Toplam sembolü birden fazla terimin toplamını ifade etmek için kullanılır. Toplam sembolü \( \sum \) şeklinde yazılır ve "sigma" diye okunur. Bir dizinin \( 1 \)'den \( n \)'ye kadarki terimlerinin toplamını gösteren toplam ifadesi aşağıdaki gibi yazılır.
\( \sum_{k = 1}^{n}{a_k} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)
Toplam işleminde, toplama sembolünün altında (\( k = 1 \)) ifadenin değişkeni ve bu değişkenin başlangıç değeri tanımlanır. Sembolün üstünde (\( 10 \)) toplama işleminin değişkenin hangi değerine kadar tekrar edeceği tanımlanır. Son olarak, toplam sembolünün sağında (\( a_k \)), her değişken değeri için toplanacak terimin kuralı tanımlanır (bu örnekte, \( a_n \) dizisinin \( k \). terimi).
\( \sum_{k = 3}^{10}{a_k} = a_3 + a_4 + \ldots + a_{10} \)
\( \sum_{k = -2}^{2}{f(k)} = f(-2) + f(-1) \) \( + f(0) + f(1) + f(2) \)
Toplam sembolü toplanan ifadedeki terimlere dağıtılabilir.
\( \sum_{k = 1}^{n}(a_k \pm b_k) \) \( = \sum_{k = 1}^{n}{a_k} \pm \sum_{k = 1}^{n}{b_k} \)
Toplam sembolü toplanan ifadedeki çarpanlara dağıtılamaz.
\( \sum_{k = 1}^{n}(a_k \cdot b_k) \) \( \ne \sum_{k = 1}^{n}{a_k} \cdot \sum_{k = 1}^{n}{b_k} \)
Toplam sembolünün içindeki ifadenin sabit bir çarpanı toplam sembolünün dışına çarpan olarak çıkarılabilir.
\( \sum_{k = 1}^{n}(c \cdot a_k) \) \( = c \cdot \sum_{k = 1}^{n}{a_k} \)
Bir toplam ifadesi başlangıç ve bitiş değerleri arasındaki bir sayıya kadar ve bu sayıdan sonraki sayılar için ayrı ayrı olmak üzere iki toplam ifadesi olarak yazılabilir.
\( 1 \lt j \lt n \) olmak üzere,
\( \sum_{k = 1}^{n}{a_k} \) \( = \sum_{k = 1}^{j}{a_k} + \sum_{k = j + 1}^{n}{a_k} \)
\( \sum_{k = 1}^{50}{k^2} \) \( = \sum_{k = 1}^{20}{k^2} + \sum_{k = 21}^{50}{k^2} \)
Aşağıda bazı sayı dizilerinin ilk \( n \) teriminin toplamını hesaplayan formüller verilmiştir.
\( \sum_{k = 1}^{n}{k} \) \( = 1 + 2 + 3 + \ldots + n \) \( = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \)
\( \sum_{k = 1}^{n}{2k} \) \( = 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n \) \( = n \cdot (n + 1) \)
\( \sum_{k = 1}^{n}(2k - 1) \) \( = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) \) \( = n^2 \)
\( \sum_{k = 1}^{n}(2k - 1)^2 \) \( = 1^2 + 3^2 + 5^2 + \ldots + (2n - 1)^2 \) \( = \dfrac{n \cdot (4n^2 - 1)}{3} \)
\( r \ne 1 \) olmak üzere,
\( \sum_{k = 1}^{n}{r^{k - 1}} \) \( = 1 + r + r^2 + \ldots + r^{n - 1} \) \( = \dfrac{1 - r^n}{1 - r} \)
\( \sum_{k = 1}^{n}{k^2} \) \( = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \) \( = \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}{6} \)
\( \sum_{k = 1}^{n}{k^3} \) \( = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 \) \( = {\left[ \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2} \right]}^2 \)
\( \sum_{k = 1}^{n}{k \cdot (k + 1)} \) \( = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots \) \( + n \cdot (n + 1) \) \( = \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{3} \)
\( \sum_{k = 1}^{n}{\dfrac{1}{k \cdot (k + 1)}} \) \( = \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots \) \( + \dfrac{1}{n \cdot (n + 1)} \) \( = \dfrac{n}{n + 1} \)
\( \sum_{k = 1}^{n}{k \cdot k!} \) \( = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots \) \( + n \cdot n! \) \( = (n + 1)! - 1 \)