Değişken değiştirme (yerine koyma) yöntemi integrali alınan ifadeyi sadeleştirmemizi ve integrali daha kolay alınabilir bir forma dönüştürmemizi sağlayan bir yöntemdir. Bu yöntem türevde kullandığımız zincir kuralının tersi olarak da düşünülebilir.
Örnek olarak aşağıdaki gibi integral ifadesini alalım.
Bu ifadenin integrali ilk bakışta kolay alınabilir gibi gözükmese de, dikkatli incelediğimizde integrali alınan ifadenin türevde gördüğümüz zincir kuralı ile türevi alınmış bir ifade olduğunu görebiliriz.
Dolayısıyla verilen ifadenin integralini aşağıdaki şekilde buluruz.
Buna göre integralini almak istediğimiz ifadenin zincir kuralı ile türevi alınmış bir ifade olduğunu belirleyebiliyorsak değişken değiştirme yöntemi ile bu işlemi tersine çevirerek ifadenin integralini alabiliriz.
Değişken değiştirme yönteminde bir ifadeye aşağıdaki dönüşümler uygulandığında ifade \( u \) değişkeni cinsinden daha sade bir ifadeye dönüşür.
Belirsiz integrale değişken değiştirme yönteminin uygulanmasında aşağıdaki adımlar takip edilir.
Belirsiz integrale değişken değiştirme yönteminin uygulanmasında aşağıdaki adımlar takip edilir.
Bu yöntem kullanılırken öncelikli olarak aşağıdaki ifadeler için değişken değiştirme uygulanması önerilir. Bu genel yaklaşım ifadeyi integrali alınabilir bir forma getirmezse farklı şekillerde değişken değiştirme denenebilir.
Belirsiz integralde kullandığımız değişken değiştirme yöntemini belirli integrale iki değişiklikle uygulayabiliriz.
SORU 1:
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int {(2x + 3)^2\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {18(3x + 1)^5\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {15(9x + 1)^9\ dx} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {(2x + 3)^2\ dx} \)
Üssü alınan ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 2x + 3 \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 2\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{2} = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {u^2\ \frac{du}{2}} = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int {u^2\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^3}{3} + C \)
\( = \dfrac{u^3}{6} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{(2x + 3)^3}{6} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {18(3x + 1)^5\ dx} \)
Üssü alınan ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 3x + 1 \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 3\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{3} = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {18u^5\ \frac{du}{3}} = 6\displaystyle\int {u^5\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 6 \cdot \dfrac{u^{6}}{6} + C \)
\( = u^6 + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = (3x + 1)^6 + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {15(9x + 1)^9\ dx} \)
Üssü alınan ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 9x + 1 \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 9\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{9} = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {15u^9\ \frac{du}{9}} = \dfrac{5}{3}\displaystyle\int {u^9\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{u^{10}}{10} + C \)
\( = \dfrac{u^{10}}{6} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{(9x + 1)^{10}}{6} + C \)
SORU 2:
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int {\dfrac{2}{\sqrt{10x + 3}}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {\dfrac{80}{\sqrt{(1 - 4x)^3}}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {14\sqrt[5]{(4 - \frac{1}{2}x)^4}\ dx} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{2}{\sqrt{10x + 3}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 10x + 3 \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = 10\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{du}{10} = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2}{\sqrt{u}} \cdot\ \frac{du}{10}} = \frac{1}{5}\displaystyle\int {u^{-\frac{1}{2}}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C \)
\( = \dfrac{2\sqrt{u}}{5} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{2\sqrt{10x + 3}}{5} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{80}{\sqrt{(1 - 4x)^3}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 1 - 4x \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = -4\ dx \)
\( \Longrightarrow -\dfrac{du}{4} = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{80}{\sqrt{u^3}}\ \dfrac{-du}{4}} = -20\displaystyle\int {u^{-\frac{3}{2}}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = -20 \cdot \dfrac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C \)
\( = \dfrac{40}{\sqrt{u}} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{40}{\sqrt{1 - 4x}} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {14\sqrt[5]{(4 - \frac{1}{2}x)^4}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 4 - \dfrac{1}{2}x \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = -\dfrac{1}{2}\ dx \)
\( \Longrightarrow -2\ du = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = 14\displaystyle\int {\sqrt[5]{u^4}\ (-2du)} = -28\displaystyle\int {u^{\frac{4}{5}}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = -28 \cdot \dfrac{u^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C \)
\( = -\dfrac{140\sqrt[5]{u^9}}{9} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -\dfrac{140\sqrt[5]{(4 - \frac{1}{2}x)^9}}{9} + C \)
SORU 3:
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
(a) \( \displaystyle\int {\dfrac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\ dx} \)
(b) \( \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{\sin^5{x}}}\ dx} \)
(c) \( \displaystyle\int {\cos{x}\sqrt{\sin^3{x}}\ dx} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{\cos{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sqrt{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow 2\underbrace{\sqrt{x}}_\text{u}\ du = dx \)
\( \Longrightarrow 2u\ du = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\cos{u}}{2u}2u\ du} \)
\( = \displaystyle\int {\cos{u}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \sin{u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \sin{\sqrt{x}} + C \)
(b) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x}}{\sqrt{\sin^5{x}}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sin{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \cos{x}\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{\sqrt{u^5}}\ du} \)
\( = \displaystyle\int {u^{-\frac{5}{2}}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}} + C \)
\( = -\dfrac{2}{3\sqrt{u^3}} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -\dfrac{2}{3\sqrt{\sin^3{x}}} + C \)
(c) seçeneği:
\( \displaystyle\int {\cos{x}\sqrt{\sin^3{x}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sin{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \cos{x}\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {\sqrt{u^3}\ du} \)
\( = \displaystyle\int {u^{\frac{3}{2}}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C \)
\( = \dfrac{2\sqrt{u^5}}{5} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \dfrac{2\sqrt{\sin^5{x}}}{5} + C \)
SORU 4:
\( \displaystyle\int x(x - 2)^3\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x - 2 \)
\( \Longrightarrow x = u + 2 \)
\( du = dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int x(x - 2)^3\ dx \) \( = \displaystyle\int (u + 2)u^3\ du \)
\( = \displaystyle\int (u^4 + 2u^3)\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^5}{5} + \dfrac{u^4}{2} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{(x - 2)^5}{5} + \dfrac{(x - 2)^4}{2} + C \)
SORU 5:
\( \displaystyle\int_0^1 (7x^2 - 5x + 3)^2(14x - 5)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 7x^2 - 5x + 3 \)
\( du = (14x - 5)\ dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(0) = 7(0)^2 - 5(0) + 3 = 3 \)
\( u(1) = 7(1)^2 - 5(1) + 3 = 5 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_0^1 (7x^2 - 5x + 3)^2(14x - 5)\ dx \) \( = \displaystyle\int_3^5 u^2\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^3}{3}|_3^5 \)
\( = \dfrac{5^3}{3} - \dfrac{3^3}{3} = \dfrac{98}{3} \) bulunur.
SORU 6:
\( \displaystyle\int (e^{3x} + 3x^2)^2(e^{3x} + 2x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = e^{3x} + 3x^2 \)
\( du = (3e^{3x} + 6x)\ dx \)
\( \Longrightarrow (e^{3x} + x)\ dx = \dfrac{1}{3}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int (e^{3x} + 3x^2)^2(e^{3x} + 2x)\ dx \) \( = \displaystyle\int \dfrac{1}{3}u^2\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^3}{9} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{(e^{3x} + 3x^2)^3}{9} + C \)
SORU 7:
\( \displaystyle\int {6e^{2\cos{x}}\sin{x}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \cos{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = -\sin{x}\ dx \)
\( \Longrightarrow -du = \sin{x}\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {6e^{2u}\ (-du)} \)
\( = -6\displaystyle\int {e^{2u}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = (-6) \cdot \dfrac{1}{2}e^{2u} + C \)
\( = -3e^{2u} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -3e^{2\cos{x}} + C \)
SORU 8:
\( \displaystyle\int \dfrac{4x}{4x - 1}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 4x - 1 \)
\( \Longrightarrow 4x = u + 1 \)
\( du = 4\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{4}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{4x}{4x - 1}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{u + 1}{u} \cdot \dfrac{1}{4}\ du \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u}{4} + \dfrac{\ln\lvert {u} \rvert}{4} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{4x - 1}{4} + \dfrac{\ln{\lvert {4x - 1} \rvert}}{4} + C \)
SORU 9:
\( \displaystyle\int \dfrac{9x^2}{3x - 2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 3x - 2 \)
\( \Longrightarrow 3x = u + 2 \)
\( \Longrightarrow 9x^2 = u^2 + 4u + 4 \)
\( du = 3\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{3}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{9x^2}{3x - 2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{u^2 + 4u + 4}{u} \cdot \dfrac{1}{3}\ du \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{u^2}{3u} + \dfrac{4u}{3u} + \dfrac{4}{3u})\ du \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{u}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^2}{6} + \dfrac{4u}{3} + \dfrac{4\ln{\lvert u \rvert}}{3} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{(3x - 2)^2}{6} + \dfrac{4(3x - 2)}{3} + \dfrac{4\ln{\rvert 3x - 2 \rvert}}{3} + C \)
SORU 10:
\( \displaystyle\int \dfrac{4x^3}{2x^4 + 5}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 2x^4 + 5 \)
\( du = 8x^3\ dx \)
\( \Longrightarrow 4x^3\ dx = \dfrac{1}{2}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{4x^3}{2x^4 + 5}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{\ln{\lvert u \rvert}}{2} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{\ln{\lvert 2x^4 + 5 \rvert}}{2} + C \)
SORU 11:
\( \displaystyle\int \dfrac{8x^2}{4x - 5}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 4x - 5 \)
\( \Longrightarrow x = \dfrac{u + 5}{4} \)
\( \Longrightarrow x^2 = \dfrac{u^2 + 10u + 25}{16} \)
\( du = 4\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{4}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{8x^2}{4x - 5}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{8 \cdot \frac{u^2 + 10u + 25}{16}}{u} \cdot \dfrac{1}{4}\ du \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{u^2 + 10u + 25}{8u}\ du \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{u}{8} + \dfrac{5}{4} + \dfrac{25}{8u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^2}{16} + \dfrac{5u}{4} + \dfrac{25\ln{\lvert u \rvert}}{8} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{(4x - 5)^2}{16} + \dfrac{5(4x - 5)}{4} + \dfrac{25\ln{\lvert 4x - 5 \rvert}}{8} + C \)
SORU 12:
\( \displaystyle\int \dfrac{3x}{\sqrt{x + 2}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x + 2 \)
\( \Longrightarrow x = u - 2 \)
\( du = dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{3x}{\sqrt{x + 2}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{3(u - 2)}{\sqrt{u}}\ du \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{3u - 6}{\sqrt{u}}\ du \)
\( = \displaystyle\int (3\sqrt{u} - \dfrac{6}{\sqrt{u}})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 2\sqrt{u^3} - 12\sqrt{u} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = 2\sqrt{(x + 2)^3} - 12\sqrt{x + 2} + C \)
SORU 13:
\( \displaystyle\int \dfrac{18x}{\sqrt{5 - 3x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 5 - 3x \)
\( \Longrightarrow x = \dfrac{5 - u}{3} \)
\( du = -3\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = -\dfrac{1}{3}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{18x}{\sqrt{5 - 3x}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{18(5 - u)}{\sqrt{u} \cdot 3})(-\dfrac{1}{3})\ du \)
\( = -\displaystyle\int \dfrac{10 - 2u}{\sqrt{u}}\ du \)
\( = -\displaystyle\int (\dfrac{10}{\sqrt{u}} - 2\sqrt{u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -20\sqrt{u} + \dfrac{4\sqrt{u^3}}{3} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = -20\sqrt{5 - 3x} + \dfrac{4\sqrt{(5 - 3x)^3}}{3} + C \)
SORU 14:
\( \displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} 6x(3x^2 - \dfrac{1}{3})^5\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 3x^2 - \dfrac{1}{3} \)
\( du = 6x\ dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{3} = 0 \)
\( u(\frac{2}{3}) = 3(\frac{2}{3})^2 - \dfrac{1}{3} = 1 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} 6x(3x^2 - \dfrac{1}{3})^5\ dx \)
\( = \displaystyle\int_0^1 u^5\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^6}{6}|_0^1 \)
\( = \dfrac{1^6}{6} - \dfrac{0^6}{6} \)
\( = \dfrac{1}{6} \) bulunur.
SORU 15:
\( f \) türevlenebilir bir fonksiyondur.
\( f(1) = 0, \quad f(2) = 2 \)
\( \displaystyle\int_1^2 2f^3(x)f'(x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = f(x) \)
\( du = f'(x)\ dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(1) = f(1) = 0 \)
\( u(2) = f(2) = 2 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_0^2 2u^3\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{u^4}{2})|_0^2 \)
\( = (\dfrac{2^4}{2}) - (\dfrac{0^4}{2}) \)
\( = 8 \) bulunur.
SORU 16:
\( \displaystyle\int_4^5 \dfrac{2x}{2x - 7}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 2x - 7 \)
\( \Longrightarrow x = \dfrac{u + 7}{2} \)
\( du = 2\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{2}\ du \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(4) = 2(4) - 7 = 1 \)
\( u(5) = 2(5) - 7 = 3 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_4^5 \dfrac{2x}{2x - 7}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_1^3 \dfrac{2(u + 7)}{u \cdot 2} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \)
\( = \displaystyle\int_1^3 \dfrac{u + 7}{2u}\ du \)
\( = \displaystyle\int_1^3 (\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{u}{2} + \dfrac{7\ln{\lvert u \rvert}}{2})|_1^3 \)
\( = (\dfrac{3}{2} + \dfrac{7\ln{3}}{2}) - (\dfrac{1}{2} + \dfrac{7\ln{1}}{2}) \)
\( = \dfrac{7\ln{3}}{2} + 1 \) bulunur.
SORU 17:
\( \displaystyle\int_7^{10} \dfrac{6x}{\sqrt{x - 6}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x - 6 \)
\( \Longrightarrow x = u + 6 \)
\( du = dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(7) = 7 - 6 = 1 \)
\( u(10) = 10 - 6 = 4 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_7^{10} \dfrac{6x}{\sqrt{x - 6}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_1^4 \dfrac{6(u + 6)}{\sqrt{u}}\ du \)
\( = \displaystyle\int_1^4 (6\sqrt{u} + \dfrac{36}{\sqrt{u}})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (4\sqrt{u^3} + 72\sqrt{u})|_1^4 \)
\( = (4\sqrt{4^3} + 72\sqrt{4}) - (4\sqrt{1^3} + 72\sqrt{1}) \)
\( = 32 + 144 - 4 - 72 = 100 \) bulunur.
SORU 18:
\( \displaystyle\int_0^{\frac{1}{4}} \dfrac{8x^2}{4x + 1}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 4x + 1 \)
\( \Longrightarrow x = \dfrac{u - 1}{4} \)
\( \Longrightarrow x^2 = \dfrac{u^2 - 2u + 1}{16} \)
\( du = 4\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{4}\ du \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(0) = 4(0) + 1 = 1 \)
\( u(\dfrac{1}{4}) = 4(\dfrac{1}{4}) + 1 = 2 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{1}{4}} \dfrac{8x^2}{4x + 1}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{8\frac{u^2 - 2u + 1}{16}}{u} \cdot \dfrac{1}{4}\ du \)
\( = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{u^2 - 2u + 1}{8u}\ du \)
\( = \displaystyle\int_1^2 (\dfrac{u}{8} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{u^2}{16} - \dfrac{u}{4} + \dfrac{\ln{\lvert u \rvert}}{8})|_1^2 \)
\( = (\dfrac{2^2}{16} - \dfrac{2}{4} + \dfrac{\ln{2}}{8}) - (\dfrac{1^2}{16} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\ln{1}}{8}) \)
\( = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\ln{2}}{8} - \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{4} - 0 \)
\( = \dfrac{2\ln{2} - 1}{16} \) bulunur.
SORU 19:
\( \displaystyle\int_0^{\frac{1}{4}} \dfrac{4x}{(1 - 2x)^2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 1 - 2x \)
\( \Longrightarrow x = \dfrac{1 - u}{2} \)
\( du = -2\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = -\dfrac{1}{2}\ du \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(0) = 1 - 2(0) = 1 \)
\( u(\dfrac{1}{4}) = 1 - 2(\dfrac{1}{4}) = \dfrac{1}{2} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_0^{\frac{1}{4}} \dfrac{4x}{(1 - 2x)^2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_1^{\frac{1}{2}} \dfrac{4(1 - u)}{u^2 \cdot 2} \cdot (-\dfrac{1}{2})\ du \)
\( = -\displaystyle\int_1^{\frac{1}{2}} \dfrac{1 - u}{u^2} \cdot\ du \)
İntegralin sınır değerlerini kendi aralarında yer değiştirelim.
\( = \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{1 - u}{u^2}\ du \)
\( = \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 (\dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (-\dfrac{1}{u} - \ln{\abs{u}})|_{\frac{1}{2}}^1 \)
\( = (-\dfrac{1}{1} - \ln{1}) - (-\dfrac{1}{\frac{1}{2}} - \ln{\dfrac{1}{2}}) \)
\( = 1 - \ln{2} \) bulunur.
SORU 20:
\( \displaystyle\int_2^{\frac{10}{3}} \dfrac{3x}{(3x - 2)^2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 3x - 2 \)
\( \Longrightarrow x = \dfrac{u + 2}{3} \)
\( du = 3\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{3}\ du \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(2) = 3(2) - 2 = 4 \)
\( u(\dfrac{10}{3}) = 3(\dfrac{10}{3}) - 2 = 8 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_2^{\frac{10}{3}} \dfrac{3x}{(3x - 2)^2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_4^8 (\dfrac{3(u + 2)}{u^2 \cdot 3}) \cdot \dfrac{1}{3}\ du \)
\( = \displaystyle\int_4^8 \dfrac{u + 2}{3u^2}\ du \)
\( = \displaystyle\int_4^8 (\dfrac{1}{3u} + \dfrac{2}{3u^2})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (\dfrac{\ln{\lvert u \rvert}}{3} - \dfrac{2}{3u})|_4^8 \)
\( = (\dfrac{\ln{8}}{3} - \dfrac{2}{24}) - (\dfrac{\ln{4}}{3} - \dfrac{2}{12}) \)
\( = \dfrac{3\ln{2}}{3} - \dfrac{1}{12} - \dfrac{2\ln{2}}{3} + \dfrac{2}{12} \)
\( = \dfrac{4\ln{2} + 1}{12} \) bulunur.
SORU 21:
\( \displaystyle\int_4^{64} \dfrac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt{x} \)
\( \Longrightarrow x = u^2 \)
\( \ du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = 2u\ du \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(4) = \sqrt{4} = 2 \)
\( u(64) = \sqrt{64} = 8 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_4^{64} \dfrac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_2^8 \dfrac{1}{2u(u + 1)}2u\ du \)
\( = \displaystyle\int_2^8 \dfrac{1}{u + 1}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \ln{\lvert u + 1 \rvert}|_2^8 \)
\( = \ln{9} - \ln{3} \)
\( = 2\ln{3} - \ln{3} = \ln{3} \) bulunur.
SORU 22:
\( \displaystyle\int_0^3 \dfrac{5x^2}{\sqrt{x + 1}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x + 1 \)
\( \Longrightarrow x = u - 1 \)
\( \Longrightarrow x^2 = u^2 - 2u + 1 \)
\( du = dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(0) = 0 + 1 = 1 \)
\( u(3) = 3 + 1 = 4 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_0^3 \dfrac{5x^2}{\sqrt{x + 1}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_1^4 \dfrac{5(u^2 - 2u + 1)}{\sqrt{u}}\ du \)
\( = \displaystyle\int_1^4 (5\sqrt{u^3} - 10\sqrt{u} + \dfrac{5}{\sqrt{u}})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (2\sqrt{u^5} - \dfrac{20\sqrt{u^3}}{3} + 10\sqrt{u})|_1^4 \)
\( = (2\sqrt{4^5} - \dfrac{20\sqrt{4^3}}{3} + 10\sqrt{4}) - (2\sqrt{1^5} - \dfrac{20\sqrt{1^3}}{3} + 10\sqrt{1}) \)
\( = (64 - \dfrac{160}{3} + 20) - (2 - \dfrac{20}{3} + 10) \)
\( = \dfrac{76}{3} \) bulunur.
SORU 23:
\( \displaystyle\int \dfrac{\log{x}}{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \log{x} \)
\( du = \dfrac{1}{\ln{10} \cdot x}\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{dx}{x} = \ln{10}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{\log{x}}{x}\ dx = \displaystyle\int u \ln{10}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^2}{2} \cdot \ln{10} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{(\log{x})^2}{2} \cdot \ln{10} + C \)
SORU 24:
\( \displaystyle\int {e^x\sqrt{e^x}\ dx} \) ifadesinin integrali nedir?
Çözümü Göster
İfadenin integralini almak için değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
\( u = e^x \)
\( du = e^x\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {e^x\sqrt{e^x}\ dx} = \displaystyle\int {\sqrt{u}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{3}u^\frac{3}{2} + C = \dfrac{2}{3}\sqrt{u^3} + C \)
\( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazalım.
\( = \dfrac{2}{3}\sqrt{e^{3x}} + C \)
SORU 25:
\( \displaystyle\int {e^x(e^x - 2)(1 + e^x)^6\ dx} \) ifadesinin integrali nedir?
Çözümü Göster
İfadenin integralini almak için değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
\( u = 1 + e^x \)
\( du = e^x\ dx \)
\( e^x = u - 1 \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int {(e^x - 2)(1 + e^x)^6e^x\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(u - 3)u^6\ du} \)
Parantez içindeki ifadeyi dağıtalım.
\( = \displaystyle\int {(u^7 - 3u^6)\ du} \)
Elde ettiğimiz polinom ifadesinin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{8}u^8 - \dfrac{3}{7}u^7 + C \)
\( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazalım.
\( = \dfrac{1}{8}(1 + e^x)^8 - \dfrac{3}{7}(1 + e^x)^7 + C \)
SORU 26:
\( \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^2}}} \ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{\frac{2x^2 + 1}{x^2}}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{2x^2 + 1}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{x}{\sqrt{2x^2 + 1}}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 2x^2 + 1 \)
\( du = 4x\ dx \)
\( \Longrightarrow x\ dx = \dfrac{1}{4}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int \dfrac{du}{4\sqrt{u}} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{2}\sqrt{u} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{1}{2}\sqrt{2x^2 + 1} + C \)
SORU 27:
\( \displaystyle\int \dfrac{3}{1 + e^{-2x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İntegrali alınan ifadenin payını ve paydasını \( e^{2x} \) ile çarpalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{3e^{2x}}{e^{2x} + 1}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = e^{2x} + 1 \)
\( du = 2e^{2x}\ dx \)
\( \Longrightarrow e^{2x}\ dx = \dfrac{1}{2}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int \dfrac{3}{2u}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{3\ln{\abs{u}}}{2} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{3\ln{\abs{e^{2x} + 1}}}{2} + C \)
SORU 28:
\( \displaystyle\int \dfrac{f'(\sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt[3]{x} \)
\( du = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx = 3\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{f'(\sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x^2}}\ dx \) \( = \displaystyle\int 3f'(u)\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 3f(u) + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = 3f(\sqrt[3]{x}) + C \)
SORU 29:
\( \displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \sin(e^{\sqrt[3]{x^2}})}{\sqrt[3]{x}} \ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = e^{\sqrt[3]{x^2}} \)
\( du = e^{\sqrt[3]{x^2}} \cdot d(\sqrt[3]{x^2}) = \dfrac{2e^{\sqrt[3]{x^2}}}{3\sqrt[3]{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{e^{\sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[3]{x}}\ dx = \dfrac{3}{2}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \sin(e^{\sqrt[3]{x^2}})}{\sqrt[3]{x}}\ dx \) \( = \displaystyle\int \dfrac{3}{2}\sin{u}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -\dfrac{3}{2}\cos{u} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = -\dfrac{3}{2}\cos(e^{\sqrt[3]{x^2}}) + C \)
SORU 30:
\( a \in \mathbb{R^+}, a \ne 1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int \dfrac{a^{\sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[3]{x}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt[3]{x^2} \)
\( du = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\ dx = \dfrac{3}{2}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{a^{\sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[3]{x}}\ dx \) \( = \displaystyle\int \dfrac{3a^u}{2}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{3a^u}{2\ln{a}} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{3a^{\sqrt[3]{x^2}}}{2\ln{a}} + C \)
SORU 31:
\( \displaystyle\int \sqrt{x + \dfrac{1}{x}} \cdot \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x^2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( \displaystyle\int \sqrt{x + \dfrac{1}{x}} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x^2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \sqrt{x + \dfrac{1}{x}} \cdot (1 - \dfrac{1}{x^2})\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x + \dfrac{1}{x} \)
\( du = (1 - \dfrac{1}{x^2})\ dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = \displaystyle\int \sqrt{u}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{2\sqrt{u^3}}{3} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{2\sqrt{(x + \frac{1}{x})^3}}{3} + C \)
SORU 32:
\( \displaystyle\int \sqrt{x} \cdot \sqrt[5]{5 + \sqrt{x^3}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 5 + \sqrt{x^3} \)
\( du = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}\ dx \)
\( \Longrightarrow \sqrt{x}\ dx = \dfrac{2}{3}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \sqrt{x} \cdot \sqrt[5]{5 + \sqrt{x^3}}\ dx \) \( = \displaystyle\int \dfrac{2\sqrt[5]{u}}{3}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{2u^{\frac{6}{5}}}{3 \cdot \frac{6}{5}} + C \)
\( = \dfrac{5\sqrt[5]{u^6}}{9} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{5\sqrt[5]{(5 + \sqrt{x^3})^6}}{9} + C \)
SORU 33:
\( n \ne -1 \) olmak üzere,
\( \displaystyle\int [f(ax)]^nf'(ax)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = f(ax) \)
\( du = f'(ax) \cdot (ax)'\ dx \)
\( = a \cdot f'(ax)\ dx \)
\( \Longrightarrow f'(ax)\ dx = \dfrac{1}{a}\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int [f(ax)]^nf'(ax)\ dx \) \( = \displaystyle\int \dfrac{u^n}{a}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{1}{a(n + 1)}u^{n + 1} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{1}{a(n + 1)}[f(ax)]^{n + 1} + C \)
SORU 34:
\( \displaystyle\int \sqrt[3]{x}\ d(\sqrt[3]{x}) \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt[3]{x} \)
\( du = d(\sqrt[3]{x}) \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \sqrt[3]{x}\ d(\sqrt[3]{x}) \) \( = \displaystyle\int u\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^2}{2} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{(\sqrt[3]{x})^2}{2} + C \)
SORU 35:
\( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f^2(x)}\ dx = \displaystyle\int 6\ dx \)
\( f(1) = \dfrac{1}{7} \)
olduğuna göre, \( f(2) \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafındaki ifadeye aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = f(x), \quad du = f'(x)\ dx \)
\( \displaystyle\int \dfrac{1}{u^2}\ du = \displaystyle\int 6\ dx \)
Eşitliğin her iki tarafının integralini alalım. Her iki integralin integral sabitinin farkına eşit olacak şekilde eşitliğin sağ tarafına tek bir integral sabiti ekleyebiliriz.
\( -\dfrac{1}{u} = 6x + C \)
\( u \) yerine \( f(x) \) yazalım.
\( -\dfrac{1}{f(x)} = 6x + C \)
\( f(x) = -\dfrac{1}{6x + C} \)
\( C \) değerini bulmak için \( f(1) \) değerini kullanalım.
\( f(1) = -\dfrac{1}{6(1) + C} = \dfrac{1}{7} \)
\( -(6 + C) = 7 \)
\( C = -13 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = -\dfrac{1}{6x - 13} \)
\( f(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(x) = -\dfrac{1}{6(2) - 13} = 1 \)
SORU 36:
\( \displaystyle\int_1^3 f(3x)\ dx = 6 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_3^9 f(x)\ dx \) integralinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = 3x \)
\( du = 3\ dx \)
\( \Longrightarrow dx = \dfrac{1}{3}\ du \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(1) = 3(1) = 3 \)
\( u(3) = 3(3) = 9 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım ve integralin sınır değerlerini \( u \) için güncelleyelim.
\( \displaystyle\int_1^3 f(3x)\ dx = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_3^9 f(u)\ du = 6 \)
\( \displaystyle\int_3^9 f(u)\ du = 18 \)
İntegral değişkenini \( x = u \) olarak değiştirmemiz integral değerini değiştirmez.
\( \displaystyle\int_3^9 f(x)\ dx = 18 \)
SORU 37:
\( \displaystyle\int \cos^3(2x)\sin(4x)\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) \)
\( \displaystyle\int 2\cos^3(2x)\sin(2x)\cos(2x)\ dx \)
\( = \displaystyle\int 2\cos^4(2x)\sin(2x)\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \cos(2x) \)
\( du = -2\sin(2x)\ dx \)
\( \Longrightarrow 2\sin(2x)\ dx = -du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( = -\displaystyle\int u^4\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -\dfrac{1}{5}u^5 + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = -\dfrac{1}{5}\cos^5(2x) + C \)
SORU 38:
\( \displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{x} + x}{\sqrt{x}}\ dx \) integralinin sonucunu \( x = u^6 \) dönüşümü ile bulun.
Çözümü Göster
Belirtilen şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( x = u^6 \)
\( \Longrightarrow u = \sqrt[6]{x} \)
\( dx = 6u^5\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{u^6} + u^6}{\sqrt{u^6}} 6u^5\ du \)
\( = 6\displaystyle\int \dfrac{u^2 + u^6}{u^3}u^5\ du \)
\( = 6\displaystyle\int (u^4 + u^8)\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{6u^5}{5} + \dfrac{2u^9}{3} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{6\sqrt[6]{x^5}}{5} + \dfrac{2\sqrt[6]{x^9}}{3} + C \)
\( = \dfrac{6\sqrt[6]{x^5}}{5} + \dfrac{2\sqrt[2]{x^3}}{3} + C \)
SORU 39:
\( \displaystyle\int_{2a}^b f(x + a - b)\ dx = 15 \) olduğuna göre,
\( \displaystyle\int_{3a - b}^a f(x)\ dx \) integralinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x + a - b \)
\( du = dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(2a) = 2a + a - b = 3a - b \)
\( u(b) = b + a - b = a \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_{2a}^b f(x + a - b)\ dx \) \( = \displaystyle\int_{3a - b}^a f(u)\ du \)
Elde ettiğimiz ifade soruda değeri istenen ifadeye eşittir.
\( \displaystyle\int_{3a - b}^a f(x)\ dx = 15 \)
SORU 40:
\( \displaystyle\int \sin{x}\cos{x}\sqrt{1 - \cos{x}}\ dx \) ifadesinin integrali nedir?
Çözümü Göster
İfadenin integralini almak için değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
\( u = 1 - \cos{x} \)
\( \Longrightarrow \cos{x} = 1 - u \)
\( du = \sin{x}\ dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int (1 - u)\sqrt{u}\ du \)
\( = \displaystyle\int (\sqrt{u} - u\sqrt{u})\ du \)
\( = \displaystyle\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}})\ du \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{2}{3}u^\frac{3}{2} - \dfrac{2}{5}u^\frac{5}{2} + C \)
\( = \dfrac{2}{3}\sqrt{u^3} - \dfrac{2}{5}\sqrt{u^5} + C \)
\( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazalım.
\( = \dfrac{2}{3}\sqrt{(1 - \cos{x})^3} - \dfrac{2}{5}\sqrt{(1 - \cos{x})^5} + C \)
SORU 41:
\( \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x}}{x - 4}\ dx \) ifadesinin integrali nedir?
Çözümü Göster
İfadenin integralini almak için değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
\( u = \sqrt{x} \)
\( \Longrightarrow u^2 = x \)
\( du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
\( \Longrightarrow 2u\ du = dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x}}{x - 4}\ dx = \displaystyle\int \dfrac{2u^2}{u^2 - 4}\ du \)
Elde ettiğimiz ifadeyi basit kesirlere ayırma yöntemi ile basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\int (2 - \dfrac{2}{u + 2} + \dfrac{2}{u - 2})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 2u - 2\ln{\abs{u + 2}} + 2\ln{\abs{u - 2}} + C \)
\( = 2u - 2\ln{\dfrac{\abs{u + 2}}{\abs{u - 2}}} + C \)
\( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazalım.
\( = 2\sqrt{x} - 2\ln{\dfrac{\abs{\sqrt{x} + 2}}{\abs{\sqrt{x} - 2}}} + C \)
SORU 42:
\( \displaystyle\int_0^2 \dfrac{x + 1}{\sqrt[3]{x^2 + 2x}}\ dx \) integralinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Köklü ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt[3]{x^2 + 2x} \)
\( u^3 = x^2 + 2x \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( 3u^2\ du = (2x + 2)\ dx \)
\( \dfrac{3}{2}u^2\ du = (x + 1)\ dx \)
Verilen integral ifadesini \( u \) cinsinden yazalım.
\( \displaystyle\int_{x = 0}^{x = 2} {\dfrac{1}{u} \cdot \dfrac{3}{2}u^2\ du} \)
\( = \dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{x = 0}^{x = 2} {u}\ du \)
Sınır değerlerini \( u \) cinsinden yazalım.
\( u(0) = \sqrt[3]{0^2 + 2 \cdot 0} = 0 \)
\( u(2) = \sqrt[3]{2^2 + 2 \cdot 2} = 2 \)
\( = \dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{u = 0}^{u = 2} {u}\ du \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{3}{4} \cdot {u^2} |_0^2 \)
\( = \dfrac{3}{4} \cdot (2^2 - 0^2) \)
\( = 3 \) bulunur.
SORU 43:
\( \displaystyle\int_0^9 \dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{x} + 1}}\ dx \) integralinin değeri nedir?
Çözümü Göster
Köklü ifadeye değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt{\sqrt{x} + 1} \)
\( u^2 = \sqrt{x} + 1 \)
\( u^2 - 1 = \sqrt{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( 2u\ du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\ dx \)
Verilen ifadenin payını ve paydasını \( 2\sqrt{x} \) ile çarpalım.
\( \displaystyle\int_0^9 \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x} + 1} \cdot 2 \sqrt{x}}\ dx \)
Verilen integral ifadesini \( u \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int_{x = 0}^{x = 9} \dfrac{2 (u^2 - 1)}{u} \cdot 2u \ du \)
\( = \displaystyle\int_{x = 0}^{x = 9} 4 (u^2 - 1)\ du \)
\( = 4\displaystyle\int_{x = 0}^{x = 9} (u^2 - 1)\ du \)
Sınır değerlerini \( u \) cinsinden yazalım.
\( u(0) = \sqrt{\sqrt{0} + 1} = 1 \)
\( u(9) = \sqrt{\sqrt{9} + 1} = 2 \)
\( = 4\displaystyle\int_{u = 1}^{u = 2} (u^2 - 1)\ du \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 4 \cdot (\dfrac{u^3}{3} - u)|_1^2 \)
\( = 4 \cdot [(\dfrac{2^3}{3} - 2) - (\dfrac{1^3}{3} - 1)] \)
\( = \dfrac{16}{3} \) bulunur.
SORU 44:
\( \displaystyle\int -\dfrac{\cos^3{x}}{\sin^5{x}}\ dx \) ifadesinin integrali nedir?
Çözümü Göster
\( \displaystyle\int -\dfrac{\cos^3{x}}{\sin^5{x}}\ dx \)
\( \dfrac{\cos^3{x}}{\sin^3{x}} = \cot^3{x} \) yazalım.
\( = \displaystyle\int -\dfrac{\cot^3{x}}{\sin^2{x}}\ dx \)
Değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \cot{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = -\dfrac{1}{\sin^2{x}}\ dx \)
Verilen integral ifadesini \( u \) cinsinden yazalım.
\( = \displaystyle\int u^3\ du \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^4}{4} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini bulmuş oluruz.
\( = \dfrac{\cot^4{x}}{4} + C \)
SORU 45:
\( \displaystyle\int \cos^3{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İntegrali düzenleyelim.
\( \displaystyle\int \cos^3{x}\ dx = \displaystyle\int \cos^2{x}\cos{x}\ dx \)
Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = \displaystyle\int (1 - \sin^2{x})\cos{x}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sin{x} \)
\( du = \cos{x}\ dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int (1 - \sin^2{x})\cos{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int (1 - u^2)\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = u - \dfrac{u^3}{3} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \sin{x} - \dfrac{\sin^3{x}}{3} + C \)
SORU 46:
\( \displaystyle\int \csc^4{x}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İntegrali düzenleyelim.
\( \displaystyle\int \csc^4{x}\ dx = \displaystyle\int \csc^2{x}\csc^2{x}\ dx \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \displaystyle\int (1 + \cot^2{x})\csc^2{x}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \cot{x} \)
\( du = -\csc^2{x}\ dx \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int (1 + \cot^2{x})\csc^2{x}\ dx \)
\( = \displaystyle\int -(1 + u^2)\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = -u - \dfrac{u^3}{3} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = -\cot{x} - \dfrac{\cot^3{x}}{3} + C \)
SORU 47:
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {5\sin(2x)(1 + \sin{x})^4\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( \sin(2x) = 2\sin{x}\cos{x} \)
\( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {5(2\sin{x}\cos{x})(1 + \sin{x})^4\ dx} \)
\( = 10\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\sin{x}\cos{x}(1 + \sin{x})^4\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = 1 + \sin{x} \)
\( \Longrightarrow \sin{x}= u - 1 \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = \cos{x}\ dx \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(0) = 1 + \sin{0} = 1 \)
\( u(\frac{\pi}{2}) = 1 + \sin{\frac{\pi}{2}} = 2 \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = 10\displaystyle\int_1^2 {(u - 1)u^4\ du} \)
\( = 10\displaystyle\int_1^2 (u^5 - u^4)\ du \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = 10 \cdot [\dfrac{u^6}{6} - \dfrac{u^5}{5}]_1^2 \)
\( = 10 \cdot [(\dfrac{2^6}{6} - \dfrac{2^5}{5}) - (\dfrac{1^6}{6} - \dfrac{1^5}{5})] \)
\( = 10 \cdot [(\dfrac{5 \cdot 64}{30} - \dfrac{6 \cdot 32}{30}) - (-\dfrac{1}{30})] \)
\( = 10 \cdot \dfrac{129}{30} \)
\( = 43 \)
SORU 48:
\( \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\cos{x} - \sin{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \cos{x} - \sin{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = (- \sin{x} - \cos{x})dx \)
\( \Longrightarrow -du = (\sin{x} + \cos{x})dx \)
Verilen ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ (-du)} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = -\ln{\abs{u}} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -\ln{\abs{\cos{x} - \sin{x}}} + C \)
SORU 49:
\( \displaystyle\int {\dfrac{1 + \tan{x}}{1 - \tan{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Tanjant fonksiyonunu sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{1 + \tan{x}}{1 - \tan{x}}\ dx} = \displaystyle\int {\dfrac{1 + \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{1 - \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\frac{\cos{x} + \sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x} - \sin{x}}{\cos{x}}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\cos{x} + \sin{x}}{\cos{x} - \sin{x}}\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \cos{x} - \sin{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = (-\sin{x} - \cos{x})\ dx \)
\( \Longrightarrow -du = (\sin{x} + \cos{x})\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ (-du)} \)
\( = -\displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} \)
Elde ettiğimiz ifadenin integralini alalım.
\( = -\ln{\abs{u}} + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = -\ln{\abs{\cos{x} - \sin{x}}} + C \)
SORU 50:
\( \displaystyle\int {\dfrac{2\sin{x}}{\sin{x} - \cos{x}}\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İfadenin payına \( \cos{x} \) ekleyip çıkaralım.
\( \displaystyle\int {\dfrac{2\sin{x} + \cos{x} - \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}}\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x} + \cos{x} + \sin{x} - \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}}\ dx} \)
İfadeyi iki kesrin toplamı şeklinde yazalım.
\( = \displaystyle\int (\dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}} + \dfrac{\sin{x} - \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}})\ dx \)
\( = \displaystyle\int (\dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}} + 1)\ dx \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}}\ dx} + \displaystyle\int {1\ dx} \)
İkinci terimin integralini alalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x} - \cos{x}}\ dx} + x + C \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirelim.
\( u = \sin{x} - \cos{x} \)
Her iki tarafın diferansiyelini alalım.
\( du = (\cos{x} + \sin{x})\ dx \)
Son ifadede bu değişkenleri yerine koyalım.
\( = \displaystyle\int {\dfrac{1}{u}\ du} + x + C \)
Birinci terimin integralini alalım.
\( = \ln{\abs{u}} + x + C \)
İfadede \( u \) değişkeni yerine \( x \) cinsinden karşılığını yazdığımızda verilen ifadenin integralini buluruz.
\( = \ln{\abs{\sin{x} - \cos{x}}} + x + C \)
SORU 51:
\( \displaystyle\int \dfrac{2}{1 + \sqrt{x + 1}}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = \sqrt{x + 1} \)
\( \Longrightarrow x = u^2 - 1 \)
\( du = \dfrac{1}{2u}dx \)
\( \Longrightarrow dx = 2u\ du \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int \dfrac{2}{1 + \sqrt{x + 1}}\ dx \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{2}{1 + u} \cdot 2u\ du \)
\( = \displaystyle\int \dfrac{4u}{1 + u}\ du \)
İfadeyi basit kesirlere ayıralım.
\( = \displaystyle\int \dfrac{4(u + 1) - 4}{1 + u}\ du \)
\( = \displaystyle\int (4 - \dfrac{4}{1 + u})\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = 4u - 4\ln{\lvert 1 + u \rvert} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = 4\sqrt{x + 1} - 4\ln{\lvert 1 + \sqrt{x + 1} \rvert} + C \)
SORU 52:
\( \displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \dfrac{6x + 3}{(36x^2 + 36x)^2}\ dx \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
İntegrali alınan ifadeyi düzenleyelim.
\( \displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \dfrac{6x + 3}{(36x^2 + 36x)^2}\ dx = \displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \dfrac{6x + 3}{((6x + 3)^2 - 9)^2}\ dx \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = (6x + 3)^2 \)
\( du = 12(6x + 3)\ dx \)
\( \Longrightarrow (6x + 3)\ dx = \dfrac{du}{12} \)
\( u \) değişkeni için integralin sınır değerlerini bulalım.
\( u(\frac{1}{3}) = (6(\frac{1}{3}) + 3)^2 = 25 \)
\( u(\frac{2}{3}) = (6(\frac{2}{3}) + 3)^2 = 49 \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \dfrac{6x + 3}{((6x + 3)^2 - 9)^2}\ dx \)
\( = \displaystyle\int_{25}^{49} \dfrac{1}{12(u - 9)^2}\ du \)
İfadenin integralini alalım.
\( = (-\dfrac{1}{12(u - 9)})|_{25}^{49} \)
\( = (-\dfrac{1}{12(49 - 9)}) - (-\dfrac{1}{12(25 - 9)}) \)
\( = -\dfrac{2}{12 \cdot 80} + \dfrac{5}{12 \cdot 80} \)
\( = \dfrac{1}{320} \) bulunur.
SORU 53:
\( \displaystyle\int {(x^3 + 6x^2 - 16)(x^2 + 4x - 8)^7\ dx} \) integralinin sonucu nedir?
Çözümü Göster
Birinci parantez içindeki polinomu ikinci parantez içindeki polinoma böldüğümüzde bölme işleminin kalansız olduğu görülür.
\( x^3 + 6x^2 - 16 = (x^2 + 4x - 8)(x + 2) \)
Dolayısıyla verilen integral ifadesini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( \displaystyle\int {(x^3 + 6x^2 - 16)(x^2 + 4x - 8)^7\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(x + 2)(x^2 + 4x - 8)(x^2 + 4x - 8)^7\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {(x + 2)(x^2 + 4x - 8)^8\ dx} \)
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( u = x^2 + 4x - 8 \)
\( du = (2x + 4)\ dx \)
\( \Longrightarrow (x + 2)\ dx = \dfrac{du}{2} \)
\( x \) değişkenlerinin \( u \) karşılıklarını yazalım.
\( \displaystyle\int {(x + 2)(x^2 + 4x - 8)^8\ dx} \)
\( = \displaystyle\int {\dfrac{u^8}{2}\ du} \)
İfadenin integralini alalım.
\( = \dfrac{u^9}{18} + C \)
\( u \) değişkenlerinin \( x \) karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{(x^2 + 4x - 8)^9}{18} + C \)
