Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları

Bir üçgende ölçüsü daha geniş olan açının gördüğü kenar daha uzundur. Benzer şekilde daha uzun kenarın karşısındaki açı daha geniştir. Buna göre, bir üçgenin köşe açılarının ölçüleri ve bu açıların gördüğü kenarların uzunlukları arasındaki sıralama aynıdır.

Üçgende açılar ve kenar uzunlukları
Üçgende açılar ve kenar uzunlukları

Bir üçgende bir köşe açısı 90°'den küçükse karşı kenar uzunluğu Pisagor teoremi ile hesaplanan hipotenüs uzunluğundan küçük olur. Benzer şekilde, bir köşe açısı 90°'den büyükse karşı kenar uzunluğu Pisagor teoremi ile hesaplanan hipotenüs uzunluğundan büyük olur.

Yukarıda bahsettiğimiz açı - kenar bağıntıları belirli bir üçgen için geçerli olup üçgenler arasında böyle bir kıyaslama yapılamaz. Buna göre örneğin bir üçgende 30°'lik açının gördüğü kenar başka bir üçgende 60°'lik açının gördüğü kenardan uzun olabilir.

İki üçgende açı - kenar ilişkisi
İki üçgende açı - kenar ilişkisi

Hinge Teoremi

Bu teoreme göre, iki üçgenin ikişer kenar uzunluğu eşitse bu iki kenarın arasındaki açısı daha büyük olan üçgenin üçüncü kenar uzunluğu diğer üçgenin üçüncü kenar uzunluğundan büyüktür.

Hinge teoremi
Hinge teoremi

Bu kuralın karşıtı da doğrudur, yani üçüncü kenar uzunluğu daha büyük olan üçgende iki kenar arasındaki açı daha büyüktür.

Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.

Üçgen eşitsizliğini aşağıdaki şekildeki üçgen üzerinden anlatmaya çalışalım. Bu eşitsizliğe göre \( a \) uzunluğu \( b \) ve \( c \) uzunlukları toplamından küçüktür. Üçgenin \( C \) köşesini gitgide \( [AB] \) kenarına yaklaştırırsak \( b + c \) uzunluğu gitgide küçülerek \( a \) uzunluğuna yaklaşır. \( a = b + c \) olduğu nokta \( C \) köşesinin \( [AB] \) doğru parçası üzerine geldiği noktadır, ancak bu durumda üç köşe noktası üçgen değil bir doğru oluştururlar, dolayısıyla \( C \) köşesi \( [AB] \) kenarına ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın \( a \lt b + c \) eşitsizliği sağlanır.

Benzer şekilde \( b \) uzunluğu \( a \) ve \( c \) uzunlukları farkından büyüktür. Üçgenin \( C \) köşesini gitgide \( [AB] \) kenarına yaklaştırırsak (\( c \) uzunluğu kısaldığı için) \( a - c \) uzunluğu gitgide büyüyerek gitgide küçülen \( b \) uzunluğuna yaklaşır. \( b = a - c \) olduğu nokta \( C \) köşesinin \( [AB] \) doğru parçası üzerine geldiği noktadır, ancak bu durumda üç köşe noktası üçgen değil bir doğru oluştururlar, dolayısıyla \( C \) köşesi \( [AB] \) kenarına ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın \( \abs{a - c} \lt b \) eşitsizliği sağlanır.

Üçgen eşitsizliği
Üçgen eşitsizliği

Üçgen eşitsizliği iç içe iki üçgene aşağıdaki şekilde uygulabilir.

İki üçgen arasında üçgen eşitsizliği
İki üçgen arasında üçgen eşitsizliği

Yardımcı Eleman Bağıntıları

Bir üçgenin iç açı ölçülerinin sıralaması ile; yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluk sıralamaları arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

Herhangi iki (ikizkenar üçgen) ya da üç (eşkenar üçgen) köşeye ait açıların eşit olması durumunda bu köşelere ait yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları da eşit olur.

Herhangi bir çeşitkenar üçgende, bir \( \widehat{A} \) açısına ait yükseklik (\( h_a \)), açıortay (\( n_a \)) ve kenarortayın (\( V_a \)) uzunluk sıralaması aşağıdaki gibidir.

Yükseklik - açıortay - kenarortay ilişkisi
Yükseklik - açıortay - kenarortay ilişkisi
SORU 1:
Soru

\( ABC \) bir çeşitkenar üçgendir.

\( \abs{AC} \gt \abs{BC}, \quad m(\widehat{ACB}) = 80° \)

olduğuna göre, \( m(\widehat{ABC}) \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?

Çözümü Göster
SORU 2:
Soru

\( \abs{BC} = a, \abs{AC} = b, \abs{AB} = c \)

\( b \lt a \lt c \)

\( m(\widehat{BAC}) = 52° \)

olduğuna göre, \( m(\widehat{ACB}) \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 3:
Soru

\( \abs{AB} = 4, \quad \abs{BC} = 9 \)

\( \abs{CD} = 3, \quad \abs{AD} = 7 \)

olduğuna göre, \( \abs{BD} \) hangi tam sayı değerlerini alabilir?

Çözümü Göster
SORU 4:
Soru

\( [BD] \), \( [AC] \) kenarının kenarortayıdır.

\( \abs{AB} = 6, \quad \abs{BC} = 8 \)

\( ABC \) üçgeninin çevresi 20 birimdir.

Buna göre \( \abs{BD} = x \)'in alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

Çözümü Göster
SORU 5:
Soru

\( \abs{AB} = 6, \abs{BC} = 11, \abs{AC} = 3x - 1 \)

olduğuna göre, \( x \)' in alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 6:
Soru

\( \abs{AB} = 5, \quad \abs{BC} = 12 \)

\( m(\widehat{BAC}) \lt m(\widehat{ABC}) \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} = x \)'in alabileceği değerler nedir?

Çözümü Göster
SORU 7:
Soru

\( \abs{AB} = 5, \abs{AD} = 9, \abs{DC} = 4 \)

olduğuna göre, \( \abs{BC} = x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 8:
Soru

\( [ED] \perp [AB], \quad \abs{AD} = \abs{BD} \)

\( \abs{EC} = 4, \quad \abs{AC} = 7 \)

olduğuna göre, \( \abs{BE} = x \)'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?

Çözümü Göster
SORU 9:
Soru

Bir yamuk ve bir üçgenden oluşan şekildeki uzunluk değerleri aşağıda verilmiştir.

\( \abs{AB} = 3, \quad \abs{AE} = 5 \)

\( \abs{CD} = 6, \quad \abs{DE} = 7 \)

olduğuna göre, \( \abs{BC} = x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 10:
Soru

\( [AB] \perp [AC] \) ve \( D \) noktası \( ABC \) üçgeninin iç bölgesinde bir noktadır.

\( \abs{BD} = 12, \quad \abs{DC} = 5 \)

olduğuna göre, \( \abs{BC} = x \)'in alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?

Çözümü Göster
SORU 11:
Soru

\( \abs{AB} = 5, \abs{DE} = 3, \abs{BE} = 12 \)

olduğuna göre, \( \abs{AC} + \abs{CD} \)'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözümü Göster
SORU 12:
Soru

\( [BD] \perp [DC]\)

\( \abs{AB} = 4, \quad \abs{AC} = 5 \)

olduğuna göre, \( \abs{BC} = x \)'in alabileceği tam sayı değerleri nedir?

Çözümü Göster
SORU 13:
Soru

\( [AB] \perp [DB] \)

\( m(\widehat{BAC}) = 55°, m(\widehat{ACB}) = 50°, m(\widehat{ADB}) = 65° \)

\( \abs{BC} = a, \abs{AC} = b, \abs{AB} = c \)

\( \abs{AD} = d, \abs{DB} = e \)

olduğuna göre, şekildeki en kısa kenar hangisidir?

Çözümü Göster
SORU 14:

\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,

Bir üçgenin kenarları sırasıyla 8, 13 ve \( k \) cm uzunluğundadır.

Kaç tane \( k \) değeri için bu üçgen geniş açılı üçgen olur?

Çözümü Göster
SORU 15:

Kenar uzunlukları tam sayı ve çevresi 22 cm olan kaç üçgen çizilebilir?

Çözümü Göster
SORU 16:

Kenar uzunlukları birer tam sayı ve çevre uzunluğu 30 cm olacak şekilde oluşturulabilecek ikizkenar üçgenlerin, farklı uzunluktaki kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark en çok kaç olabilir?

Çözümü Göster

« Önceki
Orta Dikme
Sonraki »
Özel Üçgenler


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır