Açıortay

Açıortay üzerindeki bir \( C \) noktasından açının kollarına indirilen dikmelerin ve açının kolları üzerinde oluşan doğru parçalarının uzunluklarının eşit olduğunu ve oluşan iki üçgenin eş üçgenler olduğunu gösterelim.

\( m(\widehat{AOC}) = m(\widehat{EOC}) \)

\( m(\widehat{OAC}) = m(\widehat{OEC}) = 90° \)

\( AOC \) ve \( EOC \) üçgenlerinin ikişer açısı eşit olduğu için, üçüncü açıları da eşittir, dolayısıyla iki üçgen benzerdir.

\( [OC] \) kenarı bu iki üçgen için ortak kenar olduğu için, üçgenlerin benzerlik oranı 1'dir, dolayısıyla bu iki üçgen aynı zamanda eş üçgenlerdir. Buna göre, aşağıdaki kenar uzunlukları da eşittir.

\( \abs{CA} = \abs{CE} \)

\( \abs{OA} = \abs{OE} \)

İç teğet çemberin merkezi olan \( I \) noktasından üçgenin kenarlarına birer dikme çizelim.

Bu dikmeler aynı zamanda iç teğet çemberin birer yarıçapıdır.

İç teğet çemberin yarıçapı \( ABC \) üçgeninin kenarlarına teğet olduğu için yarıçap üç kenarı da dik keser, dolayısıyla aynı zamanda üç üçgenin de yüksekliğidir.

Buna göre üçgenlerin alanlarını aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( A(ABI) = \dfrac{c \cdot r}{2} \)

\( A(BCI) = \dfrac{a \cdot r}{2} \)

\( A(CAI) = \dfrac{b \cdot r}{2} \)

Her eşitlikte kenar uzunluklarını eşitliğin sol tarafına aldığımızda ilgili alanların kenar uzunluklarına oranının sabit olduğunu görürüz.

\( \dfrac{A(ABI)}{c} = \dfrac{r}{2} \)

\( \dfrac{A(BCI)}{a} = \dfrac{r}{2} \)

\( \dfrac{A(CAI)}{b} = \dfrac{r}{2} \)

\( \dfrac{A(BIC)}{a} = \dfrac{A(CIA)}{b} = \dfrac{A(AIB)}{c} = \dfrac{r}{2} = k \)

İSPAT 1:

\( \overset{\triangle}{ABN} \) ve \( \overset{\triangle}{ANC} \) üçgenlerinin alanlarını sinüs alan formülünü kullanarak yazalım.

\( A(\overset{\triangle}{ABN}) = \dfrac{1}{2} \cdot n_a \cdot c \cdot \sin{x} \)

\( A(\overset{\triangle}{ANC}) = \dfrac{1}{2} \cdot n_a \cdot b \cdot \sin{x} \)

Bu iki üçgenin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı nokta olduğu için, yükseklikleri eşittir, dolayısıyla alanlarının oranı taban uzunluklarının oranına eşittir.

\( \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABN})}{A(\overset{\triangle}{ANC})} = \dfrac{m}{n} \)

Alan formüllerini yerine koyalım.

\( \dfrac{\frac{1}{2} \cdot n_a \cdot c \cdot \sin{x}}{\frac{1}{2} \cdot n_a \cdot b \cdot \sin{x}} = \dfrac{m}{n} \)

Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirirsek, iç açıortay teoremi formülünü elde ederiz.

\( \dfrac{c}{b} = \dfrac{m}{n} = \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABN})}{A(\overset{\triangle}{ANC})} \)

İSPAT 2:

Açıortayın karşı kenarı kestiği noktadan yan kenarlara birer dikme indirelim. Yukarıda bu dikmelerin uzunluklarının birbirine eşit olduğunu görmüştük.

\( \overset{\triangle}{ABN} \) ve \( \overset{\triangle}{ANC} \) üçgenlerinin alanlarını yan kenarları taban olarak alarak yazalım.

\( A(\overset{\triangle}{ABN}) = \dfrac{c \cdot h}{2} \)

\( A(\overset{\triangle}{ANC}) = \dfrac{b \cdot h}{2} \)

Bu iki üçgenin alanlarının oranının \( m \) ve \( n \) uzunluklarının oranına eşit olduğunu göstermiştik.

\( \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABN})}{A(\overset{\triangle}{ANC})} = \dfrac{m}{n} \)

Alan formüllerini yerine koyalım.

\( \dfrac{\frac{c \cdot h}{2}}{\frac{b \cdot h}{2}} = \dfrac{m}{n} \)

Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirirsek, iç açıortay teoremi formülünü elde ederiz.

\( \dfrac{c}{b} = \dfrac{m}{n} = \dfrac{A(\overset{\triangle}{ABN})}{A(\overset{\triangle}{ANC})} \)

\( \overset{\triangle}{ABN} \) üçgenine Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım ve kosinüs ifadesini yalnız bırakalım.

\( m^2 = {n_a}^2 + c^2 - 2 \cdot n_a \cdot c \cdot \cos{x} \)

\( \cos{x} = \dfrac{{n_a}^2 + c^2 - m^2}{2 \cdot n_a \cdot c} \)

\( \overset{\triangle}{ANC} \) üçgenine Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım ve kosinüs ifadesini yalnız bırakalım.

\( n^2 = {n_a}^2 + b^2 - 2 \cdot n_a \cdot b \cdot \cos{x} \)

\( \cos{x} = \dfrac{{n_a}^2 + b^2 - n^2}{2 \cdot n_a \cdot b} \)

İki kosinüs ifadesini birbirine eşitleyelim ve paydalardaki ortak çarpanları sadeleştirelim.

\( \dfrac{{n_a}^2 + c^2 - m^2}{2 \cdot n_a \cdot c} = \dfrac{{n_a}^2 + b^2 - n^2}{2 \cdot n_a \cdot b} \)

\( \dfrac{{n_a}^2 + c^2 - m^2}{c} = \dfrac{{n_a}^2 + b^2 - n^2}{b} \)

İçler-dışlar çarpımı yapalım.

\( b \cdot {n_a}^2 + b \cdot c^2 - b \cdot m^2 = c \cdot {n_a}^2 + c \cdot b^2 - c \cdot n^2 \)

Açıortay uzunluğunu yalnız bırakalım.

\( b \cdot {n_a}^2 - c \cdot {n_a}^2 = b \cdot m^2 - b \cdot c^2 + c \cdot b^2 - c \cdot n^2 \)

\( {n_a}^2 \cdot (b - c) = (c \cdot b^2 - b \cdot c^2) - (c \cdot n^2 - b \cdot m^2) \)

Yukarıdaki Açıortay Teoremi'nde elde ettiğimiz orantıyı aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

\( \dfrac{c}{b} = \dfrac{m}{n} \Longrightarrow c \cdot n = b \cdot m \)

Bu eşitliği elimizdeki eşitlikte yerine koyalım.

\( {n_a}^2 \cdot (b - c) = c \cdot b \cdot (b - c) - (\underbrace{c \cdot n}_{b \cdot m} \cdot n - \underbrace{b \cdot m}_{c \cdot n} \cdot m) \)

\( {n_a}^2 \cdot (b - c) = c \cdot b \cdot (b - c) - (b \cdot m \cdot n - c \cdot n \cdot m) \)

\( {n_a}^2 \cdot (b - c) = c \cdot b \cdot (b - c) - m \cdot n \cdot (b - c) \)

İki taraftaki \( (b - c) \) çarpanını sadeleştirelim.

\( {n_a}^2 = c \cdot b - m \cdot n \)

\( n_a = \sqrt{c \cdot b - m \cdot n} \)

\( C \) noktasından geçen ve \( [AB] \) kenarına paralel bir doğru çizelim ve bu doğrunun dış açıortayı kestiği noktaya \( D \) diyelim.

\( \widehat{ADC} \) ve \( \widehat{EAD} \) açıları iç ters açılar oldukları için, ölçüleri eşittir.

\( m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{EAD}) \)

Bu durumda \( \overset{\triangle}{ACD} \) ikizkenar bir üçgendir.

\( \abs{CA} = \abs{CD} = b \)

\( \overset{\triangle}{NAB} \) üçgenine Temel Orantı Teoremi'ni uygularsak Dış Açıortay Teoremi formülünü elde ederiz.

\( \dfrac{\abs{BA}}{\abs{CD}} = \dfrac{\abs{NB}}{\abs{NC}} \)

\( \dfrac{c}{b} = \dfrac{m}{n} \)

\( A \) köşesinin dış açıortayının \( [BC] \) kenarının uzantısını kestiği nokta \( N \)'dir.

\( N \) noktasından \( m(\widehat{ANC}) = m(\widehat{ANE}) \) olacak şekilde bir doğru çizelim. Bu doğrunun \( [BA] \) kenarının uzantısını kestiği noktaya \( E \) diyelim.

\( \overset{\triangle}{NAC} \) ve \( \overset{\triangle}{NAE} \) üçgenlerinin ikişer açısı eşit olduğu için, üçüncü açıları da eşittir, dolayısıyla bu üçgenler benzerdir. Üçgenlerin \( [NA] \) kenarı ortak olduğu için, bu iki üçgen aynı zamanda eş üçgenlerdir. Buna göre aşağıdaki kenar uzunlukları da birbirine eşittir.

\( \abs{AC} = \abs{AE} = b \)

\( \abs{NC} = \abs{NE} = n \)

\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninde \( A \) köşesinin bir dış açıortayı olan \( n_a \), aynı zamanda büyük \( \overset{\triangle}{EBN} \) üçgeninde \( N \) köşesinin bir iç açıortayı olmaktadır. Dolayısıyla, bu açıortaya \( \overset{\triangle}{EBN} \) üçgeni için iç açıortay teoremini uygularsak dış açıortay uzunluk formülünü elde ederiz.

\( n_a = \sqrt{m \cdot n - c \cdot b} \)