Belirli integrali kullanarak bir eğrinin eksenlerle arasında kalan alanı bulabildiğimiz gibi, iki eğri arasında kalan alanı da bulabiliriz. Aşağıdaki şekilde \( f \) ve \( g \) eğrileri arasında kalan alan taralı şekilde gösterilmiştir.
Belirli bir aralıkta iki eğri arasında kalan alan, üstteki eğri ile alttaki eğrinin farkının bu aralıktaki belirli integraline eşittir.
\( f \) ve \( g \) \( [a, b] \) aralığında sürekli fonksiyonlar,
Bu aralıkta \( f(x) \ge g(x) \) olmak üzere,
\( A = \displaystyle\int_a^b {(f(x) - g(x))\ dx} \)
İki eğri arasında kalan alanı bulmak için grafiği üstte kalan fonksiyondan altta kalan fonksiyon çıkarılmalıdır. Aşağıdaki örnekteki gibi farklı aralıklarda farklı eğrinin üstte kaldığı durumda, her zaman üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılacak şekilde integral işlemi alt aralıklara bölünür.
İki eğri arasında kalan alanı bulmak için bir integrali yukarıdaki gibi alt integrallere bölerken kullanmamız gereken sınır noktaları, iki eğrinin birbiriyle kesişim noktalardır. Bu noktalar \( f(x) = g(x) \) denkleminin tek katlı kökleridir. Çift katlı köklerde ise eğriler yine kesişirler ama üstteki eğri üstte, alttaki eğri de altta kalmaya devam eder.
Alternatif olarak, tüm \( [a, b] \) aralığı için bu alanı tek işlemde farkın mutlak değerini alarak bulabiliriz.
\( A = A_1 + A_2 + A_3 \) olmak üzere,
\( A = \displaystyle\int_a^b {\abs{f(x) - g(x)}\ dx} \)
Denklemleri \( y \) cinsinden verilmiş iki eğri arasında kalan alan da, \( y \) eksenine göre üstte (sağda) kalan fonksiyonun altta (solda) kalan fonksiyondan farkının belirli integraline eşittir.
\( [a, b] \) aralığında \( f(y) \ge g(y) \) olmak üzere,
\( A = \displaystyle\int_a^b {(f(y) - g(y))\ dy} \)
SORU 1:
Şekildeki sinüs ve kosinüs eğrileri arasında kalan taralı bölgenin alanı nedir?
Parabol ve doğrunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( x^2 - 2x - 4 = x \)
\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
\( (x + 1)(x - 4) = 0 \)
Buna göre parabol ve doğru apsisi \( x = -1 \) ve \( x = 4 \) olan noktalarda kesişirler.
İki grafik arasında kalan alanı bulmak için \( [-1, 4] \) aralığında üstte kalan denklemin altta kalan denklemden farkının belirli integralini almalıyız.
Grafikler parabol ve doğruya ait olduğu için kesişim noktaları arasındaki aralıkta sadece biri üstte kalır, dolayısıyla \( [-1, 4] \) aralığında tek belirli integral ile alanı hesaplayabiliriz.
Parabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür, dolayısıyla kesişim noktaları arasında doğru parabolün üstünde kalır.
Bu çıkarımlarımızı iki denklemin grafiğini çizerek de teyit edebiliriz.
Doğru denkleminin parabol denkleminden farkının integralini alalım.
Parabol ve doğrunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( y^2 = y + 2 \)
\( y^2 - y - 2 = 0 \)
\( (y + 1)(y - 2) = 0 \)
Buna göre parabol ve doğru ordinatı \( y = -1 \) ve \( y = 2 \) olan noktalarda kesişirler.
Parabolün ve doğrunun grafikleri aşağıdaki şekildeki gibi olur.
Denklemleri \( y \) cinsinden verilmiş parabol ve doğru arasında kalan alan, \( y \) eksenine göre sağda kalan fonksiyonun solda kalan fonksiyondan farkının kesişim noktaları arasındaki belirli integraline eşittir.
Grafikten görebileceğimiz gibi \( x = y + 2 \) doğrusu bu aralıkta \( x = y^2 \) parabolünün sağında kalır.
\( A = \displaystyle\int_{-1}^2 (y + 2 - y^2)\ dy \)
Fonksiyonların kesişim noktalarının apsis değerlerini bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( 7e^x = 3 - 2e^x \)
\( 9e^x = 3 \)
\( e^x = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \)
\( x = \ln{3^{-1}} = -\ln{3} \lt 0 \)
\( y \) ekseni denklemi \( x = 0 \) olan doğrudur. Bu yüzden istenen alanı bulmak için integral \( [-\ln{3}, 0] \) aralığında alınmalıdır.
\( y = 7e^x \) fonksiyonu artan, \( y = 3 - 2e^x \) fonksiyonu azalan olduğu için, iki fonksiyonun kesiştiği \( x = -\ln{3} \) noktası ile \( x = 0 \) doğrusu arasında birinci fonksiyon üstte olur, dolayısıyla birinci fonksiyonun ikinci fonksiyondan farkının integralini almalıyız.
Parabollerin kesişim noktalarının apsis değerlerini bulmak için iki denklemi ortak çözelim.
\( 2x^2 - 3ax + a = -x^2 + 3ax + a \)
\( 3x^2 - 6ax = 0 \)
\( 3x(x - 2a) = 0 \)
Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
\( x = 0 \) ya da \( x = 2a \)
Parabollerin arasında kalan alan, kesişim noktaları arasındaki aralıkta grafiği üstte olan parabolün denkleminin altta olan parabolün denkleminden farkının integraline eşittir.
Pozitif ve negatif başkatsayılı iki parabolün kesişim noktaları arasında negatif başkatsayılı parabol daha üsttedir, dolayısıyla negatif başkatsayılı denklemden pozitif başkatsayılı denklemi çıkarmalıyız.
İntegral işlemi apsis değeri daha küçük olan noktadan daha büyük olana alınmalıdır. \( 2a \) sayısının işaretini bilmediğimiz için integrali \( [0, 2a] \) aralığında alıp sonucun mutlak değerini alabiliriz.
Yukarıda \( f(x) = 2x^2 - 14x + 20 \) ve \( g(x) = -x^2 + 7x - 10 \) parabollerinin grafikleri verilmiştir. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Yukarıda \( f(x) = 6 - 6e^{2x - 1} \) ve \( g(x) = 3x^2 - \frac{3}{4} \) eğrilerinin grafikleri verilmiştir. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
İki eğrinin \( x \) ekseni üzerinde kesiştikleri noktanın koordinatlarını bulmak için denklemlerden birinin \( x \) eksenini kestiği noktayı bulalım.
\( f(x) = 6 - 6e^{2x - 1} = 0 \)
\( 6e^{2x - 1} = 6 \)
\( e^{2x - 1} = 1 \)
\( 2x - 1 = 0 \)
\( x = \dfrac{1}{2} \)
Bu durumda fonksiyonların \( x \) ekseni üzerindeki kesişim noktasının koordinatları \( (\frac{1}{2}, 0) \) olur.
Taralı bölgenin alanı üstte kalan \( f \) fonksiyonu ile altta kalan \( g \) fonksiyonunun farkının \( [0, \frac{1}{2}] \) aralığındaki belirli integraline eşittir.
\( A = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}{(f(x) - g(x))\ dx} \)
Yukarıda \( f(x) = x^2 - 3x + 4 \) parabolü ile \( g(x) = -3x + 8 \) doğrusunun grafikleri verilmiştir. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Yukarıda \( f(x) = x^2 + 8x - 4 \) parabolü ile \( [AB] \) doğru parçası verilmiştir. \( A \) ve \( B \) noktalarının apsisleri sırasıyla -6 ve -1 olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Belirli bir aralıkta iki fonksiyon arasında kalan alan, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının bu aralıktaki belirli integraline eşittir.
Taralı bölgenin alanını bulmak için \( [-6, -1] \) aralığında üstte olan \( y = x - 10 \) doğru denklemi ile alttaki \( f(x) \) parabol denkleminin farkının belirli integralini alalım.
Yukarıda \( f(x) = 2(x + 3)^2 \) ve \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} + 3x + 6 \) parabollerinin grafikleri verilmiştir. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Yukarıda \( f(x) = -x^2 + 5x - 4 \) parabolü ile \( g(x) = 2x - 8 \) doğrusunun grafikleri verilmiştir. Buna göre taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Yukarıda \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları ile \( f(x) = \dfrac{x^2}{4} + 3x + 15 \) parabolünün grafiği verilmiştir.
\( d_1 \) doğrusu parabolün \( A \) noktasındaki normali olduğuna ve \( d_2 \) doğrusu parabolü \( C(-4, 7) \) noktasında kestiğine göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Normal doğrusunun denklemini bulmak için bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 10 = \dfrac{1}{2}(x - (-10)) \)
\( d_1: y = \dfrac{1}{2}x + 15 \)
\( d_2 \) doğrusunun eğimini \( C(-4, 7) \) noktasının ve \( x \) eksenini kestiği \( (3, 0) \) noktasının koordinatlarını kullanarak bulalım.
\( m_{d_2} = \dfrac{7 - 0}{-4 - 3} = -1 \)
\( d_2 \) doğrusunun denklemini bulmak için bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemini kullanalım.
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 7 = -1(x - (-4)) \)
\( d_2: y = -x + 3 \)
\( B \) noktasının koordinatlarını bulmak için iki doğru denklemini ortak çözelim.
\( \dfrac{1}{2}x + 15 = -x + 3 \)
\( \dfrac{3}{2}x = -12 \)
\( x = -8, \quad y = 11 \)
\( B(-8, 11) \)
Taralı bölgenin alanı \( [-10, -4] \) aralığında \( f \) fonksiyonu ile iki doğru arasında kalan alana eşittir.
\( [-10, -8] \) ve \( [-8, -4] \) aralıklarında bu alan \( f \) fonksiyonu ile farklı bir doğru arasında kalan alana karşılık geldiği için alanı iki aralığa ayıralım ve belirli integralini ayrı ayrı alalım.
\( A = A_1 + A_2 \)
Önce \( [-10, -8] \) aralığında \( f \) fonksiyonu ile \( d_1 \) doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulalım. Bu aralıkta \( d_1 \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun üzerindedir.
Şimdi \( [-8, -4] \) aralığında \( f \) fonksiyonu ile \( d_2 \) doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulalım. Bu aralıkta \( d_2 \) doğrusu \( f \) fonksiyonunun üzerindedir.