Ana Sayfa Üçgenler Özel Üçgenler Eşkenar Üçgen
Eşkenar Üçgen
Üç kenar uzunluğu birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.
Eşkenar üçgen
Eşkenar üçgenlerin tüm iç açıları birbirine eşit ve 60°'dir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani tüm iç açıları birbirine eşit olan üçgen eşkenardır.
\( \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{AC} \Longleftrightarrow \) \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60° \)
Eşkenar üçgen ikizkenar üçgenin tüm özelliklerini taşır.
Eşkenar üçgende tüm kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları eşittir. Bir kenara ait yükseklik, aynı zamanda o kenara ait açıortay, kenarortay ve orta dikmedir.
Eşkenar üçgende yükseklik, açıortay, kenarortay
\( h_a = h_b = h_c \)
\( h_a = n_a = V_a \)
Eşkenar üçgenin tüm merkezleri (diklik merkezi, iç teğet çemberin merkezi, ağırlık merkezi, çevrel çemberin merkezi) aynı noktadadır.
Eşkenar üçgenin yüksekliği kenar uzunluğu cinsinden aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
Eşkenar üçgenin yüksekliği
\( h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \)
İSPATI GÖSTER
\( ANC \) dik üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.
\( a^2 = h^2 + \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \)
\( h^2 \)'yi yalnız bırakalım.
\( h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} \)
\( h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \)
Gönder
Eşkenar üçgenin alanı bu yükseklik değeri kullanılarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( A = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
İSPATI GÖSTER
Üçgenin alan formülünü yazalım.
\( A = \dfrac{a \cdot h}{2} \)
İspatıyla birlikte verdiğimiz eşkenar üçgen yükseklik formülünü kullanalım.
\( h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \)
\( A = \dfrac{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} \)
\( = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
Gönder
Eşkenar üçgenin içinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralel doğruların uzunluklarının toplamı, eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
Eşkenar üçgen içinde bir noktadan çizilen paraleller
\( P \) üçgenin içinde herhangi bir nokta,
\( [PD] \parallel [AB] \), \( [PE] \parallel [AC] \) ve \( [PF] \parallel [BC] \) olmak üzere,
\( \abs{PD} + \abs{PE} + \abs{PF} = a \)
İSPATI GÖSTER
\( [FP] \) doğru parçasını uzatalım ve \( [AB] \) kenarını kestiği noktaya \( M \) diyelim.
\( [DP] \) doğru parçasını uzatalım ve \( [AC] \) kenarını kestiği noktaya \( N \) diyelim.
\( \abs{PD} = x \)
\( \abs{PE} = y \)
\( \abs{PF} = z \) diyelim.
\( BDPM \) bir paralelkenar olduğu için:
\( \abs{MB} = \abs{PD} = x \)
\( \widehat{ABC} \) ve \( \widehat{EMP} \) yöndeş açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve 60°'dir.
\( \widehat{BAC} \) ve \( \widehat{MEP} \) yöndeş açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve 60°'dir.
Buna göre, iki açısı 60° olan \( EMP \) üçgeninin üçüncü açısı da 60°'dir ve üçgen bir eşkenar üçgendir.
\( \abs{ME} = \abs{PE} = y \)
\( \widehat{ACB} \) ve \( \widehat{NFP} \) yöndeş açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve 60°'dir.
\( \widehat{BAC} \) ve \( \widehat{PNF} \) yöndeş açılar olduğu için ölçüleri birbirine eşittir ve 60°'dir.
Buna göre, iki açısı 60° olan \( NFP \) üçgeninin üçüncü açısı da 60°'dir ve üçgen bir eşkenar üçgendir.
\( \abs{PN} = \abs{PF} = z \)
\( AEPN \) bir paralelkenar olduğu için karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
\( \abs{AE} = \abs{NP} = z \)
Buna göre \( [AB] \) kenar uzunluğunu bileşenleri cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( a = x + y + z \)
\( a = \abs{PD} + \abs{PE} + \abs{PF} \)
Gönder
Eşkenar üçgenin üzerinden ya da içinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.
Eşkenar üçgen içinde bir noktadan çizilen dikmeler
\( P \) üçgenin üzerinden ya da içinden herhangi bir nokta olmak üzere,
\( [PD] \perp [BC] \), \( [PE] \perp [AB] \) ve \( [PF] \perp [AC] \) olmak üzere,
\( \abs{PD} + \abs{PE} + \abs{PF} = \abs{AN} = h \)
İSPATI GÖSTER
\( P \) noktasından üçgenin köşelerine birer doğru parçası çizelim.
\( ABC \) üçgeninin alanı \( BCP \), \( ABP \) ve \( CAP \) üçgenlerinin alanları toplamına eşittir.
\( A(ABC) = \dfrac{a \cdot h}{2} \)
\( A(BCP) = \dfrac{a \cdot x}{2} \)
\( A(ABP) = \dfrac{a \cdot y}{2} \)
\( A(CAP) = \dfrac{a \cdot z}{2} \)
\( A(ABC) = A(BCP) + A(ABP) + A(CAP) \)
\( \dfrac{a \cdot h}{2} = \dfrac{a \cdot x}{2} + \dfrac{a \cdot y}{2} + \dfrac{a \cdot z}{2} \)
\( a \cdot h = a \cdot (x + y + z) \)
\( h = x + y + z \)
\( \abs{PD} + \abs{PE} + \abs{PF} = h \)
Gönder
