralıkta \( y \) ekseninin sağ tarafında kaldığı için, alan fonksiyonun bu aralıktaki belirli integraline eşittir.

\( \displaystyle\int_2^{10}{\sqrt[3]{y - 2}}\ dy \)

İfadenin integralini alalım.

\( = (\dfrac{3(y - 2)^{\frac{4}{3}}}{4})|_2^{10} \)

\( = \dfrac{3(10 - 2)^{\frac{4}{3}}}{4} - \dfrac{3(2 - 2)^{\frac{4}{3}}}{4} \)

\( = \dfrac{3(16)}{4} - \dfrac{3(0)}{4} \)

\( = 12 \)

Taralı bölgenin alanını bulalım.

\( A_1 = 12 - A_2 = 8 \) olarak bulunur.