Ondalık kısmı bir basamaktan sonra kendini tekrarlayarak sonsuza giden ondalık sayılara devirli ondalık sayı denir.
Devirli ondalık sayıların tekrarlayan basamakları üstlerindeki yatay bir çizgi ile gösterilir.
ÖRNEK:
\( 0,\overline{3} = 0,333... \)
\( 0,\overline{18} = 0,181818... \)
\( 2,41\overline{6} = 2,41666... \)
Yukarıdaki örneklerde görebileceğimiz gibi, devirli ondalık sayıların bir ya da birden fazla basamağı tekrar edebilir. Ayrıca, basamaklar onda birler basamağından ya da sonraki bir basamaktan başlayarak tekrar edebilir. Bir ondalık sayının sonuna sonsuza kadar giden sıfır eklenmesi o sayıyı devirli ondalık sayı yapmaz.
Tüm devirli ondalık sayılar bir kesirli sayı olarak ifade edilebilirler, dolayısıyla birer rasyonel sayıdırlar.
Devirli ondalık sayıları kesirli gösterime aşağıdaki formülle dönüştürebiliriz. Formülde her bir kısmın örnek bir devirli ondalık sayıda karşılık geldiği kısım gösterilmiştir.
\( \text{Kesirli gösterim} = \dfrac{(1) - (2)}{(3)(4)} \)
(1): Sayının tamamı
(2): Sayının devretmeyen kısmı
(3): Devreden ondalık basamak sayısı kadar 9
(4): Devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0
\( 1,2\overline{34} = \dfrac{1234 - 12}{990} \) \( = \dfrac{1222}{990} = 1,2343434... \)
ÖRNEK:
\( 0,444... = 0,\overline{4} = \dfrac{4 - 0}{9} \) \( = \dfrac{4}{9} \)
\( 0,363636... = 0,\overline{36} = \dfrac{36 - 0}{99} \) \( = \dfrac{4}{11} \)
\( 1,3222... = 1,3\overline{2} = \dfrac{132 - 13}{90} \) \( = \dfrac{119}{90} \)
\( 3,141414... = 3,\overline{14} = \dfrac{314 - 3}{99} \) \( = \dfrac{311}{99} \)
İSPATI GÖSTER
Bu formülü önce iki örnek üzerinden türetip sonra genel ispatını göstereceğiz.
Örnek 1:
\( x = 0,333... \)
İki tarafı 10'la çarpalım.
\( 10x = 3,333... \)
Bu eşitliği ilk eşitlikten taraf tarafa çıkaralım.
\( 9x = 3 \)
\( x = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \)
Örnek 2:
\( x = 0,272727... \)
İki tarafı önce 100'le çarpalım.
\( 100x = 27,272727... \)
Bu eşitliği ilk eşitlikten taraf tarafa çıkaralım.
\( 99x = 27 \)
\( x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11} \)
Genel İspat:
\( x = a,bcdcdcd... \)
\( x \) devirli ondalık sayısında \( a \) sayının tam sayı kısmı, \( b \) devirli olmayan ondalık kısmı ve \( cd \) devirli ondalık kısmı olmak üzere,
Önce iki tarafı devirli olmayan tüm ondalık basamaklar virgülün solunda kalacak şekilde 10'un bir kuvveti ile çarpalım (bu durumda \( 10^1 \)).
\( 10x = ab,cdcdcd... \)
Sonra iki tarafı devirli ondalık basamakların bir tam devri de virgülün solunda kalacak şekilde 10'un bir kuvveti ile çarpalım (bu durumda \( 10^3 \)).
\( 1000x = abcd,cdcdcd... \)
Birinci eşitliği ikinci eşitlikten taraf tarafa çıkaralım. Dikkat edilirse eşitliklerin her ikisinde de sağ tarafın ondalık kısmı sadece devirli ondalık basamaklardan oluştuğu için bu ondalık kısımlar birbirini götürecektir.
\( 1000x - 10x = abcd - ab \)
\( 990x = abcd - ab \)
\( x = \dfrac{abcd - ab}{990} \)
SORU:
\( \dfrac{0,1\overline{5} + 2,1\overline{7}}{3,\overline{45} - 1,\overline{21}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Tüm devirli ondalık sayıları kesirli sayılara çevirelim.
\( \dfrac{\dfrac{15 - 1}{90} + \dfrac{217 - 21}{90}}{\dfrac{345 - 3}{99} - \dfrac{121 - 1}{99}} \)
\( = \dfrac{\dfrac{14 + 196}{90}}{\dfrac{342 - 120}{99}} \)
\( = \dfrac{210}{90} \cdot \dfrac{99}{222} = \dfrac{77}{74} \) bulunur.
SORU:
\( a \) ve \( b \) devirli ondalık sayılar olmak üzere,
\( a = 0,\overline{75} \) ve \( b = 0,\overline{25} \) ise \( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( a = 0,\overline{75} \Longrightarrow a = \dfrac{75}{99} \)
\( b = 0,\overline{25} \Longrightarrow b = \dfrac{25}{99} \)
\( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{\dfrac{75}{99}} + \dfrac{1}{\dfrac{25}{99}} \)
\( = \dfrac{99}{75} + \dfrac{99}{25} \)
\( = \dfrac{396}{75} = \dfrac{132}{25} \) bulunur.
SORU:
\( x = \dfrac{1}{1,\overline{81}} \)
\( y = 0,5\overline{1} \)
\( z = \dfrac{5}{9} \) olduğuna göre,
\( x \), \( y \) ve \( z \) sayıları arasındaki sıralama nasıl olur?
Çözümü Göster
Tüm sayıları kesirli şekilde yazalım.
\( x = \dfrac{1}{\dfrac{181 - 1}{99}} \)
\( x = \dfrac{99}{180} \)
\( y = \dfrac{51 - 5}{90} = \dfrac{92}{180} \)
\( z = \dfrac{5}{9} = \dfrac{100}{180} \)
Buna göre sayıların sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( z \gt x \gt y \)
SORU:
\( 6,1\overline{37} - 3,41\overline{2} \) farkının eşiti nedir?
Çözümü Göster
Sayıları normal ondalıklı sayı şeklinde yazıp birbirinden çıkaralım.
\( 6,1\overline{37} = 6,137373737... \)
\( 3,41\overline{2} = -3,41222222... \)
\( = 2,725151515... \)
\( = 2,72\overline{51} \) bulunur.
