Bir üçgenin herhangi iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.
Aşağıdaki şekilde \( D \) ve \( E \) noktaları sırasıyla \( [AB] \) ve \( [AC] \) kenarlarının orta noktalarıdır, dolayısıyla \( [DE] \) doğru parçası üçgenin bir orta tabanıdır.
Orta taban
Orta taban bir üçgeni biri üçgen diğeri yamuk olmak üzere iki parçaya ayırır.
Orta Taban Teoremi
Orta taban teoremine göre, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren orta taban üçgenin üçüncü kenarına paraleldir ve uzunluğu bu üçüncü kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.
\( C \) noktasından geçen ve \( [AB] \) kenarına paralel bir doğru çizelim ve \( [DE] \) kenarını bu doğru ile \( F \) noktasında kesişecek şekilde uzatalım (mavi kesikli çizgiler).
\( [CF] \parallel [BA] \)
Ters açılar oldukları için: \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{CEF}) \)
İç ters açılar oldukları için: \( m(\widehat{EAD}) = m(\widehat{ECF}) \)
\( E \) noktası orta nokta olduğu için: \( \abs{AE} = \abs{CE} \)
\( \overset{\triangle}{AED} \) ve \( \overset{\triangle}{CEF} \) üçgenlerinin ikişer açısı eşit olduğu için üçüncü açıları da eşittir ve benzer üçgenlerdir. Ayrıca üçgenlerin benzer kenarlarından birinin uzunlukları eşit olduğu için bu iki üçgenin benzerlik oranı 1'dir, yani eş üçgenlerdir.
Bunun bir sonucu olarak iki üçgenin diğer kenar uzunlukları arasında da aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
\( \abs{AD} = \abs{CF} \)
\( \abs{ED} = \abs{EF} \)
\( D \) noktası \( [AB] \) kenarının orta noktasıdır.
\( \abs{AD} = \abs{DB} \)
Buna göre aşağıdaki iki kenar uzunluğu da eşit olmuş olur.
\( \abs{DB} = \abs{CF} \)
Bir dörtgenin karşılıklı iki kenarının paralel ve uzunluklarının eşit olması paralelkenar olması için yeterli koşullardan biri olduğu için \( BCFD \) dörtgeni bir paralelkenardır.
\( BCFD \) bir paralelkenar ise karşılıklı diğer iki kenarı için aşağıdakiler de doğrudur.
\( [DF] \parallel [BC] \)
\( \abs{DF} = \abs{BC} \)
Dolayısıyla orta taban teoreminin birinci önermesinin (paralellik) doğruluğunu göstermiş olduk.
Yukarıda benzer üçgenlerden aşağıdaki iki kenarın uzunluklarının eşit olduğunu göstermiştik.
\( \abs{ED} = \abs{EF} \)
Bu iki kenar uzunluğunun toplamı \( [BC] \) kenar uzunluğuna eşit olduğu için, her biri \( [BC] \) kenar uzunluğunun yarısına eşit olur.
\( \abs{DE} = \dfrac{\abs{BC}}{2} \)
Dolayısıyla orta taban teoreminin ikinci önermesinin (uzunluk) de doğruluğunu göstermiş olduk.
Orta taban teoreminin diğer iki yorumu aşağıdaki gibidir.
Orta taban teoremi
Soldaki şekilde gösterildiği gibi, bir üçgenin bir yan kenarının orta noktasından tabana paralel çizeceğimiz bir doğru parçası orta taban olur, dolayısıyla diğer yan kenarı ortalar ve uzunluğu taban uzunluğunun yarısına eşittir.
Sağdaki şekilde gösterildiği gibi, bir üçgenin yan kenarları arasında tabana paralel ve taban uzunluğunun yarı uzunluğunda çizeceğimiz bir doğru parçası orta taban olur, dolayısıyla her iki yan kenarı da ortalar.
Orta taban üçgenin yan kenarlarını olduğu gibi; tabana ait yüksekliği, açıortayı, kenarortayı ve tabana çizilen herhangi bir doğru parçasını ortalar.
Orta taban ve yardımcı elemanlar
\( [DE] \) orta taban, \( [AH] \) yükseklik, \( [AN] \) açıortay, \( [AV] \) kenarortay, \( [AX] \) tabana çizilen herhangi bir doğru parçası olmak üzere,
\( [DE] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı ise üçgenin her iki yan kenarını ortalar ve \( [BC] \) kenarına paraleldir.
\( [DE] \) doğru parçası aşağıdaki üçgenlerin ortak \( [AB] \) kenarını ortaladığı ve tümünün tabanına paralel olduğu için aşağıdaki dört üçgenin de orta tabanı olur.
(1) \( [AH] \) yüksekliğinin oluşturduğu \( ABH \) üçgeni,
(2) \( [AN] \) açıortayının oluşturduğu \( ABN \) üçgeni
(3) \( [AV] \) kenarortayının oluşturduğu \( ABV \) üçgeni
(4) \( [AX] \) doğru parçasının oluşturduğu \( ABX \) üçgeni
\( [DE] \) doğru parçası tüm bu üçgenlerin orta tabanı olduğu için sırasıyla \( [AH] \), \( [AN] \), \( [AV] \) ve \( [AX] \) kenarlarını ortalar.
Bir üçgenin yukarıdaki özellikleri gösteren üç orta tabanı vardır. Bu üç orta taban aşağıdaki şekildeki gibi ortalar üçgeni adı verilen bir üçgen oluştururlar.
Ortalar üçgeni
Bir kenara ait kenarortay o kenara ait orta tabanı da ortalar.
Orta taban ve kenarortay
\( [DE] \) orta taban, \( [AV] \) kenarortay olmak üzere,
Bir üçgenin kenarortayları o üçgenin orta tabanlarını, dolayısıyla o üçgene ait ortalar üçgeninin kenarlarını da ortaladığı için, bir üçgenin ve ortalar üçgeninin kenarortayları çakışıktır ve ağırlık merkezleri aynı noktadır.
Ortalar üçgeni ve ağırlık merkezi
Bir üçgenin ortalar üçgeninin diklik merkezi (yüksekliklerin kesişim noktası) aynı zamanda o üçgenin (\( ABC \) üçgeni) orta dikmelerinin kesişim noktası, yani çevrel çemberinin merkezidir.
\( DE \) kenarı \( ABC \) üçgeninin \( BC \) kenarına ait orta tabanı olduğu için bu kenara paraleldir.
\( [DE] \parallel [BC] \)
Dolayısıyla \( DEF \) üçgeninin \( F \) köşesine ait yüksekliği \( [BC] \) kenarına da diktir.
\( [HF] \perp [BC] \)
Aynı durum diğer orta tabanlar için de geçerlidir.
\( [HD] \perp [AB] \)
\( [HE] \perp [AC] \)
Buna göre \( D \), \( E \) ve \( F \) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları olduğu için \( [DH] \), \( [EH] \) ve \( [FH] \) doğru parçaları aynı zamanda ilgili kenarların orta dikmeleri olur.
\( H \) noktası bu üç doğru parçasının kesişim noktası olduğu için, \( DEF \) üçgeninin diklik merkezi olmasına ek olarak \( ABC \) üçgeninin orta dikmelerinin kesişim noktası, yani \( ABC \) üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.
\( [EF] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı ise \( [BC] \) kenarını ortalar.
\( \abs{BF} = \abs{FC} = x \)
\( [DE] \) doğru parçası \( ABC \) üçgeninin orta tabanı ise uzunluğu \( [BC] \) kenarının yarısına eşittir.
\( \abs{DE} = \abs{BF} = \abs{FC} = x \)
Yukarıda ispatını gösterdiğimiz üzere, \( [DE] \) doğru parçası tabana ait yüksekliği ortalar.
\( \abs{AK} = \abs{KH} = \dfrac{h}{2} \)
Buna göre \( ADE \), \( DBF \), \( DEF \) ve \( EFC \) üçgenlerinin tümünün tabanını \( x \) ve yüksekliğini \( \frac{h}{2} \) şeklinde ifade edebiliriz.
\( D \), \( E \) ve \( F \) noktaları bulundukları kenarların orta noktaları oldukları için bu noktaları birleştiren doğru parçaları üçgenin birer orta tabanıdır.
\( D \) noktasından \( [BC] \) kenarına paralel bir doğru çizelim ve bu doğrunun \( [EB] \) kenarını kestiği noktaya \( F \) diyelim.
\( [DF] \perp [EB] \)
\( [DF] \) \( [EC] \) kenarını ortaladığı ve \( [BC] \) kenarına paralel olduğu için üçgenin bir orta tabanıdır.
Orta taban uzunluğu taban uzunluğunun yarısıdır.
\( \abs{FD} = a, \abs{BC} = 2a \)
\( \abs{AD} = \abs{BC} = 2a \)
\( [FD] \parallel [BC] \) olduğu için \( m(\widehat{EDF}) = m(\widehat{ECB}) = 40°\) olur.
\( 30-60-90°\) özel üçgeninde dik açının gördüğü kenar uzunluğu \( 30° \)'lik açının gördüğü kenarın 2 katıdır.
\( AFD \) üçgeninde hipotenüs \( 2a \) ve \( \hat{A} \) açısının gördüğü kenar \( a \) olduğuna göre, \( AFD \) üçgeninin \( 30-60-90° \) özel üçgeni olduğunu söyleyebiliriz
