Ondalık gösterimi bir basamaktan sonra kendini tekrarlayarak sonsuza giden rasyonel sayılara devirli ondalık sayı denir. Devirli ondalık sayıların tekrarlayan basamakları üstlerindeki yatay bir çizgi (devir çizgisi) ile gösterilir.
Yukarıdaki örneklerde görebileceğimiz gibi, devirli ondalık sayıların bir ya da birden fazla basamağı tekrar edebilir. Ayrıca basamaklar virgülden sonraki herhangi bir basamaktan başlayarak tekrar edebilir.
Bir sayının ondalık kısmının sadece kendini tekrarlaması ya da sadece sonsuza gitmesi devirli olması için yeterli değildir, ondalık basamaklar kendini tekrarlayarak sonsuza gitmelidir.
Bir sayının sonuna sonsuza kadar giden sıfır eklenmesi o sayıyı devirli ondalık sayı yapmaz.
Bir kesrin en sade halinin paydası 2 ve 5 dışında bir asal çarpan içeriyorsa bu kesrin ondalık gösterimi devirlidir.
Tüm devirli ondalık sayılar kesirli şekilde yazılabilirler, dolayısıyla rasyonel sayıdırlar. Ondalık kısımları tekrar etmeden sonsuza giden (\( \pi \) sayısı gibi) sayılar ise kesirli şekilde yazılamazlar, dolayısıyla irrasyonel sayıdırlar.
Devirli ondalık sayılar aşağıdaki formülle kesirli gösterime dönüştürülebilir.
Aşağıdaki sayılar birbirine eşittir. Bu sayılar yukarıdaki formülle kesirli gösterime dönüştürüldüğünde aynı rasyonel sayıya karşılık geldikleri görülebilir.
Devirli olmayan bir ondalık sayı son basamağındaki rakam bir eksiltilerek ve sonuna devreden bir 9 eklenerek kendisine eşit devirli bir ondalık sayıya dönüştürülebilir.
Benzer şekilde devreden kısmı 9 olan bir devirli ondalık sayı devreden kısmı silinerek ve solundaki basamağa 1 eklenerek kendisine eşit devirli olmayan bir sayıya dönüştürülebilir.
SORU 1:
Aşağıda verilen devirli ondalıklı sayıları kesirli sayılara çevirin.
(a) \( 5,\overline{27} \)
(b) \( 11,0\overline{11} \)
(c) \( 0,38\overline{9} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( 5,\overline{27} = \dfrac{527 - 5}{99} \)
\( = \dfrac{522}{99} = \dfrac{58}{11} \)
(b) seçeneği:
\( 11,0\overline{11} = \dfrac{11011 - 110}{990} \)
\( = \dfrac{10901}{990} = \dfrac{991}{90} \)
(c) seçeneği:
\( 0,38\overline{9} = \dfrac{389 - 38}{900} \)
\( = \dfrac{351}{900} = \dfrac{39}{100} \)
Bu sonuç aşağıdaki iki ondalık ifadenin birbirine eşit olduğunu göstermektedir.
\( 0,38\overline{9} = 0,39 \)
SORU 2:
Aşağıda verilen devirli ondalıklı sayıları kesirli sayılara çevirin.
(a) \( -2,21\overline{4} \)
(b) \( 3,01\overline{52} \)
(c) \( -0,01\overline{94} \)
Çözümü Göster
(a) seçeneği:
\( -2,21\overline{4} = -\dfrac{2214 - 221}{900} \)
\( = -\dfrac{1993}{900} \)
(b) seçeneği:
\( 3,01\overline{52} = \dfrac{30152 - 301}{9900} \)
\( = \dfrac{29851}{9900} \)
(c) seçeneği:
\( -0,01\overline{94} = -\dfrac{194 - 1}{9900} \)
\( = -\dfrac{193}{9900} \)
SORU 3:
\( \dfrac{0,1\overline{5} + 2,1\overline{7}}{3,\overline{45} - 1,\overline{21}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm devirli ondalık sayıları kesirli sayılara çevirelim.
\( \dfrac{\dfrac{15 - 1}{90} + \dfrac{217 - 21}{90}}{\dfrac{345 - 3}{99} - \dfrac{121 - 1}{99}} \)
\( = \dfrac{\dfrac{14 + 196}{90}}{\dfrac{342 - 120}{99}} \)
\( = \dfrac{210}{90} \cdot \dfrac{99}{222} = \dfrac{77}{74} \) bulunur.
SORU 4:
\( a \) ve \( b \) devirli ondalık sayılar olmak üzere,
\( a = 0,\overline{75} \) ve \( b = 0,\overline{25} \) ise \( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( a = 0,\overline{75} \Longrightarrow a = \dfrac{75}{99} \)
\( b = 0,\overline{25} \Longrightarrow b = \dfrac{25}{99} \)
\( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{\frac{75}{99}} + \dfrac{1}{\frac{25}{99}} \)
\( = \dfrac{99}{75} + \dfrac{99}{25} \)
\( = \dfrac{99}{75} + \dfrac{297}{75} \)
\( = \dfrac{396}{75} = \dfrac{132}{25} \) bulunur.
SORU 5:
\( x = \dfrac{1}{1,\overline{81}} \)
\( y = 0,5\overline{1} \)
\( z = \dfrac{5}{9} \) olduğuna göre,
\( x \), \( y \) ve \( z \) sayıları arasındaki sıralama nasıl olur?
Çözümü Göster
Tüm sayıları kesirli şekilde yazalım.
\( x = \dfrac{1}{\dfrac{181 - 1}{99}} \)
\( x = \dfrac{99}{180} \)
\( y = \dfrac{51 - 5}{90} = \dfrac{92}{180} \)
\( z = \dfrac{5}{9} = \dfrac{100}{180} \)
Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( z \gt x \gt y \)
SORU 6:
\( 6,1\overline{37} - 3,41\overline{2} \) farkının eşiti nedir?
Çözümü Göster
Sayıları normal ondalıklı sayı şeklinde yazıp birbirinden çıkaralım.
\( 6,1\overline{37} = 6,137373737... \)
\( 3,41\overline{2} = -3,41222222... \)
\( = 2,725151515... \)
\( = 2,72\overline{51} \) bulunur.
SORU 7:
Özlem 165 sayısını devirli \( 1,\overline{ab} \) sayısı ile çarpmak yerine yanlışlıkla \( 1,ab \) ile çarpıyor ve bulduğu sonucun olması gereken sonuçtan \( 0,5 \) eksik olduğu görülüyor.
Buna göre \( (ab) \) sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Özlem'in yaptığı ve yapması gereken işlemlerin farkını alalım.
\( 165 \cdot 1,\overline{ab} - 165 \cdot 1,ab = 0,5 \)
\( 165 \cdot (1,\overline{ab} - 1,ab) = 0,5 \)
\( 165 \cdot 0,00\overline{ab} = 0,5 \)
\( 0,00\overline{ab} = \dfrac{1}{330} \)
Devirli ondalık sayıyı kesirli gösterime çevirelim.
\( \dfrac{(ab)}{9900} = \dfrac{1}{330}\)
\( (ab) = 30 \) bulunur.
SORU 8:
\( \dfrac{0,\overline{a}}{0,0\overline{a}} \div \dfrac{a,a}{aa} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli ondalık sayı formülünü kullanarak ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{0,\overline{a}}{0,0\overline{a}} \div \dfrac{a, a}{aa} \)
\( = \dfrac{\frac{a}{9}}{\frac{a}{90}} \div \dfrac{a,a \cdot 10}{aa \cdot 10} \)
\( = \dfrac{90}{9} \div \dfrac{aa}{aa \cdot 10} \)
\( = 10 \div \dfrac{1}{10} = 10 \cdot 10 = 100 \)
SORU 9:
\( 0,11\overline{3} \) devirli ondalık sayısı \( x \) pozitif tam sayısı ile çarpıldığında bir tam sayı olmaktadır.
Buna göre \( x \) en az kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli ondalık sayıyı kesirli sayıya çevirelim.
\( 0,11\overline{3} = \dfrac{113 - 11}{900} \)
\( = \dfrac{102}{900} = \dfrac{17}{150} \)
17 sayısı asal olduğu için kesir daha fazla sadeleşmez.
Buna göre bu ifade ile çarpıldığında ifadeyi tam sayı yapacak \( x \) sayısı en az 150 olur.
SORU 10:
\( \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{33} = 0,\overline{ab} \) olduğuna göre, \( 9 \cdot b,\overline{a} \) çarpımının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{33} = \dfrac{66}{99} + \dfrac{21}{99} = \dfrac{87}{99} = 0,\overline{87} \)
Buna göre \( a = 8 \) ve \( b = 7 \) olur.
\( 9 \cdot 7,\overline{8} = 9 \cdot \dfrac{78 - 7}{9} = 71 \) bulunur.
SORU 11:
\( 4,\overline{2} + 2,1\overline{7} \) toplamı en küçük hangi pozitif tam sayı ile çarpılırsa sonuç bir tam sayı olur?
Çözümü Göster
\( \dfrac{42 - 4}{9} + \dfrac{217 - 21}{90} = \dfrac{38}{9} + \dfrac{196}{90} \)
\( = \dfrac{380}{90} + \dfrac{196}{90} = \dfrac{576}{90} \)
\( \frac{576}{90} \) ifadesinin en sade hali \( \frac{32}{5} \) olduğu için, bu sayıyla çarpıldığında pozitif tam sayı sonucu veren en küçük sayı 5 olur.
SORU 12:
\( \dfrac{11}{18} = 0,a\overline{b} \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
\( 0,a\overline{b} = \dfrac{(ab) - a}{90} = \dfrac{11}{18} = \dfrac{55}{90} \)
İki basamaklı \( (ab) \) sayısının çözümlenmiş şeklinde yazılışı \( 10a + b \) olur.
\( 10a + b - a = 55 \)
\( 9a + b = 55 \)
\( a \) ve \( b \) tek basamaklı oldukları için \( a = 6 \) ve \( b = 1 \) olmak zorundadır.
\( a \cdot b = 6 \cdot 1 = 6 \) bulunur.
SORU 13:
\( x \) ve \( y \) birer rakam olmak üzere,
\( \dfrac{x,\overline{y} - x,\overline{x} + y,\overline{x} }{0,\overline{x}} = 4 \) olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli ondalık sayıları kesirli ifadeye çevirelim.
\( \dfrac{x,\overline{y} - x,\overline{x} + y,\overline{x} }{0,\overline{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{(xy) - x}{9} - \frac{(xx) - x}{9} + \frac{(yx) - y}{9}}{\frac{x}{9}} \)
\( = \dfrac{(xy) - x - (xx) + x + (yx) - y}{x} \)
\( = \dfrac{10x + y - x - 10x - x + x + 10y + x - y}{x} \)
\( = \dfrac{10y}{x} = 4 \)
\( 5y = 2x \)
Değişkenler birer rakam oldukları için \( x = 5 \) olur.
SORU 14:
\( x \), \( y \) ve \( z \) sıfırdan farklı birer rakamdır.
\( 3x + \dfrac{1}{2y + \dfrac{z}{8}} = 9,\overline{4} \) olduğuna göre, \( x \cdot y \cdot z \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli sayıyı kesirli şekilde yazalım.
\( 3x + \dfrac{1}{2y + \dfrac{z}{8}} = 9 + \dfrac{4}{9} \)
\( 3x \) bir tam sayı, \( \frac{1}{2y + \frac{z}{8}} \) ifadesi de payı 1 ve paydası 1'den büyük olduğu için \( (0, 1) \) aralığında bir sayıdır. Dolayısıyla her iki terim sırasıyla eşitliğin sağ tarafındaki sayının tam sayı ve ondalık kısımlarına karşılık gelir.
\( 3x = 9 \Longrightarrow x = 3 \)
\( \dfrac{1}{2y + \dfrac{z}{8}} = \dfrac{4}{9} \)
\( 2y + \dfrac{z}{8} = \dfrac{9}{4} \)
\( 2y + \dfrac{z}{8} = 2 + \dfrac{1}{4} \)
Yukarıda açıkladığımız sebeple, eşitliğin solundaki iki terim sırasıyla eşitliğin sağ tarafındaki sayının tam sayı ve ondalık kısımlarına karşılık gelir.
\( 2y = 2 \Longrightarrow y = 1 \)
\( \dfrac{z}{8} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8} \)
\( z = 2 \)
\( x \cdot y \cdot z = 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 \) bulunur.
SORU 15:
\( 5,\overline{9} + 6,\overline{9} + 7,\overline{9} + \ldots + 15,\overline{9} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
\( 5,\overline{9} = \dfrac{59 - 5}{9} = 6 \)
\( 6,\overline{9} = \dfrac{69 - 6}{9} = 7 \)
\( \vdots \)
\( 15,\overline{9} = \dfrac{159 - 15}{9} = 16 \)
Buna göre verilen ifade 6 - 16 arası tam sayıların toplamıdır.
\( 6 + 7 + 8 + \ldots + 16 \)
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = (6 + 16) \cdot \dfrac{11}{2} \)
\( = 121 \) bulunur.
SORU 16:
\( \dfrac{20}{13} \) kesrinin ondalık açılımında virgülden sonraki \( 47 \). basamak kaçtır?
Çözümü Göster
\( \dfrac{20}{13} = 1 + \dfrac{7}{13} \)
7'yi 13'e böldüğümüzde virgülden sonra 538461 rakamlarının (toplam 6 basamak) tekrar ettiğini görürüz.
\( \dfrac{7}{13} = 0,\overline{538461} \)
47'yi 6'ye böldüğümüzde kalan 5'tir, dolayısıyla virgülden sonra 47. basamak 5. basamak ile aynıdır.
Buna göre 47. basamak 6'dır.
SORU 17:
\( \dfrac{0,\overline{3} + 0,\overline{4} + \ldots + 0,\overline{9}}{2,\overline{1} + 2,\overline{2} + \ldots + 2,\overline{8}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli ondalık sayıları kesirli şekilde yazalım.
\( \dfrac{\frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \ldots + \frac{9}{9}}{\frac{21 - 2}{9} + \frac{22 - 2}{9} + \ldots + \frac{28 - 2}{9}} \)
\( = \dfrac{\frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \ldots + \frac{9}{9}}{\frac{19}{9} + \frac{20}{9} + \ldots + \frac{26}{9}} \)
\( = \dfrac{\frac{3 + 4 + \ldots + 9}{9}}{\frac{19 + 21 + \ldots + 26}{9}} \)
Pay ve paydadaki kesirli ifadelerin paydaları sadeleşir.
\( = \dfrac{3 + 4 + \ldots + 9}{19 + 21 + \ldots + 26} \)
Paylardaki ardışık sayıların toplamını alalım.
\( \text{Terimler toplamı} = (\text{İlk terim} + \text{Son terim}) \) \( \cdot \dfrac{\text{Terim sayısı}}{2} \)
\( \text{Terim sayısı} = \dfrac{\text{Son terim} - \text{İlk terim}}{\text{Ortak fark}} + 1 \)
\( = \dfrac{(3 + 9) \cdot \frac{7}{2}}{(19 + 26) \cdot \frac{8}{2}} \)
\( = \dfrac{12 \cdot 7}{45 \cdot 8} = \dfrac{7}{30} \) bulunur.
SORU 18:
\( 0,x\overline{y} - 0,y\overline{x} = \dfrac{48}{27} \)
olduğuna göre, \( x - y \) farkı kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli ondalık sayıları kesirli ifadeye çevirelim.
\( \dfrac{(xy) - x}{90} - \dfrac{(yx) - y}{90} = \dfrac{48}{27} \)
İki basamaklı \( (xy) \) ve \( (yx) \) sayılarının çözümlemesini yapalım.
\( \dfrac{10x + y - x}{90} - \dfrac{10y + x - y}{90} = \dfrac{48}{27} \)
\( \dfrac{9x + y - 9y - x}{90} = \dfrac{16}{9} \)
\( 8x - 8y = 160 \)
\( x - y = 20 \) bulunur.
SORU 19:
\( x, y, z \) sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere,
\( x,y\overline{z} + y,x\overline{z} = \dfrac{12}{5} \) veriliyor.
Buna göre \( x + y + z \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli ondalık sayıları kesirli ifadeye çevirelim.
\( \dfrac{(xyz) - (xy)}{90} + \dfrac{(yxz) - (yx)}{90} = \dfrac{12}{5} \)
\( (xyz) - (xy) + (yxz) - (yx) = \dfrac{12}{5} \cdot 90 \)
\( (xyz) - (xy) + (yxz) - (yx) = 216 \)
\( (xyz) \), \( (yxz) \), \( (xy) \) ve \( (yx) \) sayılarının çözümlemesini yapalım.
\( 100x + 10y + z - (10x + y) + 100y + 10x + z - (10y + x) = 216 \)
\( 99x + 99y + 2z = 216 \)
Değişkenler birer rakam oldukları için sadece aşağıdaki değerleri alabilirler.
\( x = 1, \quad y = 1, \quad z = 9 \)
Buna göre \( x + y + z = 1 + 1 + 9 = 11 \) bulunur.
SORU 20:
\( (ab) \) ve \( (ba) \) iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere,
\( a,\overline{b} - b,\overline{a} = \dfrac{56}{9} \)
olduğuna göre, \( a + b \) toplamı en fazla kaçtır?
Çözümü Göster
Devirli ondalık sayıları kesirli sayılara çevirelim.
\( \dfrac{(ab) - a}{9} - \dfrac{(ba) - b}{9} = \dfrac{56}{9} \)
\( ((ab) - a) - ((ba) - b) = 56 \)
Sayıların çözümlemesini yapalım.
\( (10a + b - a) - (10b + a - b) = 56 \)
\( 10a + b - a - 10b - a + b = 56 \)
\( 8a - 8b = 56 \)
\( a - b = 7 \)
\( a + b \) toplamı iki rakam da en büyük değerini aldığında en büyük olur.
\( a = 9, \quad b = 2 \)
\( a + b = 9 + 2 = 11 \) bulunur.
SORU 21:
\( \dfrac{3}{13} \) ifadesinin virgülden sonraki 119. basamağı kaçtır?
Çözümü Göster
3'ü 13'e bölerek sayıyı devirli ondaklık sayı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{3}{13} = 0,\overline{230769} \)
Sayının ondalık kısmında 6 rakamdan oluşan 230769 sayısı sonsuza kadar kendini tekrar eder.
\( 119 = (6 \cdot 19) + 5 \)
Kalan 5 olduğu için bulunan 6 rakamdan 5.si 119. basamağa denk gelir.
Buna göre 119. basamak 6'dır.
SORU 22:
I. \( \dfrac{29}{210} \)
II. \( \dfrac{13}{16} \)
III. \( \dfrac{393}{625} \)
IV. \( \dfrac{288}{512} \)
V. \( \dfrac{487}{675} \)
Yukarıdaki kesirlerden hangilerinin ondalık gösterimi devirlidir?
Çözümü Göster
Bir kesrin en sade halinin paydası 2 ve 5 dışında bir asal çarpan içeriyorsa bu kesrin ondalık gösterimi devirlidir.
Buna göre verilen seçeneklerin paydalarını çarpanlarına ayırarak çarpanlarını inceleyelim.
I. öncül: \( \dfrac{29}{210} \)
\( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)
II. öncül: \( \dfrac{13}{16} \)
\( 16 = 2^4 \)
III. öncül: \( \dfrac{393}{625} \)
\( 625 = 5^4 \)
IV. öncül: \( \dfrac{288}{512} \)
\( 512 = 2^9 \)
V. öncül: \( \dfrac{487}{675} \)
\( 675 = 3^3 \cdot 5^2 \)
I. ve V. öncüllerinin paydaları 2 ve 5 dışında çarpanlar içerdiği için ondalık gösterimleri devirlidir.
SORU 23:
\( \dfrac{746}{495} \) kesrinin ondalık gösteriminde virgülden sonraki 89. basamaktaki rakam nedir?
Çözümü Göster
Kesri 2 ile genişletelim.
\( \dfrac{746}{495} = \dfrac{1492}{990} \)
Devirli ondalık sayıların kesirli gösterim formülüne göre, paydadaki 990'daki 0 sayısı virgülden sonraki devirsiz basamak sayısını, 9 sayısı da devirli basamak sayısını gösterir.
Buna göre verilen kesirli sayının ondalık gösterimi \( a,b\overline{cd} \) şeklinde olmalıdır.
\( \dfrac{1492}{990} = \dfrac{(abcd) - (ab)}{990} \)
\( (abcd) - (ab) = 1492 \)
\( a = 1 \) olmalıdır.
\( (1bcd) - (1b) = 1492 \)
Sayıların çözümlemesini yapalım.
\( 1000 + 100b + 10c + d - 10 - b = 1492 \)
\( 99b + 10c + d = 502 \)
\( b = 5 \) olmalıdır.
\( 99(5) + 10c + d = 502 \)
\( 10c + d = 7 \)
\( c = 0 \) ve \( d = 7 \) olmalıdır.
Buna göre sayının ondalık gösterimi aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{1492}{990} = 1,5\overline{07} \)
Virgülden sonraki ikinci basamak 0, üçüncü basamak 7'dir ve bu iki rakam her iki basamakta bir tekrar ederler.
0 rakamı çift basamaklara, 7 rakamı tek basamaklara denk gelir.
89 tek sayı olduğuna göre, 89. basamaktaki rakam 7 olur.
