Kesirler
Bir bütünün bölündüğü eşit parçalardan birinin ya da birkaçının bütüne oranına kesir denir. Kesirler rasyonel sayıları ifade etmekte kullandığımız gösterim şekillerinden biridir.
Aşağıdaki şekiller eşit parçalara bölündükleri için birer kesirdir. Her parçanın ayrı ayrı ve boyalı alanın toplamda karşılık geldiği kesir değerleri şekillerin üzerinde belirtilmiştir.
Aşağıdaki şekiller eşit parçalara bölünmedikleri için birer kesir ifade etmezler.
Kesir gösteriminde çizginin altındaki değere payda denir ve bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir. Çizginin üstündeki değere pay denir ve bu eşit parçalardan kaçının seçildiğini gösterir. Payı ve paydayı ayıran çizgiye kesir çizgisi denir.
Yukarıdaki \( \frac{2}{5} \) kesrini örnek olarak alırsak, kesirler "2 bölü 5" ya da "5'te 2" şeklinde okunurlar.
Kesirler sadece bir şekil ya da kavram değil, aynı zamanda 1, 2, 3 gibi birer sayıdırlar, bir büyüklük ifade ederler, sayı doğrusu üzerinde gösterilebilirler, matematiksel işlemlerde ve pratik hayatta diğer sayılar gibi kullanılırlar (\( \frac{1}{2} \) ekmek, \( \frac{1}{4} \) altın gibi).
Günlük hayatta kullandığımız "tam/bütün" ifadeleri 1 sayısına, "yarım" ifadesi \( \frac{1}{2} \) kesrine, "çeyrek" ifadesi de \( \frac{1}{4} \) kesrine karşılık gelir. Dolayısıyla üç çeyrek ifadesi \( 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)'lük bir büyüklük gösterir.
Kesir Tipleri
Birim Kesir
Payı 1 ve paydası bir pozitif tam sayı olan kesirlere birim kesir denir. Birim kesir bir bütünü böldüğümüz eşit parçaların her birine karşılık gelir.
\( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \ldots \)
Basit Kesir
Payı paydasından mutlak değer olarak küçük olan kesirlere basit kesir denir. Basit kesirler mutlak değer olarak 1'den küçüktür.
\( 0 \le \abs{a} \lt \abs{b} \) ise,
\( \dfrac{a}{b} \) bir basit kesirdir.
\( \dfrac{2}{3}, \dfrac{5}{7}, \dfrac{-3}{4}, -\dfrac{2}{5} \)
Bileşik Kesir
Payı paydasından mutlak değer olarak büyük olan ya da ona eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. Bileşik kesirler mutlak değer olarak 1'den büyüktür ya da 1'e eşittir.
\( 0 \lt \abs{b} \le \abs{a} \) ise,
\( \dfrac{a}{b} \) bir bileşik kesirdir.
\( \dfrac{5}{3}, \dfrac{8}{7}, \dfrac{-7}{4}, -\dfrac{9}{5} \)
Tam Sayılı Kesir
Bir tam sayı ve bir basit kesirden oluşan kesirlere tam sayılı kesir denir. Tam sayılı kesirler mutlak değer olarak 1'den büyüktür.
\( 1\dfrac{2}{3}, 2\dfrac{3}{7}, 3\dfrac{2}{5}, -2\dfrac{4}{9}, \ldots \)
Tam sayılı kesirlerde tam sayı ve kesir kısımları arasına herhangi bir işaret konmasa da matematiksel olarak aralarında toplama işareti vardır, burada bir çarpma işareti olduğu varsayılmamalıdır.
\( 2\dfrac{2}{3} = 2 + \dfrac{2}{3} \)
Bir kesir bir tam sayı ile çarpılmak istenirse ifade aşağıdaki şekillerde yazılabilir.
\( 2 \cdot \dfrac{2}{3} = 2 \left( \dfrac{2}{3} \right) \)
Bileşik Kesir - Tam Sayılı Kesir Çevrimleri
Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme
Bir bileşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için, bileşik kesir içinde kaç bütün olduğunu bulmaya çalışırız ve bunun için paydaki sayıyı paydadaki sayıya böleriz. Bölme işleminin tam sayı sonucu kesrin tam sayı kısmını oluşturur, kalanı da kesrin payını oluşturur. Bileşik kesrin paydası tam sayılı kesrin paydasına aynen taşınır.
Bu işlemin daha iyi anlaşılması adına, yukarıdaki kesri aşağıdaki şekilde yazarak da uzun yoldan tam sayılı kesre çevirebiliriz.
\( \dfrac{23}{5} = \dfrac{5 + 5 + 5 + 5 + 3}{5} \)
\( = \dfrac{5}{5} + \dfrac{5}{5} + \dfrac{5}{5} + \dfrac{5}{5} + \dfrac{3}{5} \)
\( = 1 + 1 + 1 + 1 + \dfrac{3}{5} = 4\dfrac{3}{5} \)
Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme
Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için, kesrin paydasındaki sayıyı kesrin tam sayı kısmı ile çarparız ve paydaki sayı ile toplarız. Elde edilen sayı bileşik kesrin payını oluşturur. Tam sayılı kesrin paydası bileşik kesrin paydasına aynen taşınır.
Bu işlemi uzun yoldan aşağıdaki şekilde de gerçekleştirebilirdik.
\( 4\dfrac{3}{5} = 4 + \dfrac{3}{5} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dfrac{3}{5} \)
\( = \dfrac{5}{5} + \dfrac{5}{5} + \dfrac{5}{5} + \dfrac{5}{5} + \dfrac{3}{5} \)
\( = \dfrac{5 + 5 + 5 + 5 + 3}{5} = \dfrac{23}{5} \)
Kesirlerin Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi
Kesirleri de tam sayılar gibi sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz. Herhangi iki tam sayı arasını dilediğimiz kadar eşit parçaya bölerek kesirleri sayı doğrusu üzerinde işaretleyebiliriz.
Aşağıdaki örnekte 0-1 sayıları arası iki eşit parçaya, 1-2 sayıları arası üç eşit parçaya, 2-3 sayıları arası da dört eşit parçaya bölünerek işaretli her noktanın karşılık geldiği kesirler belirtilmiştir.
Negatif Kesirler
Kesirli ifadeler, diğer sayılar gibi pozitif olabildikleri gibi negatif de olabilirler. Aşağıdaki gösterimler birbirine eşit olup birer negatif kesir ifade etmektedir.
\( \dfrac{-1}{2} = \dfrac{1}{-2} = -\dfrac{-1}{-2} = -\dfrac{1}{2} \)
Payın ve paydanın negatif olduğu durumlarda, negatif değerler birbirini götürür ve kesir pozitif bir değer alır.
\( \dfrac{-1}{-2} = -\dfrac{1}{-2} = -\dfrac{-1}{2} = \dfrac{1}{2} \)
Kesirlerin Bölme Anlamı
Kesir işareti anlam olarak bölme işareti ile özdeştir, bu yüzden kesir işlemini paydaki sayının paydadaki sayıya bölümü olarak da düşünebiliriz.
\( \dfrac{a}{b} = a \div b \)
\( \dfrac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5 \)
\( \dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75 \)
Aşağıdaki kesirli ifadeleri sayı doğrusu üzerinde gösterin.
(a) \( \dfrac{3}{4} \)
(b) \( -1\dfrac{2}{3} \)
(c) \( 2\dfrac{1}{5} \)
Çözümü Göster
Aşağıdaki bileşik kesirleri tam sayılı kesre çevirerek sayı doğrusu üzerinde gösterin.
(a) \( \dfrac{7}{2} \)
(b) \( \dfrac{33}{15} \)
(c) \( -\dfrac{11}{6} \)
Çözümü Göster
\( \dfrac{7}{4 - 3a} \)
ifadesinin bileşik kesir olması için \( a \)'nın alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( (999 \dfrac{999}{1000}) \cdot 3 \) ifadesini tam sayılı kesir olarak yazın.
Çözümü Göster\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 3 \lt a \lt b \lt 22 \)
olduğuna göre, \( \frac{b}{a} \) kesrinin alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster