İki ya da daha fazla kesri, paydaları aynı ortak sayıda buluşacak şekilde genişletme ya da sadeleştirme işlemine payda eşitleme denir. Payda eşitleme kesirlerin toplama ve çıkarma işlemlerinde sıklıkla kullanılır.
İki ya da daha fazla kesrin paydalarının eşitlenebileceği en küçük sayı, paydaların ortak katlarının en küçüğüdür (EKOK). Alternatif olarak, paydalar çarpımları olan sayıda da eşitlenebilir.
İki kesri toplarken, kesirlerin önce paydaları eşitlenir. Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının toplamı sonucun payına yazılır, ortak paydaları sonucun paydasına taşınır.
Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise kesirlerin tam sayı kısımları kendi aralarında toplanarak sonucun tam sayı kısmına yazılır. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.
İki kesri birbirinden çıkarırken, kesirlerin önce paydaları eşitlenir. Paydaları eşitlenmiş kesirlerin paylarının farkı sonucun payına yazılır, ortak paydaları sonucun paydasına taşınır.
Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise kesirleri önce bileşik kesre çevirerek çıkarma işlemini yapabiliriz.
İki ya da daha fazla sayıda kesri birbiriyle çarparken, kesirlerin payları kendi aralarında çarpılır ve sonucun payına yazılır, paydaları da kendi aralarında çarpılır ve sonucun paydasına yazılır.
Birbiriyle çarpılacak kesirlerin pay ve paydalarındaki sayılar çarpma işlemi öncesinde ya da sonrasında birbirleriyle sadeleştirilebilirler.
Kesirlerden biri ya da birkaçı tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.
Çarpma işleminin terimlerinden biri bir tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek çarpma işlemine dahil edilebilir.
Kesirlerle çarpma işlemi anlam olarak tam sayılarla çarpma işlemi ile aynıdır ve tekrarlı toplamaya karşılık gelir.
Bir kesri diğer bir kesre bölerken, ikinci terimin pay ve paydası aralarında yer değiştirir ve terimlerin arasındaki bölme işareti çarpma işaretine çevrilir. Sonrasında terimler arasında yukarıda gördüğümüz çarpma işlemi yapılır.
Kesirlerden biri ya da ikisi tam sayılı kesir ise bu kesirler önce bileşik kesre çevrilir. İşlem sonucu bir bileşik kesir ise dilenirse kesir tam sayılı kesre çevrilebilir.
Bölme işleminin terimlerinden biri bir tam sayı ise bu sayı paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülerek bölme işlemine dahil edilebilir.
Kesirlerle bölme işlemi anlam olarak tam sayılarla bölme işlemi ile aynıdır ve bölüştürme/paylaştırma işlemine karşılık gelir.
Bir kesrin üssü alınırken, üs işlemi pay ve paydaya ayrı ayrı yansıtılır ve payın ve paydanın ayrı ayrı üssü alınır.
SORU 1:
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( (2 - \dfrac{12}{11})(\dfrac{3}{4} + 2)(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5}) \)
(b) \( (146\dfrac{5}{9} - 136\dfrac{5}{9})(2 - \dfrac{1}{15}) \)
(c) \( -2\dfrac{1}{5} - 4\dfrac{3}{5} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( (2 - \dfrac{12}{11})(\dfrac{3}{4} + 2)(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{5}) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = (\dfrac{22}{11} - \dfrac{12}{11})(\dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{4})(\dfrac{5}{10} - \dfrac{4}{10}) \)
\( = \dfrac{22 - 12}{11} \cdot \dfrac{3 + 8}{4} \cdot \dfrac{5 - 4}{10} \)
\( = \dfrac{10}{11} \cdot \dfrac{11}{4} \cdot \dfrac{1}{10} \)
Pay ve paydadaki sayılar arasında sadeleştirme yapalım.
\( = \dfrac{1}{4} \)
(b) seçeneği:
\( (146\dfrac{5}{9} - 136\dfrac{5}{9})(2 - \dfrac{1}{15}) \)
Tam sayılı kesirlerin tam sayı ve kesir kısımları toplama işlemi ile ayrılabilir.
\( = (146 + \dfrac{5}{9} - (136 + \dfrac{5}{9}))(2 - \dfrac{1}{15}) \)
\( = (146 + \dfrac{5}{9} - 136 - \dfrac{5}{9})(2 - \dfrac{1}{15}) \)
\( = 10 \cdot (2 - \dfrac{1}{15}) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = 10 \cdot (\dfrac{30}{15} - \dfrac{1}{15}) \)
\( = 10 \cdot \dfrac{29}{15} \)
\( = 2 \cdot \dfrac{29}{3} = \dfrac{58}{3} \)
(c) seçeneği:
\( -2\dfrac{1}{5} - 4\dfrac{3}{5} \)
Tam sayılı kesirlerin tam sayı ve kesir kısımları toplama işlemi ile ayrılabilir.
\( = -(2 + \dfrac{1}{5}) - (4 + \dfrac{3}{5}) \)
\( = -2 - \dfrac{1}{5} - 4 - \dfrac{3}{5} \)
\( = -6 - \dfrac{4}{5} \)
\( = -(6 + \dfrac{4}{5}) = -6\dfrac{4}{5} \)
SORU 2:
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.
(a) \( 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - 2\dfrac{1}{3} \div (-2 + \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
(b) \( \dfrac{4}{5} \cdot [\dfrac{5}{7} \div (3 + \dfrac{3}{4}) - \dfrac{1}{2} \cdot 3] \)
(c) \( \dfrac{(108 - \frac{61}{109}) + (3 - \frac{48}{109})}{(58 - \frac{80}{121}) + (-2 - \frac{41}{121})} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - 2\dfrac{1}{3} \div (-2 + \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
İşlem önceliklerine dikkat ederek ifadeyi düzenleyelim.
\( = 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{2 \cdot 3 + 1}{3} \div (-\dfrac{8}{4} + \dfrac{1}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
\( = 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{7}{3} \div (-\dfrac{7}{4}) + \dfrac{1}{6}] \)
\( = 3 \div [3 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{7}{3} \cdot (-\dfrac{4}{7}) + \dfrac{1}{6}] \)
\( = 3 \div (\dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{6}) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = 3 \div (\dfrac{9}{12} + \dfrac{16}{12} + \dfrac{2}{12}) \)
\( = 3 \div \dfrac{27}{12} \)
\( = 3 \cdot \dfrac{12}{27} \)
\( = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3} \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{4}{5} \cdot [\dfrac{5}{7} \div (3 + \dfrac{3}{4}) - \dfrac{1}{2} \cdot 3] \)
İşlem önceliklerine dikkat ederek ifadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{4}{5} \cdot [\dfrac{5}{7} \div (\dfrac{12}{4} + \dfrac{3}{4}) - \dfrac{1}{2} \cdot 3] \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{5}{7} \div \dfrac{15}{4} - \dfrac{3}{2}) \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{4}{15} - \dfrac{3}{2}) \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{4}{21} - \dfrac{3}{2}) \)
Parantez içindeki kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{8}{42} - \dfrac{63}{42}) \)
\( = \dfrac{4}{5} \cdot (-\dfrac{55}{42}) \)
Pay ve paydadaki sayılar arasında sadeleştirme yapalım.
\( = -\dfrac{22}{21} \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{(108 - \frac{61}{109}) + (3 - \frac{48}{109})}{(58 - \frac{80}{121}) + (-2 - \frac{41}{121})} \)
\( = \dfrac{108 - \frac{61}{109} + 3 - \frac{48}{109}}{58 - \frac{80}{121} - 2 - \frac{41}{121}} \)
Tam sayıları ve kesirleri kendi aralarında toplayalım.
\( = \dfrac{111 - (\frac{61}{109} + \frac{48}{109})}{56 - (\frac{80}{121} + \frac{41}{121})} \)
\( = \dfrac{111 - \frac{61 + 48}{109}}{56 - \frac{80 + 41}{121}} \)
\( = \dfrac{111 - \frac{109}{109}}{56 - \frac{121}{121}} \)
\( = \dfrac{111 - 1}{56 - 1} \)
\( = \dfrac{110}{55} = 2 \)
SORU 3:
\( \dfrac{\frac{3}{4}}{5} - \dfrac{3}{\frac{4}{5}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
İfadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{3}{4} \div 5 - 3 \div \dfrac{4}{5} \)
\( = \dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{1} - \dfrac{3}{1} \div \dfrac{4}{5} \)
\( = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{5}{4} \)
\( = \dfrac{3}{20} - \dfrac{15}{4} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{3}{20} - \dfrac{75}{20} \)
\( = -\dfrac{72}{20} = -\dfrac{18}{5} \) bulunur.
SORU 4:
\( \dfrac{1}{1 - \frac{1}{x - 5}} \)
ifadesini tanımsız yapan \( x \) değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Kesirli ifadelerde payda sıfır olamaz.
\( x - 5 \ne 0 \)
\( x \ne 5 \)
Kesirli ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{1}{1 - \frac{1}{x - 5}} = \dfrac{1}{\frac{x - 5}{x - 5} - \frac{1}{x - 5}} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{x - 5 - 1}{x - 5}} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{x - 6}{x - 5}} = \dfrac{x - 5}{x - 6} \)
Kesirli ifadelerde payda sıfır olamaz.
\( x - 6 \ne 0 \)
\( x \ne 6 \)
Buna göre verilen ifadeyi tanımsız yapan iki \( x \) değeri vardır.
\( 5 \cdot 6 = 30 \) bulunur.
SORU 5:
\( \dfrac{9 + \frac{96}{7}}{8 - \frac{23}{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Paydaları eşitleyerek işlemleri uygulayalım.
\( \dfrac{\frac{9 \cdot 7 + 96}{7}}{\frac{8 \cdot 7 - 23}{7}} \)
\( = \dfrac{\frac{63 + 96}{7}}{\frac{56 - 23}{7}} \)
Paydalar sadeleşir.
\( = \dfrac{159}{33} = \dfrac{53}{11} \) bulunur.
SORU 6:
\( \dfrac{3^{-2}}{6^{-2}} - (-2) \cdot (-5) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Sırasıyla üs, çarpma ve çıkarma işlemlerini yapalım.
Üssü negatif olan paydaki bir sayı paydaya pozitif üslü geçirilebilir.
\( \dfrac{\frac{1}{3^2}}{\frac{1}{6^2}} - 10 = \dfrac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{36}} - 10 \)
Payı paydaya bölmek ile paydanın tersi ile çarpmak aynı işlemlerdir.
\( = \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{36}{1} - 10 \)
\( = 4 - 10 = -6 \) olarak bulunur.
SORU 7:
\( x = \dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{7} \)
\( y = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x}{y} + 5y \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
\( x \) ve \( y \) için verilen eşitlikleri düzenleyelim.
\( x = \dfrac{3}{10} \)
\( y = \dfrac{1}{15} \)
\( x \) ve \( y \)'yi ifadede yerlerine yazalım.
\( \dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}} + 5 \cdot \dfrac{1}{15} \)
Payı paydaya bölmek ile paydanın tersi ile çarpmak aynı işlemlerdir.
\( \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{15}{1} + \dfrac{1}{3} \)
\( = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{3} \)
Paydaları eşitleyerek toplama işlemi yapalım.
\( = \dfrac{27}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{29}{6} \) bulunur.
SORU 8:
\( \dfrac{\frac{5}{130} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10}}{\frac{4}{13} + \frac{4}{3} + 4} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Paydadaki terimlerin her birinin payını ve paydasını 10 ile genişletelim.
\( \dfrac{\frac{5}{130} + \frac{5}{30}+ \frac{5}{10}}{\frac{40}{130} + \frac{40}{30} + \frac{40}{10}} \)
Paydayı 8 parantezine alalım.
\( = \dfrac{\frac{5}{130} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10}}{8 \cdot (\frac{5}{130} + \frac{5}{30} + \frac{5}{10})} \)
Kesirli terimler bütün olarak sadeleşir.
\( = \dfrac{1}{8} \) bulunur.
SORU 9:
\( \dfrac{(2\frac{1}{3} - 1) - (\frac{7}{5} - 3\frac{2}{5})}{1 + \frac{2}{3} + \frac{5}{1 - \frac{3}{4}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Hatırlatma: \( 2 \dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{(\frac{7}{3} - 1) - (\frac{7}{5}- \frac{17}{5})}{\frac{5}{3} + \frac{5}{\frac{1}{4}}} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{3} - (-\frac{10}{5})}{\frac{5}{3} + 5 \cdot 4} \)
\( = \dfrac{\frac{4}{3} + 2}{\frac{5}{3} + 20} = \dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{65}{3}} \)
Pay ve paydadaki kesirlerin paydaları sadeleşir.
\( = \dfrac{10}{65} = \dfrac{2}{13} \) bulunur.
SORU 10:
\( \dfrac{3a}{5} + \dfrac{a}{9} + \dfrac{a}{2} = 109 \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Eşitliğin sol tarafını \( a \) parantezine alalım.
\( a \cdot (\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{2}) = 109 \)
Kesirli ifadelerin paydalarının EKOK'u 90'dır.
\( a \cdot (\dfrac{3 \cdot 18 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 45}{90}) = 109 \)
\( a \cdot \dfrac{109}{90} = 109 \)
\( a = 90 \) olarak bulunur.
SORU 11:
\( \dfrac{3}{4} \) ile \( \dfrac{12}{5} \)'in çarpmaya göre terslerinin toplanması sonucu elde edilen sayının çarpmaya göre tersi nedir?
Çözümü Göster
Bir kesrin çarpmaya göre tersi, kesir ile çarpıldığında 1 sonucunu veren sayıdır.
Buna göre \( \frac{3}{4} \)'ün çarpmaya göre tersi \( \frac{4}{3} \), \( \frac{12}{5} \)'in çarpmaya göre tersi \( \frac{5}{12} \)'dir.
\( \dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{16 + 5}{12} = \dfrac{7}{4} \)
\( \frac{7}{4} \)'ün çarpmaya göre tersi \( \frac{4}{7} \)'dir.
SORU 12:
\( x = \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{35} + \dfrac{1}{45} \) olduğuna göre,
\( \dfrac{46}{15} + \dfrac{51}{25} + \dfrac{36}{35} + \dfrac{91}{45} \) ifadesinin \( x \) türünden eşiti nedir?
Çözümü Göster
Değeri istenen ifadedeki tam sayı kısımları ayıralım.
\( \dfrac{45 + 1}{15} + \dfrac{50 + 1}{25} + \dfrac{35 + 1}{35} + \dfrac{90 + 1}{45} \)
\( = \dfrac{45}{15} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{50}{25} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{35}{35} + \dfrac{1}{35} + \dfrac{90}{45} + \dfrac{1}{45} \)
\( = 3 + \dfrac{1}{15} + 2 + \dfrac{1}{25} + 1 + \dfrac{1}{35} + 2 + \dfrac{1}{45} \)
\( = 8 + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{35} + \dfrac{1}{45} \)
\( = 8 + x \) bulunur.
SORU 13:
\( \dfrac{1}{3^2 - 1} + \dfrac{1}{5^2 - 1} + \dfrac{1}{7^2 - 1} + \ldots + \dfrac{1}{30^2 - 1} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{1}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{1}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{1}{(7 + 1)(7 - 1)} + \ldots + \dfrac{1}{(30 + 1)(30 - 1)} \)
İfadeyi \( \frac{1}{2} \) ortak parantezine alalım.
\( = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{2}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{2}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{2}{(7 + 1)(7 - 1)} + \ldots + \dfrac{2}{(30 + 1)(30 - 1)}) \)
Payları düzenleyelim.
\( = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{(3 + 1) - (3 - 1)}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{(5 + 1) - (5 - 1)}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{(7 + 1) - (7 - 1)}{(7 + 1)(7 - 1)} + \ldots + \dfrac{(30 + 1) - (30 - 1)}{(30 + 1)(30 - 1)}) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{3 + 1}{(3 + 1)(3 - 1)} - \dfrac{3 - 1}{(3 + 1)(3 - 1)} + \dfrac{5 + 1}{(5 + 1)(5 - 1)} - \dfrac{5 - 1}{(5 + 1)(5 - 1)} + \dfrac{7 + 1}{(7 + 1)(7 - 1)} - \dfrac{7 - 1}{(7 + 1) \cdot (7 - 1)} + \ldots + \dfrac{30 + 1}{(30 + 1)(30 - 1)} - \dfrac{30 - 1}{(30 + 1)(30 - 1)}) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{1}{3 - 1} - \dfrac{1}{3 + 1} + \dfrac{1}{5 - 1} - \dfrac{1}{5 + 1} + \dfrac{1}{7 - 1} - \dfrac{1}{7 + 1} + \ldots + \dfrac{1}{30 - 1} - \dfrac{1}{30 + 1}) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} + \ldots + \dfrac{1}{29} - \dfrac{1}{31}) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{31}) \)
\( = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{29}{62} \)
\( = \dfrac{29}{124} \) bulunur.
SORU 14:
\( 2 + \dfrac{12}{6 - \frac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}}} = 8 \)
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Kesirli ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \dfrac{12}{6 - \frac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}}} = 6 \)
İşlem sonucunun 6 olması için kesrin paydası 2 olmalıdır.
\( 6 - \dfrac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}} = 2 \)
Kesirli ifadeyi yalnız bırakalım.
\( -\dfrac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}} = -4 \)
\( \dfrac{8}{3 + \frac{15}{x - 1}} = 4 \)
İşlem sonucunun 4 olması için kesrin paydası 2 olmalıdır.
\( 3 + \dfrac{15}{x - 1} = 2 \)
Kesirli ifadeyi yalnız bırakalım.
\( \dfrac{15}{x - 1} = -1 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 15 = -1(x - 1) \)
\( 15 = 1 - x \)
\( x = -14 \) bulunur.
SORU 15:
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{3}}}} = x \)
olduğuna göre, \( \dfrac{13x}{7} \) ifadesi kaçtır?
Çözümü Göster
Rasyonel ifadenin en altından işleme başlayalım.
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{3 + 2}{3}}}} = x \)
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{5}{3}}}} = x \)
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{3}{5}}} = x \)
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{\frac{5 + 3}{5}}} = x \)
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{\frac{8}{5}}} = x \)
\( 1 + \dfrac{1}{1 + \frac{5}{8}} = x \)
\( 1 + \dfrac{1}{\frac{8 + 5}{8}} = x \)
\( 1 + \dfrac{1}{\frac{13}{8}} = x \)
\( 1 + \dfrac{8}{13} = x \)
\( \dfrac{13 + 8}{13} = x \)
\( \dfrac{21}{13} = x \)
Değeri istenen ifadeyi bulalım.
\( \dfrac{13x}{7} = \dfrac{13 \cdot \frac{21}{13}}{7} \)
\( = \dfrac{21}{7} = 3 \) bulunur.
