Konu tekrarı için: Basit Kesirlere Ayırma
Basit kesirlere ayırma yöntemi ile standart bir integral alma kuralı olmayan \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) biçimindeki bir rasyonel ifadeyi integral alma kuralları bilinen basit kesirlerin toplamı şeklinde yazabilir ve her terimin integralini ayrı ayrı alabiliriz.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2x^3 - 6x^2 - 2x - 3}{x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 4}\ dx} \) ifadesinin integralini bulalım.
Önce paydayı çarpanlarına ayıralım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{2x^3 - 6x^2 - 2x - 3}{(x - 2)^2(x^2 + 1)}\ dx} \)
İfadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\int {(\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{(x - 2)^2} + \dfrac{1}{x^2 + 1})\ dx} \)
Her kesrin ayrı ayrı integralini alalım.
\( = 2\ln{\abs{x - 2}} + \dfrac{3}{x - 2} + \arctan{x} + C \)
Bir rasyonel ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde nasıl yazabileceğimize polinomlar konusundaki basit kesirlere ayırma bölümünde değinmiştik. Bu bölümde bir rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayırdığımızı varsayarak oluşan farklı tipteki terimlerin integralini nasıl alabileceğimize değineceğiz.
Bir rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki formdaki kesirlerden oluşabilir.
Bu formdaki ifadelerin integrali doğal logaritma fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\frac{1}{ax + b}\ dx} = \frac{1}{a}\ln\abs{ax + b} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{x}\ dx} = \ln\abs{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{3x + 2}\ dx} = \dfrac{1}{3}\ln\abs{3x + 2} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{3}{x - 5}\ dx} = 3\ln\abs{x - 5} + C \)
Bu formdaki ifadelerin integrali kuvvet fonksiyonlarının integrali şeklinde alınır.
\( \displaystyle\int {\frac{1}{(ax + b)^n}\ dx} = -\dfrac{1}{a(n - 1)(ax + b)^{n - 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{x^3}\ dx} = -\dfrac{1}{2x^2} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{1}{(3x + 2)^5}\ dx} = -\dfrac{1}{12(x + 2)^4} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{5}{(x - 4)^7}\ dx} = -\dfrac{5}{6(x - 4)^6} + C \)
Bu formdaki ifadelerin integrali ters tanjant fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{a^2 + x^2}} = \dfrac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{1 + x^2}} = \arctan{x} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx}{9 + x^2}} = \dfrac{1}{3}\arctan{\frac{x}{3}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{5dx}{2 + x^2}} = \dfrac{5}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{x}{\sqrt{2}}} + C \)
Bu formdaki ifadelerin integrali doğal logaritma fonksiyonudur.
\( \displaystyle\int {\dfrac{x\ dx}{x^2 + a}} = \dfrac{1}{2}\ln\abs{x^2 + a} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{x\ dx}{x^2 + 1}} = \dfrac{1}{2}\ln\abs{x^2 + 1} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{x\ dx}{x^2 - 5}} = \dfrac{1}{2}\ln\abs{x^2 - 5} + C \)
Bu formdaki ifadelerin integralini şu aşamada kapsam dışında tutuyoruz.
Bu formdaki ifadelerin integrali kuvvet fonksiyonlarının integrali şeklinde alınır.
\( \displaystyle\int {\frac{x}{(x^2 + a)^n}\ dx} = -\dfrac{1}{2(n - 1)(x^2 + a)^{n - 1}} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{x}{(x^2 + 3)^2}\ dx} = -\dfrac{1}{2(x^2 + 3)} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{x}{(x^2 - 4)^5}\ dx} = -\dfrac{1}{8(x^2 - 4)^4} + C \)
\( \displaystyle\int {\frac{7x}{(x^2 + 2)^8}\ dx} = -\dfrac{1}{2(x^2 + 2)^7} + C \)
İfadenin paydası tam kareye tamamlama yöntemi ile \( (x + m)^2 + n^2 \) formuna getirilir. Bu formdaki ifadelerin integrali ters tanjant fonksiyonudur.
Payda tam kare hale getirilir.
\( m = \dfrac{b}{2}, \quad n = \sqrt{c - \frac{b^2}{4}} \) olmak üzere,
\( \dfrac{1}{x^2 + bx + c} = \dfrac{1}{n^2 + (x + m)^2} \)
İfadenin integrali aşağıdaki gibidir.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{n^2 + (x + m)^2}\ dx} \) \( = \dfrac{1}{n}\arctan{\frac{x + m}{n}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \)
\( m = \dfrac{2}{2} = 1 \)
\( n = \sqrt{3 - \frac{2^2}{4}} = \sqrt{2} \)
\( \dfrac{1}{x^2 + 2x + 3} = \dfrac{1}{(\sqrt{2})^2 + (x + 1)^2} \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{(\sqrt{2})^2 + (x + 1)^2}\ dx} \) \( = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C \)
İfadenin paydası payın türevinin bir katı ile sabit bir sayının toplamı olacak şekilde düzenlenir.
İfade aşağıdaki forma getirilir.
\( (x^2 + bx + c)' = 2x + b \) olmak üzere,
\( dx + e = p(2x + b) + q \)
\( \dfrac{dx + e}{x^2 + bx + c} = \dfrac{p(2x + b) + q}{x^2 + bx + c} \)
\( = p\dfrac{2x + b}{x^2 + bx + c} + \dfrac{q}{x^2 + bx + c} \)
Buna göre orijinal ifade aşağıdaki ifadeye eşittir.
\( \displaystyle\int {\dfrac{dx + e}{x^2 + bx + c}\ dx} = p\displaystyle\int {\frac{2x + b}{x^2 + bx + c}\ dx} \) \( + \displaystyle\int {\frac{q}{x^2 + bx + c}\ dx} \)
Bu ifadedeki birinci terimin integrali doğal logaritma fonksiyonudur. İkinci terimin integrali \( \frac{1}{x^2 + bx + c} \) formunda gösterdiğimiz yöntemle alınır.
\( = p\ln{\abs{x^2 + bx + c}} + \dfrac{q}{n}\arctan{\dfrac{x + m}{n}} + C \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{4x + 3}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \)
\( (x^2 + 2x + 3)' = 2x + 2 \) olmak üzere,
\( 4x + 3 = 2(2x + 2) - 1 \)
\( \displaystyle\int {\dfrac{4x + 3}{x^2 + 2x + 3}\ dx} = 2\displaystyle\int {\frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \) \( - \displaystyle\int {\frac{1}{x^2 + 2x + 3}\ dx} \)
\( = 2\ln{\abs{x^2 + 2x + 3}} \) \( - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan{\dfrac{x + 1}{\sqrt{2}}} + C \)
Bu formdaki ifadelerin integralini şu aşamada kapsam dışında tutuyoruz.
Bu formdaki ifadelerin integralini şu aşamada kapsam dışında tutuyoruz.
\( \displaystyle\int \dfrac{x + 4}{x^2 + x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int \dfrac{4x}{(x - 1)(x + 1)^2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int \dfrac{2x^2 + 3}{x^3 + x^2}\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \displaystyle\int \dfrac{2x^3 - x^2 - 4x}{x^2 - 16}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster