Dik Üçgen

Yukarıdaki \( ABCD \) karesinin kenarları üzerinde her kenar uzunluğunu \( a \) ve \( b \) birim olmak üzere iki parçaya bölecek şekilde \( K \), \( L \), \( M \) ve \( N \) noktalarını işaretleyelim ve bu noktaları birleştirelim.

Mavi dik üçgenlerin ikişer kenar uzunlukları ve bu kenarların arasındaki dik açılar eşit olduğu için Kosinüs Teoremi'nden karşı kenar (hipotenüs) uzunlukları da eşittir. Bu kenar uzunluklarına \( c \) diyelim.

Dik üçgenlerin dik olmayan açıları tümler açılardır.

\( x + y = 90° \)

Bu eşitliği \( KLMN \) dörtgeninin tüm köşelerindeki \( x \) ve \( y \) açılarına uygularsak \( KLMN \) eşkenar dörtgeninin köşe açılarının dik olduğunu ve şeklin bir kare olduğunu buluruz.

Şimdi \( ABCD \) karesinin alanını yazalım.

\( A(ABCD) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

İçteki \( KLMN \) karesinin alanını yazalım.

\( A(KLMN) = c^2 \)

Bir yeşil dik üçgenin alanını yazalım.

\( A(AKN) = \dfrac{ab}{2} \)

\( ABCD \) karesinin alanı \( KLMN \) karesinin alanı ve dört dik üçgenin alanları toplamına eşittir.

\( A(ABCD) = A(KLMN) + 4 \cdot A(AKN) \)

\( a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 4 \cdot \dfrac{ab}{2} \)

Eşitliğin iki tarafındaki ortak terimleri sadeleştirirsek Pisagor Teoremi'ni elde ederiz.

\( a^2 + b^2 = c^2 \)