Bir üçgende ölçüsü daha geniş olan açının gördüğü kenar daha uzundur. Benzer şekilde daha uzun kenarın karşısındaki açı daha geniştir. Buna göre, bir üçgenin köşe açılarının ölçüleri ve bu açıların gördüğü kenarların uzunlukları arasındaki sıralama aynıdır.
\( m(\widehat{A}) \ge m(\widehat{B}) \ge m(\widehat{C}) \Longleftrightarrow a \ge b \ge c \)
\( [AC] \) kenarının \( [AB] \) kenarından uzun olduğunu varsayalım ve bunun sonucu olarak \( \hat{B} \) açısının \( \hat{C} \) açısından daha geniş olduğunu göstermeye çalışalım.
\( b \gt c \) olduğunu bildiğimiz için, \( [AC] \) kenarında \( A \) noktasından \( c \) birim uzaklıktaki noktayı \( D \) noktası olarak işaretleyelim ve \( B \) noktası ile bu noktayı birleştirelim.
Oluşan \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeni bir ikizkenar üçgen olmaktadır.
\( \abs{AB} = \abs{AD} = c \)
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = x \)
\( \hat{C} \) açısının ölçüsüne \( z \) diyelim. \( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin bir dış açısı olan \( \widehat{BDA} \) açısı iki iç açının toplamına eşit olur.
\( x = y + z \)
\( \hat{B} \) açısının ölçüsünü aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( m(\hat{B}) = x + y \)
\( \hat{C} \) açısının ölçüsünü yukarıda elde ettiğimiz eşitliği kullanarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( m(\hat{C}) = z = x - y \)
Bu iki eşitlikten, \( \hat{B} \) açısının ölçüsünün \( x \)'ten büyük, \( \hat{C} \) açısının ise \( x \)'ten küçük olduğunu, bunun bir sonucu olarak da \( \hat{B} \) açısının \( \hat{C} \) açısından daha geniş olduğunu söyleyebiliriz.
\( m(\hat{B}) = m(\hat{C}) + 2y \)
Dolayısıyla, iki kenarın arasında daha uzun olan kenarı gören açının ölçüsünün daha geniş olduğunu göstermiş olduk.
Bir üçgende bir köşe açısı 90°'den küçükse karşı kenar uzunluğu Pisagor teoremi ile hesaplanan hipotenüs uzunluğundan küçük olur. Benzer şekilde, bir köşe açısı 90°'den büyükse karşı kenar uzunluğu Pisagor teoremi ile hesaplanan hipotenüs uzunluğundan büyük olur.
Yukarıda bahsettiğimiz açı - kenar bağıntıları belirli bir üçgen için geçerli olup üçgenler arasında böyle bir kıyaslama yapılamaz. Buna göre örneğin bir üçgende 30°'lik açının gördüğü kenar başka bir üçgende 60°'lik açının gördüğü kenardan uzun olabilir.
Hinge Teoremi
Bu teoreme göre, iki üçgenin ikişer kenar uzunluğu eşitse bu iki kenarın arasındaki açısı daha büyük olan üçgenin üçüncü kenar uzunluğu diğer üçgenin üçüncü kenar uzunluğundan büyüktür.
\( \abs{AB} = \abs{AD} \) ve \( \abs{AC} = \abs{AE} \) olmak üzere,
Şekildeki \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin \( [BA] \) kenarını \( [AC] \) kenarı uzunluğunda \( b \) birim uzatalım (mavi çizgi). Bu doğru parçasının sonlandığı \( D \) noktası ile üçgenin \( C \) köşesini birleştirelim.
Oluşan \( \overset{\triangle}{ADC} \) üçgeni iki kenar uzunluğu eşit olduğu için bir ikizkenar üçgendir, dolayısıyla iki açısı da eşittir.
\( \abs{AD} = \abs{AC} = b \)
\( m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{ACD}) \)
Bir üçgende daha geniş olan açının gördüğü kenar daha uzundur. Buna göre büyük üçgende \( \widehat{BCD} \) açısı \( \widehat{ACD} \) açısından büyük olduğu için bu açıya eşit \( \widehat{BDC} \) açısından da büyüktür, dolayısıyla \( [BD] \) kenarı \( [BC] \) kenarından uzun olur.
\( m(\widehat{ACD}) \lt m(\widehat{BCD}) \) olduğu için,
\( m(\widehat{BDC}) \lt m(\widehat{BCD}) \)
\( \abs{BC} \lt \abs{BD} \)
\( \abs{BC} \lt \abs{BA} + \abs{AD} \)
\( \abs{AD} = \abs{AC} = b \) olduğu için,
\( \abs{BC} \lt \abs{BA} + \abs{AC} \)
\( a \lt b + c \)
Buna göre \( [BC] \) kenarı için üçgen eşitsizliğinin sağ tarafını bulmuş oluruz. Aynı ispat diğer kenarlar için de tekrarlanabilir.
Üçgen eşitsizliğinin sol tarafını elde etmek için diğer iki kenara ait eşitsizliklerin sağ tarafını yazalım.
\( b \lt a + c \)
\( c \lt a + b \)
Bu eşitsizliklerde \( a \)'yı yalnız bırakalım.
\( b - c \lt a \)
\( c - b \lt a \Longrightarrow -(b - c) \lt a \)
\( a \) sayısı bir ifadenin hem pozitif hem de negatif işaretlisinden büyükse bu iki ifadenin daha büyüğüne eşit olan mutlak değerinden de büyüktür.
\( \abs{b - c} \lt a \)
Buna göre \( [BC] \) kenarı için üçgen eşitsizliğinin sol tarafını da bulmuş oluruz. Buna göre bu kenar için tüm eşitsizlik aşağıdaki şekilde olur.
Üçgen eşitsizliğini aşağıdaki şekildeki üçgen üzerinden anlatmaya çalışalım. Bu eşitsizliğe göre \( a \) uzunluğu \( b \) ve \( c \) uzunlukları toplamından küçüktür. Üçgenin \( C \) köşesini gitgide \( [AB] \) kenarına yaklaştırırsak \( b + c \) uzunluğu gitgide küçülerek \( a \) uzunluğuna yaklaşır. \( a = b + c \) olduğu nokta \( C \) köşesinin \( [AB] \) doğru parçası üzerine geldiği noktadır, ancak bu durumda üç köşe noktası üçgen değil bir doğru oluştururlar, dolayısıyla \( C \) köşesi \( [AB] \) kenarına ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın \( a \lt b + c \) eşitsizliği sağlanır.
Benzer şekilde \( b \) uzunluğu \( a \) ve \( c \) uzunlukları farkından büyüktür. Üçgenin \( C \) köşesini gitgide \( [AB] \) kenarına yaklaştırırsak (\( c \) uzunluğu kısaldığı için) \( a - c \) uzunluğu gitgide büyüyerek gitgide küçülen \( b \) uzunluğuna yaklaşır. \( b = a - c \) olduğu nokta \( C \) köşesinin \( [AB] \) doğru parçası üzerine geldiği noktadır, ancak bu durumda üç köşe noktası üçgen değil bir doğru oluştururlar, dolayısıyla \( C \) köşesi \( [AB] \) kenarına ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın \( \abs{a - c} \lt b \) eşitsizliği sağlanır.
Üçgen eşitsizliği iç içe iki üçgene aşağıdaki şekilde uygulabilir.
Bir üçgenin iç açı ölçülerinin sıralaması ile; yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluk sıralamaları arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.
\( m(\widehat{A}) \gt m(\widehat{B}) \gt m(\widehat{C}) \) ise,
Yükseklikler: \( h_a \lt h_b \lt h_c \)
Açıortaylar: \( n_a \lt n_b \lt n_c \)
Kenarortaylar: \( V_a \lt V_b \lt V_c \)
Herhangi iki (ikizkenar üçgen) ya da üç (eşkenar üçgen) köşeye ait açıların eşit olması durumunda bu köşelere ait yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları da eşit olur.
Herhangi bir çeşitkenar üçgende, bir \( \widehat{A} \) açısına ait yükseklik (\( h_a \)), açıortay (\( n_a \)) ve kenarortayın (\( V_a \)) uzunluk sıralaması aşağıdaki gibidir.
\( m(\widehat{ACB}) \)'nin en küçük değerini alması için \( m(\widehat{ABC}) \lt m(\widehat{BAC}) \) olmak koşuluyla \( m(\widehat{ABC}) \) en büyük değerini almalıdır.
Bu durumda \( ABD \) ve \( BCD \) üçgenleri için üçgen eşitsizlikleri aşağıdaki gibi olur.
\( ABD \) üçgeni için:
\( \abs{7 - 4} \lt x \lt \abs{7 + 4} \)
\( 3 \lt x \lt 11 \)
\( BCD \) üçgeni için:
\( \abs{9 - 3} \lt x \lt \abs{9 + 3} \)
\( 6 \lt x \lt 12 \)
\( x \) uzunluğunun her iki üçgen için de üçgen eşitsizliğini sağlanması gerektiği için bulduğumuz eşitsizliklerin alt sınır değerlerinden büyük olanı, üst sınır değerlerinden de küçük olanı seçmeliyiz.
\( 6 \lt x \lt 11 \)
Buna göre \( x \) aşağıdaki 4 tam sayı değeri alabilir.
Bu durumda \( ABD \) ve \( BCD \) üçgenleri için üçgen eşitsizlikleri aşağıdaki gibi olur.
\( ABD \) üçgeni için:
\( \abs{6 - 3} \lt x \lt \abs{6 + 3} \)
\( 3 \lt x \lt 9 \)
\( BCD \) üçgeni için:
\( \abs{8 - 3} \lt x \lt \abs{8 + 3} \)
\( 5 \lt x \lt 11 \)
Ayrıca \( D \) noktasından tabana paralel bir doğru çizelim ve bu doğru parçasının \( [AB] \) kenarını kestiği noktaya \( E \) diyelim.
\( [ED] \parallel [BC] \) olduğu için bu doğru parçası üçgenin bir orta tabanıdır, dolayısıyla \( [AB] \) kenarını ortalar ve uzunluğu tabanın yarısıdır.
\( \abs{AE} = \abs{EB} = 3 \)
\( \abs{ED} = 4 \)
Oluşan \( BED \) üçgeninde de üçgen eşitsizliği sağlanmalıdır.
\( \abs{4 - 3} \lt x \lt 4 + 3 \)
\( 1 \lt x \lt 7 \)
Bulduğumuz üç eşitsizliği de sağlayan tam sayı \( x \) değeri sadece 6 olur.
Birden fazla adımda uygulayacağımız üçgen eşitsizliklerinde \( x \)'in en büyük değerini bulmak için diğer üçgenlerdeki bilinmeyen kenar uzunluklarının da en büyük değerlerini almalıyız.
\( ABE \) üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
\( \abs{5 - 3} \lt \abs{BE} \lt \abs{5 + 3} \)
\( 2 \lt \abs{BE} \lt 8 \)
\( \abs{BE} \) uzunluğu için üst sınır 8 birimdir.
\( BED \) üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
\( \abs{8 - 7} \lt \abs{BD} \lt \abs{8 + 7} \)
\( 1 \lt \abs{BD} \lt 15 \)
\( \abs{BD} \) uzunluğu için üst sınır 15 birimdir.
\( BCD \) üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
\( \abs{15 - 6} \lt x \lt \abs{15 + 6} \)
\( 9 \lt x \lt 21 \)
\( x = 21 \) olamayacağı için \( x \)'in en büyük değeri 20 olur.
\( m(\widehat{BDC}) \) açısının 90°'den büyük ya da küçük olduğunu bulmaya çalışalım.
\( m(\widehat{ABD}) = a, m(\widehat{DBC}) = b \)
\( m(\widehat{ACD}) = c, m(\widehat{DCB}) = d \) diyelim.
\( a + b + c + d + 90° = 180° \)
\( a + b + c + d = 90° \)
\( b + c \lt 90° \)
Buna göre \( BDC \) üçgeninde \( m(\widehat{BDC}) \gt 90° \) olur.
\( \widehat{BDC} \) açısı geniş açı olduğu için \( BDC \) üçgeninde en uzun kenarı görür.
\( x \gt 12 \)
\( BDC \) üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
\( \abs{12 - 5} \lt x \lt \abs{12 + 5} \)
\( 7 \lt x \lt 17 \)
Ayrıca \( \widehat{BDC} \) açısı geniş açı olduğu için, \( x \) uzunluğu \( m(\widehat{BDC}) = 90° \) olduğu durumda oluşacak hipotenüs uzunluğundan büyük olmalı.
\( x^2 \gt 12^2 + 5^2 \)
\( x \gt 13 \)
Bulduğumuz üç eşitsizliği de sağlayan en geniş aralık aşağıdaki gibidir.
\( 13 \lt x \lt 17 \)
Buna göre \( x \) aşağıdaki 3 tam sayı değeri alabilir.
\( ABC \) üçgeni için üçgen eşitsizliğini yazalım.
\( \abs{4 - 5} \lt x \lt \abs{4 + 5} \)
\( 1 \lt x \lt 9 \)
Ayrıca \( ABC \) üçgeni içinde bir dik üçgen oluştuğu için \( m(\widehat{BAC}) \) açısı 90°'den küçük olmalıdır, dolayısıyla \( \abs{BC} \) uzunluğu \( m(\widehat{BAC}) = 90° \) olduğu durumundaki hipotenüs uzunluğundan kısa olmalıdır.
\( x^2 \lt 4^2 + 5^2 \)
\( x \lt \sqrt{41} \)
Bulduğumuz iki eşitsizliği de sağlayan en geniş aralık aşağıdaki gibidir.
\( 1 \lt x \lt \sqrt{41} \)
Buna göre \( x \) aşağıdaki 5 tam sayı değeri alabilir.
Kenar uzunlukları birer tam sayı ve çevre uzunluğu 30 cm olacak şekilde oluşturulabilecek ikizkenar üçgenlerin, farklı uzunluktaki kenarının uzunluğunun alabileceği en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark en çok kaç olabilir?
İkizkenar üçgenin eşit uzunluktaki kenarlarının uzunluğuna \( a \) cm, diğer kenarının uzunluğuna \( b \) cm diyelim.
Üçgen eşitsizliğine göre; bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
Bu kuralı uzunluğu \( b \) olan kenara uygulayalım.
\( \abs{a - a} \lt b \lt a + a \)
\( 0 \lt b \lt 2a \)
İkizkenar üçgenin çevre uzunluğu 30 cm'dir.
\( 2a + b = 30 \)
\( b = 30 - 2a \)
Bu değeri yukarıda elde ettiğimiz eşitsizlikte yerine yazalım.
\( 0 \lt 30 - 2a \lt 2a \)
\( 2a \lt 30 \lt 4a \)
\( a \lt 15 \lt 2a \)
Bu eşitsizliği iki ayrı eşitsizlik olarak inceleyelim ve \( a \) değer aralığını bulalım.
\( a \lt 15 \)
\( 15 \lt 2a\Longrightarrow 7,5 \lt a \)
Buna göre \( a \) değer aralığı aşağıdaki gibi bulunur.
\( 7,5 \lt a \lt 15 \)
\( a \)'nın bu aralıkta alabileceği tam sayı değerleri 8, 9, 10, 11, 12, 13 ve 14'tür.
\( a \) bu değerleri alırken, \( 2a + b = 30 \) denklemine göre \( b \) sırasıyla 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 değerlerini alır.
\( b \) değerinin alabileceği en büyük ve en küçük değerler arasındaki fark \( 14 - 2 = 12 \) olarak bulunur.