Üçgenin Çevresi ve Alanı

DİK ÜÇGENİN ALANI:

\( ABC \) üçgeninin dik kenarlarına paralel doğrular çizdiğimizde yukarıdaki gibi bir dikdörtgen elde ederiz.

Dikdörtgenin alan formülünü yazalım.

\( A(ABCD) = a \cdot h_a \)

Üçgenin \( [AC] \) kenarı \( ABCD \) dikdörtgenin köşegenidir ve dikdörtgenin alanını iki eşit parçaya böler.

Buna göre \( ABC \) üçgeninin alanı aşağıdaki gibi olur.

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{A(ABCD)}{2} \)

\( = \dfrac{a \cdot h_a}{2} \)

DAR AÇILI ÜÇGENİN ALANI:

\( ABC \) üçgeninin yüksekliği üçgeni \( ABD \) ve \( ADC \) üçgenleri olmak üzere iki dik üçgene ayırır.

\( ABC \) üçgeninin alanı \( ABD \) ve \( ADC \) üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.

\( A(ABC) = A(ABD) + A(ADC) \)

Dik üçgenlerin alanlarını yukarıda bulduğumuz dik üçgen alan formülünü kullanarak yazalım.

\( A(ABD) = \dfrac{m \cdot h_a}{2} \)

\( A(ADC) = \dfrac{n \cdot h_a}{2} \)

\( A(ABC) = \dfrac{m \cdot h_a}{2} + \dfrac{n \cdot h_a}{2} \)

\( = \dfrac{(m + n) \cdot h_a}{2} \)

\( = \dfrac{a \cdot h_a}{2} \)

GENİŞ AÇILI ÜÇGENİN ALANI:

Geniş açılı köşenin iki kenarını uzatarak üçgeni bir dik üçgene tamamlayalım.

\( ABC \) üçgeninin alanı \( ADC \) ve \( ADB \) dik üçgenlerinin alanları farkına eşittir.

\( A(ABC) = A(ADC) - A(ADB) \)

Dik üçgenlerin alanlarını yukarıda bulduğumuz dik üçgen alan formülünü kullanarak yazalım.

\( A(ADC) = \dfrac{(d + a) \cdot h_a}{2} \)

\( A(ADB) = \dfrac{d \cdot h_a}{2} \)

\( A(ABC) = \dfrac{(d + a) \cdot h_a}{2} - \dfrac{d \cdot h_a}{2} \)

\( = \dfrac{(d + a - d) \cdot h_a}{2} \)

\( = \dfrac{a \cdot h_a}{2} \)

\( ABC \) üçgeninin alanını yazalım.

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{a \cdot h_a}{2} \)

\( h_a \) yüksekliğini \( C \) açısının sinüsü cinsinden yazalım.

\( \sin{\widehat{C}} = \dfrac{h_a}{b} \)

\( h_a = b \cdot \sin{\widehat{C}} \)

\( h_a \) yüksekliğini alan formülünde yerine koyalım.

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{a \cdot b \cdot \sin{\widehat{C}}}{2} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\widehat{C}} \)

Benzer formülleri diğer köşeler için de yazabiliriz.

İç teğet çemberin merkezi olan \( I \) noktasından üçgenin köşelerine birer doğru çizelim.

\( ABC \) üçgeninin alanı oluşan \( ABI \), \( BCI \) ve \( CAI \) üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.

\( A(ABC) = A(ABI) + A(BCI) + A(CAI) \)

İç teğet çember \( ABC \) üçgeninin kenarlarına teğet olduğu için yarıçap üç kenarı da dik keser, dolayısıyla aynı zamanda üç üçgenin de yüksekliğidir.

Buna göre üçgenlerin alanlarını aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( A(\overset{\triangle}{ABI}) = \dfrac{c \cdot r}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{BCI}) = \dfrac{a \cdot r}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{CAI}) = \dfrac{b \cdot r}{2} \)

\( A(ABC) = \dfrac{c \cdot r}{2} + \dfrac{a \cdot r}{2} + \dfrac{b \cdot r}{2} \)

\( = \dfrac{(a + b + c) \cdot r}{2} \)

\( ABC \) üçgeninin çevresinin yarısına \( u \) dersek yukarıdaki alan formülünü \( u \) cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( u = \dfrac{a + b + c}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = u \cdot r \)

Bu formülün ispatı için trigonometri teoremlerinde ispatını verdiğimiz aşağıdaki formülü kullanalım.

\( \dfrac{a}{\sin(\hat{A})} = \dfrac{b}{\sin(\hat{B})} = \dfrac{c}{\sin(\hat{C})} = 2R \)

\( \sin(\hat{C}) = \dfrac{c}{2R} \)

İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı bilinen üçgenin alan formülünde bu değeri yerine koyalım.

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\widehat{C}} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \dfrac{c}{2R} \)

\( = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4R} \)

Pozitif alan değeri elde etmek için \( A \), \( B \) ve \( C \) noktalarını üçgenin köşelerine saatin tersi yönünde yerleştirelim.

Üçgeni içine alan aşağıdaki gibi bir \( BDEF \) dikdörtgeni çizelim.

Üçgenin ve dikdörtgenin köşelerinin koordinatları ve köşe noktaları arası uzaklıklar şekilde belirtildiği gibi olur.

Dikdörtgenin içinde oluşan dört üçgenin alanlarına \( A \), \( A_1 \), \( A_2 \) ve \( A_3 \) diyelim.

Alanını bulmak istediğimiz üçgenin alanını dikdörtgenin alanından diğer üç üçgenin alanını çıkarak bulabiliriz.

\( A(\overset{\triangle}{ABC}) = A(BDEF) - A(\overset{\triangle}{AFB}) - A(\overset{\triangle}{BDC}) - A(\overset{\triangle}{CEA}) \)

\( A = A(BDEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)

İlk önce dikdörtgenin alanını hesaplayalım.

\( A(BDEF) = (x_3 - x_2)(y_1 - y_2) \)

Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım.

\( A_1 = \dfrac{1}{2}(x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \)

\( A_2 = \dfrac{1}{2}(x_3 - x_2)(y_3 - y_2) \)

\( A_3 = \dfrac{1}{2}(x_3 - x_1)(y_1 - y_3) \)

Bulduğumuz alan formüllerindeki parantezleri genişletelim.

\( A(BDEF) = x_3y_1 - x_3y_2 - x_2y_1 + x_2y_2 \)

\( A_1 = \dfrac{1}{2}(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) \)

\( A_2 = \dfrac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_2 - x_2y_3 + x_2y_2) \)

\( A_3 = \dfrac{1}{2}(x_3y_1 - x_3y_3 - x_1y_1 + x_1y_3) \)

Bu ifadeleri yukarıdaki üçgen alan formülünde yerlerine yazalım.

\( A = A(BDEF) - A_1 - A_2 - A_3 \)

\( = (x_3y_1 - x_3y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) \) \( - \dfrac{1}{2}(x_1y_1 - x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_2) \) \( - \dfrac{1}{2}(x_3y_3 - x_3y_2 - x_2y_3 + x_2y_2) \) \( - \dfrac{1}{2}(x_3y_1 - x_3y_3 - x_1y_1 + x_1y_3) \)

Bu işlemdeki sadeleştirmeleri yaparsak aşağıdaki formülü elde ederiz.

\( = \dfrac{1}{2} [(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_1y_3)] \)