Trigonometrik Değişken Değiştirme Yöntemi
Konu tekrarı için: Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali | Değişken Değiştirme Yöntemi
Trigonometrik değişken değiştirme yönteminde, aşağıdaki tablodaki üç köklü ifadeden birini içeren integral ifadelerine belirtilen şekilde değişken değiştirme uygulanır ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadenin integrali kolay alınabilir bir forma gelmesi sağlanır.
Bu yöntemde verilen ifade trigonometrik bir ifade içermezken değişken değiştirme sonrasında trigonometrik bir ifadeye dönüşür.
| Köklü İfade | Değişken Değiştirme | Özdeşlik | \( \theta \) Tanım Aralığı |
|---|---|---|---|
| \( \sqrt{a^2 - b^2x^2} \) | \( x = \dfrac{a}{b}\sin{\theta} \) | \( \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} \) | \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) |
| \( \sqrt{a^2 + b^2x^2} \) | \( x = \dfrac{a}{b}\tan{\theta} \) | \( \sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta} \) | \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) |
| \( \sqrt{b^2x^2 - a^2} \) | \( x = \dfrac{a}{b}\sec{\theta} \) | \( \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1 \) | \( [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} \) |
Bu yöntem bir belirsiz integrale aşağıdaki şekilde uygulanır.
- Kök içindeki ifadenin formuna göre yukarıdaki tabloda belirtilen şekilde değişken değiştirilir.
- Yine tabloda belirtilen trigonometrik özdeşlik kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
- Kökten mutlak değer içinde çıkan trigonometrik ifadeyi mutlak değerden kurtarmak için fonksiyonun pozitif değer aldığı varsayılır.
- Elde edilen ifade düzenlenerek integrali kolay alınabilir bir forma getirilir ve integrali alınır.
- \( \theta \) değişkenleri tekrar \( x \) cinsinden yazılır. Bu noktada değeri bilinmeyen trigonometrik fonksiyonlar için bir açısı \( \theta \) olan bir dik üçgen çizilir.
Bu yöntem bir belirli integrale uygulanırken aşağıdaki ek noktalara dikkat edilmelidir.
- Trigonometrik ifadenin belirli integral aralığındaki işaretine göre ifade mutlak değerden pozitif ya da negatif işaretli çıkarılır.
- Belirli integral \( \theta \) değişkenine göre alınabileceği gibi, ifade tekrar \( x \) değişkeni cinsinden yazılarak \( x \) değişkenine göre de alınabilir.
Bu yöntem genellikle bu üç ifadenin kök içinde bulunduğu durumlarda kullanılıyor olsa da, kök içinde bulunmadığı durumlarda da kullanılabilir.
\( \sqrt{a^2 - b^2x^2} \) İçeren İfadeler
İntegrali alınan ifade \( \sqrt{a^2 - b^2x^2} \) ifadesini içeriyorsa \( x = \frac{a}{b}\sin{\theta} \) şeklinde değişken değiştirilir ve \( \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} \) özdeşliği kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
Bu formdaki ifadelerin belirsiz integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int {\sqrt{4 - x^2}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
\( a^2 - b^2x^2 = 4 - x^2 \)
\( a = 2, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 2 \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = 2\sin{\theta}, \quad dx = 2\cos{\theta}\ d\theta \)
\( \displaystyle\int {\sqrt{4 - (2\sin{\theta})^2}(2\cos{\theta})\ d\theta} \)
\( = 2\displaystyle\int {\sqrt{4 - 4\sin^2{\theta}}\cos{\theta}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = 2\displaystyle\int {\sqrt{4(1 - \sin^2{\theta})}\cos{\theta}\ d\theta} \)
\( \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} \)
\( = 2\displaystyle\int {\sqrt{4\cos^2{\theta}}\cos{\theta}\ d\theta} \)
\( = 2\displaystyle\int {2\abs{\cos{\theta}}\cos{\theta}\ d\theta} \)
İfadeyi sadeleştirmek için \( \cos{\theta} \ge 0 \) olduğunu varsayalım.
\( = 4\displaystyle\int {\cos^2{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \cos^2{\theta} = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)
\( = 2\displaystyle\int {(1 + \cos(2\theta))\ d\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 2\theta + \sin(2\theta) + C \)
Adım 4: \( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = 2\theta + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + C \)
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \sin{\theta} = \dfrac{x}{2} \)
\( \theta = \arcsin{\dfrac{x}{2}} \)
Bir açısı \( \theta \) ve \( \sin{\theta} = \frac{x}{2} \) olan bir dik üçgen çizerek \( \theta \) açısının diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
\( \cos{\theta} = \dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( = 2\arcsin{\dfrac{x}{2}} + 2\dfrac{x}{2}\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{2} + C \)
\( = 2\arcsin{\dfrac{x}{2}} + \dfrac{x\sqrt{4 - x^2}}{2} + C \)
Bu formdaki ifadelerin belirli integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{3}{4}} {\dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 4x^2}}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
\( a^2 - b^2x^2 = 9 - 4x^2 \)
\( a = 3, \quad b = 2, \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{2} \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = \dfrac{3}{2}\sin{\theta}, \quad dx = \dfrac{3}{2}\cos{\theta}\ d\theta \)
\( \displaystyle\int_{x=0}^{x=\frac{3}{4}} {\dfrac{(\frac{3}{2}\sin{\theta})^2}{\sqrt{9 - 4(\frac{3}{2}\sin{\theta})^2}}(\dfrac{3}{2}\cos{\theta})\ d\theta} \)
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_{x=0}^{x=\frac{3}{4}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{\sqrt{9 - 9\sin^2{\theta}}}\ d\theta} \)
Belirli integralin \( \theta \) için sınır değerlerini bulalım.
Sinüs fonksiyonu tersi alınabilir bir fonksiyon olarak \( \theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığında tanımlıdır, dolayısıyla seçeceğimiz \( \theta \) değerleri bu aralıkta olmalıdır.
\( x = 0 \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( 0 = \dfrac{3}{2}\sin{\theta} \)
\( \sin{\theta} = 0 \)
\( \theta = 0 \)
\( x = \frac{3}{4} \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}\sin{\theta} \)
\( \sin{\theta} = \dfrac{1}{2} \)
\( \theta = \dfrac{\pi}{6} \)
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{\sqrt{9 - 9\sin^2{\theta}}}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{\sqrt{9(1 - \sin^2{\theta})}}\ d\theta} \)
\( \cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta} \)
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{\sqrt{9\cos^2{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{27}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\dfrac{\sin^2{\theta}\cos{\theta}}{3\abs{\cos{\theta}}}\ d\theta} \)
\( \cos{\theta} \) ifadesi \( [0, \frac{\pi}{6}] \) aralığında pozitif olduğu için mutlak değerden olduğu gibi çıkar.
\( = \dfrac{9}{8}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {\sin^2{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin^2{\theta} = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \)
\( = \dfrac{9}{16}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} {(1 - \cos(2\theta))\ d\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{9}{16}\theta - \dfrac{9}{32}\sin(2\theta))|_0^{\frac{\pi}{6}} \)
\( = (\dfrac{9}{16}\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{9}{32}\sin(2\dfrac{\pi}{6})) - (\dfrac{9}{16}(0) - \dfrac{9}{32}\sin(2(0))) \)
\( = (\dfrac{9\pi}{96} - \dfrac{9\sqrt{3}}{64}) - (0 - 0) \)
\( = \dfrac{9\pi}{96} - \dfrac{9\sqrt{3}}{64} \)
Dikkat edilirse belirli integrali \( \theta \) değişkenine göre aldığımız için ifadeyi \( x \) değişkeni cinsinden yazmamıza gerek kalmadı.
Alternatif olarak ifadeyi \( x \) değişkeni cinsinden yazarak belirli integrali \( x \in [0, \frac{3}{4}] \) aralığında da alabiliriz.
\( \sqrt{a^2 + b^2x^2} \) İçeren İfadeler
İntegrali alınan ifade \( \sqrt{a^2 + b^2x^2} \) ifadesini içeriyorsa \( x = \frac{a}{b}\tan{\theta} \) şeklinde değişken değiştirilir ve \( \sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta} \) özdeşliği kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
Bu formdaki ifadelerin belirsiz integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int {x\sqrt{9 + x^2}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
\( a^2 + b^2x^2 = 9 + x^2 \)
\( a = 3, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 3 \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = 3\tan{\theta}, \quad dx = 3\sec^2{\theta}\ d\theta \)
\( \displaystyle\int {3\tan{\theta}\sqrt{9 + (3\tan{\theta})^2}(3\sec^2{\theta})\ d\theta} \)
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}\sqrt{9 + 9\tan^2{\theta}}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}\sqrt{9(1 + \tan^2{\theta})}\ d\theta} \)
\( \sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta} \)
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}\sqrt{9\sec^2{\theta}}\ d\theta} \)
\( = 9\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^2{\theta}(3\abs{\sec{\theta}})\ d\theta} \)
İfadeyi sadeleştirmek için \( \sec{\theta} \ge 0 \) olduğunu varsayalım.
\( = 27\displaystyle\int {\tan{\theta}\sec^3{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
\( = 27\displaystyle\int {\sec^2{\theta}\tan{\theta}\sec{\theta}\ d\theta} \)
\( (\sec{\theta})' = \tan{\theta}\sec{\theta} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 9\sec^3{\theta} + C \)
Adım 4: \( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \tan{\theta} = \dfrac{x}{3} \)
\( \theta = \arctan{\dfrac{x}{3}} \)
Bir açısı \( \theta \) ve \( \tan{\theta} = \frac{x}{3} \) olan bir dik üçgen çizerek \( \theta \) açısının diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
\( \sec{\theta} = \dfrac{\sqrt{9 + x^2}}{3} \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( = 9(\dfrac{\sqrt{9 + x^2}}{3})^3 + C \)
\( = \dfrac{\sqrt{(9 + x^2)^3}}{3} + C \)
\( \sqrt{b^2x^2 - a^2} \) İçeren İfadeler
İntegrali alınan ifade \( \sqrt{x^2 - b^2a^2} \) ifadesini içeriyorsa \( x = \frac{a}{b}\sec{\theta} \) şeklinde değişken değiştirilir ve \( \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1 \) özdeşliği kullanılarak ifade kökten kurtarılır.
Bu formdaki ifadelerin belirsiz integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1}{x^3\sqrt{x^2 - 1}}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
\( b^2x^2 - a^2 = x^2 - 1 \)
\( a = 1, \quad b = 1, \quad \dfrac{a}{b} = 1 \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = \sec{\theta}, \quad dx = \tan{\theta}\sec{\theta}\ d\theta \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{(\sec{\theta})^3\sqrt{(\sec{\theta})^2 - 1}}\tan{\theta}\sec{\theta}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sec^2{\theta}\sqrt{\sec^2{\theta} - 1}}\ dx} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1 \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sec^2{\theta}\sqrt{\tan^2{\theta}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\tan{\theta}}{\sec^2{\theta}\abs{\tan{\theta}}}\ dx} \)
İfadeyi sadeleştirmek için \( \tan{\theta} \ge 0 \) olduğunu varsayalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sec^2{\theta}}\ dx} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
\( = \displaystyle\int {\cos^2{\theta}\ dx} \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta))\ dx} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin(2\theta)}{4} + C \)
Adım 4: \( \theta \) değişkenlerini tekrar \( x \) cinsinden yazalım.
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin{\theta}\cos{\theta}}{2} + C \)
\( \theta \) değerini bulalım.
\( \sec{\theta} = x \)
\( \theta = \arcsec{x} \)
Bir açısı \( \theta \) ve \( \sec{\theta} = x \) olan bir dik üçgen çizerek \( \theta \) açısının diğer trigonometrik oranlarını bulalım.
\( \sin{\theta} = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} \)
\( \cos{\theta} = \dfrac{1}{x} \)
Bu değerleri yerine koyalım.
\( = \dfrac{\arcsec{x}}{2} + \dfrac{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\frac{1}{x}}{2} + C \)
\( = \dfrac{\arcsec{x}}{2} + \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{2x^2} + C \)
Bu formdaki ifadelerin belirli integralini bir örnek üzerinden gösterelim.
\( \displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} {\dfrac{x}{\sqrt{4x^2 - 1}}\ dx} \) ifadesinin integralini alalım.
\( b^2x^2 - a^2 = 4x^2 - 1 \)
\( a = 1, \quad b = 2, \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2} \)
Adım 1: Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( x = \dfrac{1}{2}\sec{\theta}, \quad dx = \dfrac{1}{2}\tan{\theta}\sec{\theta}\ d\theta \)
\( \displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} {\dfrac{\frac{1}{2}\sec{\theta}}{\sqrt{4(\frac{1}{2}\sec{\theta})^2 - 1}}(\dfrac{1}{2}\tan{\theta}\sec{\theta})\ d\theta} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} {\dfrac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\sqrt{\sec^2{\theta} - 1}}\ d\theta} \)
Belirli integralin \( \theta \) için sınır değerlerini bulalım.
Sekant fonksiyonu tersi alınabilir bir fonksiyon olarak \( \theta \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{2}\} \) aralığında tanımlıdır, dolayısıyla seçeceğimiz \( \theta \) değerleri bu aralıkta olmalıdır.
\( x = -1 \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( -1 = \dfrac{1}{2}\sec{\theta} \)
\( \sec{\theta} = -2 \)
\( \theta = \dfrac{2\pi}{3} \)
\( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) için \( \theta \) değerini bulalım.
\( -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}\sec{\theta} \)
\( \sec{\theta} = -\dfrac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \theta = \dfrac{5\pi}{6} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\theta=\frac{2\pi}{3}}^{\theta=\frac{5\pi}{6}} {\dfrac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\sqrt{\sec^2{\theta} - 1}}\ d\theta} \)
Adım 2: Trigonometrik özdeşlik yardımıyla kök içindeki ifadeyi kökten kurtaralım.
\( \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1 \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\dfrac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\sqrt{\tan^2{\theta}}}\ d\theta} \)
\( = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\dfrac{\tan{\theta}\sec^2{\theta}}{\abs{\tan{\theta}}}\ d\theta} \)
\( \tan{\theta} \) ifadesi \( [\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}] \) aralığında negatif olduğu için mutlak değerden ters işaretli çıkar.
\( = -\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} {\sec^2{\theta}\ d\theta} \)
Adım 3: İfadeyi düzenleyerek integrali kolay alınabilir bir forma getirelim ve integralini alalım.
İfadenin integralini alalım.
\( = (-\dfrac{\tan{\theta}}{4})|_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \)
\( = -\dfrac{\tan{\frac{5\pi}{6}}}{4} - (-\dfrac{\tan{\frac{2\pi}{3}}}{4}) \)
\( = -\dfrac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{4} + \dfrac{-\sqrt{3}}{4} \)
\( = -\dfrac{\sqrt{3}}{6} \)
Son bir yorum olarak, trigonometrik değişken değiştirme yöntemi daha önce kullandığımız değişken değiştirme yöntemlerinden farklı bir yöntemdir. \( x \) değişkenine bağlı bir ifadede standart değişken değiştirme yönteminde \( u = g(x) \) şeklinde değişken değiştirilirken ters değişken değiştirme olarak da adlandırabileceğimiz bu yöntemde \( x = g(\theta) \) şeklinde değişken değiştirilir.
Standart değişken değiştirme:
\( \displaystyle\int f(g(x))g'(x)\ dx \)
\( u = g(x), \quad du = g'(x)\ dx \)
\( \displaystyle\int f(u)\ du \)
Trigonometrik (ters) değişken değiştirme:
\( \displaystyle\int f(x)\ dx \)
\( x = g(\theta), \quad dx = g'(\theta)\ d\theta \)
\( \displaystyle\int f(g(\theta))g'(\theta)\ d\theta \)