Üçgende Benzerlik
İç açıları aynı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.
\( ABC \) ve \( KLM \) üçgenlerinin benzerliği \( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{KLM} \) şeklinde gösterilir. Bu gösterimde köşelerin yazım sırası önemli olup açı ölçüleri aynı olan köşeler her iki üçgenin yazılışında aynı konumda bulunmalıdır.
\( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{KLM} \) ise,
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{K}) \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) \)
\( m(\widehat{C}) = m(\widehat{M}) \)
Benzer iki üçgende ölçüleri aynı olan açıların karşısındaki kenarların uzunlukları oranı sabittir ve bu orana benzerlik oranı denir.
\( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{KLM} \) ise,
\( k \) iki üçgen arasındaki benzerlik oranı olmak üzere,
\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{KL}} = \dfrac{\abs{AC}}{\abs{KM}} = \dfrac{\abs{BC}}{\abs{LM}} = k \)
\( \overset{\triangle}{DEF} \sim \overset{\triangle}{RQP} \) ise,
\( \dfrac{\abs{DE}}{\abs{RQ}} = \dfrac{\abs{DF}}{\abs{RP}} = \dfrac{\abs{EF}}{\abs{QP}} \)
\( \dfrac{25}{b} = \dfrac{30}{18} = \dfrac{35}{a} \)
\( a = 21, \quad b = 15 \)
Benzer iki üçgenin yükseklikleri, açıortayları, kenarortayları, orta dikmeleri ve çevreleri arasında da aynı \( k \) benzerlik oranı vardır.
\( \dfrac{h_a}{h_k} = \dfrac{h_b}{h_l} = \dfrac{h_c}{h_m} = k \)
\( \dfrac{n_a}{n_k} = \dfrac{n_b}{n_l} = \dfrac{n_c}{n_m} = k \)
\( \dfrac{V_a}{V_k} = \dfrac{V_b}{V_l} = \dfrac{V_c}{V_m} = k \)
\( \dfrac{Ç(ABC)}{Ç(KLM)} = k \)
Benzer iki üçgenin alanları arasındaki benzerlik oranı \( k^2 \)'dir.
\( \dfrac{A(ABC)}{A(KLM)} = k^2 \)
Üç açının eşitliğinin bilinmediği durumlarda, aşağıdaki koşullardan birini sağlayan üçgenler de benzerdir.
- Açı - Açı Benzerliği: İkişer açısı eşit olan iki üçgen, üçüncü açıları da eşit olacağı için benzerdir.
- Kenar - Kenar - Kenar Benzerliği: Tüm kenar uzunlukları arasında sabit orantı bulunan iki üçgenin iç açıları eşittir, dolayısıyla bu üçgenler benzerdir.
- Kenar - Açı - Kenar Benzerliği: İkişer kenarı orantılı ve bu iki kenar arasındaki açıları eşit olan iki üçgen, karşı kenar uzunlukları da aynı orantıya sahip olacağı için benzerdir (kosinüs teoreminden).
Bir dik üçgenin hipotenüsüne ait yükseklik, üçgeni birbirine ve büyük üçgene benzer iki küçük dik üçgene ayırır.
\( \overset{\triangle}{BDA} \sim \overset{\triangle}{ADC} \)
\( \overset{\triangle}{BDA} \sim \overset{\triangle}{BAC} \)
\( \overset{\triangle}{CDA} \sim \overset{\triangle}{CAB} \)
Bir üçgeni kesen bir doğru üçgenin iki kenarını orantılı olarak bölüyorsa bu doğru parçası üçgenin üçüncü kenarına paraleldir ve benzer iki üçgen oluşturur.
\( \dfrac{\abs{AE}}{\abs{EC}} = \dfrac{\abs{BD}}{\abs{DC}}\) ise,
\( [AB] \parallel [ED] \) ve \( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{EDC} \)
Üçgende Eşlik
Tüm iç açıları ve kenar uzunlukları birbirine eşit olan, diğer bir deyişle benzerlik oranı 1 olan benzer üçgenlere eş üçgenler denir.
\( ABC \) ve \( KLM \) üçgenlerinin eşliği \( \overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{KLM} \) şeklinde gösterilir. Bu gösterimde köşelerin yazım sırası önemli olup açı ölçüleri ve kenar uzunlukları aynı olan köşeler her iki üçgenin yazılışında aynı konumda bulunmalıdır.
\( \overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{KLM} \) ise,
\( m(\widehat{A}) = m(\widehat{K}) \)
\( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) \)
\( m(\widehat{C}) = m(\widehat{M}) \)
\( \abs{AB} = \abs{KL} \)
\( \abs{AC} = \abs{KM} \)
\( \abs{BC} = \abs{LM} \)
\( \overset{\triangle}{DEF} \cong \overset{\triangle}{RQP} \) ise,
\( \abs{RQ} = \abs{DE} = 12 \)
\( \abs{RP} = \abs{DF} = 15 \)
\( \abs{QP} = \abs{EF} = 18 \)
Tüm açıların ve kenar uzunluklarının eşitliğinin bilinmediği durumlarda, aşağıdaki koşullardan birini sağlayan üçgenler de eştir.
- Kenar - Kenar - Kenar Eşliği: Tüm kenar uzunlukları eşit olan iki üçgenin iç açıları da eşittir, dolayısıyla bu üçgenler eştir.
- Kenar - Açı - Kenar Eşliği: İkişer kenarı ve bu iki kenar arasındaki açıları eşit olan iki üçgen, karşı kenar uzunlukları da eşit olacağı için eştir (kosinüs teoreminden).
- Açı - Kenar - Açı Eşliği: İkişer açısı ve bu açıların ortak kenarı eşit iki üçgen eştir (üçüncü açının eşitliği ve sinüs teoreminden).
Benzerlik Kuralları
Temel Orantı Teoremi
Bir üçgenin yan kenarlarını birleştiren ve tabana paralel doğru parçası iki benzer üçgen oluşturur.
\( [BC] \parallel [DE] \) ise,
\( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{ADE} \)
\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{AD}} = \dfrac{\abs{AC}}{\abs{AE}} = \dfrac{\abs{BC}}{\abs{DE}} = k \)
Thales Teoremi
Birbirine paralel doğruları kesen iki doğru ile paralel doğrular arasında kalan doğru parçalarının uzunlukları oranı sabittir.
\( [AD] \parallel [BE] \parallel [CF] \) olmak üzere,
\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{BC}} = \dfrac{\abs{DE}}{\abs{EF}} \)
\( \dfrac{\abs{AB}}{\abs{AC}} = \dfrac{\abs{DE}}{\abs{DF}} \)
İSPATI GÖSTER
Kelebek Benzerliği
İki paralel doğru ve bu doğruları ve birbirini aşağıdaki şekildeki gibi kesen iki doğru arasında benzer iki üçgen oluşur.
\( [AB] \parallel [DE] \) ise,
\( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{EDC} \)
\( \dfrac{a}{f} = \dfrac{b}{e} = \dfrac{c}{d} = k \)
İSPATI GÖSTER
Ceva Teoremi
Bir üçgenin iç bölgesinden (kenarlar üzerinde olmayan) herhangi bir \( M \) noktası seçelim ve üçgenin her köşesinden karşı kenara \( M \) noktasından geçen birer doğru parçası çizelim. Ceva teoremine göre, seçilecek her \( M \) noktası için aşağıdaki çarpım 1'e eşittir.
\( \dfrac{\abs{AD}}{\abs{DB}} \cdot \dfrac{\abs{BE}}{\abs{EC}} \cdot \dfrac{\abs{CF}}{\abs{FA}} = 1 \)
Bu formülde herhangi bir köşeden başlayarak ve saat yönünde ya da saat yönünün tersi yönde ilerleyerek her kenar üzerinde oluşan doğru parçalarının oranlarının çarpımı alınır.
\( ABC \) dik üçgeni şekildeki gibidir.
\( C \) noktasının \( A \) noktasının üstüne gelecek şekilde katlanması sonucunda oluşan katlama çizgisinin uzunluğu kaç cm'dir?
Çözümü Göster