Üçgenin iç açıları toplamı \( 180° \)'dir.
Üçgenin dış açıları toplamı \( 360° \)'dir.
Bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
Dış açı eşitsizliğine göre, bir üçgenin herhangi bir dış açısının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının her birinin ölçüsünden daha büyüktür.
İki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açının formülü aşağıdaki gibidir ve bu açı her zaman bir geniş açıdır.
İki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının formülü aşağıdaki gibidir ve bu açı her zaman bir dar açıdır.
Bir iç açıortay ve bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü aşağıdaki formülle bulunur.
Üçgenin bir kenarı içe büküldüğünde üçgenin dışında oluşan açının ölçüsü aşağıdaki formülle bulunur.
Bir köşeye ait iç açıortay ve yükseklik arasında kalan açının ölçüsü aşağıdaki formülle bulunur.
Üçgenler iç açılarına göre aşağıdaki tiplerde olabilir.
Dar açılı üçgenlerin tüm açıları 90°'den küçüktür.
Dik açılı üçgenlerin bir açısı 90°'dir. Dik açılı üçgenlerde diğer iki açı dar açıdır.
Geniş açılı üçgenlerin bir açısı 90°'den büyüktür. Geniş açılı üçgenlerde diğer iki açı dar açıdır.
SORU 1:
Bir üçgenin iki iç açısının ölçüleri arasındaki oran 3:4 şeklindedir.
Açılardan birinin bütünleyeni diğerinin tümlerinin 3 katı olduğuna göre, bu açılardan küçük olanın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Açıların ölçülerine \( 3x \) ve \( 4x \) diyelim.
Verilen bilgiyi iki şekilde yorumlayabiliriz.
Durum 1 : Küçük açının bütünleyeni büyük açının tümlerinin 3 katıdır.
\( 180 - 3x = 3(90 - 4x) \)
\( 180 - 3x = 270 - 12x \)
\( 9x = 90 \)
\( x = 10° \)
Bu durumda küçük açı \( 3x = 30° \), büyük açı \( 4x = 40° \) olur.
Durum 2 : Büyük açının bütünleyeni küçük açının tümlerinin 3 katıdır.
\( 180 - 4x = 3(90 - 3x) \)
\( 180 - 4x = 270 - 9x \)
\( 5x = 90 \)
\( x = 18° \)
Bu durumda küçük açı \( 3x = 54° \), büyük açı \( 4x = 72° \) olur.
Her iki durumda da açıların toplamı 180°'den küçük olduğu için açılar bir üçgenin iç açıları olabilir.
Buna göre küçük açının alabileceği değerlerin toplamı \( 30 + 54 = 84° \) olarak bulunur.
SORU 2:
Şekildeki \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin dış açılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Üçgenin iç açılarına \( x \), \( y \) ve \( z \) diyelim.
\( A \) köşesinin dış açısı \( = 180° - x \)
\( B \) köşesinin dış açısı \( = 180° - y \)
\( C \) köşesinin dış açısı \( = 180° - z \)
Üçgenin dış açılarının toplamı:
\( = (180 - x) + (180 - y) + (180 - z) \)
\( = 540 - (x + y + z) = 540 - 180 = 360° \)
Buna göre \( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin (ve tüm üçgenlerin) dış açılarının toplamı \( 360° \) olur.
SORU 3:
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) \)
\( m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{DCB}) \)
\( m(\widehat{BAC}) = 70° \)
olduğuna göre, \( y = m(\widehat{BDC}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) = a \)
\( m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{DCB}) = b \) diyelim.
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 2a+ 2b + 70 = 180 \)
\( 2a + 2b = 110 \)
\( a + b = 55° \)
\( \overset{\triangle}{DBC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( a + b + y = 180 \)
\( 55 + y = 180 \)
\( y = 125° \) bulunur.
SORU 4:
Bir üçgenin iç açılarının 3, 4, 5 sayıları ile doğru orantılı olduğu biliniyor.
Buna göre en küçük açının derecesi kaçtır?
Çözümü Göster
Üçgenin iç açıları 3, 4, 5 sayıları ile doğru orantılı olduğuna göre bu açılara sırasıyla \( 3k \), \( 4k \) ve \( 5k \) diyebiliriz.
Üçgenin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 3k + 4k + 5k = 180 \)
\( 12k = 180 \)
\( k = 15 \)
Buna göre en küçük açının ölçüsü \( 3k = 45° \) olur.
SORU 5:
\( \abs{AB} = \abs{AD} \)
\( m(\widehat{DAE}) = \beta, m(\widehat{EAC}) = \alpha \)
\( m(\widehat{ACB}) = 30°, \alpha + \beta = 45° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{BAD}) \) açısı kaç derecedir?
Çözümü Göster
Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{AED}) = \alpha + 30 \)
\( m(\widehat{ADB}) = \alpha + \beta + 30 \)
\( \alpha + \beta = 45 \) olduğu biliniyor.
\( m(\widehat{ADB}) = 30 + 45 = 75° \)
\( \abs{AB} = \abs{AD} \) olduğu için,
\( m(\widehat{ABD}) = 75° \)
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 2 \cdot 75 + x = 180 \)
\( x = 30° \) bulunur.
SORU 6:
\( m(\widehat{ACD}) = 35°, \abs{AB} = \abs{AD} = \abs{DC} \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{EAB}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( m(\widehat{ACD}) = 35 \) ve \( \abs{AD} = \abs{DC} \) olduğu için,
\( m(\widehat{DAC}) = 35° \)
Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{ACD}) + m(\widehat{DAC}) \)
\( = 35 + 35 = 70° \)
\( \abs{AB} = \abs{AD} \) olduğu için,
\( m(\widehat{ABD}) = 70° \)
\( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 70 + 70 + m(\widehat{BAD}) = 180 \)
\( m(\widehat{BAD}) = 40° \)
\( A \) noktasındaki açıların toplamı \( 180° \) olur.
\( 40 + 35 + x = 180 \)
\( x = 105° \) bulunur.
SORU 7:
\( [DE] \parallel [AC] \)
\( m(\widehat{BDE}) = 80°, m(\widehat{GCB}) = m(\widehat{GCF}) = 35° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{BAC}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( [DE] \parallel [AC] \) olduğu için \( \widehat{BFC} \) ve \( \widehat{BDE} \) yöndeş açılardır ve ölçüleri birbirine eşittir.
\( m(\widehat{BFC}) = 80° \)
Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{BGC}) = m(\widehat{GCF}) + m(\widehat{GFC}) \)
\( = 35 + 80 = 115° \)
\( \overset{\triangle}{BGC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 115 + 35 + m(\widehat{GBC}) = 180 \)
\( m(\widehat{GBC}) = 30° \)
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 2 \cdot 30 + 2 \cdot 35 + x = 180 \)
\( x = 50° \) bulunur.
SORU 8:
\( \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{AD} \)
\( m(\widehat{DAB}) = 60°, m(\widehat{ABC}) = 130° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{BCD}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
B ve D noktalarını birleştirelim.
\( \abs{AB} = \abs{AD} \) ve \( m(\widehat{DAB}) = 60° \) olduğu için,
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = 60° \)
Dolayısıyla \( \overset{\triangle}{ABD} \) üçgeni bir eşkenar üçgendir.
\( \abs{AB} = \abs{AD} = \abs{BD} \)
\( m(\widehat{DBC}) = 130 - 60 = 70° \)
\( \abs{BC} = \abs{BD} \) olduğu için \( m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) \) olur.
\( \overset{\triangle}{BCD} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( x + x + 70 = 180 \)
\( x = 55° \) bulunur.
SORU 9:
\( \abs{AC} = \abs{BC}, \abs{DB} = \abs{DC} \)
\( m(\widehat{DCA}) = 30° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{DAC}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{DB} = \abs{DC} \) olduğu için \( m(\widehat{DBC}) = m(\widehat{DCB}) = x \) olur.
\( \abs{AC} = \abs{BC} \) olduğu için \( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ABC}) = x \) olur.
\( ABC \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 3x + 30 = 180 \)
\( x = 50° \) bulunur.
SORU 10:
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) \)
\( m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{DCE}) \)
\( m(\widehat{BAC}) = 80° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{BDC}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
Eşit açıların ölçülerine \( y \) ve \( z \) diyelim.
Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{DCE}) = m(\widehat{BDC}) + m(\widehat{DBC}) \)
\( z = x + y \)
\( x = z - y \)
\( m(\widehat{ACE}) = m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAC}) \)
\( 2z = 2y + 80 \)
\( 2(z - y) = 80 \)
\( z - y \) yerine yukarıda bulduğumuz eşitini yazalım.
\( 2x = 80 \)
\( x = 40° \) bulunur.
SORU 11:
\( \abs{AB} = \abs{AC}, \abs{AD} = \abs{BD} \)
\( m(\widehat{DAC}) = 75° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{BAD}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{AD} = \abs{BD} \) olduğu için \( m(\widehat{ABD}) = x \) olur.
\( \abs{AB} = \abs{AC} \) olduğu için \( m(\widehat{ACD}) = x \) olur.
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 3x + 75 = 180 \)
\( 3x = 105° \)
\( x = 35° \) bulunur.
SORU 12:
\( [ED] \perp [AB], \abs{AB} = \abs{BC} \)
\( [ED] \) doğru parçası \( \widehat{BEA} \) açısının açıortayıdır.
\( m(\widehat{BAE}) = 50° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{EAC}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{AB} = \abs{BC} \) olduğu için,
\( m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ACB}) = 50 + x \)
\( \overset{\triangle}{ADE} \) dik üçgen olduğu için dik olmayan açılar tümlerdir.
\( m(\widehat{AED}) = 90 - 50 = 40° \)
\( m(\widehat{BED}) = m(\widehat{AED}) = 40° \)
\( \overset{\triangle}{BED} \) dik üçgen olduğu için dik olmayan açılar tümlerdir.
\( m(\widehat{DBE}) = 90 - 40 = 50° \)
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 2(x + 50) + 50 = 180 \)
\( x = 15° \) bulunur.
SORU 13:
\( \abs{AB} = \abs{AC}, \abs{EG} = \abs{EC}, \abs{FH} = \abs{FB} \)
\( m(\widehat{KCF}) = 110° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{EDF}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( \widehat{ACB} \) açısı \( \widehat{KCF} \) açısının bütünler açısıdır.
\( m(\widehat{ACB}) = 180 - 110 = 70° \)
\( \abs{AB} = \abs{AC} \) olduğu için,
\( m(\widehat{ABC}) = 70° \)
\( \abs{FH} = \abs{FB} \) olduğu için,
\( m(\widehat{BHF}) = 70° \)
\( \abs{EG} = \abs{EC} \) olduğu için,
\( m(\widehat{CGE}) = 70° \)
\( \overset{\triangle}{HBF} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 2 \cdot 70 + m(\widehat{BFH}) = 180 \)
\( m(\widehat{BFH}) = 40° \)
\( \overset{\triangle}{CFK} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 110 + 40 + m(\widehat{CKF}) = 180 \)
\( m(\widehat{CKF}) = 30° \)
\( \widehat{CKF} \) ve \( \widehat{DKG} \) ters açılar oldukları için ölçüleri birbirine eşittir.
\( m(\widehat{DKG}) = 30° \)
Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( x = m(\widehat{EDF}) = 70 + 30 \)
\( = 100° \) bulunur.
SORU 14:
\( m(\widehat{FAB}) = m(\widehat{BAC}) \)
\( m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{DAE}) \)
\( m(\widehat{ABC}) = 50° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{ADE}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
Eşit açıların ölçülerine \( a \) ve \( b \) diyelim.
\( 2a + 2b = 180° \)
\( a + b = m(\widehat{BAD}) = 90° \)
\( \overset{\triangle}{BAD} \) dik üçgen olduğu için dik olmayan açılar tümlerdir.
\( m(\widehat{ADB}) = 90 - 50 = 40° \)
\( \widehat{ADB} \) ve \( x \) açıları bütünler açılardır.
\( x = 180 - 40 = 140° \) bulunur.
SORU 15:
\( \abs{AB} = \abs{BE} \)
\( m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{EBD}) = x \)
\( m(\widehat{ABE}) = 70° \)
olduğuna göre, \( y = m(\widehat{ACD}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{DCA}) \)
\( = x + y \)
Buna göre \( \overset{\triangle}{BED} \) üçgeninin bir dış açısının ölçüsü \( x + y \) olur.
\( m(\widehat{DBE}) = x \) olduğu için \( m(\widehat{BED}) = y \) olur.
\( \abs{AB} = \abs{BE} \) olduğu için \( m(\widehat{BAE}) = y \) olur.
\( \overset{\triangle}{ABE} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 70 + 2y = 180 \)
\( y = 55° \) bulunur.
SORU 16:
\( [AD] \perp [DC], \abs{AB} = \abs{AC} \)
\( m(\widehat{DAE}) = 20° \)
\( m(\widehat{DCB}) = 30° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{ACD}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( \overset{\triangle}{ADE} \) dik üçgen olduğu için dik olmayan açılar tümlerdir.
\( m(\widehat{DEA}) = 90 - 20 = 70° \)
\( \widehat{DEA} \) ve \( \widehat{BEC} \) ters açılar oldukları için ölçüleri birbirine eşittir.
\( m(\widehat{DEA}) = m(\widehat{BEC}) = 70° \)
\( \overset{\triangle}{BEC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 30 + 70 + m(\widehat{EBC}) = 180 \)
\( m(\widehat{EBC}) = 80° \)
\( \abs{AB} = \abs{AC} \) olduğu için \( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) \) olur.
\( x + 30 = 80 \)
\( x = 50° \) bulunur.
SORU 17:
\( \abs{AD} = \abs{AE} = \abs{BE} \)
\( m(\widehat{EAC}) = m(\widehat{DEB}) \)
\( m(\widehat{ACE}) = 65° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{DAE}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
\( \abs{AE} = \abs{BE} \) olduğu için,
\( m(\widehat{DBE}) = m(\widehat{DAE}) = x \)
\( m(\widehat{EAC}) = m(\widehat{DEB}) = y \) diyelim.
Üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
\( m(\widehat{BEA}) = y + 65 \)
Buna göre \( m(\widehat{DEA}) = 65° \) olur.
\( \abs{AD} = \abs{AE} \) olduğu için,
\( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{AED}) = 65° \)
\( \overset{\triangle}{ADE} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( x + 65 + 65 = 180 \)
\( x = 50° \) bulunur.
SORU 18:
\( \abs{AD} = \abs{DC}, \abs{AB} = \abs{AC} \)
\( m(\widehat{DCB}) = 33° \)
olduğuna göre, \( x = m(\widehat{ADC}) \) açısının ölçüsü kaçtır?
Çözümü Göster
Eşit uzunluktaki kenarları gören açıların ölçüleri eşittir.
\( m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCA}) = a \)
\( \abs{AB} = \abs{AC} \) olduğu için,
\( m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = a + 33° \)
\( \overset{\triangle}{ABC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( a + 33 + a + 33 + a = 180 \)
\( 3a + 66 = 180 \)
\( a = 38° \)
\( \overset{\triangle}{ADC} \) üçgeninin iç açıları toplam formülünü yazalım.
\( 2a + x = 180 \)
\( 2 \cdot 38 + x = 180 \)
\( x = 104° \) bulunur.
