Dik Üçgen

Bir açısı \( 90° \) olan üçgene dik üçgen denir.

Dik üçgen
Dik üçgen

Dik üçgenin bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.

  • Dik üçgenin diklik merkezi (yüksekliklerin kesişim noktası) dik kenarların kesiştiği köşededir (\( A \) noktası).
  • Dik üçgenin orta dikmelerinin kesişim noktası hipotenüsün orta noktasıdır.
  • Dik üçgenler çeşitkenar ya da ikizkenar olabilir ancak eşkenar olamaz.
  • Dik üçgenin dik olmayan iki açısı dar ve tümler açılardır.
  • Dik üçgende dik açının gördüğü kenara (\( [CB] \) kenarı) hipotenüs adı verilir ve dik üçgenin en uzun kenarıdır.

Pisagor Teoremi

Pisagor teoremine göre, dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi diğer iki kenar uzunluklarının kareleri toplamına eşittir.

Bu teoremin karşıtı da doğrudur. Buna göre, bir dik üçgende yukarıdaki eşitlik sağlanıyorsa eşitliğin solundaki kenarı gören açı dik açıdır.

Bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay iki ikizkenar üçgen oluşturur. "Muhteşem Üçlü" olarak da adlandırılan bu kurala göre; hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüste böldüğü iki parça ile eşit uzunluktadır. Tüm kenarortaylarda olduğu gibi, bu kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.

Hipotenüse ait kenarortay
Hipotenüse ait kenarortay

Bir dik üçgende \( \abs{AD} = \abs{BD} \) ya da \( \abs{AD} = \abs{DC} \) eşitlikleri verilirse \( [AD] \) hipotenüsün kenarortayıdır ve \( \abs{BD} = \abs{DC} \) olur.

Dik Üçgen Bağıntıları

Dik üçgenlerle ilgili aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz.

Dik üçgen bağıntıları
Dik üçgen bağıntıları

Öklid'in yükseklik bağıntısına göre; bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde oluşan iki parçanın uzunluklarının çarpımına eşittir.

Öklid'in dik kenar bağıntılarına göre; bir dik üçgende dik kenar uzunluğunun karesi, hipotenüs ile hipotenüsün bu dik kenar tarafındaki parçasının uzunluklarının çarpımına eşittir

Alan bağıntısı:

Ters Pisagor teoremi olarak da adlandırılan kurala göre, dik üçgenin yükseklikleri arasında aşağıdaki bağıntı vardır.

Özel Dik Üçgenler

Bazı dik üçgenlerin kenar uzunlukları daha kolay akılda tutulabilir değerlere sahiptir ve sağladıkları işlem kolaylığı açısından da sorularda daha sık karşımıza çıkmaktadır.

Açılarına Göre Özel Üçgenler

Açıları itibariyle en sık karşımıza çıkan dik üçgenler 45-45-90° ve 30-60-90° üçgenleridir.

Şekil Açılar Kenarlar
45-45-90° üçgeni 45-45-90° üçgeni Bu üçgende kenar uzunlukları arasında \( 1:1:\sqrt{2} \) orantısı vardır.
30-60-90° üçgeni 30-60-90° üçgeni Bu üçgende kenar uzunlukları arasında \( 1:\sqrt{3}:2 \) orantısı vardır.
15-75-90° üçgeni 15-75-90° üçgeni Bu üçgende hipotenüs uzunluğu hipotenüse ait yüksekliğin 4 katıdır.

Pisagor Üçgenleri

Kenar uzunlukları birer tam sayı olan dik üçgenler Pisagor üçgeni olarak adlandırılırlar. Kenar uzunlukları bir Pisagor üçgeninin tam sayı katı olan üçgenler de birer Pisagor üçgenidir.

Aşağıda bazı Pisagor üçgenlerinin kenar uzunlukları verilmiştir.

Şekil Pisagor Üçgeni Benzer Üçgenler
3-4-5 üçgeni 3-4-5 üçgeni 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 15-20-25 ...
5-12-13 üçgeni 5-12-13 üçgeni 10-24-26, 15-36-39, 20-48-52 ...
7-24-25 üçgeni 7-24-25 üçgeni 14-28-50, 21-72-75, 28-96-100
8-15-17 üçgeni 8-15-17 üçgeni 16-30-34, 24-45-51, 32-60-68

Aşağıdaki formüller kullanılarak herhangi \( m \) ve \( n \) tam sayı ikilisi ile Pisagor üçgenleri türetilebilir.

Bazı \( m \) ve \( n \) değerleri için oluşan Pisagor üçgenleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

\( m \) \( n \) \( a = m^2 - n^2 \) \( b = 2mn \) \( c = m^2 + n^2 \)
2 1 3 4 5
3 2 5 12 13
4 1 15 8 17
4 3 7 24 25
5 2 21 20 29
5 4 9 40 41

Dik Üçgenin Diğer Özellikleri

Dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır.

Dik üçgenin iç teğet çemberi
Dik üçgenin iç teğet çemberi

Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır.

SORU 1:
Soru

Şekilde \( ABC \) dik üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AB} = 12, \quad \abs{AC} = 16 \)

\( \abs{BD} = \abs{DC} \)

olduğuna göre, \( \abs{AD} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 2:
Soru

Şekilde \( ABC \) dik üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AB} = x - 2, \quad \abs{BC} = x \)

\( \abs{AC} = 2\sqrt{5} \)

olduğuna göre, \( x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:
Soru

Şekilde \( ABC \) ve \( BDC \) dik üçgenleri verilmiştir.

\( \abs{BD} = 5, \quad \abs{DC} = 6 \)

\( \abs{AC} = \sqrt{41} \)

olduğuna göre, \( \abs{AB} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 4:
Soru

Şekilde \( ABC \) dik üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AB} = 15, \quad \abs{AD} = 17 \)

\( \abs{DC} = 12 \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 5:
Soru

Şekilde \( ABC \) dik üçgeni verilmiştir.

\( \abs{DC} = 2\abs{BD} \)

\( \abs{AD} = 8, \quad \abs{AC} = 12 \)

olduğuna göre, \( \abs{BC} \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:
Soru

Şekilde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AC} = 10 \)

\( m(\widehat{ABC}) = 45°, \quad m(\widehat{ACB}) = 45° \)

olduğuna göre, \( \abs{AB} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 7:
Soru

Şekilde \( ABC \) dik üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AC} = 6, \quad \abs{BC} = 10 \)

\( \abs{BD} = \abs{DA} \)

olduğuna göre, \( \abs{DC} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 8:
Soru

Şekilde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.

\( m(\widehat{ABC}) = 45° \)

\( \abs{AB} = 5\sqrt{2}, \quad \abs{BC} = 17 \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 9:
Soru

\( [AD] \perp [CD], \quad m(\widehat{BCD}) = 30° \)

\( \abs{AB} = 17, \quad \abs{BC} = 10 \)

\( \abs{AD} = 20 \)

olduğuna göre, \( \abs{CD} = x \) değeri kaçtır

Çözümü Göster
SORU 10:
Soru

Yukardaki şekildeki kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir.

\( \abs{AB} = 2, \quad \abs{CB} = 4 \)

\( \abs{CD} = 3, \quad \abs{ED} = 2 \)

\( \abs{EF} = 1, \quad \abs{GF} = 2 \)

olduğuna göre, \( A \) ve \( G \) noktaları arasındaki uzaklık en az kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 11:
Soru

Şekilde \( ABC \) dik üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AD} = \abs{DC} = \abs{DE} \)

\( \abs{BE} = 9, \quad \abs{EC} = 4 \)

olduğuna göre, \( [AC] \) doğru parçasının uzunluğu nedir?

Çözümü Göster
SORU 12:
Soru

Şekilde \( ABC \) ve \( EDC \) dik üçgenleri verilmiştir.

\( [AB] \parallel [DE] \)

\( \abs{AB} = 4, \abs{DE} = 5, \abs{BD} = 12 \)

olduğuna göre, \( \abs{AE} \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 13:
Soru

Şekilde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AC} = 6\sqrt{2} \)

\( m(\widehat{ABC}) = 30°, \quad m(\widehat{BAC}) = 15° \)

olduğuna göre, \( \abs{AB} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 14:
Soru

Şekilde \( ABD \) üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AC} = \abs{AD} = 13 \)

\( \abs{BC} = 7, \quad \abs{CD} = 10 \)

olduğuna göre, \( \abs{AB} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 15:
Soru

Şekilde \( BCD \) ve \( BAD \) dik üçgenleri verilmiştir.

\( \abs{CD} = 6, \quad \abs{AD} = 4 \)

\( \abs{AB} + \abs{BC} = 10 \)

olduğuna göre, \( \abs{BD} \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 16:
Soru

Şekilde \( ABC \) ve \( EDG \) dik üçgenleri verilmiştir.

\( \abs{FG} = 2, \quad \abs{GC} = 1 \)

\( \abs{AF} = \sqrt{30}, \quad \abs{DG} = 2\sqrt{5} \)

olduğuna göre, \( \abs{BE} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 17:
Soru

Şekilde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.

\( \abs{AB} = 4\sqrt{2}, \quad \abs{DC} = 4 \)

\( \abs{BD} = a, \quad \abs{AD} = b \)

olduğuna göre, \( \dfrac{a}{b} \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 18:
Soru

\( [AE] \perp [BC], [BD] \perp [DC] \)

\( \abs{BE} = 8, \quad \abs{EC} = 4 \)

\( \abs{AD} = 2\sqrt{2} \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 19:
Soru

\( [BA] \perp [AC], [ED] \perp [BC] \)

\( \abs{BE} = 6, \quad \abs{EA} = 2 \)

\( \abs{BD} = \abs{DC} \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 20:
Soru

Şekilde \( ABC \) üçgeni verilmiştir.

\( [DE] \perp [BC] \)

\( \abs{AD} = \abs{DC} \)

\( \abs{BE} = 8, \quad \abs{EC} = 2 \)

olduğuna göre, \( \abs{DE} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 21:
Soru

Şekilde \( ABC \) ve \( ADC \) dik üçgenleri verilmiştir.

\( \abs{AB} = 6, \quad \abs{BC} = 8 \)

\( \abs{DE} = 4, \quad \abs{AE} \gt \abs{EC} \)

olduğuna göre, \( \abs{EC} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 22:
Soru

\( [AB] \perp [BC] \)

\( m(\widehat{BAD}) = 45°, \quad m(\widehat{BCD}) = 60° \)

\( \abs{AD} = 5\sqrt{2}, \quad \abs{DC} = 6\sqrt{3} \)

olduğuna göre, \( \abs{AB} = x \) kaçtır?

Çözümü Göster

« Önceki
Özel Üçgenler
Sonraki »
İkizkenar Üçgen


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır